人教版高中数学必修3讲义 第3章章末综合测评3

章末分层突破

[自我校对]

①P(A)＋P(B)

②P(A)＋P(B)＝1

③A包含的基本事件的个数基本事件的总数

随机事件的概率

1.

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然

事件，简称必然事件．

(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．

(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．

(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．

(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

2．对于概率的定义应注意以下几点

(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．

(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．

(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．

(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．

(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.

对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a 50100200300400500

次品件数b 345589

次品频率b a

(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？

(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？

【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．

【规范解答】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017, 0.02,0.018.

(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.

(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，

所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．

[再练一题]

1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n 102050100200500

击中靶心

8194492178455 次数m

(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？

(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

【解】(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.

(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．

(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．

(4)不一定．

互斥事件与对立事件

1.

(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．

(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A ∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠

∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．

(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法

(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．

(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．

3．对立事件概率的求法

P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．

4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．

甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

【精彩点拨】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．

【规范解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.

总的事件数为20.

“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，

(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；

“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．

(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，

故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310

＝35.

(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有

一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.

[再练一题]

2．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.

(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

【解】 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为Ak (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.

(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前

被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －)＝1－P (A )＝1－

0.95＝0.05.

古典概型与几何概型

在高考