对实数基本定理的认识
31关于实数的基本定理分析
则称α是数集S的下确界,记作 = infS.
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例2 考察下列数集的上确界与下确界
E1
{1,
1 2
, 1 ,, 3
1 n
,}
E2 {1,2,3,, n,}
E3 {x | 0 x 1}
1
{xn
1
} n
{x2k
即证明了 x n k →∞（k→∞）．
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五 柯西收敛原理
Cauchy列：如果数列 具有以下特性：
＞
＜
则称数列
是一个基本数列.
定理７（柯西收敛准则）
数列｛ xn｝收敛的充分必要条件是：对于任 意给定的正数(不论它多么小),总存在正数 N ,
使得对于 m,n N 时,都有不等式 xn xm 都
推论：若存在数列｛xn｝的两个子列
{
x(1 nk
)
}与{
x
(2 nk
)
},分别
收敛于不同的极限，则数列｛xn｝必定发散 .
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例1
证明数列
sin
n
4
发散.
证明：取
n(1) k
4k
,
n( 2 ) k
8k
2,
则 子列
x(1 nk
)收
敛
于
0，而子列
x
(2 nk
)收敛于
1.
由上述推论
证明．因为数列｛ xn｝无界，故对任意 M>0,存在
n0 M ,使得 | x n 0 | M . 取 M=1,存在 n1 1， | x n1 | 1 ， 取 M=２,存在 n2 max{2, n1} ， | x n2 | 2 ， 取 M=３,存在 n3 max{3, n2} ， | x n1 | 3 ， ……… 则存在子列 | x nk | k , （k=1,2,3,…）
实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
《数学分析》第七章 实数基本定理
第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。
数列极限与实数系的基本定理
在xε ∈ S 满足xε > β − ε = β − (β − α) = α, 与α也为S的上确界矛盾,从而上确界唯一.
同理可证下确界唯一.
例
{sin
π n
设E1 = (1, 1/2, · · · , 1/n, · · ·); E2 : n ∈ N+}. 则
=
(1, 2, · · · , n · · ·); E3
于进行严格的推理论证. 因此,有必要使用分析语言给出确切的定义.
定义1.2.1 设{xn}是一个数列，a是一个实数，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个
自然数N ，使得凡是n > N 时，都有|xn − a| < ε, 就说数列{xn}当n趋向无穷大时以a为
极限，记成 lim
n→∞
xn
= a,
也可以简记为xn
→ a(n → ∞),
我们也说数列{xn}
收敛于a.
存
在极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散的.
若 lim
n→∞
xn
=
0,
则称{xn}
为无
穷小量.
注
1、
lim
n→∞
xn
=
a
⇐⇒
xn
−
a为无穷小量.
2、 在定义中,正数ε必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.
3、 当正数ε给定之后，满足要求的N 通常是与ε有关的，此时N + 1, N + 2等也满足
n
2
xiyi ≤
i=1
n
x2i
i=1
n
yi2 .
i=1
其中等号成立当且仅当数组{xi}与{xi}对应成比例. 4、调合平均值-几何平均值-算术平均值不等式（简称平均值不等式）
实数基本定理
第七章 实数基本定理［教学目标］通过教学使学生掌握反映实数连续性的六个基本定理，能准确加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，提高分析论证的能力。
［教学重难点］实数完备性基本定理的证明和应用。
［教学方法］讲授。
［教学时间］讲授8学时，习题课4学时，共计12学时。
［教学内容］实数完备性基本定理及其等价性证明，闭区间上连续函数性质及证明，*上极限与下极限。
［考核目标］ 1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界； 2. 对六个基本定理的理解和准确表述，明确其等价性； 3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性； 4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
§ 1 实数基本定理的陈述一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界。
. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件} ] , [ {n n b a ⅰ> 对n ∀, 有 , 即 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→−n n a b . 即当)(∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤L L L L ,0→−n n a b .)(∞→n 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, } {n a } {n b } {n a } {n b 递减. 例如 } ] 1 , 1 [ {n n −和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +−+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +−都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n nn x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++=L . ⑵ 12) 1 (513111−−+−+−=+n a n n L . 解 ⑴ ≤++=−+++++ | 9.0sin9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x L<++≤++ 9.09.01p n n L L L +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++×=−=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<−+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 .L L =N ⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132−+−+++−++−=−+++++p n n n a a p n n n n p n L 1)(2)1(3211211−+−+++−+=+p n n n p L . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(21721521321121≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+p n p n n n n n L , 又=−+−++−+1)(21321121p n n n L ≤−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n L 121+≤n . 当为奇数时 ,p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(215)(21321121≥−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=p n p n p n n n L , =−+−++−+1)(21321121p n n n L121 1)(213)(21521321121+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=n p n p n n n n L . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤−+−+++−+≤+n p n n n p L n1 <. …… Cauchy 列的否定:例2 ∑==n k n k x 11 . 验证数列不是Cauchy 列. }{n x 证 对, 取n ∀n p =, 有 212 12111||=>++++++=−+n n n n n n x x n p n L . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设Q 是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.0E ∉0) 1 , 0 (] 1 , 0 [] 1 , 0 [Q ] 1 , 0 [1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine–Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∋Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E U 若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为λI G } , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间, 但不能复盖;) 1 , 0 (] 1 , 0 [} ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈−+−−=复盖, 但不能复盖. ) , [b a ] , [b a 2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ;⇒⇒Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .⇒⇒ 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).⇒1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则对} ] , [ {n n b a 0>∀ε, ,N ∃当时, 总有N n >] , [n n b a ) , (εξU ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则有} ] , [ {n n b a n a ↗ξ, ↘n b ξ, .) (∞→n 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取不是1a E 的上界, 为1b E 的上界. 对分区间, 取, 使不是] , [11b a ] , [22b a 2a E 的上界, 为2b E 的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘} ] , [ {n n b a } {n b } {n b } {n a n b n b β.有↗ n a β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.→→} {n a 三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§ 3 闭区间上连续函数性质的证明一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上] , [b a )(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上取得最大值和最小值. )(x f ] , [b a ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ).三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令, 则} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=E 非空有界, ⇒E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取>n x ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ.由在点)(x f ξ连续和0)(≤n x f , ⇒0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∋∈∃n t E t n n ξ. 由在点)(x f ξ连续和,0)(>n t f ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用列紧性 ).§4. 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。
第3章第1节关于实数基本理论ppt课件
定理4: 单调有界数列必有极限.
(就单调增加的有界数列予以证明)
证明:
设yn有界，则必有 supyn.
又 yn 单增, 证明 就是 yn 的极限.
(1).yn (n 1, 2, );
由上确界定义有:
（2） 0，至少有yN ，但yn单增，
故当n N，有yn yN，
从而yn .即当n N时,有0 yn ,
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§3.1关于实数基本定理
数集分为有限数集和无限数集.通常也说数列是一个数集 .
任何有限数集都有一个最大和最小数, 但对于无限数集来说就未必了.
例如：
1x : x 1是一个无限数集它没有最小数；
(2)数列
n
n
1
也是一个无限数集它没有最大数,
但有最小数
1 2
;
(3)数列
n
n1也是一个无限数集它没有最小数,
如.对于正整数数列n显然不存在上确界. 对于负整数数列n 显然也不存在下确界 .
10/30/2024
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§3.1关于实数基本定理
2.一个无限数集E即使它有上确界 (或下确界 ) , 这个 (或 )可属于 E也可以不属于 E.
如.数列
1 n
,由定义
0，
1.但
E而
E.
3. 若 (或） E，则称上确界（或下确界）可达到；
在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):
lim （f x）
x x0
A
xn : xn
有（f xn）
x（0 n ），xn A（n ）.
x0，
现在进一步有以下推论:
推论: 若xn : xn x（0 n ），xn x0，都有 （f xn）收敛，
实数六大基本定理
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
实数完备性基本定理相互证明
关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。
2(5)实数基本定理
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例4 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
2
bn
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an ,bn
满足闭区间套定理的条件即可.
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上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项:
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
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(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1 )x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x) x e x0
8
例1 判断下列数列的收敛性
(1)
an
1 31
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
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例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
1 xn
,
x1
2
Q.
可以证明: xn
实数知识点总结简单版
实数知识点总结简单版实数的性质有着许多重要的性质和定理，下面我将根据不同的知识点进行总结和介绍。
一、实数的定义和性质1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，它们可以用来表示现实生活中的各种量。
实数在数学中使用非常广泛，它们可以进行加、减、乘、除等各种运算。
2. 实数的分类实数包括有理数和无理数两种类型，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则无法表示为有理数的比值。
3. 实数的性质实数满足加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质，同时还满足零元素和幺元素的存在性，以及实数的序关系等性质。
二、实数的运算1. 实数的加法和减法实数的加法和减法遵循着相同符号相加为同号，不同符号相加为异号的规则。
与此同时，实数的加法和减法还满足交换律、结合律以及消去律等性质。
2. 实数的乘法和除法实数的乘法和除法同样遵循着相同符号相乘为正，不同符号相乘为负的规则，而且实数的乘法还满足交换律、结合律、分配律等性质。
3. 实数的幂运算实数的幂运算是指数和指数的规则计算，它包括了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、幂的乘法法则和幂的除法法则等。
4. 实数的有理化无理数可以通过有理数的加法、减法、乘法、除法和幂运算与有理数进行有理化，使得计算更加方便和准确。
三、实数的性质和定理1. 实数的序关系实数满足着大小关系的序关系，它可以通过大小关系进行排列和比较，便于对实数进行大小关系的判断和比较。
2. 实数的面积和体积实数在几何中有着重要的地位，它被广泛用于表示各种图形的面积和各种体的体积等。
3. 实数的代数性质实数包括了加法和乘法的结合律、交换律、分配律、消去律、幺元素和零元素等性质，这些性质对于实数的运算和性质研究非常重要。
4. 实数的最值和极值实数的最值和极值是指在给定范围内的最大值和最小值，它们对于实际问题的求解和优化具有非常重要的意义。
5. 实数的连续性实数具有着非常重要的连续性定理，它包括了介值定理、零点定理、最值定理等，这些定理为实数的研究提供了重要的理论基础。
六个实数基本定理
六个实数基本定理引言：实数作为数学中的一种基本概念，具有广泛的应用和重要的地位。
在实数的研究中，有六个基本定理，它们是实数理论的基石，为我们理解和应用实数提供了坚实的基础。
本文将从基本定理的角度出发，详细介绍这六个定理的内涵和应用。
一、实数有序性：实数集中的任意两个数a和b，必满足以下三种关系之一：a<b，a=b，a>b。
这个定理表明实数集中的数可以通过大小进行比较，具有明确的次序。
在实际应用中，有序性的概念常常用于描述事物的优劣、大小、先后等关系。
二、实数的稠密性：对于实数集中的任意两个数a和b(a<b)，必存在一个实数c，使得a<c<b。
也就是说，实数集中的任意两个数之间必然存在其他实数。
这个定理揭示了实数集中的数的稠密分布特征，保证了实数的连续性和无间断性，在实际应用中具有重要的价值。
三、实数的有界性：实数集中的数存在上界和下界。
上界是指实数集中的数中的最大值，下界是指实数集中的数中的最小值。
这个定理说明了实数集合中数的范围是有限的，为我们研究实数集合的性质提供了重要的线索。
四、实数的确界性：对于一个有上界的实数集合，必存在一个最小的上界，称为上确界；对于一个有下界的实数集合，必存在一个最大的下界，称为下确界。
这个定理强调了实数集中数的范围的确定性，为我们研究实数集合的性质提供了坚实的基础。
五、实数的连续性：实数集中的数是连续的，即便在一个有限的区间内，也可以找到无数多个实数。
这个定理揭示了实数集合中数的无穷性和连续性的特点，为我们研究实数的性质和应用提供了理论依据。
六、实数的代数性：实数集中的数具有四则运算的封闭性和对称性。
也就是说，实数集中的任意两个数做加、减、乘、除运算所得的结果仍然是实数。
这个定理说明了实数集中数的运算规律和性质，为我们进行实数运算提供了便利。
结语：六个实数基本定理是实数理论的核心内容，它们从不同的角度揭示了实数集合中数的性质和规律。
在实际应用中，我们可以根据这些定理，灵活运用实数的特点，解决各种实际问题。
实数系基本定理
关于实数连续性的基本定理这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
它们在证明过程中相互联系。
对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。
而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。
即使方法相同，还可以有不同的细节。
作为工具，它们又各具特点。
而这些都是值得我们去注意与发现。
(一)实数基本定理的出现关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。
有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。
以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即 ∞=∈1],[n nn b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
§2 实数完备性的基本定理
§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。
实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。
我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。
区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。
推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。
推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。
根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。
据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。
实数基本定理
第一章绪论重点：实数基本定理（戴德金实数连续性定理）。
§1绪论1.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除)数学分析：连续量的运算体系及其数学理论(微积分)。
2.两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则更多地应用用不等式及极限来刻划事物。
3.微分问题和积分问题微分问题：一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率.例:“瞬时”速度。
积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成或积累。
例：质点受力作用的位移，求力作用的功。
微分问题和积分问题问题互为逆运算。
4微积分的发展历史开普勒(Kepler,1571-1630)行星三大定律伽利略(Galileo,1564-1642)落体速度的变化惯性定律在以落体和行星为典型的机械运动中提出的两个基本问题：已知运动，求力（速度与加速度）；已知力，求运动。
在笛卡儿（Descartes1596-1650）和费儿玛（Fermat1601-1665）创立的解析几何中，问题转化为求（1）曲线的切线；（2）曲线下的面积。
牛顿（Newton1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算−→严格的科学体系哥西(Cauchy，1789-1857)、波尔察诺（Bolzano，1781-1848）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等用用极限的概念把微积分的概念澄清。
戴德金（Dedekind，1831-1916）、康托（Cantor，1845-1918）、维尔斯特拉斯等又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论。
§2．实数连续统离散量：有最小的单位，可数。
例如正整数。
连续量：不能分解成最小的单位。
不是不可分，而是可分，无限可分，分不完。
例如线段，时间等。
问题：离散量可用整数表示，连续量的数学表示是什么？长度是最基本的量，也是最直观的量。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
实数6个基本定理
实数6个基本定理
实数是数学当中最重要的概念之一，它们是研究几何图形、求解方程与不等式等内容时尤其用得多的数值。
实数的性质决定它们之间的性质也就确定了其中的特点与定理。
首先，关于实数的基本定理有以下六个：
1.正实数集合中，所有数字加减乘除后仍然是正实数。
这是最基本的定理，也就是说，只要数字本身为正实数，那么无论是加、减、乘还是除，它们运算后的答案均为正实数，不可能出现负实数的结果。
2.实数的乘法也有自身的性质，即0乘任何实数均为0，而1乘任何实数，结果均为实数本身。
3.实数的加法运算也有其规律，即两个实数相加、相减后的结果仍然是实数，而且，加一个实数可以把另一个实数变换成另一个实数，从而称其为可加实数。
4.实数的比较有其特定规律，即实数之间可以相等，也可以大小不等：两个实数可以相等，当它们的值完全一样时，也可以大小不等，它们大小的不等依据是它们的值，大者大，小者小。
5.实数可以被分成正负两类，正数比负数大，而负数比正数小。
因此，实数可以分成三类：正数、负数、零。
正实数的值大于零，负实数的值小于零，而零则既不大于，也不小于任何实数。
6.最后，实数的除法也有特定的法则，即除以0的操作永远都是无效的，也就是说，不能将一个实数除以0，否则结果就是无穷大。
以上就是实数的六大基本定理。
它们构成了实数运算发展过程中
的不可缺少的重要组成部分，只有掌握了实数的基本定理，才能更好地掌握实数的运算，进而在数学学习中取得良好的成果。
关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明§1. 关于实数的基本定理前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理，给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R 的一种特性，通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。
有关实数集完备性的基本定理，除上述三个外，还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，在本节中将阐述这三个基本定理。
共有六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理一 子列定义 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列。
注2 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．注4 子列的下标不是,k n k 而是表示在子列的第k 项。
所以子列收敛的定义是针对k 的。
第三章关于实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质§1. 关于实数的基本定理1. 设()f x 在上定义，求证：D (1) sup{()}inf ();x Dx D f x f ∈∈−=−x(2) inf{()}sup ().x D x Df x f ∈∈−=−x 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界．−∞3. 试分别举出满足下列条件的数列：(1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列；(3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．4. 求数列的上、下确界： (1) 11;n x n=− (2)[2(2)];n n x n =+− (3) 2211,1(1,2,3,k k x k x k k+= =+ =L ); (4) 1[1(1)];n n n x n+=+−(5) n x = (6) 12cos .13n n n x n π−=+ 5. 设sup E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞=；又若E β∈，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4．7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃L 0n n b a −→去掉，结果怎样?试举例说明．8. 若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)．9. 设()f x 在无界，求证：存在[,]a b [,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在(,)[,c c a b ]δδ−+∩上无界．10. 设()f x 在[,上只有第一类间断点，定义]a b ()|(0)(0)|.x f x f x ω=+−−求证：任意0,()x εω> ≥ε的点x 只有有限多个．11. 设()f x 是上的凸函数，且有上界，求证：(,)a b lim (),lim ()x a x bf x f +−→→x 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限．14. 设()f x 在[0上连续且有界，对任意,)+∞(,a )∈−∞+∞，()f x a =在[0上只有有限个根或无根，求证：,)+∞lim ()x f x →+∞存在． 15. 设()f x 在[,上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：]a b ()f x 在[,上有界．]a b 16. 求证：数列{有界的充要条件是，{的任何子数列{都有收敛的子数列．}n a }n a }k n a§2. 闭区间上连续函数性质的证明1. 设()f x 在[,上连续，可微，又设]a b (1) min ()max ();a x b a x bf x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠，求证：()f x =p 的根只有有限多个．2. 设()f x 是[,上的连续函数，其最大值和最小值分别为]a b M 和，求证：必存在区间[,(m m M <)]αβ，满足条件：(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =；(2) ，当()m f x M <<(,)x αβ∈．3. 设()f x 在[,上连续，且取值为整数，求证：]a b ()f x ≡常数．4. 设()f x 在[,连续，]a b ()0f a <，，求证：存在()0f b >(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，且()0()f x x b ξ><≤．5. 设()f x 在上连续，并且最大值点[,]a b 0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使0lim ()()n x f x f x →∞=，求证 0lim n x x x →∞= 6. 试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,和[,上都一致连续，则]a c ]c b ()f x 在上也一致连续．[,]a b 7. ()f x 在[0连续，且,2]a (0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+． 8. 设()f x 在上连续，且(,−∞+∞)lim ()x f x →−∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在上一致连续．(,−∞+∞)9. 若函数()f x 在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数(,)a b K ，使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b −≤− ∈证明：()f x 在上一致连续．(,)a b 10. 设()f x 在上一致连续，(,)a b ,a b ≠±∞，证明()f x 在上有界；(,)a b 11. 设()f x 在上可导，且(,)a +∞lim '()x f x →+∞=+∞，求证：()f x 在(,上不一致连续．)a +∞12.求证：()f x =x 在(0,)+∞上一致连续．13. 若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则()f x 在X 中一致连续．。
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对实数基本定理的认识数学与应用数学 白海蛟最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind ）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor ）用有理数的基本序列之等价类来定义. 分划 定义:若把一个有序的数系S 分成A,B 两类,满足Ⅰ.A,B 均非空;Ⅱ.S 中的任意数或在A 中,或在B 中;Ⅲ.A 中任一数均小于B 中任一数; 则A,B 为数系S 的一个分划,记为A ｜B.① 戴德金实数连续性定理 实数系R 按戴氏连续性准则是连续的,即对R 的任一分划A ｜B,都存在唯一实数r ,它大于或等于下类A 的每一个实数,小于或等于上类B 的每一个实数. 基本序列 定义 数系S 中,如果有数列{}n x 满足下列性质:0ε∀>,N ∃,使得只要,n N m N >>,有nmx xε-<,则称{}n x 为S 的基本序列,或柯西列.在数系S 中,两个基本序列是等价的,如果lim()0n n n x x →∞'-=,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数.显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观. 关于实数系R ,我们得到了7 个等价命题: ① 戴德金实数连续性定理;② （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; ③ （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限;④ （区间套定理）设{[,]}n n a b 是一个区间套,则必存在唯一的实数r ,使得包含r 在所有的区间里,即1,n n n r a b ∞=⎡⎤∈⎣⎦;⑤ （有限覆盖定理）实数闭区间[a,b ]的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖;⑥ （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列;⑦ （柯西收敛原理）实数系R 中,数列{}n x 有极限存在的充分必要条件是:0ε∀>,N ∃,当,n N m N >>时,有nmx xε-<.其中,①②③刻画了实数系的连续性,④⑤⑥刻画了实数闭区间的紧性,⑦刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R 是等价的.需要说明的是,实数系R 的得到,是以有理数系Q 为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R 仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C ,有理数域Q 并不是全部成立的.以下证明7个命题的等价性. ⑦→③:设{}n a 为一递增且有上界M 的数列.用反证法.借助柯西收敛原理,可以证明:若无极限,则可以找到一个子列{}k n a 以+∞为其广义极限,从而与有上界相矛盾.现构造这样的{}k n a .首先,对单调数列而言,柯西条件可改述为:“*0,N N ε∀>∃∈”因为它同时保证了对一切,n N m N >>,恒有n m n N a a a a ε-≤-<.由于假定{}n a 不收敛,故有上述柯西条件的否定陈述,必存在某个00ε>,对,N n N ∀∃>,使得0n N n N a a a a ε-=-≥.依次取 1111,,N n N =∃>使110n a a ε-≥; 2122,,N n n N =∃>使210n n a a ε-≥; ……1,,k k k k N n n N -=∃>使10k k n n a a ε--≥;把这k 个不等式相加,得到10k n a a k ε-≥. 由此易知,当1M a k ε->时,可使k n a M >,矛盾.故单调有界数列必有极限.引理 任意一个数列{}n x 必存在单调子数列.现证 若{}n x 不存在递增子序列,则必存在严格递减子序列.若{}n x 中存在（不一定严格）递增子序列{}k n x ,则问题已明.若{}n x 中无递增子序列,那么10,n ∃>,使得1n n ∀>,恒有11n x x <.同样在{}n x 1()n n >中也无递增子序列.于是又21n n ∃>,使得2n n ∀<,恒有21n n n x x x <<.如此无限进行下去,便可得到一严格递减的子序列{}k n x .证毕.③→⑥:由引理知,有界数列必有有界单调子序列.又由单调收敛原理可知,该有界单调子数列必有极限,即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子数列. ⑥→⑤:用反证法.假设某一闭区间[a,b]的某个开覆盖E 无有限子覆盖.将[a,b]二等分,则至少有一个子区间,不能用E 的有限子集覆盖,将此半区间记为[]11,a b .然后将[]11,a b 再二等分.重复上述步骤,依次进行下去,便得到一区间套[],n n a b :,nn a b ,1()02n n nb a b a -=-→(当n →∞).每一个[],n n a b 皆不能用E 的有限子集覆盖.取数列{}n a ,显然[],i i i a a b ∈.用紧致性定理，可知{}n a 收敛.不妨lim n n a ε→∞=,则[],n n a b ε∈.()[],,a b αβ∃∈,使αεβ<<.当n取足够大时,n n a b αεβ<≤≤<,则(),αβ可覆盖[],n n a b ,与区间套的构造相矛盾.故闭区间[a,b]的开覆盖必有有限子覆盖. ⑤→④:用反证法.如若不然,设存在区间套[]{,}n n a b ,有[]1,n n i a b ∞==∅,记开区间))((1,1,nnn a a αβ=-,))((1,,1n n nb b αβ''=+,即)())[]((11,,1,1\,nnnnnna b a b αβαβ''=-+.此时E=(){,,(,),1,2,...}n n n n n αβαβ''= 构成了[]11,a b 的一个覆盖.由有限覆盖定理,存在N ,使得.()()[]111(,,),Nn n nnn a b αβαβ=''⊃.故 当n>N 时, [],n n a b 是空集,这是不可能的,矛盾.故有[]1,n n i a b ∞=≠∅,即存在r ,使得[]1,n n i r a b ∞=∈r 的唯一性证明由区间套定理性质本身可推得. 若存在 r ',[]1,n n i r a b ∞='∈.由lim()0n n n a b →∞-=,则0,,N n N ε∀>∃>时,有22n n n n r r r a a r r a a r εεε'''-=-+-≤-+-<+=.r r '∴=故区间套定理得证. ④→②:设M 为实数域上数集E 的上界,即x E ∀∈,有x M ≤.来证sup E R ξ∃=∈.任取一0x E ∈,将[]0,x M 二等分.若右半区间含有E 中的点,则记右半区间为[]11,a b ,否则就记左半区间为[]11,a b .然后将[]11,a b 再次二等分.用上述选记[]22,a b .如此进行下去,我们便得到一个区间套[]{,}n n a b ,,nn a b ,01()02n n n b a M x -=-→, (当n →∞).由区间套定理,可知唯一公共点 [,]n n a b ξ∈（n=1,2,3,…）可以证明就是E 的上确界.由区间套的构造可知x E ∀∈,有x ξ≤0,,N n N ε∀>∃>时,[](),,n n a b ξεξε⊂-+[],,.n n x a b x εεξε∴∃∈>-故ξ就是E 的上确界,故非空有上界的数集必有上确界.非空有下界数集必有下确界的情况可类似证明. ②↔①: ②→①:设给定R 的一个分划A ｜B,由于B 中每个数都是A 的上界,由确界定理,A 有上确界r .显然,a A a r ∀∈≤,而b B ∀∈,由于b 是A 的上界,r 是上确界.故a ≤r ≤b.实数基本定理证完. ①→②:设X 是有上界的非空实数集.记B 为X 的全体上界组成的集合.A=R\B.则A ｜B 构成R 的一个分划.事实上,不空,不漏显然.只需证明“不乱”. ,a A b B ∀∈∈,由a 不是X 的上界,知有0,x X ∈使0x a >,而0,,b B x b ∈≤故a<b .由实数基本定理,分划A ｜B 确定唯一实数r ,使,a A b B ∀∈∈,有a r b ≤≤,需证r =supX.先证r 是X 的上界.反证.若不然,则有0,x X ∈使0x r >,此时02x ra A +=∈且a>r .这是不可能的.故r 是X 的上界,而由任意,b B ∈表明了r 是X 的最小上界.下确界情况可类似证明.确界定理证完. ②→③:设{}n x 是单调上升有上界的是数列.由确界定理知r=sup {}n x 存在,且有,且n x r ≤,且0,,N x r εε∀>∃>-因此当n>N 时,,N n r x x r ε-<≤≤即n x r ε-<,这就证明了lim n n r x →∞=.故单调有界有极限.⑥→⑦:柯西收敛原理的必要性 已知{}n x 收敛,即,a R ∃∈使.()n x a n →→∞0,,N ε∀>∃只要n>N,有.2n x a ε-<故只要n>N,m>N ,有.22n m n m n m x x x a a x x a a x εεε-=-+-≤-+-<+=必要性得证.现证充分性:先证{}n x 有界性.对1,N ε=∃,当n>N,m>N,有 1.n m x x -< 取定01n N =+,只要n>N,有0 1.n n x x -<从而00000011n n n n n n n n n N x x x x x x x x =+=-+≤-+<+ 令M=max 012(,,...,,1).N n x x x x + 则()n x M n ≤∀下证n x 有极限存在,由n x 有界知,k n x a ∃→（紧致性定理推得） 因此0,,K ε∀>∃,使当k>K 时,有2k n x a ε-<另,1N ∃,当11,n N m N >>时,2n m x x ε-<.取11max(,)k N N n +=,则只要n>N ,取0k N >,则22k k n n n n x a x x x a εεε-≤-+-<+=.从而 n x a →,充分性得证.从而柯西收敛定理得证.为此,7个命题的等价性已证.其证明思路为当然,等价性的证明还有其他多种途径,但过程相似.最后,尽管戴德金分划法引入实数的方法很直观,但是适用范围太狭小,今后在构造许多函数空间时就用不上了.所以,用有理数基本序列之等价类来引入实数具有深远的意义.能力有限,不再赘述.。