浅谈数学类比法

浅谈数学类比法

惠州市第一中学数学科组李海媚

科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数

学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。其推理过程是:对象A具属性a、b、c、d

对象B具属性a、b、c

则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。

一、一般与特殊的类比

研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。

:xR,,例1已知,为正常数且

1，f(x)f(x，a),

1,f(x)

则f(x)是否为周期函数,若是，求它的周期，若不是，说明理由。

分析:拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了:

,1，tanx因为tan(x，),41,tanx ,且f(x),tanx是以,4，为周期的周期函数,所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。,4

1，f(x)证明:？f(x，a),1,f(x)

1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x),,？f(x，2a),f(x，a)，a,,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1, 1,f(x)

11,,？f(x，4a),f(x，2a)，2a,,,,,f(x)1f(x，2a),f(x)

因此()是以4为周期的周期函数，fxa。

32,，,1995219951993 例:2计算(1995年北京市初中数学竞赛题，

32，,199519951996

分析:本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行

求解。

1995,a

322 2(2)(2)(1)1993a,a,a,a,a,,,3221996(1)(2)(1)a，a,a，a，a,

二、生疏与熟悉的类比

对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的某些部分(条件、结论、图形、形式、数据等等)与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。

例2设a满足:、、b、

2,a,bc,8a，7,0, ,22,b，c，bc,6a，6,0,

求a的取值范围。，1986全国高中数学竞赛试题，

解:把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c，

2

42222:baabaa由此得，(,14，13)，(,8，7),0

2b,,因为,0所以方程有非负根从而有

2222,(a,14a，13),4(a,8a，7),0,,2,a,14a，13,0,

22,a,14a，13,2a,8a，7,即 ,2,a,14a，13,0,

解得1,a,9

三、复杂与简单的类比

数学中常常有这样的情况，从一些简单的问题引出的结论，可以推广到更复杂的情况去，例如:平面几何中的许多结论可以平行地推选广到立体几何中去，反过来，本来是比较复杂的问题，解决它有困难时，又可先研究与之相应的简单情况，通过类比，看这个复杂问题是不是简单的推广，能否参照解决简单问题时所用的方法来解决问题。

,,例4:四面体A,BCD中,，BAC,30,，BAD,60,AC,a,AD,3a,求证:AB,CD

AA

E

CD ECB

BD

分析:将问题退到平面上，将平面ABC绕AB顺时针旋转，使之与平面ABD在同一平

面上，此时，CD与AB(或其延长线)交于E，由平面几何的知识易知AE是

Rt?ACD斜边上的高，受此启发，我们在原图中作DE?AB，垂足是E，连结EC，则

3

3在Rt,ADE中,AE,3acos60:,a2

122在,ACE中,EC,AC，AE,2AC,AEcos30:,a2

222因此有AE，EC,AC,？，AEC,90:

即AB,EC,？AB,平面ECD

从而可得结论AB,CD

四、“数”与“形”的类比

“数”与“形”是数学研究中的两个主要的对象，也是反映数学问题的两个侧面，它们既是对立的，又是统一的。“数”与“形”结合，寓“数”与“形”，寓“理”于例5:若不等式x,3，x,4,a的解集不是空集,则实数的取值范围是什么?

“形”，相互类比，相互转化是数学学习与研究中运用广泛，意义深刻的思维方法。分析:此题若是用一般的分段讨论的方法去掉绝对值符号，则化费较长的时间，但是如解:x,3，x,4在数轴上可以看成是点M(x,0)与点(3,0)和点(4,0)的距离之和,

显然当点M在点A,B之间时取得最小值1,即x,3，x,4的最小值为1

？1,x,3，x,4,a

？a,1

果联想到绝对值的几何意义，将数与形结合起来，此题不到一分钟便可得到答案。

类比还有很多方法，如正面和反面的类比，“有限”与“无限”的类比，与其他学科解决问题的经验或方法类比等等。类比法是一种发现问题、解决问题的方法，但任何时候，用类比推理得到的猜想都必须经过严密的证明，才能确认它是正确的，否则容易得到错误的结论。

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