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2019南通市二模数学试题及答案

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【2019南通二模】江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷(解析版)

【2019南通二模】江苏省南通市2019届高三第二次调研数学试卷(解析版)

2019届江苏南通高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】23． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()0αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 2．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．3．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。

【详解】()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

江苏省南通市南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研数学试题(解析版)

江苏省南通市南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研数学试题(解析版)

南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.若复数为纯虚数，则实数的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先化简复数z,再根据纯虚数的定义求实数a的值.【详解】由题得=，因为复数z是纯虚数，所以故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的除法运算和纯虚数的概念，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.从1,3,5,7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为_____________.【答案】【解析】试题分析：利用枚举法可知：从这五个数中任取两个数共有10种基本事件，其中和为奇数包含6种基本事件，故概率为考点：古典概型概率3.设且集合若则______.【答案】【解析】【分析】由题得=，=-1，解之即得a,b的值，即得a+b的值.【详解】因为A B，所以=，=-1，所以b=-2,a=。

故答案为：【点睛】本题主要考查集合的关系，考查对数指数方程的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】解不等式>0即得函数的定义域.【详解】由题得>0,所以.所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5.若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________.【答案】8【解析】【分析】先求出双曲线的右焦点，即得抛物线的焦点，再求出p的值.【详解】由题得双曲线的右焦点为（4,0），所以抛物线的焦点为（4,0），所以故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为_____________.【答案】【解析】【分析】先求出函数g(x)的解析式，再求函数在区间[0，]上的值域.【详解】由题得y=g（x）=,因为，所以.所以函数y=g(x)的值域为.故答案为：【点睛】本题主要考查图像的变换，考查利用三角函数的图像和性质求三角函数在区间上的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.已知实数满足则的最大值为_____________.【答案】7【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求出z＝2x＋y的最大值.【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，联立得A(2,3),由题得y=-2x+z,当直线经过点A(2,3)时，直线的纵截距z最大，此时z最大=2×2+3=7，所以z=2x+y的最大值为7.故答案为：7【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.8.在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_______________.【答案】【解析】【分析】先根据已知的条件求出等比数列的的值，再求数列的前10项和的值.【详解】由题得所以数列的前10项和为.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项和等差中项的运用，考查等比数列的前n项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.设椭圆的左顶点为上顶点为且椭圆的离心率为则过椭圆的右焦点且与直线平行的直线的方程为______________.【答案】【解析】【分析】先根据已知条件求出椭圆的标准方程，再求出椭圆的右焦点的坐标和直线AB的斜率，再写出直线l的方程. 【详解】由题得所以椭圆的右焦点坐标为，由题得直线AB的斜率为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和椭圆的方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.已知函数，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+∞）上的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】由题得f(-x)=,所以函数f(x)是奇函数.设x＞0，则，所以上恒成立，所以函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，所以,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.在平面四边形中，若为的中点，则______.【答案】-5【解析】【分析】由题意结合平面向量的四则运算和平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，，故.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．12.已知函数若函数存在5个零点，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】先作出函数y=2f(x)的图像，再令=0，则存在5个零点，再作函数y=的图像，数形结合分析得到a的取值范围.【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.所以实数a的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像.13.在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】先求出BC中点D的轨迹方程，再化简得到利用向量的坐标化简得利用数形结合分析得到m的取值范围.【详解】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查向量的坐标运算，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先根据，，成等差数列求出再求出再得到，最后利用基本不等式求其最小值.【详解】由题得,所以,所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且（1）求证：平面平面（2）求证：∥平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2)取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．【详解】(1)证明：因为为棱的中点，且，所以，因为是直三棱柱，所以，因为，所以，又因为，且，所以，因为，所以平面.(2)取的中点，连接和，因为为棱的中点，所以，且，因为是棱柱，所以，因为为棱的中点，所以，且，所以，且，所以是平行四边形，所以，又因为，所以.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.16.在中，已知（1）求内角的大小（2）若求的值.【答案】（1）；（2）。

2019年江苏省南通市通州区中考数学二模试卷解析版

2019年江苏省南通市通州区中考数学二模试卷解析版

2019年江苏省南通市通州区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.绝对值小于4的所有整数的和是（）A. 4B. 8C. 0D. 12.地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A. 2B. 3C. 5D. 116.对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（）A、这组数据的平均数是84；B、这组数据的众数是85；C、这组数据的中位数是84；D、这组数据的方差是36．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为（）A. B. C. D.8.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是（）A. 沙漠B. 体温C. 时间D. 骆驼9.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如上右图那样折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）A. B. C. D.10.明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（）A. 12分B. 10分C. 16分D. 14分11.在数轴上表示不等式x-1＜0的解集，正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）12.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度．13.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是______．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=4∠BCD，E是AB的中点，∠ECD是______度．15.将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可以得7条折痕，连续对折5次后，可以得到______条折痕．16.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n-1）张纸条的面积和是______cm2．17.如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______．18.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标______；（2）在y轴上找点D，使得AD+BD最小，作出点D并写出点D的坐标______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简，再求值：（1）-+x，并将你喜欢的值代入计算（2），其中a=，b=．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.设x、y是有理数，且x，y满足等式x2+2y+y=17-4，求x-y的值．21.为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？22.某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）a=______，b=______；（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约______人；（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A，B，C）和2位女同学（D，E），现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．23.如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．24.如图，已知斜坡AB长为80米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为45°，求平台DE 的长；（结果保留根号）（2）一座建筑物GH 距离A 处36米远（即AG 为36米），小明在D 处测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，求建筑物GH 的高度．（结果保留根号）25. （1）如图1，AD 、BC 相交于点O ，OA =OC ，∠OBD =∠ODB ．求证：AB =CD ．（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，OA =1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若OD = ，求∠BAC 的度数．26. 某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴（）分别求1和2的函数解析式；（2）有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？27. 设抛物线y =mx 2-2mx +3（m ≠0）与x 轴交于点A （a ，0）和B （b ，0）．（1）若a =-1，求m ，b 的值；（2）若2m+n =3，求证：抛物线的顶点在直线y =mx +n 上；（3）抛物线上有两点P （x 1，p ）和Q （x 2，q ），若x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，试比较p 与q 的大小． 28. 如图，抛物线经过A （-1，0），B （3，0），C （0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA +PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：绝对值小于4的所有整数有：-3、-2、-1、0、1、2、3，它们的和是：（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3=0．故选：C．首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值小于4的所有整数有哪些；然后把它们相加即可．此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.【答案】B【解析】解：510000000=5.1×108，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.【答案】A【解析】解：A．-x3+3x3=（-1+3）x3=2x3，所以此选项正确；B．x+x=2x，所以此选项错误；C．x3与2x5不是同类项，所以不能合并，所以此选项错误；D．x5与x4不是同类项，所以不能合并，所以此选项错误；故选：A．根据合并同类项的法则逐项运算即可．本题主要考查了合并同类项的运算法则，注意“同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．”是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：设第三边长为x，由题意得：7-3＜x＜7+3，则4＜x＜10，故选：C．根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：由平均数公式可得这组数据的平均数为84；在这组数据中83出现了2次，85出现了2次，其他数据均出现了1次，所以众数是83和85；将这组数据从小到大排列为：80、83、83、84、85、85、88，可得其中位数是84；其方差S2=[（80-84）2+（88-84）2+（85-84）2+（85-84）2+（83-84）2+（83-84）2+（84-84）2]=；所以②、④错误．故选：B．本题考查了统计中的平均数、众数、中位数与方差的计算．解题的关键是掌握计算公式或方法．注意：众数是指出现次数最多的数，在一组数据中有时出现次数最多的会有多个，所以其众数也会有多个．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．7.【答案】B【解析】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．注意理解直径和弦之间的关系．8.【答案】B【解析】解：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间，因变量是体温，故选：B．因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间，因变量是体温．考查了函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．9.【答案】A【解析】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，在Rt△BCE中（BE）2=（BC）2+（CE）2，即x2=62+（8-x）2，解得，x=，∴BE=x=．故选：A．根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度．本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．10.【答案】D【解析】解：根据函数图象可得：明明骑自行车去上学时，上坡路为1千米，速度为1÷6=千米/分，下坡路程为3-1=2千米，速度为2÷（10-6）=千米/分，放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为千米/分，下坡路程为1千米，速度为千米/分，因此走这段路所用的时间为2÷+1÷=14分．故选：D．应先求出上坡速度和下坡速度，注意往返路程上下坡路程的转化．本题考查利用函数的图象解决实际问题．11.【答案】B【解析】解：x-1＜0，∴x＜1，在数轴上表示不等式的解集为：，故选：B．求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．12.【答案】360【解析】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为：360°．根据多边形的外角和等于360°解答即可．本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．13.【答案】36【解析】解：当3为等腰三角形的腰时，将x=3代入原方程得9-12×3+k=0，解得：k=27，此时原方程为x2-12x+27=0，即（x-3）（x-9）=0，解得：x1=3，x2=9，∵3+3=6＜9，∴3不能为等腰三角形的腰；当3为等腰三角形的底时，方程x2-12x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（-12）2-4k=144-4k=0，解得：k=36，此时x1=x2=-=6，∵3、6、6可以围成等腰三角形，∴k=36．故答案为：36．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将x=3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△=144-4k=0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．本题考查了根与系数的关系、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．14.【答案】54【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=4∠BCD，∴∠BCD=90°×=18°，∠ACD=90°×=72°，∵CD⊥AB，∴∠B=90°-18°=72°，∵E是AB的中点，∠ACB=90°，∴CE=BE，∴∠BCE=∠B=72°，∴∠ECD=∠BCE-∠BCD=72°-18°=54°．故答案是：54．先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，根据等边对等角可得∠BCE=∠B，再求出∠ECD．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．15.【答案】31【解析】解：根据题意得：25-1=32-1=31，则连续对折5次后，可以得到31条折痕，故答案为：31根据题意归纳总结得到连续对折n次后，可以得到2n-1条折痕，计算即可得到结果．此题考查了有理数的乘方，弄清折痕的规律是解本题的关键．16.【答案】【解析】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25，∵CD•AB=AC•BC ， ∴CD=12，∵斜边上的高CD 分成n 等分，∴CH=，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴=，即=，解得EF=•25， 即从上往下数，第1个矩形的长为•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为•25，…从上往下数，第（n-1）个矩形的长为•25，而所有矩形的宽都为•12，∴这（n-1）张纸条的面积和是=[•25+•25+…+•25]••12=（1+2+…+n -1）••12=（cm 2）．故答案为．先利用勾股定理计算出AB=25，再利用面积法计算出CD=12，接着证明△CEF ∽△CAB ，则可计算出EF=•25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为•25，…，从上往下数，第（n-1）个矩形的长为•25，且所有矩形的宽的和为•12，然后把所有矩形的面积相加即可．本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似三角形的性质求解．17.【答案】8【解析】解：∵点A 、B 是双曲线y=上的点，∴S 矩形ACOG =S 矩形BEOF =6， ∵S 阴影DGOF =2，∴S 矩形ACDF +S 矩形BDGE =6+6-2-2=8，故答案为：8由A ，B 为双曲线上的两点，利用反比例系数k 的几何意义，求出矩形ACOG 与矩形BEOF 面积，再由阴影DGOF 面积求出空白面积之和即可．此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义是解本题的关键．18.【答案】（3，-2） （0，2）【解析】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，由图知点C 1的坐标（3，-2）， 故答案为：（3，-2）；（2）如图所示，点D 即为所求，点D 的坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）．（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作点B 关于y 轴的对称点B′，连接AB′，与y 轴的交点即为所求．本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及轴对称-最短路线问题．19.【答案】解：（1）原式=3 - + =， 当x =4时，原式=7； （2）原式=÷=• =- ，当a =1+ ，b =1- 时，原式=- =-．【解析】（1）原式化简后，合并同类二次根式得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值； （2）原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：∵x 、y 是有理数，且x ，y 满足等式x 2+2y + y =17-4 ，∴ ，解得，或，∴当x =5，y =-4时，x -y =5-（-4）=9，当x =-5，y =-4时，原式=-5-（-4）=-1． 【解析】根据题意可以求得x 、y 的值，从而可以求得x-y 的值．本题考查实数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的x 、y 的值． 21.【答案】解：（1）80÷40%=200（人）． ∴此次共调查200人． （2）×360°=108°． ∴文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为108°． （3）补全如图，（4）1500×40%=600（人）． ∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人． 【解析】（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数．（2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题． （3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图． （4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．此题主要考查了条形图与统计表以及扇形图的综合应用，由条形图与扇形图结合得出调查的总人数是解决问题的关键，学会用样本估计总体的思想，属于中考常考题型． 22.【答案】16 17.5 90【解析】解：（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%， ∴b=17.5，故答案为：16，17.5；（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人）， 故答案为：90；（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况， ∴则P （恰好选到一男一女）==．（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解； （2）利用总数乘以对应的百分比即可求解； （3）利用列举法，根据概率公式即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23.【答案】证明：连接BD ，AF ，BE ，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BD ，又ED ∥FB ，∴四边形EDBF 是平行四边形，DE =BF ， ∵E 为AD 的中点， ∴AE =ED ，∴AE =BF ， 又AE ∥BF ，∴四边形AEBF 为平行四边形， 即AB与EF 互相平分． 【解析】由菱形的性质可证AC⊥BD，又已知EF⊥AC，所以AG=BG，GE=BD，AD∥BC，可证四边形EDBF为平行四边形，可证GE=GF，即证结论．本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的性质，同时综合利用平行四边形的判定方法及中位线的性质．24.【答案】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°，∴∠BEF=45°，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，∴BF=EF=BD=20，DF=，∴DE=DF-EF=20-20，∴平台DE的长为（20-20）米；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×40=20，PA=AD•cos30°=20，在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20+36．在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=（20+36）×=20+12，则GH=HM+MG=20+12+20=40+12．答：建筑物GH高为（40+12）米．【解析】（1）根据题意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，进而得出EF的长，即可得出答案；（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及仰角俯角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．25.【答案】（1）证明：∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD，在△AOB与△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB=CD；（2）解：连接OC，如图所示：∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∵OA=OC，OA=1，∴OC=1，∴CD===1，∴CD=OC，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠COB=45°，∴∠BAC=∠COB=22.5°．【解析】（1）由∠OBD=∠ODB，得出OB=OD，再由SAS证得△AOB≌△COD，即可得出结论；（2）连接OC，由CD与⊙O相切，得出OC⊥CD，求出CD=1，得出△OCD为等腰直角三角形，推出∠COD=45°，即可得出结果．本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质与圆周角定理是解决问题的关键．26.【答案】解：（1）设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：y1=kx，购买Ⅱ型设备补贴的金额的解析式为y2=ax2+bx，由题意，得：2=5k，或，解得：k=，，∴y1的解析式为：y1=x，y2的函数解析式为：y2=-x2+x．（2）设投资Ⅱ型设备a万元，Ⅰ型设备（10-a）万元，补贴金额为W万元：所以W=y1+y2=（10-a）+（-a2+a）=-（a-）2+所以当a=3或4时，W的最大值=，所以投资Ⅰ型设备7万元，Ⅱ型设备3万元；或投资Ⅰ型设备6万元，Ⅱ型设备4万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为万元．【解析】（1）利用待定系数法直接就可以求出y1与y2的解析式．（2）设总补贴金额为W万元，购买Ⅱ型设备a万元，购买Ⅰ型设备（10-a）万元，建立等式就可以求出其值．本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用．在求解析式中，待定系数法时常用的方法．二次函数的一般式化顶点式是求最值的常用方法．27.【答案】解：（1）当a=-1时，把（-1，0）代入y=mx2-2mx+3，∴解得m=-1，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，令y=0代入y=-x2+2x+3，∴x=-1或x=3，∴b=3，（2）抛物线的对称轴为：x=1，把x=1代入y=mx2-2mx+3，∴y=3-m∴抛物线的顶点坐标为（1，3-m），把x=1代入y=mx+n，∴y=m+n=m+3-2m=3-m∴顶点坐标在直线y=mx+n上，（3）由题意可知：抛物线的对称轴为：x=1，△=4m2-12m＞0，∴解得：m＜0或m＞3，∵x1+x2＞2，∴x2-1＞1-x1，∵x1＜1＜x2，∴|x2-1|＞|x1-1|，∴P离对称轴较近，当m＞3时，p＜q，当m＜0时，p＞q，【解析】（1）把（-1，0）代入抛物线的解析式即可求出m的值，令y=0代入抛物线的解析式即可求出点B 的坐标．（2）易求抛物线的顶点坐标为（1，3-m），把x=1代入y=mx+n中，判断y是否等于1-3m即可．（3）根据x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，可知P离对称轴较近，然后根据开口方向即可求出p与q的大小关系．本题考查抛物线的综合问题，待定系数法求解析式，抛物线的对称轴方程，抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．28.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴ ，解得．∴抛物线的解析式为：．（2）∵抛物线的解析式为，∴其对称轴为直线：．连接BC，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，），∴ 解得．∴直线BC的解析式为．当x=1时，．∴P（1，1）；（3）存在．如图2所示．①当点N在x轴上方时，∵抛物线的对称轴为直线x=1，C（0，），∴N1（2，）；②当点N在x轴下方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，∴△AN2D≌△M2CO．∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2+x+=．解得x=或x=，∴N2（，），N3（，）．综上所述，点N的坐标为（2，），（，），（，）．【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（3，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．第11页，共11页。

江苏省南通市2019-2020学年九年级数学中考二模试卷(含答案)

江苏省南通市2019-2020学年九年级数学中考二模试卷(含答案)

江苏省南通市2019-2020学年九年级数学中考二模试卷（含答案）一、单选题1.﹣2的绝对值是（）A.﹣2B.C.±2D.2【答案】 D【考点】绝对值及有理数的绝对值2.预计2019年建成通车的沪通长江大桥全长约11100米，将11100用科学记数法表示为（）A.1.11×105B.1.11×104C.0.111×106D.11.1×103【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数3.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】轴对称图形4.下列计算正确的是（）A. a2+a2＝a4B. a5÷a2＝a3C. a3•a2＝a6D. （﹣a3）2＝﹣a6【答案】B【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方5.若一个三角形的两边长分别为4和6，则第三边长可能是（）A. 12B. 10C. 8D. 2【答案】C【考点】三角形三边关系6.一组数据2，4，x，6，8的众数为8，则这组数据的中位数为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【考点】中位数，众数7.若将半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm【答案】A【考点】圆的认识，圆锥的计算8.在平面直角坐标系中，已知点M（2，3），N（﹣1，﹣3），P（1，2），Q（﹣2，3），其中不可能与点A（2，﹣3）在同一函数图象上的一个点是（）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q【答案】A【考点】函数的概念9.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】 D【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质10.已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+6相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D（a，a+1）落在△ABC内部（不含边界），则a的取值范围是（）A.﹣3＜a＜2B.C.D.﹣2＜a＜2【答案】B【考点】坐标与图形性质，一次函数的性质二、填空题11.不等式x﹣1≥2的解集是________．【答案】x≥3【考点】解一元一次不等式12.五边形的内角和是________°．【答案】540°【考点】多边形内角与外角13.若关于x的方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝________．【答案】16【考点】一元二次方程根的判别式及应用14.如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝35°，则∠2＝________度．【答案】55【考点】垂线，平行线的性质15.计算：40352﹣4×2017×2018＝________．【答案】1【考点】含乘方的有理数混合运算16.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为________尺．【答案】57.5【考点】相似三角形的应用17.如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x 轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积为2，则k的值为________．【答案】6【考点】反比例函数系数k的几何意义18.如图，正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为________．【答案】2 +4【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题三、解答题19.（1）计算×cos45°﹣（）﹣1+20180；（2）解方程组【答案】（1）原式＝3 -3+1＝3﹣3+1＝1；（2）①+②×3，得：10x＝20，解得：x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为．【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，解二元一次方程，特殊角的三角函数值20.已知代数式．（1）化简这个代数式；（2）“当x＝0时，该代数式的值为”，这个说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）原式＝[ ]•=＝= ；（2）不正确，∵当x＝0时，代数式，中的分母x2﹣2x，x都等于0，该代数式无意义，∴所以这个说法不正确．【考点】利用分式运算化简求值21.某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果为“A非常了解”、“B了解”、“C基本了解”三个等级，并根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的人数为________；（2）补全条形统计图；（3）若该市约有市民100万人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度．【答案】（1）500（2）选择A的学生有：500﹣280﹣60＝160（人），补全的条形统计图，如图所示；（3）100× ＝32（万人），答：该市大约有32万人对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度．【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图22.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．（1）若先从袋中取出x（x＞0）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，若A为必然事件，则x的值为________；（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，用画树状图或列表法求这个事件的概率．【答案】（1）3（2）解：3个红球记为A1，A2，A3，2个黑球记为B1，B2．画树状图得：∵共有20种等可能的结果，从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的有12种情况，∴从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的概率为＝．【考点】随机事件，列表法与树状图法23.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴BE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质24.如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度（结果保留整数，≈1.72）．【答案】作AD⊥CB交CB所在直线于点D，由题知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，所以CD＝AD＝120 m，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，tan60°＝＝，所以BD＝＝40 ，所以BC＝CD﹣BD＝120﹣40 ≈120﹣69.2≈51（m），答：大桥BC的长度约为51m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题25.如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8．AD和过点B的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠BAD+∠C＝90°；（2）求线段AD的长．【答案】（1）连接BO延长交⊙O于E，连接AE，∵DB为⊙O的切线，∴EB⊥BD，∵AD⊥BD，∴AD∥BE，∴∠BAD＝∠EBA，∵BE为直径，∴∠EBA+∠E＝90°，由圆周角定理得，∠E＝∠C，∴∠BAD+∠C＝90°；（2）∵⊙O的半径为5，∴BE＝10．∵∠BAD＝∠EBA，∠D＝∠BAE，∴△ABE∽△DAB，∴，∵AB＝8，BE＝10，∴AD＝6.4，∴线段AD的长度为6.4．【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质26.A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B 两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；（2）当y A=y B时，求x的值；（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？【答案】（1）解：根据题意可得：y A=16（1﹣x）2，y B=12（1﹣x）（1+2x）（2）解：由题意得16（1﹣x）2=12（1﹣x）（1+2x）解得：x1= ，x2=1．∵0＜x＜1，∴x=（3）解：当0＜x＜时，y A＞y B，y A﹣y B=16（1﹣x）2﹣12（1﹣x）（1+2x）=40（x﹣）2﹣，∵x＜时，y A﹣y B的值随x的增大而减小，且0＜x＜，∴当x=0时，y A﹣y B取得最大值，最大值为4；当＜x＜1时，y B＞y A，y B﹣y A=12（1﹣x）（1+2x）﹣16（1﹣x）2=4（1﹣x）（10x﹣1）=40（x﹣）2+ ，∵﹣40＜0，＜x＜1，∴当x= 时，y B﹣y A取最大值，最大值为8.1．∵8.1＞4∴当x= 时，三月份A、B两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用27.已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．（1）求k的值；（2）设抛物线与直线y＝﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n＝x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3＝﹣（x﹣k）2+k+3，∵顶点纵坐标为4，∴k+3＝4，∴k＝1；（2）∵k＝1，∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，由题意，方程-x2+2x+3=- (x-3)的两实数根分别为x1，x2，整理得，，∴x1+x2= +2，∵n＝x1+x2﹣2，∴n= +2-2= ，即动点M（m，n）所形成的曲线为y= ，∵A（1，a），B（b，）两点在该曲线上，∴A（1，1），B（2，），设直线AB解析式为y＝k'x+b'，把A（1，1），B（2，）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+ ；（3）如图，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+ ，A（1，1），∴点D（3，0）在直线AB上，取点E（2，3），则AE＝AD＝，ED＝，∴AE2+AD2＝ED2，∴∠EAD＝90°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝45°，∵设直线DE解析式为y＝k″x+b″，把D（3，0），E（2，3）代入得，，解得，∴直线ED的解析式为y＝﹣3x+9，由，解得或，∵D（3，0），∴C（2，3）．【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质28.如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．（1）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；（2）如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ＝2BQ；（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C 在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD＝BD＝BC，又∵∠B＝60°，∴∠BDC＝60°，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥AC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∴∠ADE＝∠BDC，∴点D为C，E在直线AB上的投射点；（2）如图③，作法：①在格点上取点G，H，连接HG交BC于Q，（理由：△BQG∽△HQC）②作点A关于BC的对称点A'，连接A'Q并延长交AC于P，（∠AQB＝∠A'QB＝∠PQC）即：点P就是所求作的点；（3）存在，如图④，作点C关于AB的对称点C′，连接BC'，AC'，则四边形ACBC′为正方形，作点A关于BC的对称点A′，连接A'C'交AB于D，交BC于E，即：点D，E是所求作的点，∴C′，D，E，A在同一直线上，CA′＝CA＝C′A＝C′B＝BC，CD＝C′D，∴△C′BE≌△A′CE，∴BE＝BC＝C′A，∵AC′∥BC，∴△BDE∽△ADC′，∴，∴．【考点】正方形的判定与性质，利用轴对称设计图案，轴对称的应用-最短距离问题。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析

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江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.5．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可.故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.6．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 8．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系. 9．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．10．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>，故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.11．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，由20x a -->得2x a <-或2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年江苏省南通市海门市中考数学二模试卷含解析

2019年江苏省南通市海门市中考数学二模试卷含解析

2019年江苏省南通市海门市中考数学二模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）计算﹣a2+3a2的结果为（）A．﹣2a2B．2a2C．4a2D．﹣4a23．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤34．（3分）下列四个几何体，其中主视图与如图相同的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°6．（3分）下面的四个图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．17．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（3分）已知，关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2 9．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE ∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF 的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．（3分）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，AB＝25，CD＝17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0＜α＜90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.000002米，将数字0.000002用科学记数法表示．12．（3分）分解因式：ab3﹣4ab＝．13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．14．（3分）若a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，则的值为．15．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是．16．（3分）若实数x、y满足x2+xy+y2﹣3y+3＝0，则y的值为．17．（3分）如图，将边长为2m的正六边形铁丝框ABCDEF変形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积．18．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称点M为PQ的等高点”，称此时MP+MQ的值为PQ的“等高距离”．已知P（1，2），Q（3，4），当PQ的“等高距离”最小时，则点M的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：（﹣1）2017++（cos30°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解分式方程：﹣＝120．（8分）如图，1为水平地面，测角仪高1米，将测角仪放置在点D处，且垂直于地面1，测得仰角∠ACG＝45°，将测角仪平移至EF处，测得仰角∠AEG＝60°，已知DF＝3米，求树AB的高度．21．（8分）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2x≤时，请直接写出x的取值范围．22．（8分）某初中学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调査的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题（1）参加调査的学生共有人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形圆心角为度；（2）将条形图补充完整；（3）若该校有2300名学生，则估计喜欢“足球”的学生共有人．23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣3、2、3，它们除了数字不同外，其它都完全相同（1）若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为k的值，再把此小球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为b的值，请用树状图或列表格写出k、b的所有可能的值，并求出直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．求证：（1）DE＝FE；（2）四边形ADCF是菱形．25．如图，AB为⊙O的直径，O过AC的中点D，DE为⊙O的切线，E在BC上．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝m，tan C＝，请你写出求AB长的解题思路．26．（11分）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？27．（13分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．（1）求∠ABP的度数；（2）求的值；（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出的值．28．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB．若对于平面内一点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQ≤AB，则称点P是线段AB的“卫星点”．（1）在点C（4，2），D（2，﹣），E（，2）中，线段AB的“卫星点”是点；（2）若点P1，P2是线段AB的“卫星点”（点P1在点P2的左侧），且P1P2＝1，P1P2∥x 轴，点F坐标为（0，2）．①若将△P1P2F的面积记为S，当S最大时，求点P1的坐标；②直线FP1的解析式y＝mx+2（m≠0），直线FP2的解析式y＝nx+2（n≠0），求的取值范围．2019年江苏省南通市海门市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（3分）计算﹣a2+3a2的结果为（）A．﹣2a2B．2a2C．4a2D．﹣4a2【分析】根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：原式＝（﹣1+3）a2＝2a2，故选：B．【点评】本题主要考查合并同类项的法则．系数相加作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．4．（3分）下列四个几何体，其中主视图与如图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．【解答】解：A、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，B、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，D、主视图是第一层两个小正方形，第二层两个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．5．（3分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．【解答】解：如图，∵∠2＝50°，∴∠3＝∠2＝40°，∴∠1＝90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．6．（3分）下面的四个图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．1【分析】任取一个图形共有4个结果，且每个结果出现的机会相同，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的只有1个，从而得出答案．【解答】解：四个图形中只有，所以从左到右分别代表“阴”、“扬沙”、“浮尘”和“霾”，从中任取一个图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，故选：A．【点评】本题主要考查了正确认识轴对称图形和中心对称图形以及理解列举法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，难度适中．7．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】解：由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第3的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选：C．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．8．（3分）已知，关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜3B．m≤3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2【分析】关于x的一元二次方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，再根据一元二次方程得出m﹣2≠0，求出m的取值范围．【解答】解：根据题意知△＝22﹣4（m﹣2）≥0，解得：m≤3，又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m≤3且m≠2，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．9．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE ∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF 的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的性质可得∠EDF＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F＝30°，然后证得△EDB是等边三角形，从而求得ED＝DB＝2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60°∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；∵∠EDB＝∠DEB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝DB＝2﹣x，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴EF＝ED＝（2﹣x）．∴y＝ED•EF＝（2﹣x）•（2﹣x），即y＝（x﹣2）2，（x＜2），故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．10．（3分）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，AB＝25，CD＝17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0＜α＜90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（）A．B．C．D．【分析】如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E，只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．如图3中，设AC＝x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据三角函数的定义即可解决问题．【解答】解：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠DBO+∠OGB＝90°，∵∠OGB＝∠AGE，∴∠CAO+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝90°，∴BD⊥AC，如图3中，设AC＝x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴x2+（x+17）2＝252，解得x＝7，∴BC＝＝24，∵∠ODC＝∠α+∠DBO＝45°，∠ABC+∠DBO＝45°，∴∠α＝∠ABC，∴tanα＝tan∠ABC＝＝．故选：C．【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.000002米，将数字0.000002用科学记数法表示2×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000002＝2×10﹣7．故答案是：2×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．（3分）分解因式：ab3﹣4ab＝ab（b+2）（b﹣2）．【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ab3﹣4ab，＝ab（b2﹣4），＝ab（b+2）（b﹣2）．故答案为：ab（b+2）（b﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（0，﹣3）．【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．【解答】解：∵点A（﹣2，3），∴B（0，3），∵点C与B关于x轴的对称，C（0，﹣3），故答案为（0，﹣3）【点评】本题考查了坐标平移与对称，熟练掌握平移与对称规律是解题的关键．14．（3分）若a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，则的值为．【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣1，ab＝﹣3，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．15．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故答案为：SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．16．（3分）若实数x、y满足x2+xy+y2﹣3y+3＝0，则y的值为2．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值．【解答】解：x2+xy+y2﹣3y+3＝0，x2+xy+y2+y2﹣3y+3＝0，（x+y）2+3（﹣1）2＝0，∴x+y＝0，﹣1＝0∴x＝﹣1，y＝2，故答案是：2．【点评】此题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．17．（3分）如图，将边长为2m的正六边形铁丝框ABCDEF変形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积8m2．【分析】由正六边形的性质得出的长＝8m，由扇形的面积＝弧长×半径，即可得出结果．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2m，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A＝2m，∴的长＝2×6﹣2﹣2═8（m），∴扇形AFB（阴影部分）的面积＝×8×2＝8（m2）．故答案为：8m2．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．18．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称点M为PQ的等高点”，称此时MP+MQ的值为PQ的“等高距离”．已知P（1，2），Q（3，4），当PQ的“等高距离”最小时，则点M的坐标为（4，1）或（0，5）．【分析】如图，由题意：点M在直线EF或直线E′F′上运动．作点P关于直线EF的对称点P′，连接QP′交直线EF于点M（4，1），此时PM+MQ的值最小，作点P关于直线E′F′的对称点P″，连接QP″交直线E′F′于点M′（0，5）．此时PM+MQ 的值最小．【解答】解：如图，由题意：点M在直线EF或直线E′F′上运动．作点P关于直线EF的对称点P′，连接QP′交直线EF于点M（4，1），此时PM+MQ 的值最小，作点P关于直线E′F′的对称点P″，连接QP″交直线E′F′于点M′（0，5）．此时PM+MQ的值最小，综上所述．满足条件的点M坐标为（4，1）或（0，5）．故答案为（4，1）或（0，5）．【点评】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：（﹣1）2017++（cos30°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解分式方程：﹣＝1【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算；（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：（1）原式＝﹣1+8+1+|﹣2×|＝8+||＝8+0＝8；（2）去分母，得（x+1）（x﹣3）﹣2（x+3）＝（x+3）（x﹣3）去括号，得x2﹣2x﹣3﹣2x﹣6＝x2﹣9，合并同类项，得﹣4x＝0，∴x＝0，经检验，x＝0是原分式方程的根，故原方程的解为x＝0．【点评】本题考查了实数的计算以及解分式方程，熟练掌握实数的运算法则与分式方程的解法是解题的关键．20．（8分）如图，1为水平地面，测角仪高1米，将测角仪放置在点D处，且垂直于地面1，测得仰角∠ACG＝45°，将测角仪平移至EF处，测得仰角∠AEG＝60°，已知DF＝3米，求树AB的高度．【分析】设EG＝x，分别用x表示出AG和CG的长，进而求出x的值即可．【解答】解：设EG＝x，由题意得，在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，∴AG＝x，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x，∵CE＝DF＝3米，∴x﹣x＝3，∴x＝，∴AG＝，∴AB＝，答：树AB的高度是米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义、掌握仰角俯角的概念是解题的关键，此题难度不大．21．（8分）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当﹣2x≤时，请直接写出x的取值范围．【分析】（1）将A坐标代入正比例函数y＝﹣2x求出m的值，将A（﹣2，4）代入反比例解析式求k的值，根据A、B关于O点对称即可确定出B坐标；（2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围即可．【解答】解：（1）将A（m，4）代入正比例函数y＝﹣2x得：4＝﹣2m，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，4），∵反比例函数y＝的图象经过A（﹣2，4），∴k＝﹣2×4＝﹣8，则反比例解析式为y＝﹣，∵A、B关于O点对称∴B（2，﹣4）；（2）由图象得：当﹣2x≤时，x的取值范围为﹣2≤x＜0或x≥2．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（8分）某初中学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调査的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题（1）参加调査的学生共有300人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形圆心角为36度；（2）将条形图补充完整；（3）若该校有2300名学生，则估计喜欢“足球”的学生共有690人．【分析】（1）参加调査的学生人数：60÷20%＝300（人），表示“其他球类”的扇形圆心角：＝36°；（2）足球人数：300﹣120﹣60﹣30＝90（人）；（3）估计喜欢“足球”的学生：2300×＝690（人）．【解答】解：（1）参加调査的学生人数：60÷20%＝300（人），表示“其他球类”的扇形圆心角：＝36°，故答案为300，36°；（2）足球人数：300﹣120﹣60﹣30＝90（人）条形图补充如下：（3）估计喜欢“足球”的学生：2300×＝690（人），故答案为690．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣3、2、3，它们除了数字不同外，其它都完全相同（1）若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为k的值，再把此小球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为b的值，请用树状图或列表格写出k、b的所有可能的值，并求出直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表或画树状图，列出k、b的所有可能的值，进而得到直线y＝kx+b不经过第四象限的概率．【解答】解：（1）摸出的球为标有数字2的小球的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中k、b均为正数的有4种可能性，所以直线y＝kx+b不经过第四象限的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．求证：（1）DE＝FE；（2）四边形ADCF是菱形．【分析】（1）由“AAS”可证△AED≌△CEF，可得DE＝EF；（2）由直角三角形的性质可得CD＝AD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF是平行四边形，即可证四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠DAC＝∠ACF，又∵AE＝EC，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（AAS），∴DE＝EF．（2）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD∵DE＝EF，AE＝EC∴四边形ADCF是平行四边形又∵AD＝CD∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．25．如图，AB为⊙O的直径，O过AC的中点D，DE为⊙O的切线，E在BC上．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝m，tan C＝，请你写出求AB长的解题思路．【分析】（1）证明：连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；（2）连结BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE＝2DE，在Rt△BDE中计算出BE＝DE，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．【解答】（1）证明：连接OD．∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵D为AC中点，O为AB中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE⊥BC；（2）思路：①连接BD，在Rt△CDE中，易求CE＝2m，②易证∠BDE＝∠C，在Rt△DBE中，求得BE＝m，所以BC＝m，③由（1）证得AB＝BC，从而求得AB＝m．解：连接DB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB⊥AC，∴∠CDB＝90°∵D为AC中点，∴AB＝BC，在Rt△DEC中，∵DE＝m，tan C＝，∴EC＝＝2m，由勾股定理得：DC＝m，在Rt△DCB中，BD＝DC•tan C＝m，由勾股定理得：BC＝m，∴AB＝BC＝m．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．26．（11分）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？【分析】（1）把y＝220代入y＝10x+100，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本P与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出m+1＝15，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可【解答】解：（1）若20x＝220，则x＝11，与0≤x≤5不符，∴10x+100＝220，解得，x＝12，故第12天生产了220顶帽子；（2）由图象得，当0≤x≤10时，P＝5.2；当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），把（10，5.2），（20，6.2）代入上式，得，解得，，∴P＝0.1x+4.2①0≤x≤5时，w＝y（8﹣P）＝20x（8﹣5.2）＝56x当x＝5时，w有最大值为w＝280（元）②5＜x≤10时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，当x＝10时，w有最大值，最大值为560（元）；③10＜x≤20时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）]＝﹣x2+28x+380当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）．综上，第14天时，利润最大，最大值为576元．（3）由（2）小题可知，m＝14，m+1＝15，设第15天提价a元，由题意得w＝y（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（0.1x+4.2）]＝250（2.3+a）∴250（2.3+a）﹣576≥49∴a≥0.2答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．27．（13分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．（1）求∠ABP的度数；（2）求的值；（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出的值．【分析】（1）证明PE＝2AE，推出∠APE＝30°即可解决问题．（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设EQ＝a，求出FQ即可解决问题．（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时△FCG∽△PDG，以PF为直径作圆交CD于G1，G2，此时△PDG1∽△FCG1，△PDG2∽△FCG2．①当点G与G2重合时，满足条件，易证FC＝CG，DG＝DP，设CF＝CG＝a，PD＝DG ＝b．构建方程求出a与b的关系即可解决问题．②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设CF＝m，PD＝n，构建方程求出m与n的关系即可解决问题．【解答】解：（1）∵AE＝AB，∴BE＝2AE，由翻折可知：BE＝PE，∴PE＝2AE，∠EB＝∠EPB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠APE＝30°，∴∠AEP＝60°，∵∠AEP＝∠EBP+∠EPB，∴∠EBP＝∠EPB＝30°，。

南通市2019届高三第二次调研数学试卷与答案(word)

南通市2019届高三第二次调研数学试卷与答案(word)

2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】4 2． 复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 【答案】253． 某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为 49，则该单位行政人员的人数为 ▲ ． 【答案】354. 从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 ▲ ． 【答案】235． 执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ▲ ．【答案】306.函数y 的定义域为 ▲ ．【答案】[2)+∞，7. 将函数2sin3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则π3f 的值为 ▲ ．【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 b 的值为 ▲ ． 【答案】29． 在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2 sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为 ▲ ．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为 ▲ m 2． 【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，， 则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为 ▲ ． 【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>( a ，b ，c ∈R ) 的解集为{ x | 3 < x < 4}，则25c a b++的最小值为 ▲ ．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3，-1），()16PO PA PB ⋅+=uu u r uu r uu r，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为 ▲ ．【答案】115， 14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的 最大值为 ▲ ． 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin()cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值； （2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=． …………………………………………………………………4分 因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=， 解得π6α=． ………………………………………………………6分 （2）因为π0α<<，所以02πα<<，又1tan 20α=-<，故π2πα<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos 27sin 20αα=-<， 又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos2αα=．……………………………………………………10分 因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+ …………………………12分ππsin 2cos cos2sin 66αα=+(12⋅． ……………………………………14分16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于 点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面ACC 1 A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分 又AB ⊂平面ABB 1 A 1，DE ⊄平面ABB 1 A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1． ………………………………………………………………6分 （2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．ABCA 1B 1C 1ED（第16题）又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1． ………………………………………8分 又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1 = B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1． ……………………………………………………………10分 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分 又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ． 又A 1B 1∩B 1C = B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分 17. (本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构 成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全 等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ， 梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为 何值时，总造价最低？【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ． …………2分 在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．①（第17题）②ABC DE F HMθ A BC DE F HMθ从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)． ………………………………6分（2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ． ……………8分 所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()-=f θθθ，π0θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2， 令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低． …………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为221y x +=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA，1PB，则3PA PB ==- ……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P x 从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --====--+所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根， 从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分（第18题）又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以220012y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分 列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． ………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立， 即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． …………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立 ，所以002x x =，又00x >，所以0x = ………………………………………………10分法二：变形得0022x x ++≥在()0+∞，上恒成立 ，因为2x x +=≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，， 记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t -'=--=-<， 所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=． 从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点． ……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ，且2340n n n S S T -+=，n *∈N ． （1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值． 【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =． 令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分 （2）因为2340n n n S S T -+=， ① 所以2111340n n n S S T +++-+=， ② ②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③ …………………………………5分 所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥， ④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-． 又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列． ……………………………8分 （3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立， 所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合． ……………10分 若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<， 所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12nn n ≤（*）， 从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符． ………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2nn λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12nn n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0． ………………………………………………………………16分 21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M . …………………………………………………5分 矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--， 解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t=+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．② …………………………………………………4分由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，， ……………………………………………8分 所以AB =10分 C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤． 【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥ ……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤， 所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分． 22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置． 【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP u u u r u u u r u u u r ，，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，u u r u u u r u u u r 设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uu u r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，， 不妨取1y =，则01x z ==，． 所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，． ………………………………………3分 （第22题）设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉=⋅n n nuu ruu ruu r， 即直线PB 与平面PCD．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，u u u r设PN PC λ=，u u u r u u u r 则()22PN λλλ=，，-，u u u r而(002)AP =，，，u u u r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--u u u r u u u r u u u r u u u r，，． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，， 因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuu r∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点． …………………………………………10分 23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++=．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=， 所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分 23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分 （2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立； ②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ，则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，． 令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…． 由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x -≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥， 所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。

2019江苏省南通市高三二模数学试卷含答案

2019江苏省南通市高三二模数学试卷含答案

南通市2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i z =（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，． 7． 若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲．（第5题）10y +=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ．【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分 所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=，亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分 （方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分 （方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，PABCDE （第16题）PABCDE（第16题）FM 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分 （2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c--=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分 因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中 释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之 和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分 当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分 （2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天，浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=y有最小值为4a -.令44a -≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x ya b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为曲线C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分（2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，， 解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=，即()()222182y x+=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分 （方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)． 解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+，所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k+==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． …………… 15分当k ＝0，S △AMB 1161=⨯=；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． …………… 16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OMk k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nSn S=，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立．故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分 于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分 （3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分 于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分 所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t ，求(1)(1)a t -- 的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数； 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分 因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x xf s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而12e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以2100x x y -+=，即122112e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2019届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111ab cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ， 求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分 于是PQ 的中点M ()1cos cos2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分 从而()()2222cos cos2sin sin222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分 因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分 于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)． 所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分 （2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()220CE x y λλ=+-=，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212⋅=n n．解得λ=±233－1． 又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． ……… 10分23.（本小题满分10分）数学试卷设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有 {}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）；（2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =． 故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分 （2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： 77181111i ii i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)． 反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ． 显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1． 当k 给定时，{b n }的取法有77C C k k k -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

南通市如皋2019年中考数学二模试卷含答案解析

南通市如皋2019年中考数学二模试卷含答案解析

2019年江苏省南通市如皋中考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1．在﹣1，0，2，﹣3这四个数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣32．据国家统计局公布，2019年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为（）A．6.767×103亿元B．6.767×104亿元C．6.767×105亿元D．6.767×106亿元3．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（b2）3=b6C．（3m）2=6m2D．x3÷x3=x4．如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．5．某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（）尺码（cm）23.5 24 24.5 25 25.5销售量（双） 1 2 2 5 1A．24.5，24.5 B．24.5，25 C．25，24.5 D．25，256．圆锥的底面半径为4，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（）A．80π B．40π C．20π D．10π7．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：8．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A ．B ．C ．D ．9．小南骑自行车从A 地向B 地出发，1小时后小通步行从B 地向A 地出发．如图，两条线段l 1、l 2分别表示小南、小通离B 地的距离y （单位：km ）与所用时间x （单位：h ）之间的函数图象，根据图中的信息，则小南、小通的速度分别是（ ）A ．12 km/h ，3 km/hB ．15km/h ，3km/hC ．12 km/h ，6 km/hD ．15km/h ，6km/h10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，AD ，BE 相交于点M ，若AC=8，BM=4，则⊙O 的半径等于（ ）A ．2B ．2C ．4D ．6二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：3a 2﹣12ab+12b 2= ．13．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．14．设m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣2019=0的两个实数根，则m 2+n 2的值为 ． 15．若关于x 的一元一次不等式组有解，则a 的取值范围是 ．16．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=3，则DF 的长为 ．17．如图，已知点A 1，A 2，…，A n 均在直线y=x ﹣1上，点B 1，B 2，…，B n 均在双曲线y=﹣上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴，B n A n+1⊥y 轴，…，记点A n 的横坐标为a n （n 为正整数）．若a 1=﹣1，则a 2019= ．18．已知n 是关于x 的一元二次方程x 2+m 2x ﹣2m=0（m 为实数）的一个实数根，则n 的最大值是 ．三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）计算（）﹣1+|1﹣|﹣（π﹣3）0﹣；（2）化简•÷．20．2019年3月28日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次“安全知识竞赛”．为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列两幅统计图（说明：A 级：90～100分；B 级：75～89分；C 级：60～74分；D 级：60分以下）．请结合图中提供的信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图2中C 级所在的扇形的圆心角度数； （2）请把条形统计图1补充完整并写出计算过程；（3）若该校共有2000名学生，请你估计安全知识竞赛中A 级和B 级的学生一共有多少人？21．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．22．如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1、BB 1、CC 1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？（2）小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．23．如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过上一点T 作⊙O 的切线TC ，且TC ⊥AD 于点C ．（1）若∠DAB=50°，求∠ATC 的度数； （2）若⊙O 半径为2，CT=，求AD 的长．24．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）25．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．26．“城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当0＜x≤28时，V=80；当28＜x≤188时，V是x的一次函数．函数关系如图所示．（1）求当28＜x≤188时，V关于x的函数表达式；（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）27．如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=4，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．设CP=x，DE=y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点P在线段DC上运动时，点E总在线段AD上，求m的取值范围；（3）当m=8时，是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点F落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．28．如图，直线y=2x﹣2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．（1）求证： =；（2）若=，求＞2x﹣2的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标．2019年江苏省南通市如皋中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1．在﹣1，0，2，﹣3这四个数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣3【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数大小比较的法则可求解．【解答】解：∵﹣1，﹣3是负数，∴它们小于0，2，又∵|﹣1|=1＜|﹣3|=3，∴﹣3最小．故选D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则．2．据国家统计局公布，2019年我国国内生产总值约676700亿元，676700亿元用科学记数法表示为（）A．6.767×103亿元B．6.767×104亿元C．6.767×105亿元D．6.767×106亿元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将676700亿用科学记数法表示为：676700亿=6.767×105亿．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（b2）3=b6C．（3m）2=6m2D．x3÷x3=x【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、（b2）3=b6，正确；C、（3m）2=9m2，故此选项错误；D、x3÷x3=1，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．4．如图所示的工件的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．5．某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（）尺码（cm）23.5 24 24.5 25 25.5销售量（双） 1 2 2 5 1A．24.5，24.5 B．24.5，25 C．25，24.5 D．25，25【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、26，数据25出现了五次最多为众数．25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25．故选D．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6．圆锥的底面半径为4，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（）A．80π B．40π C．20π D．10π【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×4×10÷2=40π．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．7．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．8．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】网格型．【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．【解答】解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO==；AC==；则sinA===．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．9．小南骑自行车从A 地向B 地出发，1小时后小通步行从B 地向A 地出发．如图，两条线段l 1、l 2分别表示小南、小通离B 地的距离y （单位：km ）与所用时间x （单位：h ）之间的函数图象，根据图中的信息，则小南、小通的速度分别是（ ）A ．12 km/h ，3 km/hB ．15km/h ，3km/hC ．12 km/h ，6 km/hD ．15km/h ，6km/h【考点】一次函数的应用．【分析】小通的速度=行走的路程6km ÷所用的时间1；小南的速度=相遇后行走的路程6km ÷相遇后用的时间0.5小时，把相关数值代入计算即可．【解答】解：小通的速度=6km ÷1=6km/h ；小南的速度=6km ÷（2.5﹣2）=12km/h ．故选：C ．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及函数图象的运用；得到每个人走的路程以及相应的时间是解决本题的易错点．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，AD ，BE 相交于点M ，若AC=8，BM=4，则⊙O 的半径等于（ ）A ．2B ．2C ．4D ．6【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【分析】作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可．【解答】解：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，如图所示：∵AH为直径，∴∠HCA=∠HBA=90°，∵CN⊥AB，BE⊥AC，∴∠CNA=∠BEA=90°∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA，∴HB∥CN，HC∥BE，∴四边形HBMC为平行四边形，∴BM=HC=4，∵OF⊥CC，OF过O，∴根据垂径定理：CF=FA=AC=4，∵AO=OH，∴OF为△ACH的中位线，∴OF=HC=2，∴在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=22+42=20，∴AC=2；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、垂心定理、三角形中位线定理等知识；通过作辅助线构建平行四边形是解决问题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤3 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式的定义得出3﹣x≥0，进而求出答案．【解答】解：∵若在实数范围内有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出3﹣x的取值范围是解题关键．12．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．13．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7 ．【考点】多边形内角与外角．【专题】方程思想．【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）×180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故答案为：7．【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．14．设m，n是方程x2﹣2x﹣2019=0的两个实数根，则m2+n2的值为4036 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数关系可得m+n=2，mn=﹣2019，然后即可求得答案．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣2019=0的两个实数根，∴m+n=2，mn=﹣2019，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mm=4﹣2（﹣2019）=4036，故答案为：4036．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是求出m+n=2，mn=﹣2019，此题难度不大．15．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是a＜1 ．【考点】不等式的解集．【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．【分析】不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出a的范围即可．【解答】解：不等式整理得：，由不等式有解，得到a＜1，则a的范围是a＜1，故答案为：a＜1【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．16．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为 1 ．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】延长CF 交AB 于G ，由对称性判断出△AGC 是等腰三角形，求出AG=AC ，CF=GF ，再求出BG ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=BG ．【解答】解：如图，延长CF 交AB 于G ，∵AE 是角平分线，CF ⊥AE ，∴△AGC 是等腰三角形，∴AG=AC=3，CF=GF ，∴BG=AB ﹣AG=5﹣3=2，∵AD 是中线，∴BD=CD ，∴DF 是△BCG 的中位线，∴DF=BG=×2=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造成等腰三角形和DF 是中位线的三角形是解题的关键．17．如图，已知点A 1，A 2，…，A n 均在直线y=x ﹣1上，点B 1，B 2，…，B n 均在双曲线y=﹣上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴，B n A n+1⊥y 轴，…，记点A n 的横坐标为a n （n 为正整数）．若a 1=﹣1，则a 2019= ．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型．【分析】首先根据a 1=﹣1，求出a 2=2，a 3=，a 4=﹣1，a 5=2，…，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、；然后用2019除以3，根据商和余数的情况，判断出a 2019是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．【解答】解：∵a 1=﹣1，∴B 1的坐标是（﹣1，1），∴A 2的坐标是（2，1），即a 2=2，∵a 2=2，∴B 2的坐标是（2，﹣），∴A 3的坐标是（，﹣），即a 3=，∵a 3=，∴B 3的坐标是（，﹣2），∴A 4的坐标是（﹣1，﹣2），即a 4=﹣1，∵a 4=﹣1，∴B 4的坐标是（﹣1，1），∴A 5的坐标是（2，1），即a 5=2，…，∴a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、，∵2019÷3=672，∴a 2019是第672个循环的第3个数，∴a 2019=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．18．已知n是关于x的一元二次方程x2+m2x﹣2m=0（m为实数）的一个实数根，则n的最大值是 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】由n是方程的根可得nm2﹣2m+n2=0且△=（﹣2）2﹣4n•n2≥0，继而可得n的取值范围，即可知n的最大值．【解答】解：∵n是方程x2+m2x﹣2m=0（m为实数）的一个实数根，∴nm2﹣2m+n2=0，且△=（﹣2）2﹣4n•n2≥0，即4﹣4n3≥0，∴n3≤1，则n≤1，∴n的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程的解与根的判别式，根据题意得出关于n的不等式是解题的关键．三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）计算（）﹣1+|1﹣|﹣（π﹣3）0﹣；（2）化简•÷．【考点】分式的乘除法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2+﹣1﹣1﹣2=﹣2；（2）原式=﹣••（a+1）（a﹣1）=﹣（a﹣2）（a+1）=﹣a2+a+2．【点评】此题考查了分式的乘除法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．2019年3月28日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次“安全知识竞赛”．为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列两幅统计图（说明：A级：90～100分；B级：75～89分；C级：60～74分；D级：60分以下）．请结合图中提供的信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图2中C级所在的扇形的圆心角度数；（2）请把条形统计图1补充完整并写出计算过程；（3）若该校共有2000名学生，请你估计安全知识竞赛中A级和B级的学生一共有多少人？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用C级所在的扇形的圆心角度数=C级的百分比×360°求解即可，（2）先求出抽样总人数，现求出C级的学生数即可作图．（3）利用安全知识竞赛中A级和B级的学生数=总人数×（A级的百分比+B级的百分比）求解即可．【解答】解：（1）C级所在的扇形的圆心角度数为（1﹣49%﹣36%﹣5%）×360°=36°，（2）抽样总人数为49÷49%=100人，C级的学生数为100×10%=10人；作图，（3）安全知识竞赛中A级和B级的学生数为2000×（49%+36%）=1700人．【点评】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从条形统计图及扇形统计图中得到准的信息．21．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；（2）由菱形的性质可得：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，问题得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．∵点E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，FC=BC．∴AE=CF．在△AEB与△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．（2）解：∵四边形EBFD 是菱形，∴BE=DE ．∴∠EBD=∠EDB ．∵AE=DE ，∴BE=AE ．∴∠A=∠ABE ．∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、等腰三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等．22．如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1、BB 1、CC 1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？（2）小明先从左端A 、B 、C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1、B 1、C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）三种等可能的情况数，则恰好选中绳子AA 1的概率是；（2）列表如下：AB AC BC A 1B 1 × √ √A 1C1√×√B 1C1√√×所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，则P==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）连接OT，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，进而得出∠DAB=2CAT，解答即可；（2）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根据垂径定理求出DE，根据矩形性质求出OT=CT，根据勾股定理求出即可．【解答】解：（1）连接OT，如图1：∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，∴∠ACT=∠OTC=90°，∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO，∴∠CAT=∠ATO，∵OA=OT，∴∠OAT=∠ATO，∴∠DAB=2∠CAT=50°，∴∠CAT=25°，∴∠ATC=90°﹣25°=65°；（2）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°，∴四边形OECT是矩形，∴OT=CE=OD=2，∵OE⊥AC，OE过圆心O，∴AE=DE=AD，∵CT=OE=，在Rt△OED中，由勾股定理得：ED=，∴AD=2．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，具有一定的代表性．24．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据sin30°=，求出CM的长，根据sin60°=，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=15cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=20，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．【点评】这个题运用几何知识，和现实较为好的联系起来．25．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】新定义．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解决第二小题的关键．26．（2012•成都）“城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当0＜x≤28时，V=80；当28＜x≤188时，V是x的一次函数．函数关系如图所示．（1）求当28＜x≤188时，V关于x的函数表达式；（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）【考点】一次函数的应用．【专题】数形结合．【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，将点（28，80），（188，0）代入即可得出答案．（2）先有车流速度V不低于50千米/时得出x的范围，然后求出P的表达式，继而根据二次函数的最值求解方法可得出答案．【解答】解：（1）设函数解析式为V=kx+b，。

江苏省南通通州区2019届九年级中考二模数学试卷【含答案及解析】

江苏省南通通州区2019届九年级中考二模数学试卷【含答案及解析】

江苏省南通通州区2019届九年级中考二模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 计算(－4)＋6的结果为( )A. －2B. 2C. －10D. 22. 我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为( )A. 3.5×106B. 3.5×107C. 35×105D. 0.35×1083. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 如图，数轴上有四个点M，P，N，Q，若点M，N表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数对应的点是( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q5. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆锥D. 圆柱6. 已知方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1＋x2的值为( )A. 4B.C.D. －7. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为km/h，则所列方程正确的是( )A. B.C. D.8. 若圆锥的母线长是12，侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的半径为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图，点A为反比例函数y＝ (x﹥0)图象上一点，点B为反比例函数y＝ (x﹤0)图象上一点，直线AB过原点O，且OA＝2OB，则k的值为( )A. 2B. 4C. －2D. －410. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点.将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则△CDF的面积为( )A. 3.6B. 4.32C. 5.4D. 5.76二、填空题11. 9的算术平方根为____．12. 如图，若AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数为____°．13. 分解因式：12a2－3b2＝____．14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝____°．15. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC ＝12.4m，则楼高CD为____m．16. 小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：17. 平均数中位数众数方差8.58.38.10.15td18. 将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系xOy后，若点A，B，E的坐标分别为（a，b），（－3，－1），（－a，b），则点D的坐标为____．19. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y＝x＋上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为____．三、解答题20. （1）计算(x＋y)2－y(2x＋y)；（2）先化简，再求代数式的值：÷，其中a＝．21. 近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：22. 组别观点频数（人数）A大气气压低，空气不流动mB地面灰尘大，空气湿度低40C汽车尾气排放nD工厂造成的污染120E其他60td23. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，请用列表法或画树形图的方法，求两次摸出的小球上所标数字之和大于4的概率．24. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD＝37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD＝45°. 求小岛B到河边公路AD的距离.（参考数据：sin37°≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈0.75）25. 如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.求DE的长.26. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是（写出一个即可）；（2）若方程3－x＝2x，3＋x＝2(x＋)都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围.27. 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.28. 请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，k≠0）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象（可以不列表）；（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？（3）函数的图象可以经过怎样的变化得到函数的图象？29. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD＝∠QPD，PQ交BC于点G.（1）求证：DQ＝PQ；（2）求AP·DQ的最大值；（3）若P为AB的中点，求PG的长.30. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（c≠4a），其图象L经过点A（－2，0）.（1）求证：b2－4ac＞0；（2）若点B（－，b＋3）在图象L上，求b的值；（3）在（2）的条件下，若图象L的对称轴为直线x＝3，且经过点C（6，－8），点D（0，n）在y轴负半轴上，直线BD与OC相交于点E，当△ODE为等腰三角形时，求n的值.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第28题【答案】。

2019届江苏省南通市高考模拟(二)数学(文)试题(解析版)

2019届江苏省南通市高考模拟(二)数学(文)试题(解析版)

2019届江苏省南通市高考模拟（二）数学（文）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、填空题1．已知集合，则______．【答案】【解析】【分析】求集合和的交集即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了集合的交集运算法则，属于基础题。

2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为______．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解即可得到答案【详解】则的共轭复数为【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘法运算，属于基础题。

3．函数的定义域为______【答案】【解析】【分析】根据函数定义域的定义，列出函数有意义的条件，即可求解函数的定义域.【详解】由题意，函数满足，解得，奇函数的定义域为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数定义域的定义，列出函数解析式有意义的条件是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为______【答案】36【解析】【分析】根据上述算法，逐项计算即可得到计算的结果.【详解】由题意，可得，，输出的结果．【点睛】本题主要考查了算法的结果输入，其中正确理解题意，明确算法的计算方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为____．【答案】【解析】试题分析：由于甲、乙两位同学的平均数均为，所以甲、乙两位同学的方差分别为故成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为【考点】方差6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为______【答案】【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为______【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求解函数，即可求解答案.【详解】由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象，所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及其应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为______【答案】【解析】【分析】由题意，根据双曲线的几何性质，求得双曲线的一条渐近线与准线的交点，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．若，则的值为______【答案】【解析】【分析】根据两角和与差的正切函数的公式，求得，进而利用三角函数的基本关系式，即可求得答案.【详解】由，得．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式以及三角函数的基本关系式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10．已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．【答案】4【解析】【分析】令，可以求得，从而可得是以为周期的函数，结合，即可求得的值【详解】函数是定义在上的偶函数，，，令，可得，则则，，是以为周期的函数，，则故答案为【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。

江苏省南通市2019届高三第二次调研测试-数学

江苏省南通市2019届高三第二次调研测试-数学

·1·（第4题）南通市2019届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x >”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x ≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ．【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ▲ ．【答案】π27． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线 30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD - 的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ． 若544k k S a +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】7AA 1 B不CB 1不C 1不D 1不D不（第8题）·2·BDC（第12题）AA B CDMNQ（第15题） 10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ． 【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =， 则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以//MQ CD ， …… 2分 又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故//CD 平面MNQ ． …… 6分 （2）因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以//MN AB ，又90BAD ∠=°，故MN AD ⊥． …… 8分 因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD平面CAD AD =， 且MN ⊂平面ABD ，·3·所以MN ⊥平面ACD ． …… 11分又MN ⊂平面MNQ ，平面MNQ ⊥平面CAD ． …… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下： （1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中” 为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分 由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得1212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． …… 6分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分 ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，． 故所求的概率为63()105P B ==．答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为2125；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ， k =-y a 1sin θ+b ，其中0πθ<<.（1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值；（2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=，x ，=y (44-，)， …… 2分则⋅=x y (1(4)244⨯-+⨯=- …… 6分（方法2）依题意，0⋅=a b ， …… 2分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(421443=-+⨯⨯= ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--，整理得，()1sin cos 1kθθ=-， …… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-，则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-()()2cos 1cos 1θθ=+-. …… 11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=，又0πθ<<，故2π3θ=.列表：故当θ=…… 14分·5·（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，b =0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分 所以210e e +-=，解得e =． …… 10分 （3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以PF ==0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-，（第18题）·6·所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半 径公式扣1分．） 19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =，所以0a =，此时()f x x x =为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min ()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分 当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上 是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数， 当02a <<时，min ()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得43a ≤，所以43a ≤；当23a ≤≤时，min ()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥， 所以92a ≥；综上得，43a ≤或92a ≥． …… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >，·7·第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20t at a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t =2t =； 当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t =第二步，易得12302a t t a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中2104a t <<， 当x a <时，210x ax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<，1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根； 当x a ≥时，210x ax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根， 从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230x ax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根； 当x a ≤时，230x ax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<，3()0s a t =>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<， …… 14分记32()416m a a a =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a ∈，，·8·若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根； 若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根； 当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根； 当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7； 当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当0a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记n n n c a b =+． （1）求证：数列{}1n n c c d +--为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列 1n c ，2n c ，…，k n c 为等差数列？证明你的结论． 解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n c c d a b a b d +++--=+-+-(1)0n b q =-≠， …… 3分 从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q c c d b q ++++---==---，又211(1)0c c d b q --=-≠，所以{}1n n c c d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n c c d +--的前3项为6d -，9d -，15d -， 则()29d -=()()615d d --，·9·解得3d =，从而2q =， …… 7分 且11114 3210 a b a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a =，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分 消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分 ② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ， p c ，r c 成等差数列， 则2m p l c c c =+，因为0l c >，所以2m p c c >， ① 若1p m >+，则2p m +≥，结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥， 化简得，8203m m -<-<， ②因为2m ≥，m *∈N ，不难知20m m ->，这与②矛盾， 所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以m c ，p c ，r c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+， 即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m b b b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． …… 16分·10·（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）南通市2019届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅． 证明：因为PC 为圆O 的切线，所以PCA CBP ∠=∠，3分 又CPA CPB ∠=∠，故△CAP ∽△BCP ， …… 7分 所以AC AP BC PC=，即AP BC AC CP ⋅=⋅． …… 10分 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y =，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, …… 4分 联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520x x -+=， P（第21 - A 题）·11·解得112x =，22x =，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=…… 8分 化为极坐标为()5π 23，． …… 10分 （方法2）联立直线l 与曲线C 的方程组2π310cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，， …… 2分 消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=， …… 6分 所以线段AB 中点的极坐标为()12π 23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分 （注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．） D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287a b c ++≥．证明：由柯西不等式，得()()222222123a b c ++++≥()223a b c ++， …… 6分 因为234a b c ++=，故22287a b c ++≥， …… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线 AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标． 解：（1）将点(84)A -，代入22y px =，得1p =， …… 2分 将点(2)P t ，代入22y x =，得2t =±，（第22题）·12·因为0t <，所以2t =-． …… 4分 （2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+，联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分 所以113k =-，22k =-，代入1232k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+，联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()823-，． …… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且AB =∅，AB ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为n a ． （1）求a 3，a 4的值； （2）求n a ．解：（1）当n =3时，AB ={1，2，3}，且AB =∅，若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分 当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅，若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种； 若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与AB =∅矛盾；若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=． …… 4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅，·13·若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种； 若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种； ……若a =12n -，b 12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C n n --（考虑A ）种； 若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与A B =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种； ……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n =02C n -+12C n -+…+222C n n --+22C nn -+…+122222C 2C n n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。

江苏省南通市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析

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江苏省南通市2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．人的头发直径约为0.00007m ，这个数据用科学记数法表示（ ）A ．0.7×10﹣4B ．7×10﹣5C ．0.7×104D ．7×1052．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠ACB 度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3．关于x 的方程x 2﹣3x+k ＝0的一个根是2，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2 4．已知443y x x =-+-+，则y x 的值为()n n A ．43 B ．43- C ．34D ．34- 5．空气的密度为0.00129g/cm 3，0.00129这个数用科学记数法可表示为（ ） A ．0.129×10﹣2 B ．1.29×10﹣2 C ．1.29×10﹣3 D ．12.9×10﹣16．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．7．已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ） A ．1一定不是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根C ．1和﹣1都是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根D ．1和﹣1不都是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ﹣2k 和二次函数y ＝﹣kx 2+2x ﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列计算中，正确的是（ ）A ．3322a a =（）B ．325a a a +=C ．842a a a ÷=D ．236a a =（）10．已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是( )A ．B ．C ． D11．如图，PA 、PB 是O e 的切线，点D 在»AB 上运动，且不与A ，B 重合，AC 是O e 直径．62P ∠=︒，当//BD AC 时，C ∠的度数是( )A ．30°B ．31︒C ．32︒D ．33︒12．点M （1，2）关于y 轴对称点的坐标为（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（2，﹣1）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知圆锥的高为3，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为_____．14．因式分解：a 3－a=______．15．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC ＝_____．16．计算：a 3÷（﹣a ）2=_____．17．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2(1)3y x =﹣﹣有交点，则a 的取值范围是_______．18．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知：如图，E 是BC 上一点，AB ＝EC ，AB ∥CD ，BC ＝CD ．求证：AC ＝ED ．20．（6分）如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙O 相交于点F ．若»EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．21．（6分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/2m 下降到12月份的11340元/2m .求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m ？请说明理由22．（8分）如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：△ACE ≌△BCD ；若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．23．（8分）小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程. 24．（10分）如图，△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．25．（10分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的32倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？26．（12分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．27．（12分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00007m ，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．C【解析】【分析】连接BC ，根据题意PA ，PB 是圆的切线以及P 40∠=︒可得AOB ∠的度数，然后根据OA OB =，可得CAB ∠的度数，因为AC 是圆的直径，所以ABC 90∠=︒，根据三角形内角和即可求出ACB ∠的度数。

2019-2020学年江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案

2019-2020学年江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案

南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．/分（第3题）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()23P -，，则双曲线C 的焦距为▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a 为常数，函数22()1xf x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()312=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．AA 1B 1C 1B C FE（第16题）l 1l 2 AB C（第18题）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．（第17题）0B 1B 2PQOP xy20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）1T ，2T 在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．ABDOC（第21—A 题）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．/分（第3题）【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ， ()3122=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()3122=-，c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a22a ⋅b b 21，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()312=-，a ．依题意，()31sin cos 2ββ+=--+，b c ．……8分因为()//+a b c ，所以()()3311cos sin 022ββ--+--=．化简得，311sin cos 22ββ-=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分AA 1B 1C 1B C FE（第16题）又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ∠ACF ，AB AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BECF ．…… 9分又由（1）知，BE CF ．所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BCEF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b 3．…… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为()22100032PB x y x =+-=，所以226229a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． （第17题）0B 1B 2PQO P xy同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（第18题）（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， …… 4分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x 在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减， 所以当x =max ()px =所以当x =a =max V =3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x=max V =3．…… 14分答：（1dm；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，x =2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a ad a a d a a d a a d -+-+=-+-+．两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e b x -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）ABDC（第21—A 题）EO在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．则点P 的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l 40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形． 所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i 0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn kn knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。

2019年江苏省南通市崇川区中考数学二模试卷(解析版)

2019年江苏省南通市崇川区中考数学二模试卷(解析版)

2019年江苏省南通市崇川区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一枚硬币抛向空中，落地时正面朝上的概率是（）A. 0B. 1C.D.2.如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.3.如图，直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B两点，若∠1=46°，则∠2=（）A.B.C.D.4.下列事件是必然事件的是（）A. 某种彩票中奖率是，则买这种彩票100张一定会中奖B. 一组数据1，2，4，5的平均数是4C. 三角形的内角和等于D. 若a是实数，则5.则这11名队员身高的众数和中位数分别是（）（单位：cm）A. 180，182B. 180，180C. 182，182D. 3，26.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A. 4B. 2C.D.7.下列运算正确的是（）A. B. C. D.8.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A.B.C.D. 10.如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）11.92000用科学记数法表示为______．12.计算：|-4|-（）-2=______．13.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．14.如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．15.如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有______条．16.如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是______．17.如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．18.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为______．三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）19.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）20.先化简，再求值：（a-b）2+b（3a-b）-a2，其中a=，b=．21.解方程：=1-．22.某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了______名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有______名．23.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．24.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．25.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？26.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小．27.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO 为该正n边形的“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为该正n边形的“叠弦角”，△AOP为其“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请利用图1，证明：“叠弦三角形”（即△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE'．【归纳猜想】（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为______，______；（4）正n边形的“叠弦三角形”______等边三角形（填“是”或“不是”）；（5）正n边形的“叠弦角”的度数为______（用含n的式子表示）．28.如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm．（1）填空：AD=______（cm），DC=______（cm）；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．（参考数据：sin75°=，sin15°=）答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，∴正面朝上的概率是P=；故选：C．掷一枚硬币有2种情况，满足条件的有一种，用1除以2即可得出概率的值．此题考查了概率公式，考查等可能条件下的概率计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.【答案】A【解析】解：从左面看可得到一个三角形．故选：A．左视图是从物体左面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】B【解析】解：如图所示：∵直线a∥b，∠1=46°，∴∠1=∠3=46°．∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2=∠3=46°．故选：B．先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由对顶角的定义即可得出结论．本题考查的是平行线的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖为随机事件，不符合题意；B、一组数据1，2，4，5的平均数是4是不可能事件，不符合题意；C、三角形的内角和等于180°为必然事件，符合题意；D、若a是实数，则|a|＞0为随机事件，不符合题意．故选：C．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.【答案】B【解析】解：∵180出现的次数最多，∴众数是180．将这组数据按照由小到大的顺序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、186、188、192．所以中位数为180．故选：B．依据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选：A．根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．7.【答案】C【解析】解：A、3x+2y≠5xy，此选项错误；B、（m2）3=m6，此选项错误；C、（a+1）（a-1）=a2-1，此选项正确；D 、≠2，此选项错误；故选：C．根据同类项、幂的乘方、平方差公式以及约分的知识进行判断即可．本题主要考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方以及约分等知识，解题的关键是掌握运算法则．8.【答案】A【解析】解：∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×8=4，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，∴OD==3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故选：A．根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC-OD即可得到DC．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念解决问题，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=msin35°，故选：A．根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．10.【答案】D【解析】解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），∴DB=a，DQ=a-c，DA=-d，DP=b-d，∵DB•DP=a•（b-d）=ab-ad=k-ad，DA•DQ=-d（a-c）=-ad+cd=-ad+k=k-ad，∴DB•DP=DA•DQ，即，∵∠ADB=∠PDQ，∴△DBA∽△DQP，∴AB∥PQ，∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，∴△PAB的面积等于△QAB的面积，∵AB∥QC，AC∥BQ，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AC=BQ，∴△QAB的面积等于△QAC，∴S1=S2=S3，故选：D．根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S1，S2，S3的关系，本题得以解决．本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．11.【答案】9.2×104【解析】解：将92000用科学记数法表示为：9.2×104．故答案为：9.2×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】-2 【解析】解：|-4|-（）-2=|2-4|-4=2-4=-2．故答案为：-2．直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简求出答案．此题主要考查了实数运算，根据相关运算法则正确化简是解题关键．13.【答案】10%【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1-x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次的百分率是10%．故答案为：10%．设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14.【答案】4【解析】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长-△ABC的周长=BC+CD+BD-（AB+BC+AC）=BD-AC=10-6=4cm，故答案为：4．根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15.【答案】3【解析】解：这样的直线PQ（不同于EF）有3条，①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，则PQ=EF；②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ=EF；③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ=EF．能画3条：①与EF互相垂直且垂足为O，构建直角三角形，可以证明两直角三角形全等得EF=PQ；②在AD上截取AP=AD，连接PO延长得到PQ；③同理在AB了截取BQ=AB，连接QO并延长得到PQ．本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质与判定，本题虽然是做一条线段与EF相等，实际上是做好两件事：①画线段PQ，②能证明这两条线段相等，这比证明更为复杂，因此首先要构建直角三角形全等，找到与EF相等的边长的位置，本题的线段不止一条，容易丢解，要思考周全．16.【答案】6≤MN≤4【解析】解：（解法一）如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P 和点B （或点C ）重合时，此时BN （或CM ）最长． 此时G （H ）为AB （AC ）的中点， ∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN 长的取值范围是6≤MN≤4．故答案为：6≤MN≤4．（解法二）连接PM 交AB 于点E ，连接PN 交AC 于点F ，过点M 作MD ⊥PN 于点D ，如图3所示．设BP=x （0≤x≤4），则PE=x ，CP=4-x ，PF=（4-x ），∴PM=x ，PN=（4-x ）．∵∠B=∠C=60°， ∴∠BPE=∠CPF=30°， ∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°， ∴DP=PM=x ，MD=PM=x ．在Rt △MDN 中，MD=x ，ND=PN+PD=（4-x ）+x=（8-x ），∴MN 2=MD 2+ND 2=3（x-2）2+36，∴当x=2时，MN 取最小值6；当x=0或x=4时，MN 取最大值4．故答案为：6≤MN≤4．（解法三）连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，如图所示． ∵点P 关于直线AB ，AC 的对称点分别为M ，N ， ∴AM=AP=AN ，∠MAB=∠PAB ，∠NAC=∠PAC ， ∴△MAN 为顶角为120°的等腰三角形， ∴∠AMD=30°， ∴AD=AM ，MD=AM ，MN=AM ．∵AM=AP ，2≤AP≤4， ∴6≤MN≤4． 故答案为：6≤MN≤4．（方法一）当点P 为BC 的中点时，MN 最短，求出此时MN 的长度，当点P 与点B （或C ）重合时，BN （或CM ）最长，求出此时BN （或CM ）的长度，由此即可得出MN 的取值范围．（方法二）连接PM 交AB 于点E ，连接PN 交AC 于点F ，过点M 作MD ⊥PN 于点D ，设BP=x （0≤x≤4），则PE=x ，CP=4-x ，PF=（4-x ），根据等边三角形的性质结合轴对称的性质即可得出PM 、PN 的长度，由角的计算可得出∠MPD=60°，进而可得出MD 、PD 的长度，在Rt △MDN中，利用勾股定理即可得出MN 2=MD 2+ND 2=3（x-2）2+36，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．（方法三）连接AM 、AN 、AP ，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，由对称性可知AM=AP=AN 、△MAN 为顶角为120°的等腰三角形，进而即可得出MN=AP ，再根据AP 的取值范围即可得出线段MN 长的取值范围．本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN 最短和最长时点P 的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN 取最值时，点P 的位置是关键．17.【答案】①②④【解析】解：①∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴CP=CD=CQ ， ∴①正确；②∵将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAP 与△CBQ ，∴∠ACP=∠ACD ，∠BCQ=∠BCD ，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°， ∴∠PCQ=360°-（∠ACP+BCQ+∠ACB ）=360°-（120°+120°）=120°， ∴∠PCQ 的大小不变； ∴②正确； ③如图，过点Q 作QE ⊥PC 交PC 延长线于E ， ∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，sin∠QCE=，∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=CQ，∵CP=CD=CQ∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=CD2，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小=CD2=×22=，∴③错误，④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形．∴④正确，故答案为：①②④．①由折叠直接得到结论；②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°；③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE=CQ，得到S△PCQ =CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD=CF，即可；④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出∠PCQ=120°是个定值；（其实这个题目中还有∠PDQ=60°也是定值），解本题的难点是确定出△PCQ面积最小时，点D 的位置．18.【答案】【解析】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数为7，所以小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率=．故答案为．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=，∴BD==，在Rt△ACB中，∵tan∠ACB=，∴BC===，∵BC-BD=8，∴-=8，∴AB=4（m）．答：树高AB为4米．【解析】利用正切的定义分别在两个直角三角形中有AB表示出BD和BC，然后利用BC-BD=8列方程，再解关于AB的方程即可．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．20.【答案】解：（a-b）2+b（3a-b）-a2=a2-2ab+b2+3ab-b2-a2=ab，当a=，b=时，原式=×=2．【解析】原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：=1-方程两边同乘以x-2，得1-x=x-2-3解得，x=3，检验：当x=3时，x-2≠0，故原分式方程的解是x=3．【解析】根据解分式方程的方法先将分式方程转化为整式方程，然后解答即可，最好要验根．本题考查解分式方程，解题的关键是明确分式方程的解法，注意最后要验根．22.【答案】120 30% 450【解析】解：（1）调查的总人数是：18÷15%=120（人），安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：=30%．故答案是：120，30%；（2）安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），；（3）估计全校需要强化安全教育的学生约1800×=450（人），故答案是：450．（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数1800乘以对应的比例即可．本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CFH，在△AEG和△CFH中，，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH．【解析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°-90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8-x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．25.【答案】解：（1）∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，∴y与x是一次函数关系，∴y与x的函数关系式为：y=100-0.5（x-120）=-0.5x+160，∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；（2）设销售利润为w元，则w=（x-80）（-0.5x+160）=-x2+200x-12800=-（x-200）2+7200，∵a=-＜0，∴当x＜200时，y随x的增大而增大，∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w=-（180-200）2+7200=7000（元），答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】（1）首先由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．此题考查了二次函数与一次函数的应用．注意理解题意，找到等量关系是关键．26.【答案】解：（1）∵抛物线F经过点C（-1，-2），∴-2=1+2m+m2-2，∴m=-1，∴抛物线F的表达式是y=x2+2x-1．（2）当x=-2时，y P=4+4m+m2-2=（m+2）2-2，∴当m=-2时，y P的最小值=-2．此时抛物线F的表达式是y=（x+2）2-2，∴当x≤-2时，y随x的增大而减小．∵x1＜x2≤-2，∴y1＞y2．【解析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x=-2代入解析式得到P点的纵坐标y P=4+4m+m2-2=（m+2）2-2，即可得到当m=-2时，y P 的最小值=-2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】15°24°是60°-【解析】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA），∴AP=AO，又∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形．（2）如图2中，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．类似（1）可证△APE≌△AOE'（ASA），由AAS证 Rt△AEM≌Rt△ABN，∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．由HL 证Rt△APM≌Rt△AON．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．（3）如图1中，“叠弦角”的度数=（90°-60°）÷2=15°，如图2中，“叠弦角”的度数=（108°-60°）÷2=24°，故答案为15°，24°．（4）观察图1，图2，图3，可知“叠弦三角形”是等边三角形，故答案为是．（5）正n边形的“叠弦角”的度数为=[（-60°]÷2=60°-．故答案为：60°-．（1）证明△APD≌△AOD'（ASA），即可解决问题．（2）如图2中，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）（4）（5）探究规律，利用规律解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了中小板和，正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】22【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=BC=4cm，∴AC=AB=4cm，在Rt△ADC中，∵∠CAD=30°，∴DC=AC=2cm，AD===2（cm），故答案为：2，2；（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则四边形NEDF是矩形，∴NE=DF，如图所示：∵∠CAD=30°，∴∠ACD=60°，∵AB=BC，∴∠ACB=45°，∴∠NCF=180°-60°-45°=75°，∠FNC=15°，∴sin15°=，∵sin15°=，NC=x，∴FC=x，∴NE=DF=FC+DC=x+2，∴点N到AD的距离为：x+2cm；（3）∵NC=x，sin75°=sin∠NCF=，且sin75°=，∴FN=x，∵点P为DC的中点，∴PD=CP=DC=，∴PF=FC+CP=x+，MD=AD-AM=2-x，∴y=S-S△MPD-S△NFP=（FN+MD）•NE-MD•PD-FN•PF=（x+2-x）梯形NFDM（x+2）-（2-x）×-（x）（x+），即：y=x2+x+2，∵＜0，∴y的二次函数图形开口向下，顶点为最大值，∴当x=-=时，y有最大值为．（1）由等腰直角三角形得出AC=AB=4cm，由含30°的直角三角形得出DC=AC=2cm，再由勾股定理即可求出AD=，即可得出结果；（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则四边形NEDF是矩形，得出NE=DF，求出∠FNC=15°，则sin15°=，即可得出FC=x，NE=DF=FC+DC，即可得出结果；（3）先求出FN=x，由点P为DC的中点，得出PD=CP=DC=，PF=x+，-S△MPD-S△NFP=（FN+MD）•NE-MD•PD-FN•PF，代入数值得出MD=2-x，y=S梯形NFDMy=x2+x+2，由二次函数图象及其性质即可得出结果．本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、含30°直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与梯形面积计算、三角函数、二次函数图象及其性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、二次函数图象性质是解题的关键．。

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江苏省南通市2019年高三第二次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x，当[]35x ∈，时，()24f x x ．下列四个不等关系：sin cos 6π6πf f ；(sin1)(cos1)f f ；cos sin 332π2πf f ；(cos2)(sin 2)f f ．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点11P x y ，、22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y ，． 已知点10B ，，点M 为直线220x y 上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC == （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，PABCOEFG(第15题)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EB O ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos 3sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =，且△ABC 3，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()23cos 2sin cos 222x x xf x =-3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++． (3)分由()π2cos 3316x ++=，得()π1cos 62x +=， ………………5分于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 3231πsin 26ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PABCOE F GQO A 1A 2B 1B 2xy (第17题)由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是23a b +=+． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()31sin sin 122A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213b a b =+，于是228a b =，即2228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率22147.84c e a=== …………4分（2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =，于是11A B 的方程为：2240x y k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =， 所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分（3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分 解得4213m n ==, C 的方程为()(2242113x y -+=． (14)分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．（第17题甲） DC B QPNMR S MN PQ T（第17题乙）TQPNMSR甲乙此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． …………………11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， (14)分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为km 2）． (16)分19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指 “MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e =2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ，所以B ，N ，A 三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： x e m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值， 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． (3)分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-， 因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y +=，所以2xy z x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++，整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅．因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP PMC ∆∆∽． ………………5分于是MPB MCP ∠=∠．在△MCP 中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，，解得2321， ， ， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d ，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，max d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）E B 1CA 1CCC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. ……………………5分（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分ξ5 6 7 8 9 10 P132532516516532132。

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