第八章多元函数微分学
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
大学高数第八章 多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2． 函数_______________________________.3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。
（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、 求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、 证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、 函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（） 在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、 选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。
(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。
2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（ ）。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
第八章 多元函数的微分学
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
微积分第八章
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.
多元函数微分学讲座.
第八章 多元函数微分学 第一节 基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域 1 二元函数的定义定义1 设x ，y ，z 是三个变量．如果当变量x ，y 在在一定范围D 内任意取定一对数值时，变量z 按照一定的法则f 总有确定的数值与它们对应，则称变量z 是变量x ，y 的二元函数，记为(,)zf x y =.其中x ，y 称为自变量，z 称为因变量.自变量x ，y 的取值范围D 称为函数的定义域.二元函数在点()00,x y 所取得的函数值记为00x x y y z==，(,)x y z 或00(,)f x y2 二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．开区域如: {}22(,)14x y x y <+<闭区域 如:{}22(,)14x y xy ≤+≤注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．(1)ln z = （2）arcsin()zx y =+解（1） 要使函数有意义，应有2210x y --> 即221x y +<，定义域为有界开区域{}22(,)1x y x y +< （2）要使函数有意义，应有1x y +≤，即11x y -≤+≤xx定义域为无界闭区域{}(,)11x y x y -≤+≤3 二元函数的几何意义设(,)P x y 是二元函数(,)z f x y =的定义域D 内的任一点,则相应的函数值为(,)z f x y =,有序数组x ，y ，z 确定了空间一点(,,)M x y z ,称点集{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈为二元函数的图形. 二元函数(,)zf x y =的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续 1．二元函数的极限以点000(,)P x y 为中心，δ为半径的圆内所有点的集合{}2200(,)()()x y x x y y δ-+-<称为点0P 的δ邻域，记作0(,)U P δ．定义2 设二元函数(,)zf x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义（点0P 可以除外）,点(,)P x y 是该领域内异于0P 的任意一点．如果当点(,)P x y 沿任意路径趋于点000(,)P x y 时,函数(,)f x y 总无限趋于常数A ，那么称A 为函数(,)z f x y =当00(,)(,)x y x y →时的极限，记为0lim (,)x x y y f x y A →→= 或 00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=说明：（1）定义中0P P →的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，0lim (,)x x y y f x y →→不相等，则可断定0lim (,)x x y y f x y →→不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例2 求极限22200sin()lim x y x y x y →→+解 22200sin()lim x y x y x y →→+2222200sin()lim x y x y x y x y x y →→=+ 其中 22212x y x x y ≤+ 22200sin()lim 0x y x y x y →→∴=+ 例3 证明 36200lim x y x y x y →→+不存在．证明：设3y kx =，则36200lim x y x y x y →→+6626200lim 1x y kx k x k x k →→==++其值随k 的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点(,)P x y 沿y kx =趋向于000(,)P x y ，若极限值与k 有关，则(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使0lim (,)x xy y f x y →→存在，但两者不相等，则此时(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;2．二元函数的连续性 定义 3 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，如果000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续.定义4 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，分别给自变量x ，y 在0x ，0y 处以增量x ∆，y ∆，得全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-如果极限 00lim 0x y z ∆→∆→∆=则称(,)z f x y =在000(,)P x y 处连续．如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点都连续,则称函数(,)f x y 在区域D 内连续.如果函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 不连续，则称点000(,)P x y 是函数(,)f x y 的间断点. 例4 求23limx y x yxy→→+． 解 因为函数(,)x y f x y xy+=是初等函数,且点(2,3)在该函数的定义域内,故235lim (2,3)6x y x y f xy →→+==. 例5 讨论函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的连续性．解 当(,)(0,0)x y ≠时，(,)f x y 为初等函数,故函数在(,)(0,0)x y ≠点处连续.当(,)(0,0)x y =时，由例6知00lim (,)x y f x y →→=22lim x y xyx y →→+不存在,所以函数(,)f x y 在点(0,0)处不连续，即原点(0,0)是函数的间断点．3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．三、偏导数 1.偏导数的定义 定义 5 设函数(,)z f x y =在000(,)P x y 的某邻域内有定义, 固定0y y =,在0x 处给自变量x 以增量x ∆,相应地得到函数z 关于x 的得增量(称为偏增量):0000(,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-如果极限000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在, 则称此极限值为函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数,记为00x x y y zx==∂∂，00x x y y f x==∂∂，00x x xy y z =='或00(,)x f x y '.类似地,函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为:00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆，记为 00x x y y zy==∂∂，00x x y y fy==∂∂，00x x yy y z =='或00(,)y f x y '.例6 求223z x xy y =++在点(1, 2)处的偏导数. 解 把 y 看成常数,得23zx y x∂=+∂，则1221328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂；把x 看成常数,得32z x y y ∂=+∂，则1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂.例7 求函数(,)arctan x f x y y=的偏导数． 解:222111z y xy x y x y ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222211z x x xy x yx y ⎛⎫∂-=-= ⎪∂+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭例8设u =，证明2221u u u x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 证明：因为u xx u∂=∂，u y y u ∂=∂，u zz u∂=∂， 所以2222222221u u u x y z u x y z u u ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫++=== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例9 已知理想气体的状态方程(R 为常数).求证：1P V TV T P∂∂∂⋅⋅=∂∂∂ 证: 因为RT P V=,2P RT V V∂=-∂；RTV P=,V RT P∂=∂；PV T R=,T VP R∂=∂.所以P V T V T P ∂∂∂⋅⋅∂∂∂2RTV ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R P ⋅1VRT RPV ⋅=-=-． 注：偏导数的记号z x ∂∂,zy∂∂是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例10 求222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的偏导数. 解:220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆ 220000(0,0)(0,0)()0(0,0)lim lim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→∆⋅-+∆-∆+===∆∆. 注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求． (3)由偏导数的概念可知，(,)f x y 在点00(,)x y 处关于x 的偏导数00(,)x f x y '显然就是偏导数(,)x f x y '在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y '是偏导数(,)y f x y '在点00(,)x y 处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．2.偏导数的几何意义：设00000(,,(,))P x y f x y 为曲面(,)z f x y =上的一点，过0P 作平面0y y =截此曲面(,)z f x y =得一曲线，其方程为0(,)z f x y =，则导数00(,)x f x y '就是曲线0(,)z f x y =在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对x 轴的斜率（设切线与x 轴的倾斜角为α，则00(,)tan x f x y α'=）．同样，偏导数00(,)y f x y '是曲面(,)z f x y =与平面0x x =的交线在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对y 轴的斜率（设切线与y 轴的倾斜角为β，则00(,)tan y f x y β'=）． 3、高阶偏导数 函数(,)z f x y =的两个偏导数(,)x zf x y x∂'=∂，(,)y z f x y y ∂'=∂它们都是x ，y 的二元函数,如果这两个函数关于x ，y 的偏导数也存在, 即z x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z y x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂⎝⎭，z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭，称它们为二元函数(,)z f x y =的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将z x x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为22z x ∂∂或(,)xxf x y ''或xx z ''； z y x ∂∂⎛⎫⎪∂∂⎝⎭表为2z x y ∂∂∂或(,)xy f x y ''或xy z ''； z x y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为2z y x ∂∂∂或(,)yxf x y ''或yx z ''； z y y ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂⎝⎭表为22z y ∂∂或(,)yyf x y ''或yy z ''． 其中，2(,)xy xy z z f x y z y x x y ∂∂∂⎛⎫''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2(,)yx yx z zf x y z x y y x⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭是二阶混合偏导数类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的三阶偏导数最多有8个：xxxf '''，xxy f '''，xyx f '''，xyy f '''，yxx f '''，yxy f '''，yyx f '''，yyy f ''' 一般地，1n -阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n 阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的n 阶偏导数最多有2n 个．二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而z x∂∂和z y∂∂称为函数的一阶偏导数．注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数． 定理１（求偏导数次序无关的定理） 如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y∂∂∂，2z y x∂∂∂在区域D 内连续,则对任何(,)x y D ∈有2z x y ∂∂∂2zy x ∂=∂∂. 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．4.全导数的定义 设(,)z f u v =，()u t ϕ=，()v t ψ=，且f、ϕ、ψ均可导，则关于t 的一元函数[(),()]z f t t ϕψ=也可导，且有dz f du f dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ z 对t 的导数叫全导数．四、全微分 1.定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,给x ，y 在00(,)x y 分别以增量x ∆、y ∆，相应地得到函数的全增量z ∆，若其可表示为()z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中A 、B 与x ∆、y ∆无关．ρ=()o ρ为0x ∆→，0y ∆→时ρ的高阶无穷小．则称函数(,)f x y 在000(,)P x y 处可微．A x B y ∆+∆称为(,)f x y 在000(,)P x y 处的全微分，记为00(,)(,)x y dz df x y A x B y ==∆+∆当(,)z f x y =在000(,)P x y 可微时，0000(,)x x x y y zA f x y x==∂'==∂,0000(,)y x x y y z B f x y y==∂'==∂，于是000(,)x y x x x x y y y y z z dz x y xy====∂∂=∆+∆∂∂注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即x dx ∆=，y dy ∆=，则全微分又可记为z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. 五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系 定理 2 若函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则函数在点(,)P x y 连续．定理3 （可微的必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则在该点处的两个偏导数zx∂∂、z y∂∂必都存在，且z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂． 定理4 （可微的充分条件）若函数(,)z f x y =的两个偏导数z x∂∂、z y ∂∂在点(,)P x y 的某领域存在，并且在点(,)P x y 处连续，则函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处必可微．注：若(,)z f x y =在(,)P x y 处,z x∂∂、z y∂∂都存在,不能保证(,)z f x y =在(,)P x y 处可微分.例如：222222,0(,)0,0xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处(0,0)0x f =，(0,0)0y f '=但它在点(0,0)处不可微分.注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.（2）函数(,)z f x y =的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系．六、多元复合函数微分定理(复合函数的偏导数)设函数(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处有连续偏导数,，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处的偏导数存在,且z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂七、隐函数微分zu vxy1.一元隐函数求导公式方程 (,)0()F x y y y x =⇒=，(,())0F x y x ≡，链式图两边对x 求导，得：0F F dy x y dx∂∂+⋅=∂∂， 则xy FFdy x F dx F y∂∂=-=-∂∂2.二元隐函数求导公式方程(,,)0(,)F x y z z z x y =⇒=得(,,(,))0F x y z x y ≡ 两边对x 求导：0F F z x z x∂∂∂+⋅=∂∂∂ 两边对y 求导：0F F z y z y∂∂∂+⋅=∂∂∂ 得x zF zx F ∂=-∂ y zFz yF ∂=-∂7.2 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩，下面给出曲线Γ的切线的定义．定义：设点0000(,,)M x y z 是空间曲线Γ上的一个定点，M 是曲线Γ上的一个动点，当点M 沿着曲线Γ趋近于0M 时，割线0M M 的极限位置0M T （如果存在）称为曲线Γ在点0M 的切线，并称过点0M 而且垂直于切线0M T的平面为曲线Γ在点0M 的法平面．下面推导曲线Γ在点0M 的切线和法平面方程．Fxyx设对应于定点0M 的参数为0t ，令00()x x t =，00()y y t =，00()z z t =，则点0M 的坐标为000(,,)x y z ，设曲线Γ上对应于参数为0t t +∆的点M 的坐标为000(,,)x x y y z z +∆+∆+∆，根据解析几何知识，割线0M M 的方向向量为{,,}x y z ∆∆∆，也可取为{,,}x y zt t t∆∆∆∆∆∆，当0t ∆→时，点M 沿着曲线Γ趋于0M ，割线0M M 的极限位置就是曲线Γ在点0M 的切线，若()x t ，()y t ，()z t 在0t 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向向量为000{(),(),()}x t y t z t '''，从而曲线Γ在点0000(,,)M x y z 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''曲线Γ在点0M 的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=二、曲面的切平面与法线设曲面方程为(,,)0F x y z =，过点0000(,,)M x y z 且完全在曲面上的曲线为Γ，其参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此((),(),())0F x t y t z t =．对t 求导，在0t t =处（即在点0M 处）有000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t ''''''++=向量000{(),(),()}x t y t z t '''是曲线Γ在点0M 的切线的方向向量，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''和这些切线垂直，又由于所取曲线Γ的任意性，可知曲面上任意一条过0M 的曲线，它在点0M 的切线皆垂直于向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''，因此这些切线应位于同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 处的切平面，向量000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''是切平面的法向量．曲面在点0M 处的切平面方程为000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z '''-+-+-=曲面在点0M 处的法线方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---=='''． 7.3 二元函数的极值一、二元函数的极值 定义1：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某个邻域内有定义，若该邻域内00(,)(,)f x y f x y ≤，点00(,)x y 为极大点，00(,)f x y 为极大值；00(,)(,)f x y f x y ≥，点00(,)x y 为极小点，00(,)f x y 为极小值.极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值． 定义2：方程组(,)0(,)0x yf x y f x y '=⎧⎨'=⎩的解，称为函数(,)z f x y =的驻点． 定理1（取极值的必要条件）：若函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 一阶偏导数存在，且000(,)P x y 是(,)z f x y =的极值点，则该点的偏导数必为零，即0000(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩．定理2（极值存在的充分条件）：设点000(,)P x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且函数在点000(,)P x y 的某邻域内二阶偏导数连续，令00(,)xxA f x y ''=00(,)xyB f x y ''=00(,)yyC f x y ''= 则 (1)当20B AC -<时,点000(,)P x y 是极值点,且（i ）当0A <(或0C <)时,点000(,)P x y 是极大值点；()当0A >(或0C >)时,点000(,)P x y 是极小值点.（2）当20B AC ->时，点000(,)P x y 不是极值点.（3）当20B AC -=时，点000(,)P x y 可能是极值点也可能不是极值点.例1 求函数322(,)421f x y x x xy y =-+-+的极值. 解: （1）求偏导数2(,)382x f x y x x y '=-+，(,)22y f x y x y '=-，(,)68xxf x y x '=-，(,)xy f x y y '=，(,)2yy f x y '=-（2）解方程组2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y '⎧=-+=⎪⎨'=-=⎪⎩得驻点(0,0)及(2,2) 在(0,0)处，8A =-,2B =,2C =-,20B AC ∆=-< 在(2,2)处，4A =,2B =,2C =-,20B AC ∆=->结论： 函数在(0,0)处取得极大值(0,0)1f =，在(2,2)无极值. 注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下： （1）求(,)x f x y '，(,)y f x y '，并解方程组(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩，求得所有驻点；（2）对于每一个驻点(,)x y ，求出二阶偏导数的值00(,)xxA f x y ''=，00(,)xyB f x y ''=，00(,)yyC f x y ''=； （3）定出2B AC -的符号，利用极值存在的充分条件判断驻点(,)x y 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．2.求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的极值的方法和步骤如下：方法一：条件极值⇒无条件极值 （1）从约束条件(,)0x y ϕ=中求出()y x ψ=；（2）将()y x ψ=代入二元函数(,)f x y 中化为一元函数(,())f x x ψ，变为无条件极值；（3）求出一元函数(,())f x x ψ的极值即为所求．方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.(1)构造辅助函数(,,)(,)F x y f x y λ=(,)x y λϕ+,称为拉格朗日函数,其中参数λ称为拉格朗日乘数；(2)由(,,)F x y λ的一阶偏导数组成如下方程组：(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0x x x y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y λϕλϕϕ'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪=⎩（3）结上述方程组得驻点00(,)x y ，则00(,)x y 就是函数的极值点，依题意判断00(,)f x y 是极大值还是极小值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．例2 求表面积为2a ，而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则长方体体积为V xyz =，约束条件为22()xy yz xz a ++=即2(,,)2()0x y z xy yz xz a ϕ=++-=构造辅助函数2(,,)2()2a F x y z xyz xy yz xz λ=+++-解联立方程组2(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02()0x yz F x y z yz y z F x y z xz x z F x y z xy x y xy yz xz a λλλ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪++-=⎩解得x y z ===λ=因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知3max 36V a =. 三、最值的求解在有界闭区域D 上连续的函数一定在该区域D 上取得最大值和最小值，最值点可能在D 的内部也可能在D 的边界点上，如果假定函数在D 上连续，在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数(,)f x y 在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数(,)f x y 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数(,)f x y 在D 上的最大值（最小值）.例 3 要做一个容积为V 的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省？解 设箱子的长、宽分别为, x y ，则高为Vxy ．箱子所用材料的表面积为2()V VS xy y x xy xy=+⋅+⋅2()V V xy x y =++ (0x >,0y >)．当面积S 最小时，所用材料最省．为此求函数(, )S x y 的驻点，222()0,2()0,SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩解这个方程组，得唯一驻点． 根据实际问题可以断定，S 一定存在最小值且在区域D 内取得．而在区域D内只有唯一驻点，则该点就是其最小值点，即当===z y x 3V 时，所用的材料最省．最新文件仅供参考已改成word文本。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
第八章 多元函数微分学
例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续 偏导数，函数 可导， 偏导数，函数g(x)可导，且在 可导 且在x=1处取得极值 处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求 求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在 由 可导且在 处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案： （ 考研题） 答案：B（2012考研题） 考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点 解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得
(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =） （ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则 （ A ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则 （ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是 （C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是 （A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为 （D ）（A ） （B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为 （A ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、设函数，则点是函数 的 （ B ）（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点 （B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点 （D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价 且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明： 因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
(整理)多元函数微分
第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。
一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。
多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。
一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。
(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。
难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2u 2u 及 u ( x, 2 x ) x 和 x 2 y 2
u x ( x,2 x) x 2 .求 u xx ( x,2 x), u xy ( x,2 x), u yy ( x,2 x) .
5
§ 8—6
一、 填空题
多元函数微分学的几何应用
1. 连接 M 0 (0,0,1), M1 (1, 1,0) 的曲线为 x t , y t 2 , z t 1 ,求在 t 处由 M 1 指向 M 0 的 单位切向量为 . , 方
2 2
2. F ( x, y )
xy
y
f ( s)ds
1
0
e
x dx .
2
四、 z sin 2 (ax by ) ，求全部的二阶偏导数. 五、求 f ( x, y )
x 2 y 4 在原点处的偏导数.
六、 f ( x, y, z) xy 2 yz 2 zx 2 ，求 f xx (0,0,1), f xz (1,0,2), f zzx (2,0,1) . 七、求 f ( x, y ) arctan
）.
f f f cos cos ，其中 , 为 l 的方向角. （A） y l x
f f f （B） cos sin ，其中 为 l 与 x 轴正向的夹角. y l x
f f f （C） ( , ) (l1 , l 2 ) . x y l
y ，当 x 2, y 1, x 0.1, y 0.2 时，求 z 和 dz 的值． x
1 2 2 ( x y ) cos 2 六、已知二元函数 f ( x, y ) x y2 0 ,
求（1）
( x , y )(0,0)
, x2 y2 0 x2 y2 0
lim
f ( x, y ) ；
（2） f ( x, y ) 在(0,0)处连续性； （4） f ( x, y ) 在(0,0)是否可微？
（3） f x (0,0), f y (0,0) ；
3
§ 8-4 多元复合函数的求导法则
一、 单项选择题
1. u ( x y ) ，写法错误的是（ （A）
）.
1 （A） 2 e x ( ydx xdye x ( ydx xdy ), edy x
（D）
y
1 x e ( ydx xdy ), dy x2
y
1 x e ( ydx xdy ), dy x2
y
三、求下列函数的偏导数 1. z ln x y ；
）. （C）
2. 有且仅有一个间断点的函数为（ （A）
x ； （B） e x ln( x 2 y 2 ) ； y
x ； x y
（D） arctan( xy 1) .
三、求出并画出函数 u 1 x y 1 x y 的定义域. 四、求下列极限. 1.
( x , y )(0,0)
四、求曲线 x t , y t 2 , z t 3 上的点，使在该点的切线平行于平面 x 2 y z 4 .
x 2 y 2 z 2 3x 0, 五、求曲线 在点 P (1,1,1) 处的切线与法平面方程. 2 x 3 y 5z 4 0,
u ； x
）. （C）
[ ( x y )] ； x
（B）
； x
（D） ( x y ) . ）.
2. f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数， u f ( xy , x y ) ，则下列等式中正确的是（
u f f f f f f f ( xy , x y ) f u （A） ；（B） ；（C） y ；（D） y . x x y x x y x x x x
偏
导
数
f x
( x0 , y0 )
d ( , ) f ( x , y0 ) dx x x0
.
2. 设 z
x2 y2 与平面 y 4 的交线在点(2,4,5)的切线与 x 轴正向的夹角是 4
.
3.
1 f f , 都存在，则 lim n[ f ( x , y ) f ( x, y )] n n x y
六、证明以下各题 1. 曲面 xyz a 3 上任一点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为定值. 2. 曲面 F ( y mz, x nz) 0(m, n为常数） 上任一点的切平面与定直线平行.
6
§ 8—7
方向导数与梯度
f 一、已知 l (l1 , l 2 ) 0 ，以下 的计算式中错误的是（ l
五、从方程组
x y u v 1 u v , . 中，求出 2 2 2 x x x y u v 2
2
六、设函数 z ( x, y )由方程F ( x
z z z z , y ) 0确定，则x y z xy . y x x y
七 、 设 函 数 u ( x, y ) 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足 关 系 式
3. f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，且 f ( x, y ) f ( y, x) ，则（ （A） f1/ ( x, y) f1/ ( y, x) ； （C） f1/ ( x, y) f 2/ ( x, y) ；
）.
（B） f1/ ( x, y) f 2/ ( y, x) ； （D） f 2/ ( x, y) f 2/ ( y, x) .
二、求下列函数的一阶偏导或全导数（其中 f 具有一阶连续偏导）
1.
y z xy xf ( ) ； x
2.
u f (
x y , ) ； y z
3 . u f ( x, x 2 , e x ) .
三、设 z ( x y) x y ，求
z z , . x y
2z . xy
f （B） x ; f z
z ______. x
f （C） x ; f 1 z
f f y x y x （D） . f 1 z
2. e z xyz 0 ,
（A）
yz ; z e xy
（B）
y ; x
（C）
yz 2 ; ( z 1)e z
1， xy 0, f ( x, y ) 的连续点集为 3. f ( x, y )= 0， xy 0,
二、单项选择题 1. 下列极限存在的是（ （A） ）.
1 x x 2 ； （ D） 1 . ； （ B ） ； （ C ） x sin lim lim lim lim x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y ( x , y ) ( 0 , 0 )
2. 球面 x 2 y 2 z 2 R2 上任意一点 ( x, y , z ) 处的向外的一个法向量为 向余弦为 .
二、在曲面 S : z xy 上求出一点，使此点处的法线与平面 x 3 y z 9 0 垂直，并写出法线
的方程. 三、曲线 :
x yz 0 1 1 , ,0) 处的切线及法平面. 在点 p 0 ( 2 2 2 2 2 x y z 1
f f _______, ______, f ______. x y
3．若 f (0,0) f x(0,0) f y(0,0) 0 且 f 在点（0,0）处可微，则
( x , y )(0,0)
lim
f ( x, y ) x2 y2
.
二、单项选择题 函数 f ( x, y ) 在点 P 处全微分存在的充分条件为(
lim
xy . xy 1 1
2.
1 x
1 cos( x 2 y 2 ) . sin( x 2 y 2 ) ( x , y )(0,0)
lim
3.
( x , y ) (0,1)
lim
(1 sin xy ) .
五、设 f ( x y, ) x y ，求 f ( x, y ) 的表达式.
2 2
y x
六、判断
x y 是否存在，并证明你的结论. ( x , y ) (0,0) x y lim
2 xy , x 2 y 2 0, 2 2 七、讨论二元函数 f ( x, y ) x y 的连续性. 2 2 0, x y 0，
1
§ 8-2
一、 填空题 1.
六、设 u 满足方程：
, , 下 u 满足方程
u 0.
4
§ 8-5 隐函数的求导公式
一、填空题 1. 给定方程 f ( x, y , z ) 0 ,若求 2. 给定方程组：
z ,说明 x
为因变量，
、
为自变量.
F ( x, y , z ) 0 dz , 若求 ,说明 dx G ( x , y , z ) 0
（A） f 的全部二阶偏导数均连续； （C） f 的全部一阶偏导数均存在； （B） f 连续； （D） f 连续且 ).
f f , 都存在. x y
三、计算全微分
1. u ln( x x y z z y ) . 2. z sec( xy ) x .
四、求 z ln 1 x 2 y 2 在(1,1)处全微分. 五、已知函数 z f ( x, y )
f 0 ，则（ x
二、单项选择题 1. 已知 ）. （B） f ( x, y ) 0 （D） f ( x, y) x( y 2 1)
（A） f ( x, y ) 关于变量 x 单调增加