高考数学坐标系与参数方程

第十五章 坐标系与参数方程

命题探究

解答过程

(1)曲线C 的普通方程为

x 29

+y 2

=1. 当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0.

由{x +4y -3=0,

x 29

+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-21

25,

y =2425

.

从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,24

25

). (2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=

|3cosθ+4sinθ-a -4|

√17

.

当a ≥-4时,d 的最大值为

√17.由题设得√17

=√17,所以a=8; 当a<-4时,d 的最大值为

-a+1√17.由题设得-a+1

√17

=√17,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16

考纲解读

考点 内容解读

要求 高考示例

常考题型 预测热度

1.坐标系与极坐标 能在极坐标系中用极坐标表示

点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质

掌握

2017课标全国Ⅱ,22;

2016课标全国Ⅱ,23; 2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12;

2014安徽,4

解答题 ★★★

2.参数方程 了解参数方程及参数的意义,能掌握

2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C; 解答题 ★★★

借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质

2016课标全国Ⅲ,23 2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23;

2014北京,3

分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.

五年高考

考点一 坐标系与极坐标

1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A 在圆ρ2

-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 1

2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos (θ-π6

)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为 . 答案 2

3.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=

4.

(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,π3

),点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.

解析 (1)设P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4

cosθ

. 由|OM|·|OP|=16得C 2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2

+y 2

=4(x ≠0).

(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 面积S=12

|OA|·ρB ·sin ∠AOB =4cos α·|sin (α-π3)|=2|sin (2α-π3

)-√3

2

|≤2+√3.

当α=-π12

时,S 取得最大值2+√3. 所以△OAB 面积的最大值为2+√3.

4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2

+y 2

=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(2)直线l 的参数方程是{x =tcosα,

y =tsinα(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率. 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2

+12ρcos θ+11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)

设A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2

+12ρcos α+11=0. 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.(6分)

|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=√144cos 2α-44.(8分) 由|AB|=√10得cos 2

α=38

,tan α=±√15

3

.(9分)

所以l 的斜率为

√15

3

或-

√15

3

.(10分)

5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2

+(y-2)2

=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4

(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N,求△C 2MN 的面积.

解析 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2

-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)

(2)将θ=π4

代入ρ2

-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2

-3√2ρ+4=0,解得ρ1=2√2,ρ2=√2.故ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2. 由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12

.(10分)

教师用书专用(6—21)

6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是{x =t +1,

y =t -3(t 为参数),圆C 的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )

A.√14

B.2√14

C.√2

D.2√2

答案 D

7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ=

1

cosθ+sinθ,0≤θ≤π2

B.ρ=

1

cosθ+sinθ,0≤θ≤π4

C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π

2

D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π

4

答案 A

8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2

B.θ=π2

(ρ∈R)和ρcos θ=2