对象特性和建模讲解

第一节 数学模型及描述方法
对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
动态数学模型
特例
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第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 模型（c）不完全相同。
一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况，研究对 象的输入变量 是如何影响输 出变量的。
机理模型——从机理出发,即从对象内在的物理和化学
规律出发, 建立描述对象输入输出特性的数学模型。
经验模型——对于已经投产的生产过程,我们可以通过
实验测试或依据积累的操作数据,对系统的输入输出数 据,通过数学回归方法进行处理。
混合模型——通过机理分析,得出模型的结构或函数形
式，而对其中的部分参数通过实测得到。
（a）
研究的目 的是为了 使所设计 的控制系 统达到更 好的控制 效果。
（b）
在产品规格和产 量已确定的情况 下，通过模型计 算，确定设备的 结构、尺寸、工 艺流程和某些工 艺条件。
（c）
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第一节 数学模型及描述方法 分类 数学模型建立的途径不同
机理建模 实测建模 混合模型
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第一节 数学模型及描述方法
因此,时滞对象的传递函数为
图8-7 时滞对象输入、 输出特性
Gs e0s
（8-32）
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第二节 机理建模
对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ0
T
dyt
dt

yt

Kxt
0

（8-33）
在初始条件为零时,对上式进行拉氏变换,得
TsY s Y s Ke0s X s
将上式代入（8-14）式，移项
ARs
dh dt

h

RsQ1
令 T ARs , K Rs
则
T
dh dt

h

KQ1
水槽对象的传递函数为
Gs

H s Q1s

K Ts
1
19
第二节 机理建模
2.RC电路
ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫定理
ei iR e0
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第三节 描述对象特性的参数
举例
简单水槽为例
由前面的推导可知
T
dh dt

h

KQ1
假定Q1为阶跃作用，t<0时Q1=0； t>0或t=0时Q1为一常数，如左图。
图8-12 反应曲线
则函数表达式为 ht KQ1 1 et T
（8-36）
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第三节 描述对象特性的参数
从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被 控变量就发生变化，当t→∞时，被控变量不再变化而达到 了新的稳态值h（∞），这时上式可得：
T yk 1 yk yk Kxk
t
或
T yk 1 1 T yk Kxk
t
t
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第一节 数学模型及描述方法
写成一阶差分方程的一般形式,为
式中
a1yk 1 a0 yk b0xk
T
T
a1 t a0 1 t b0 K
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第一节 数学模型及描述方法
二、数学模型的主要形式
非参量模型
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称 为非参量模型。
特点 缺点
形象、清晰，比较容易看出其定性的特征
直接利用它们来进行系统的分析和设计往往 比较困难
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第一节 数学模型及描述方法 参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参 量模型。
注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设 备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。
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第二节 机理建模
x为输入量
y

xt
0,

0
,
t t

0 0

（8-31）
将 y xt 0 在初始条件为零时进行拉
氏变换,得
Y s e0s X s
（8-27）
图8-4 积分对象
说明，所示贮槽具有积分特性。
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第二节 机理建模
在初始条件为零时,根据拉氏变换的积分性质,对式 (8-27)进行拉氏变换,则有
H s
1 As
Q1
s
积分对象的传递函数G(s)为
Gs
H s Q1s

1 As
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第二节 机理建模
三、时滞对象
影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、 蒸汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可 以分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从右 上图看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量 对温度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对 放大系数最小。
31
第三节 描述对象特性的参数
二、时间常数T
对于二阶微分方程
a2 yk 2 a1yk 1 a0 yk b0xk
递推公式为 yk 1 a0 yk b0 xk
a1
a1
k 0时，y1 a0 y0 b0 x0
a1
a1
k 1时，y2 a0 y1 b0 x1
从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后， 被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象 在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才 能达到新的稳态值。
图8-11 不同时间常数对象的反应曲线
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第三节 描述对象特性的参数
如何定量地表示对象受 干扰后的这种特性呢？
在自动化领域中，往往用 时间常数T来表示。时间常 数越大，表示对象受到干 扰作用后，被控变量变化 得越慢，到达新的稳定值 所需的时间越长。
TsY s Y s KX s
因此一阶对象的传递函数形式为
Gs K
Ts 1
（8-9）
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第一节 数学模型及描述方法
3.差分方程
差分方程是一种时间离散形式的数学模型，用来 描述在各个采样时刻的输入变量与输出变量数值之间 的关系。
an yk n an1yk n 1 a1yk 1 a0 yk （8-10） bmxk m bm1x k m 1 b1xk 1 b0xk
式 (8-10)称为 n阶差分方程,当n= 1时称为一阶差 分方程。
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第一节 数学模型及描述方法
对于一阶微分方程
T dyt yt Kxt
dt
（8-11）
如果将各个信号经过采样,采样间隔时间 (采样周期)为Δt
dyt yk 1 yk
dt
t
将上述关系代入式 (7-11) ,可得
自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控
制器和执行器组成。
研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素，如下图所示。
几个概念
图8-1 对象的输入、输出量
3
通道
调节通道 ？
干扰通道
这时整个对象的传递函数为 Gs 1 e0s
Ts 1
（8-34）
说明：基于机理通过推导可以得到描述对象特性的微分 方程式或传递函数。
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第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数K
对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶 跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某 一数值上。如果我们将流量Q1的变化ΔQ1看作对象的输入， 而液位h的变化Δh看作对象的输出，那么在稳定状态时， 对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象 的静态特性。
a1
a1
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（8-12） （8-13）
第二节 机理建模
一、一阶对象 1.水槽对象
依据
对象物料蓄存量的变化率 ＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料
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第二节 机理建模
Q1 Q2 dt Adh
（8-14）
若变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比
Q2

h Rs
图8-2 水槽对象
有的对象或过程,在受到输入作用后,输出变量要 隔上一段时间才有响应,这种对象称为具有时滞特性的
对象,而这段时间就称为时滞τ0 (或纯滞后)。
时滞的产生一般是由于介质的输送需要一段时间 而引起的。
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第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度v和传送距
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第三节 描述对象特性的参数
hs KQ1 或
K hs Q1
图8-8 水槽液位的变化曲线
K在数值上等于对象重新稳定后的输 出变化量与输入变化量之比。K越大， 就表示对象的输入量有一定变化时， 对输出量的影响越大，即被控变量对 这个量的变化越灵敏。
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第三节 描述对象特性的参数
举例
以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被 控变量K的影响
生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少， 触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量， 来间接地控制转换率和其他指标。
图8-9 一氧化碳变换过程示 意图
图8-10 不同输入作用时的被控变量 变化曲线
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第三节 描述对象特性的参数
（8-7）
第一节 数学模型及描述方法
运用拉氏变换的线性性质与微分性质,对式 (8-1) 两端分别取拉氏变换,则得
ansnY s an1sn1Y s a1sY s a0Y s bmsm X s bm1sm1X s b1sX s b0 X s
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第一节 数学模型及描述方法
举例 一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1yt a0 yt xt
（8-3）
或表示成
Tyt yt Kxt
（8-4）
式中
T a1 , K 1
a0
a0
如果系统处于平衡状态 (静态) ,变量的导数项均为零
离L有如下关系：
0

L v
（8-30）
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第二节 机理建模
从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合 适等原因也会造成传递滞后。
图8-6 蒸汽直接加热器
当加热蒸汽量增大时，槽
内温度升高，然而槽内溶液流
到管道测温点处还要经过一段
时间τ0。所以，相对于蒸汽流 量变化的时刻，实际测得的溶
液温度T要经过时间τ0后才开始 变化。
由于
i C de0
dt
消去i
RC
de0 dt

e0

ei
图8-3 RC电路
或
T
de0 dt

e0

ei
T RC
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第二节 机理建模
二、积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，
称为积分对象。
Q2为常数，变化量为0
1 dh A Q1dt
其中，A为贮槽横截面积
1
h A Q1dt
化工仪表及自动化
第八章 对象特性和建模
内容提要
数学模型及描述方法
被控对象数学模型 数学模型的主要形式
机理建模
一阶对象 积分对象 时滞对象
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内容提要
描述对象特性的参数
放大系数Κ 时间常数Τ 滞后时间τ
实测建模
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第一节 数学模型及描述方法
一、被控对象数学模型
静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。 动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、 差分方程及状态方程等
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第一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学模型及描述方法
1.微分方程 对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x（t） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
由此式可以方便地得到系统传递函数的一般形式
Gs
Y s X s

bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
（8-8）
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第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (8-4)两端取拉氏变换,得
yt 1 xt Kxt
a0
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（8-5）
第一节 数学模型及描述方法
2.传递函数
所谓一个环节 (或对象)的传递函数是在初始条件为
零时,这个环节输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变
换之比,记为
Gs
Y s X s
（8-6）
拉氏变换是对函数的一种变换,定义为
F s f testdt 0 12
an ynt an1yn1t a1yt a0 yt bm xmt bm1xm1t b1xt b0xt
（8-1）
在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入 量的导数项可表示为
an ynt an1 yn1t a1 yt a0 yt xt