概率统计9 一维连续型随机变量的密度函数
一维连续型随机变量
第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。
教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。
教学方法：课堂教学。
三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。
连续型随机变量的概率密度
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
连续型随机变量的概率密度
解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．
连续型随机变量的严格单调函数的概率密度
在概率论和数理统计中，连续型随机变量的概率密度函数是非常重要的概念。
而严格单调函数则是在数学中经常讨论的一个性质。
本文将结合这两个概念，探讨连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。
1. 连续型随机变量的概率密度函数我们来回顾一下连续型随机变量的概率密度函数。
在概率论中，概率密度函数是描述一个随机变量在某个取值范围内出现的概率分布的函数。
对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)表示在区间[a, b]内，X落在某一小区间(dx)内的概率。
概率密度函数具有非负性和积分为1的性质，是描述连续型随机变量概率分布的重要工具。
2. 严格单调函数的性质在数学中，一个函数如果满足对任意的x1, x2 (x1 ≠ x2)，若x1<x2则f(x1)<f(x2)或者若x1<x2则f(x1)>f(x2)，则称该函数是严格单调函数。
严格单调函数具有非常重要的性质，比如在一个区间内只有一个零点、在一个区间内只有一个反函数等。
3. 连续型随机变量的严格单调函数的概率密度假设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。
如果f(x)是一个严格单调函数，那么我们可以得到一些有趣的结果。
根据严格单调函数的性质，我们可以知道在任意的区间[a, b]内，f(x)的取值是严格单调递增或递减的。
这意味着X落在不同区间内的概率是按照一定的规律递增或递减的。
这对于我们理解连续型随机变量的概率分布有很大的帮助。
4. 个人观点和理解从我个人的观点来看，连续型随机变量的严格单调函数的概率密度是一个非常有意思的话题。
它不仅能帮助我们更深入地理解概率密度函数的特性，还能让我们对随机变量的概率分布有更加直观的认识。
通过研究严格单调函数的概率密度，我们也可以更好地理解随机变量的取值规律和分布特点。
深入研究连续型随机变量的严格单调函数的概率密度对于我们理解概率论和数理统计的基本概念具有重要的意义。
总结：本文通过回顾连续型随机变量的概率密度函数和严格单调函数的性质，探讨了连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
§2.3 连续型随机变量及其分布
（2）指数分布 若随机变量 的密度函数p( x) 为：
e x , x 0 p ( x) ( 0) ，则称 服从参数为 的指 0, x 0
数分布，记作 ~ E( )
指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它 常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电 电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以
k ) 2 (k ) 1
注意 这个概率与 无关.
例2.3.7 设随机变量 （1）P(102 117) （2）常数a，使得
服从正态分布 N (108,9) 求
P( a) 0.95
解（1） P(102 117 ) (117 108 ) (102 108 )
2） F ( x) p(t )dt
xபைடு நூலகம்
x
注意
1) 求密度函数中的待定常数往往借助 2) 由密度函数求分布函数需要对自变
于密度函数的性质.
量的情形进行讨论.
例2.3.3 设连续型随机变量的分布函数为
0, x a xa F ( x) ,a x b b a 1, x b
则称 服从区间a, b 上的均匀分布，记作 ~ U a, b 向区间
a, b 上均匀投掷随机点，则随机点的
坐标 服从 a, b 上的均匀分布.在实际问题中， 还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车 站的候车时间，近似计算中的舍入误差等都服从 均匀分布.
设随机变量 ~ U a, b ，则对任意满足c, d a, b
解：
P ( ) P ( 1
1) 2 (1) 1 0.6826
2) 2 (2) 1 0.9545
3.2常见的一维连续型随机变量-PPT文档
a
b x
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2019年2月5日星期二
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3.2
均匀分布的分布函数
常用连续型随机变量
若 随 机 变 量 X 服 从 区 间 ab ， 上 的 均 匀 分 布 ， 则 X 的 分 布 函 数 为
0 xa x a Fx a x b b a b x 1
a b
由此可知，
2019年2月5日星期二
1 dx 1 ． ba a 1 a x b f xba 确是密度函数． 其它 0 返回主目录
1
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3.2
均匀分布的概率背景
常用连续型随机变量
如果随机变量 X 服从区间 a ， b 上的均匀分布， 变量
1．
由此可知，
ex f x 0
2019年2月5日星期二 8
确是一密度函数．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3.2
常用连续型随机变量
指数分布的分布函数
若随机变量 X服从参数 指数分布， 则 X 的分布函数为
x0 0 x x F 1 e x 0
2019年2月5日星期二
11
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3.2
密度函数的验证
常用连续型随机变量
2 设 X ~ N ， ， f x 是其密度函数
1 f x e 2
x 2
2 2
0
下面验证：
x
x 2 2
2
1 f x dx e 2
2019年2月5日星期二 12
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
应用概率统计 试卷
学生姓名： 学号： 专业年级： 成绩：一、 填空题（每小题2分，本题共16分）1、设随机变量()~1,4X N -，则{}3P X >-=。
（ 已知标准正态分布函数值：()()()00.500,10.8413,20.9772φφφ===） 2、设随机变量X 服从泊松分布且具有方差2，那么X 的分布律为 。
3、设一维连续型随机变量X 的概率密度函数为()2,010,Xx x f x <<⎧=⎨⎩其余，则随机变量2XY =的概率密度函数为 。
4、以下是利用MINITAB 对变量X 和Y 的线性相关性作回归分析所得结果，由此判定回归 方程是 。
The regression equation is y = 0.63 + 0.040 x Analysis of VarianceSource DF SS MS F P Regression 1 0.178 0.178 0.13 0.725 Residual Error 9 12.200 1.356 Total 10 12.3785、设总体()1210~0,1,,,...X N X X X 是它的一个样本，则2222213579X X X X X ++++服从 分布。
6、设正态总体的均方差3σ=，该总体的一个容量为9的样本的样本均值 3.5x =，则 总体均值的置信水平为95%的置信区间是 。
7、在双因素有交互作用的方差分析中，设因素A 有3个水平，因素B 有2个水平，每个 处理作两次重复试验，则试验误差平方和的自由度E df = 。
8、设Y 关于X 的线性回归方程为 01Y X ββ=+，则 01,ββ==。
（ 10,780,88,3,24xxyy xy L L L x y ===== ）二、单项选择题（每小题2分，本题共18分）1、设()()()0.8,0.4,|0.6,P A P B P A B ===则()()|P B A =。
.0.24.0.32.0.30.0.48A B C D2、设12,X X 是相互独立的两个随机变量，则()()122D X X -=。
连续型随机变量与概率密度函数
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为
一维连续型随机变量及其概率密度
P { X > 2000, X > 1000} = P { X > 1000} P { X > 2000} = P { X > 1000}
1 − P{ X ≤ 2000} = 1 − P { X ≤ 1000}
1 − F ( 2000) = 1 − F (1000) =e
− 1 2
≈ 0.607.
第2.3节 一维连续型随机变量 2.3节 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质 1.定义 定义
设 X为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数 , 若存在 F ( x) =
非负可积函数 p( x ), 使对于任意实数 x 有
7 7 ( 3) P {1 < X ≤ } = F ( ) − F (1) = 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, p( x ) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数
x 1 P { X ≤ x }= F ( x ) = ∫−∞e 2πσ ( t − µ )2 − 2σ 2
dt
=?
方法一:利用 软件包计算(演示 方法一 利用MATLAB软件包计算 演示 利用 软件包计算 演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算
因而有
2 Y ~ B 3, . 3
2 2 3
概率统计 第三章 连续型随机变量
（２）Ｙ：30个元件中寿命大于２万小时的 元件个数．则Ｙ服从的分布律为？
Ｙ～Ｂ（30,0.4060） Ｐ（Ｙ３）＝１－Ｐ（Ｙ＝０）－ Ｐ（Ｙ＝１）－Ｐ（Ｙ＝２）
４、正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A，B间真实距离为，测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态？
解：X～ （２，１），又（２）＝ （２－１）！＝１
1 2 1 x x x e xe x0 f ( x) (2) 0 x0
2
( X 2) 2 f ( x)dx 2 xe dx
x
xe
x 2
2 e dx 3e 0.4060
b
(3) 归一性
b
f ( x)dx 1 ＝
b a
事实上
f ( x)dx lim
b a a
f ( x)dx lim F (b) F (a) F () F () 1
0
(4) 若f(x)在x0处连续，则有 F ( x) x x f ( x0 ) (5) f(x)在x0处连续，且Δh充分小时,有
定义３．２．５若随机变量X的概率密度函数为
1 f ( x) 2
e
( x )2 2 2
x ,
（其中 ，为实数，>0）
则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
3.1 一维连续型随机变量(带编号)
d
（ c
） d b
x
P{c X d } f ( x )dx
c
d
c
1 d c dx ba ba
28
例.设X 在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x 2 Xx 1 0
2
有实根的概率。
解 方程有实数根 即 X 1
4X 4 0
2
1 , ( 1 x 5); 而 X 的密度函数为 f ( x) 6 0, otherwise
所求概率为 P{ 1}
1
f ( x)dx
1
2 f ( x)dx 3
29
30
31
2.指数分布 Exponential Distribution
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
e x x 0 f ( x) x0 0
0 为常数, 则称X服从参数为 的指数分布.
9
二.连续型随机变量与密度函数
1.定义3.2 设X为一随机变量,其分布函数为 F(x)，若存在非负实函数 f (x) , 使对任 意实数 x ，有
F ( x) f (t )dt
x
则称X为连续型随机变量，f (x)称为X 的概率密度 函数,简称概率密度或密度函数. 例3.2分布函数连续,除有限个点外处处可导, 其密度就是F’ 10
2.密度函数的性质
1).非负性
2).规范性
f (x) 0, x ( , )
f ( x)dx 1
P{ x } 1
以上两条为密度函数的 特征, 给出f 就能得到F,变上 限积分, F是连续的.
概率统计9 一维连续型随机变量的密度函数 教学设计
《概率统计II》教学设计一维连续性随机变量的密度函数一维连续型随机变量的密度函数教学设计【教学题目】§2.3 一维连续型随机变量的密度函数【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练应用密度函数【教学思想】1、连续型随机变量的密度函数的引入，是微元分析法的进一步运用，蕴含了无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一的辩证法教学思想。
2、采用“类比”法，将连续型随机变量的概率与非均匀细杆的质量计算做类比，引入概率密度函数的概念；3、概率密度函数与分布函数体现了导函数与原函数之间的关系。
4、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生求解连续型随机变量的密度函数和分布函数的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）回顾高等数学的导数和积分公式。
（2）密度函数的定义和性质。
（3）密度函数和分布函数的求解。
2、重难点分析：密度函数是连续型随机变量的标杆，已知连续型随机变量，关键就在于求其密度函数；已知一个变量的密度函数，就能明确该变量是连续型随机变量。
密度函数的求解是重点。
本节课的难点是分布函数的求解。
含参变量的积分是学生学习的难点。
【教学方法和策略】黑板板书结合PPT演示，采用启发式、提问式教学，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。
【教学安排】前面，我们已经对离散型随机变量进行了研究。
下面将要研究另一类十分重要而且常见的随机变量，它与离散型随机变量不同，试验结果不止取可列个值，如测量误差、分子运动速度、电灯泡的寿命等，相应的随机变量能取某区间内的一切值，这类随机变量无法像离散型随机变量那样，列出所有可能取值对应的概率、写出分布律。
我们只能去关心这样的随机变量X落在某个区间[a, b]内的概率P{a≤X≤b}。
概率统计公式
概率统计公式概率统计是一门研究随机现象规律的学科，它是数学的一个分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在概率统计的研究中，有许多重要的公式被广泛应用。
本文将介绍概率统计的一些重要公式，帮助读者了解概率统计的基本原理和公式。
1.基本概率公式(1)事件的概率公式对于一个随机事件A，其概率可以表示为P(A)。
假设样本空间Ω中可能出现的所有事件数为n，事件A中包含的基本事件数为m，则事件A 的概率可以用如下公式表示：P(A)=m/n(2)互斥事件的概率公式对于两个互斥事件A和B，其概率可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)事件的补事件的概率公式对于事件A的补事件A'，其概率可以表示为：P(A')=1-P(A)2.条件概率公式(1)条件概率公式对于事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)(2)全概率公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)(3) Bayes公式对于一组事件B1,B2,...,Bn，它们互斥且构成了样本空间Ω的一个划分，事件A可以表示为：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)]3.随机变量公式(1)离散型随机变量的概率质量函数对于离散型随机变量X，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，概率质量函数可以表示为：P(X = xi) = pi(2)随机变量的期望公式对于离散型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn(3)二维离散型随机变量的协方差公式对于二维离散型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]4.连续型随机变量公式(1)连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) ≥ 0, ∫f(x)dx = 1(2)连续型随机变量的期望公式对于连续型随机变量X，其期望可以表示为：E(X) = ∫xf(x)dx(3)二维连续型随机变量的协方差公式对于二维连续型随机变量(X,Y)，其协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]5.大数定律和中心极限定理(1)大数定律对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的概率收敛于总体均值，即：lim(n→∞) P(，(X1 + X2 + ... + Xn) / n - μ，< ε) = 1(2)中心极限定理对于一组独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，样本均值的分布趋向于正态分布，即：lim(n→∞) P[(X1 + X2 + ... + Xn - nμ) / (σ√n) < x] =Φ(x)以上是一些概率统计中常用的公式，它们对于理解概率统计的基本原理和进行实际计算非常重要。
§3.1 一维连续型随机变量及其分布
求分布函数 F ( x ).
设随机变量X的分布函数为 例 设随机变量 的分布函数为
A / 2e x , x≤0 F ( x ) = 0.5, 0 < x ≤ 1 B + Ce −( x −1) , x > 1 求A，B，C的值 .
A 设随机变量X有密度 例 设随机变量 有密度 f ( x ) = x , x ∈ R, −x e +e
面积为 F ( x )
f ( x)
O
x
x
连续型随机变量的分布函数的性质： 连续型随机变量的分布函数的性质： 1) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1；
F 2)F(x)单调不减，即当 x1 ≤ x2 时， ( x1 ) ≤ F ( x2 ); 单调不减， 单调不减
3) F ( −∞ ) = xlim F ( x ) = 0, F ( +∞ ) = xlim F ( x ) = 1; → −∞ → +∞ 4)F(x)右连续，即对任意实数 x , F ( x + 0) = F ( x ). 右连续， 右连续
密度函数一定连续吗？ 问题 (1) 密度函数一定连续吗？ (2) 对于一个给定的连续型随机变量， 对于一个给定的连续型随机变量， 其密度函数唯一吗？ 其密度函数唯一吗？ (3) 连续型随机变量与离散型随机变量 的本质区别是什么? 的本质区别是什么
连续型随机变量与离散型随机变量的本质 区别在于： 区别在于：连续型随机变量取单个值的概率 为零，也离散型不一定， 为零，也离散型不一定，这主要是由于积分 的性质.由此，便有下列的等价形式： 的性质 由此，便有下列的等价形式： 由此
d F ( x ) = f ( x ). dx
设连续型随机变量X有分布函数 例 设连续型随机变量 有分布函数
一维连续型随机变量及其概率密度
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
p( x )
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
由F(x) x p(t)dt得
当x0时 ,
x
F(x) 0dt0
当0x3时
,
F(x)
x p(t)dt
p(x)
(7)当固μ定 ,改变 σ的大小 , p(时 x)图形的对称轴 不变 ,而形状在 ,σ越 改小 变 ,图形越高 ,σ越 越大 ,瘦 图形越矮 . 越胖
p(x)
正态分布密度函数图形演示
正态分布的分布函数
F(x) 1 e dt x (t2σμ2)2 2σ
正态分布分布函数图形演示
1
u2
e 2 σdu
2σ
xμ
σ
1
u2
e 2 du
2
x μ . σ
证毕
因 P { c X 而 d } F ( d ) F ( c )
d σμc σμ.
即 P { c X d } d σ μ c σ μ .
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.
解 X 的分布密度函数为
p(x)13, 2 x5, 0, 其它.
设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”, 即 A={ X >3 }.
由 P (A 于 ) P { X 3 } 51dx2,
已 X ~ N ( 0 , 1 知 ) 证 ,: ( x ) P 明 { X x } 1 ( x ).
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《概率统计II》
连续型随机变量的密度函数
(Density Function of Continuous Random Variable )
2014年7月
姓名： 学校：
引例 产品尺寸问题
测量误差 分子运动速度 电灯泡的寿命
可能取值 为实数轴 上某区间
这类随机变量无法像离散型随机变量那 样，列出所有可能取值对应的概率、写 出分布律
x
F ( x) f ( x)dx
• 连续型随机变量：密度函数 • 已知分布函数求密度函数，是导数的具
体应用 • 已知密度函数求分布函数，是含参变量
的积分的具体应用
课后作业
练习册2-3: 第2、3题
(1) 求系数A
(2) 求P0 x 1
(3) 求分布函数F(x)
思考与讨论
在计算连续型随机变量落在某一区间内的概 率时，是否需要区分该区间是开区间还是闭 区间或者是半闭区间？
pa X b ? pa X b ? pa X b ?
内容小结
连续型随机变量的密度函数
定义：设 X 是一随机变量，F(x) 是它的分 布函数。如果存在某个非负函数 f ( x )，使 对任意的实数x，有
x
F ( x) f ( x)dx
则称随机变量X为连续型随机变量，并称 f ( x )为随机变量X的密度函数。
连续型随机变量的密度函数
性质：
y f(x)
f ( x)dx 1
对于任意的a, b (a<b)有：
P(a X b) F(b) F(a)
b
Oa
b
x f ( x)dx a
在 F(x)可导点x处，满足：
dF ( x) f ( x) dx
应用
例1 设随机变量 的密度函数为： f ( x) Ae x , x
关心 X ∈ [a, b]的概率P{a≤X ≤b}
连续型随机变量的密度函数
单位长度的质量 f ( x ) 线位长度的概率 f ( x ) 概率密度
b
P{a X b} a f ( x)dx
随机变量X落于该区间[a,b]上的概率 P{a≤X ≤ b} 等于概率密度f ( x )在区间[a,b]上的积分。