线性离散系统的理论基础

2
1 2j
1
1 e jT
z1
1 2j
1
1 e jT
z1
1
e
jT
z1 z1
sinT
e jT z1
z2
1
z1 sinT 2z1 cosT
z2
aHale Waihona Puke Baidu
19
三. Z 变 换 的 性 质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
a
20
线性性质
若 ： Z [f1 *(t)]F 1(z),Z [f2*(t)]F 2(z)，
所以 F(z) zz1zzeaT (zz(11)(zeaeT)aT)
a
18
例8-4 求 F(z)Z[s in t]
s s 1
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j (t )
F(z)
z
s2
a
10
零阶保持器的传递函数为：
Wh0(s)
1eTS s
a
11
零阶保持器的幅频与相频特 性如下图所示：
a
12
第三节 Z 变 换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
a
13
一. Z变换的定义
采 样 函 数f(t)f(t)(tkT) k0
对其进行拉氏变换：
L [f (t)] F (s ) L k 0f(k T )(t k T ) k 0f(k T )e k T s
k0
z0 z1z2
11z1
z z1
a
16
例8-2 求 e at 的F(Z)。
解 ： Fz eakTzk e0z0eaTz1e2aTz2 k0 1e 1aTz1zzeaT
a
17
部分分式法
例8-3
求解
a F(s)
s(s a)
的Z变换 。
解：因为 Fs A B 1 1
s sa s sa
而 L1Fs1(t)eat
则Z [1f1 *(t)2f2(t)]1F 1(z)2F 2(z)
a
21
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Zf(tiT)ziF(z)
a
22
超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
i 1
Z[f(tiT)]ziF (z)zi f(kT)zk k0
a
23
复位移定理
xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+…
=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……
或表示为
xc(k)=T[xr(k)]
当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。
a
30
差分方程的解法
迭代法 Z变换法
a
31
迭代法
例 8-5：已知采样系统的差分方程是
x c ( k ) x c ( k 1 ) x r ( k ) 2 x r ( k 2 )
• 采样周期通常是相同的。
a
6
第二节 信号的采样采样定理
离散时间函数的数学表达式
先看一下原理示意图：
采样过程
a
7
采样函数的频谱分析
a
8
香农（Shannon）采样定理
为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等 于原始信号最大频率的二倍，即
s 2max
a
9
信号的复现
把采样信号恢复为原来的连续 信号称为信号的复现。实用的办法 是加入保持器。常用的为零阶保持 器。
令 z e T s ， 则 上 式 变 为 Z [f ( t) ] F (z )f( k T )z k k 0
此式称为采样函数 f ( t ) 的Z变换。
a
14
二. Z变换的方法 级数求和法 部分分式法
a
15
级数求和法
例8-1 求1*（t）的Z变换 。
解：F(z)Z[1(t)] 1(kT)zk
第八章 线性离散系统的理论基础
本章主要与学习重点
❖第一节 基本概念
❖第二节 信号的采样采样定理
❖第三节 Z变换
❖第四节 线性常系数差分方程
❖第五节 脉冲传递函数
❖第六节 采样控制系统的时域分析
❖第七节 采样控制系统的频域分析
❖小结
a
1
本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相 关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保 持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、 基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建 立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。
初始条件： k
xr(k) 0
a
3
▪ 自动控制系统按信号形式划分可分 为以下三种类型
➢ 连续控制系统，见图（a） ➢ 采样控制系统，见图（b） ➢ 数字控制系统，见图（c）
a
4
a
5
采样系统的特点
• 在连续系统中的一处或几处设置采样 开关，对被控对象进行断续控制；
• 通常采样周期远小于被控对象的时间 常数；
• 采样开关合上的时间远小于断开的时 间；
设 Z{f(t)}=F(z)，则
Z[eatf(t)]F(zeaT)
a
24
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f(t)f(0)lim F(z) z
a
25
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为
l i m f( t ) f( ) l i m ( z 1 ) F ( z ) l i m ( 1 z 1 ) F ( z )
a
27
Z反变换
幂级数展开法
部分分式法
反演积分法（留数法）
a
28
第四节 线性常系数差分方程
差分方程的定义 差分方程的解法
a
29
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的 输与的如出过输下值去出：时值xc刻x(kc()的k不-1输仅)，入与值x这c(xk一r-(2k时)-…1)刻，有的关x输r(。k入-可2)值…以x有把r(关k这)有，种关还关，与系而过描且去述
t
z 1
z 1
a
26
卷积和定理
若
k
xc(kT)
g(ki)Trx(iT)
，
i0
其中，k=0，1，2，…且当k=-1，-2，-3，…时，
xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0， 则
Xc(z)W (z)Xr(z)
式中， W ( z ) Z [ g ( k)T X ] r ( z ,) Z [ x r ( k)T ]
本章重点 学习本章，需要掌握离散系
统的相关基本概念，特别是采样过程和采样 定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程 和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利 用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应， 离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。
a
2
第一节 基本概念
❖ 采样控制系统 ❖ 数字控制系统 ❖ 离散控制系统的特点 ❖ 采 样信号