考研数学模拟试题及答案定稿版

考研数学模拟试题及答

案

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

模拟

一

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）设函数2

()ln(3)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

（2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则（ ）

（A ）当1

n n b ∞=∑收敛时，1

n n n a b ∞=∑收敛. （B ）当1

n n b ∞=∑发散时，1

n n n a b ∞

=∑发散.

（C ）当1

n n b ∞=∑收敛时，221

n n

n a b ∞

=∑收敛.

（D ）当1

n n b ∞=∑发散时，22

1

n

n n a b ∞

=∑发散.

（3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则（ ）

（A ）0()f x 是()f x 的极大值

（B ）0()f x 是()f x 的极小值

（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点

（D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点

（4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b

a

f x f x f x S f x dx '''><>=

⎰，令

231

()(),[()()](),2

S f b b a S f a f b b a =-=+-则 （ ）

（A ）123S S S << （B ）213S S S <<

（C ）312S S S << （D ）231S S S <<

（5）设矩阵111111111A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，100020000B ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则A 于B （ ）

（A ） 合同，且相似 （B ）合同，但不相似

（C ） 不合同，但相似 （D ）既不合同，也不相似

（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩

阵O A B O ⎛⎫

⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） （A ）**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭

（B ）**

23O

B A O ⎛⎫

⎪⎝⎭

（C ）**32O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

（D ）**

23O A B

O ⎛⎫

⎪⎝⎭

（7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）

（A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C

（8）设随机变量12,,(1),n n X X X >独立同分布，且其方差2

0σ>，令1

1n

i i Y X n ==∑，则

（ ）

（A ）21

cov(,)Y X n

σ= （B ）2

1cov(

,)Y X σ=

（C ）212()n D Y X n σ++=

（D ）2

11()n D Y X n

σ+-= 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数 20

3

sin ,0() ,0x t dt x f x x a x ⎧⎪≠=⎨⎪

=⎩⎰在0x =处连续，则a = （10

）3

π=⎰

.

（11）设函数()y y x =由方程x y x y x sin )ln(32+=+确定，则

0|x dy

dx

== （12）曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A 为 .

（13））若4维列向量,αβ满足3T βα=，其中T β为β的转置，则矩阵T αβ的非零特征值

为

（14）设12,,

,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本

均值和样本方差。若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10

分）求极限lim x →+∞

（16）（本题满分10分）求微分方程⎩

⎨⎧===+1)0(',2)0()'(''22y y y

y y 的解

（17）（本题满分12分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，

并满足2

3()()()2

a xf x f x x a =+

为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

（18）（本题满分10分）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-

sin 2

π

在开区间(0,)2π

内

根的个数，并证明你的结论.

（19）（本题满分10分）求幂级数()

1

21

121

n n n x n -∞

=--∑

的收敛域及和函数.

（20）（本题满分10分）已知向量组12301,2,1110a b βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

向量组与向量组112,3α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦230,1α⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3967α⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示求a ,b 的值. （21）（本题满分10分）设二次型()222

123123122313,,222f x x x x ax x x x x x ax x =+++--的正负

惯指数都是1，试计算a 的值并用正交变换将二次型化为标准型