固体光学

r
(
)
1
1
2
0
c
r (')d' 1 (' / )2
(2.49)
对于多个吸收峰的情况，设每个吸收峰的平均波长为λj， 它们对光学响应的贡献可以看成σr(λj)积分强度的加权
求和，于是上述积分化为
r () 1
i
Aj 2 2 2j
A j
1
2 0c
r (')d'
(2.50)
(2.50)式也叫做四参量 [ j , , Aj , r ()] 公式 。
0
i ( ) 1 F (t' ) sin t' dt'
(2.39b)
0
式(2.38)的傅里叶反变换为
F(t)
1
[ () 1]exp(it)d
2
(2.40)
讨论：
1. 若t < 0 ，则(2.40)式积分域在 ω 上半复平面，结果等于零。
2. 若t > 0，函数ε（ω）-1在ω的下半复平面有奇异点，积分
P f (x) dx P x[ f (x) f (x)] a[ f (x) f (x)]dx
xa
x2 a2
0
最后得到极化率和电介函数KK关系
r
( )
r
(
)
1
Tr
( )
2
P
0
' '2
i (')ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
d '
i
()
i
(
)
Ti
()
2
P
0
[i (') '2
1]
2
d
'
利用光电导谱σr(ω)代替εi(ω)谱更为方便，由
(2.44)
其中科西积分的主值定义为
' 0
P f (' )d' f (')d' f (')d
' 0
(2.44)
将 () 1 T（） Tr () iTi () ，有
Tr
( )
1
PTi ( ' ) '
d '
Ti ( )
1
PTr ( ' ) '
d '
(2.45)
利用 T（）的奇偶性以及积分换域公式，
对于长波区，可进一步简化为
r (0) 1
Ai
i
(2.51)
对NaCl晶体，在可见光区有4个吸收峰，每个吸收峰的波长
λj与吸收强度Aj分别为
λj 0.0347 0.1085 0.1584 61.67(μm) Aj 0.052 1.005 0.271 3.535
利用公式(2.51)可以得到静态介电常数ε(0)=5.86，
不等于零。
2.4.2 极化率和介电系数的KK变换 定义复变函数
f
( ' )
T ( ' ) '
根据复变函数理论可得
T () 1 f (' )d' 2i c
(2.41) （2.42）
采取如图2.11所示的积分线路，容易得到
T () 1 f (')d' 1 f (')d'
2i c
2j c
1 P f (')d' i
(2.52)
其中函数ωT（ω）在上半复平面包括实轴是解析的，而且当
时收敛，因此可以对其直接使用KK公式，得
r
( )
1
r
( )
1
r
p ' i ( ' )d '
2
P
'
i
(
'
)
d
'
0 '2 2
i ()
i ()
1
r
' i ( ') '
上式的意思是
P (t )
与
t
时刻之前所有的 E(t)
有关。
一般地说，一个广义作用力 F (, t)引起的广义位移
X ()
，
由以下运动方程决定
X (t) T ()F (, t)
(2.30)
我们来讨论线性响应函数T(ω)的性质。
广义作用力 F (, t) 和广义位移 X () 可以表示为
X (, t)
X
exp(it)
F (, t) F exp(it)
(2.31)
由式(2.30)得过且过 X T ( )F
(2.32)
T（）叫做响应函数。对于一个线性无源系统，根据Lorentz理
论，T(ω)可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加
T ()
fi
2 j
2
i
j
(2.33)
响应函数有如下性质； ①解析性，引进ω的复平面ω = ωr + iωi，则上响应
T*(-ω)=T(ω)
(2.35)
对于实的ω， T（）的实部Tr(ω)是偶函数，其虚部
Ti(ω)是奇函数。 为了说明上述因果关系，引入δ函数形式的作用场，
一个δ函数形式的作用场引起的极化可以表示为
P(t) 0 F(t') (t t')dt' F(t)
0
(2.36)
化，F(对t) 于是任δ函意数形形式式的作作用用场场，E也t 就，是例单如位简作谐用形场式引的起作的用极场，
E(t) E0 exp(it) 引起的极化可以表示为
P(t) 0 F(t')E(t t')dt'
0
0E0 exp(it) F(t') exp(it')at'
0
由 P(t) 0 ( 1) Et 得
() 1 F (t') exp(it')dt'
0
(2.37) (2.38)
r ( ) 1 F (t' ) cost' dt' (2.39a)
P(t) ，E(t)的傅里叶(Fourier)成分 P() ，E() ，具有相同的光
学响应规律。令P (t )
表示在主轴方向的极化分量,
它是时间的
函数，E(t)表示与P(t) 相同方向上 E(t)的分量 ，上述因果关
系可以表示为
P(t) 0 F (t' )E(t t' )dt' 0
(2.29)
函数在上半复平面是解析的，极点在下半复平面，即
r
2 j
j
2
2
i
j
2
(2.34)
②收敛性，当时， T（）/ ω一致地趋近于0， 因此，T（）/ ω沿着ω的上半复平面的一个无限半圆上的
积分为零。
③奇偶性，由于T（）在时间和空间上的均匀性，不显含 t
和 r (或波矢κ)，它仅仅是频率的函数。可以证明
用其它实验方法测量得ε(0)=5.90。
对于金属中自由电子，固有频率ω0=0,公式(2.47)需要加以
修正。因为当ω0=0时，响应函数 T（）在ω=0时，响应函数
T（）在ω= 0处有奇点。要解决此问题，可定义一个新函数
f (' ) 'T ( ' ) 'r
T ( ' ) Ne 2 / m 0 '2 i
εi(ω)=σr(ω)ε0ω得
r ()
1
2
0
P
0
r (')d '2 2
'
(2.46) (2.47)
(2.48)
ε (ω) εr(ω) r
图2.12 （a）Te（碲）晶体的光电导谱 ,(b)虚线为计算的εr(ω) 谱，实线为测得的εr(ω) 谱
Te（碲）晶体的光电导谱如图2.12(a)所示，由(2.48)式表示 的KK关系，计算出εr(ω)谱以虚线示于图2.12(b)，同时给 出实验曲线。用波长代替频率，式(2.8)变为