工科数学分析 2(5)实数基本定理

这里 xnk是原数列中的第 nk项,在子数列中是
第k项, k nk
注意 (1)k nk ; (2)ni nj i j
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定理3
设 lim n
xn
a,则
xn
的任何子列
x nk
都收
敛,
且
lim
k
x
nk
a.
证 设数列{ x n k }是数列 { x n }的任一子数列.
利用极限保序性,可得: .
15
注意:
1. 在解决数学问题时,我们往往先找出解 的大致范围,然后逐步缩小这个范围,
这时就要用到闭区间套定理.
2. 闭区间是很重要的.
例4 考察开区间列
In
0,
1 n
,
n
N,
显然,
I1 I2
In In1
,且 In
1 0. n
但是这个区间列并没有公共交点.
两端除以 于是有,
xn xn
,得到a xn1,xnan.
1, 又对n, xn
a,
即{xn} 是有界的;
所以
Байду номын сангаас
lim
n
xn
存在.
11
另证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
xk 1
an
1 31
1 32 1
1 3n 1
(2)
an
1
1 2
1
1 22
1
1 2n
(3)
an
1
1 2!
1 3!
1 n!
9
例2 设 0 x1 1, xn1 1 1 xn
证明:
xn
收敛,并求 lim n
xn
,
lim
n
xn1 xn
.
提示: 由0 x1 1可证0 xn 1
xn1 xn 1 xn 1 xn 0
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例5 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
bn 2
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an , bn
满足闭区间套定理的条件即可.
1 n, an an1
anbn
an bn 2
bn1 bn
2
n, bn1
an 1
an
bn 2
第五节 实数基本定理
单调有界收敛定理 闭区间套定理与致密性定理
柯西收敛原理 有限覆盖定理 小结 思考题 作业
第一章 函数与极限
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一、单调有界收敛定理
如果数列{ xn }满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
单调数列
定理1 (单调有界收敛定理)
则存在唯一的数
,使得
lim
n
an
lim
n
bn
,
且 是所有闭区间的唯一公共点,即 an,bn .
n1
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证明: 分析
(i) 由条件(1)知道: an,bn 单调有界
从而有极限,即
lim
n
an
1
,
lim
n
bn
2, an
1,bn
2
(ii)
有条件(2)知道,
1 2 .
(iii) 设所有区间还有一个公共点 ,即an bn ,
1
1
n
n 1
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
7
(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1)x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x)x e x0
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例1 判断下列数列的收敛性
(1)
1 4a . 2
(舍去)
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二、闭区间套定理与致密性定理
定理2 (闭区间套定理)
设 an,bn n 1,2, 是一串闭区间, 满足条件:
1 an an1 bn1 bn ,即 an1,bn1 an,bn n 1, 2,
2
当n
时,区间an
,
bn
的长度趋于0,即lim n
bn
an
0.
又由数列单调增加得到,
n N时, xN xn .
故
lim
n
xn
.
3
函数极限也有类似的准则. 对于自变量的 不同变化过程 ( x x0 , x x0 , x , x ), 定理1有不同的形式. 定理1’ (单调有界收敛定理)
若函数 f (x)在a, 上单调增加, 则极限 lim f (x)存在 f (x)在a, 上有上界.
x
自己证明.
4
作为定理1的应用,
证明
lim
n
1
1 n
n
存在.
设
xn
1
1 n
n
,现证明数列{xn}单调增加 且有界.
则
利用
n x1 x2 xn 1
1 n
xn
n
1
x1
n1
x2
n
xn
n
1
1 n
1
n1
1
1 n1 n 1
xn1
5
即 xn 单调增加.
n2
又因为
1
1 n
n
1 2
若数列单调增加(单调减少) , 有上 (下) 界,
则数列极限存在.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
对数列{ xn } :
单调有界 有极限 有界 2
证明: 设数列 {xn} 单调增加有上界,
利用确界原理,从而有上确界.
设
sup{xn
n
N},
只要证明:
lim
n
xn
就行.
由 sup{xn n N}知道, 0,xN : xN .
a xk 1
1 4a 2
所以{xn} 是有界的;
所以
lim
n
xn
存在.
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证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
(3)
设 lim n
xn
A
在xn1 a xn两边取极限,
得到A2 a A,
解得 A 1
1 4a , 2
A 1
1 4a 2
所以
lim
n
xn
1
1 2
n
1
1 n
n2
2
1 2
1
即
xn
1
1 n
n
4
记为 lim(1 1)n e
n
n
即 xn 有上界. 故 xn 收敛.
(e 2.718281828459045) 无理数
6
(2)再证明 lim (1 1 )x e
x
x
不妨假设 x 1, 则存在
n x使得n x n 1, 从而
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
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例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 因为 xn1 a xn , x2 a x1 x1,
所以,用归纳法可以证明 {xn} 是单调增加的;
2由xn a xn1 ,得到xn2 a xn1 a xn
an 1
an
bn 2
an
bn an 2
b1 a1 2n
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上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项: xn1 , xn2 , xnk ,
(其下标n1 n2 nk ) 所构成的新数列
{ xnk }叫做数列{ xn }的子数列.