最新广西南宁市第三中学2019届高三月考数学(理)试题

南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（三）理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R| }，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ． {0,1,2}B ． {0,1}C ． {1,2}D ． {1}2．复数 满足 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．3．下列各式中的值为的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，，则( ) A ． B ． C ． D ．5. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某一随机变量X 的分布列如下,且E(X)=6.3,则a 的值为( ) A ． 5 B ． 6 C ．8 D ． 7 7．函数 的部分图象大致是图中的（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知，则下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．三棱锥 中，△ 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外 接球的表面积为 A ．B ．C ．D ．10．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A．B．C．D．12．已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，若取得最小值和最大值时，△的面积分别为，，则( )A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若实数满足，则的最大值为__________．14．若的展开式式中含的项为__________.15．直线l与抛物线相交于A、B两点且AB的中点为M（1、1），则l的方程为________. 16．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A的取值范围是________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，求的前项和.如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.19. （本小题12分）质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：(I)求出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两个公司各抽取的100颗糖果的质量指标方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；(Ⅱ)用样本情况估计甲乙另个公司的产品情况，估计在甲、乙两个公司的糖果中各随机抽取1颗，恰有一颗的质量指标大于20，且另一颗糖果的质量指标不大于20的概率；(Ⅲ)由频率分布直方图可以认为，乙公司生产的糖果质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙公司生产的糖果中随机抽取10颗，其品质指标值位于（14.55，38.45)的颗数，求的数学期望.注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：②若，则，.20.（本小题12分）已知椭圆的离心率为，左右端点为,其中的横坐标为2. 过点的直线交椭圆于两点,在的左侧，且不与重合，点关于轴的对称点为，射线与交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线上.设是在点处的切线．（1）求证：；（2）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知，且，证明：（1）；（2）.南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（三）理科数学参考答案一、单选题1.C 【解析】由题意得，图中阴影部分所表示的集合为()U A B ⋂ð. ∵{}|3B x R x ∈≥＝ ∴{}|3U B x R x ∈<＝ð ∴(){}{}{}1,2,3,4,5|312U A B x R x ⋂=⋂∈<=，ð 2.D 【解析】 ，，所以3.C 【解析】由二倍角公式得到 =;由二倍角公式得到; 由二倍角公式得到; =1.4. B 【解析】2,-20,--0BC BA BP BC BA BP BC BP BA BP PC PA +=+=+=+=移项得5.C 【解析】231a a a <⇔<6. D 【解析】 根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.7. B 【解析】由题意，函数 为偶函数，∴函数的图象关于 轴对称，故可以排除 ， 答案． 又 ∵函数 在区间 上为增函数，排除B ，故选 ． 8.A 【解析】∵ ， ，， 因为，即 ，∴ ，故选A.9.B 【解析】 三棱锥 中， 为等边三角形， ，， ， 以 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图， 则长方体的外接球也是三棱锥 外接球，长方体的对角线为 ， 球直径为 ，半径为 ，因此，三棱锥 外接球的表面积是，故选B.10. A 【解析】由题知 有解，令 ，，故函数在递减，在 递增，所以 ，解得 .11.D 【解析】设AB=4,则OG=GH=FD=HI=IE= ,DE=2,所以所以点取自阴影部分的概率是12.A 【解析】由已知得 ， ，故线段 所在直线的方程为 ， 又点 在线段 上，可设 ，其中 ，由 ， ，得 ， ，则 ，由 ，可知当 时，取得最小值，此时 ，当 时， 取得最大值，此时，所以．.第II 卷（非选择题）二、填空题13. 9【解析】详解：画出可行域如图所示， ，可知当目标函数经过点 时取最大值，最大值为 14. 【解析】的展开式中通项公式为，令 时，展开式中含 的项为 .15. .【解析】设 ， 、 ， 则相减可得： 有中点为 ， 故的方程为：即 故答案为16. ⎝⎛⎦⎤0，6【解析】由已知及正弦定理得 即 , ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号，∵A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0， )上是减函数，∴0<A ≤6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0， 6. 三、解答题 17．【解析】（Ⅰ） 设正项等比数列 的公比为 ，则 且由已知 有 ，即 故或 （舍）（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当 时， 当 时，当 时，.18．【解析】(Ⅰ) 平面 平面 ,且 为矩形，平面 ，又 平面 , ，又 且 平面 .(Ⅱ)设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FE 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系 ．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(0，，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．设＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则所以，可取＝(，1，)．因为cos<，>＝＝，得x＝，所以AB＝．19.【解析】(1) ；(Ⅱ)设事件：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在乙公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，；（Ⅲ）计算得:，由条件得从而，从乙公司产品中随机抽取10颗，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.6826，依题意得，.20.【解析】（1）因为离心率为，所以因为的横坐标为2，所以因此椭圆的方程为；（2）设由与联立，得所以直线:，直线:，联立解出21【解析】（1）设，则，所以．所以．令．满足，且．当时，，故单调递减；当时，，故单调递增．所以，）．所以．（2）法一：的定义域是，且．①当时，由（Ⅰ）得，所以．所以在区间上单调递增，所以恒成立，符合题意．②当时，由，且的导数，所以在区间上单调递增．因为，，于是存在，使得．所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，此时不会恒成立，不符合题意．综上，的取值范围是．法二：∵在上恒成立∴当时，恒成立，当时，令=令,则，进而在，递增故,故，综上，。

22.【解析】（1）∵，∴，即，此即为曲线的直角坐标方程.（2）将代入得，∴，∵直线与曲线只有一个公共点，∴，即，，又，∴或.23【解析】（1）∵,∴,当且仅当时，取得等号.（2）因为，且所以，所以，所以.。