2019南通市二模数学试题及答案

江苏省南通市2019年高三第二次模拟考试数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若

15i

i 3i

a b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位）

，则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现

从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．

5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例

分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．

6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，

，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集

合，则M ∩N = ▲ ．

7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的

a = ▲ ．

8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，

则111213a a a ++= ▲ ．

9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不

同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选

取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．

10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x

，当[]35x ∈，

时，()24f x x ．下列

四个

不等关系：sin cos 6π

6

π

f f ；(sin1)

(cos1)f f ；cos sin 33

2π

2π

f f ；

(cos2)

(sin 2)f f ．

其中正确的个数是 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2

2

13

y x -=的左、右焦点，△ABC 的

顶点

C 在双曲线的右支上，则

sin sin sin A B

C

-的值是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，设点11

P x y ，、22

Q x y ，，定义：

1

2

1

2()

d P Q x x y y ，． 已

知点10B ，，点M 为直线220x y 上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐

标是

▲ ．

13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得

OC =OA OB λμ+，则()2

23λμ+-的取值范围是 ▲ ．

【填空题答案】

1. x －y －2=0

2. 825-

3. 真

4. 2627

5. 2

6.

(){}20， 7. 12 8. 105

9. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 2

1

- 12. ()

312， 13. 150 14. ()2+∞，

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO

的中点，4AB BC AC ===，22PA PC == （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．

【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，

ABC ∆为等边三角形． …………………2分

（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，

P

A

B

C

O

E

F

G

(第15题)

因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，

BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分

因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，

在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．

因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，

所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分

于是

2AQ

AO QF OG

==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EB O ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分

【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.

16．（本小题满分14分）已知函数)

()2cos 3sin 2

22

x

x x f x =-．

（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

，，且()31f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =，且△ABC 3

，求sin A +sin B 的值．

【解】（1）2()23cos 2sin cos 222

x x x

f x =-3(1cos )sin x x +-=()

π2cos 36x ++． (3)

分

由

()

π2cos 331

6

x ++=，得

()

π1cos 62

x +=， ………………5分

于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26

x =-或． ………………7分

（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π

6

C =． ………………9分

因为△ABC 3

231πsin 26

ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .

P

A

B

C

O

E F G

Q