线性离散系统的理论基础
线性离散哈密顿系统谱理论
线性离散哈密顿系统谱理论自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来，Hamilton原理已经成为现代物理的基石。
Hamilton原理描述的是一切真实的，耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统。
由于Hamilton系统的广泛应用，因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰。
线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义，而且是解决实际问题的工具。
例如，Schr(?)dinger方程是量子力学的基本方程。
量子力学中，粒子的行为可由Schr(?)dinger方程的波函数来描述，它的能量对应着Schr(?)dinger算子的谱。
其中，孤立点谱对应着粒子的能量级，它解释了粒子由一个能量级向另一个能量级跃迁的现象。
这种现象是经典力学无法解释的，而连续谱与粒子的分布有密切关系。
Schr(?)dinger方程就是Hamilton系统的特殊形式。
连续Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1，2]及其参考文献)，它的谱理论也已被集中而深入地研究。
连续线性Hamilton系统的谱问题可分为两类：定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题；否则，称之为奇异谱问题。
对于正则谱问题，已取得了许多很好的成果(见[3-11，13])。
奇异系统谱问题研究相当困难，这是因为奇异微分算子不但有点谱，还有连续谱等，已不能单纯利用处理有界算子谱问题的方法进行研究。
1910年，H．Weyl 开创了二阶奇异形式自伴微分算子谱理论(奇异Sturm-Liouville理论)的研究[14]。
此后不久，奇异Sturm-Liouville理论就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段之一，从而引起了数学界与物理学界的关注。
许多知名学者，如Titchmarsh，Coddington，Levinson，Weidmann，Hinton，Krall 等，将H．Weyl的工作进一步深化并推广到线性Hamilton系统(见[3，4，6，15-37]及其参考文献)。
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
线性离散系统的分析
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
第7章 线性离散控制系统分析
f * (t )
7. 3 Z 变换
7.3.1 Z变换的定义
连续信号 f (t ) 经过采样后的离散信号 f * (t ) 为
f * (t ) f (nT ) (t nT )
其拉普拉斯变换为 令
z e Ts
F (s) L[ f (t )] f (nT )e nTs
* * n 0
的根都位于[W] 的左半部。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.2开环增益和采样周期对离散系统稳定性的影响
开环增益与采样周期对离散系统稳定性的影响： （1）采样周期一定时，增大开环增益会使离散系统的稳 定性变差，甚至使系统不稳定； （2）开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越 多，离散系统的稳定性及动态性能变差，甚至使系
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中，
R( z ) z /( z 1)
。系统输出的变换式为
将上式按幂级数展开，进行Z反变换，可求出输出信号的 脉冲序列 c* (t ) ，绘制单位阶跃响应曲线 c* (t ) ，从而分析 离散系统的动态性能。若不能求出离散系统的闭环脉冲传 递函数 ( z ) ，而R( z) 是已知的，可直接写出 C ( z ) 的表达式。
在线性采样系统理论中，把初始条件为零情况下，系统的离 散输出信号的变换与离散输入信号的变换之比，定义为脉冲 C ( z) 传递函数，记为 G(z)
R( z)
系统输出采样的脉冲序列为 c* (t ) z 1[C ( z)] z 1[G( z) R( z)]
自动控制原理胡寿松笔记
自动控制原理胡寿松笔记自动控制原理是电气工程领域的重要课程，胡寿松教授的笔记是该领域学习的重要参考资料。
本文将按照章节顺序，对胡寿松教授的笔记进行梳理和总结，帮助读者更好地理解和掌握自动控制原理。
第一章自动控制的基本概念1. 自动控制的基本组成：控制器、传感器、执行器、被控对象。
2. 自动控制的目的：实现对系统的稳态和动态性能的优化。
3. 自动控制的基本术语：控制量、受控量、干扰、传递、转换等。
4. 自动控制系统的分类：开环控制系统和闭环控制系统。
第二章自动控制系统的数学模型1. 微分方程：描述系统动态特性的基本数学工具。
2. 传递函数：描述控制系统动态特性的重要数学模型。
3. 动态结构图：描述控制系统动态特性的图形工具。
4. 信号流图：描述控制系统内部信息传递方式的图形工具。
5. 梅逊公式：用于将微分方程转化为传递函数的公式。
第三章线性定常系统的时域分析法1. 控制系统性能的评价指标：稳态误差、超调量、调节时间等。
2. 系统的稳定性分析：稳定性定义、代数稳定判据、李亚普诺夫直接法。
3. 系统性能的改善：放大缩小法、超前滞后补偿法、PID控制器等。
4. 一系列具体分析方法的介绍：单位阶跃响应、斜坡响应、李亚普诺夫直接法等。
第四章线性定常系统的根轨迹法1. 根轨迹的基本概念和性质：幅值-相位特性、零点-极点关系、渐近线等。
2. 绘制根轨迹的基本规则和步骤：参数方程、几何意义、注意事项等。
3. 根轨迹图的特征分析：闭环零点、极点与系统性能的关系等。
4. 基于根轨迹法的系统优化设计：稳定化控制器设计、增益调度等。
第五章线性系统的频域分析法1. 频率域的基本概念和性质：频率特性、频率响应、频域分析方法等。
2. 频率域分析方法的应用：稳定性分析、系统性能评估、频率特性设计等。
3. 对数频率特性曲线及其应用：增益边界和相位边界的意义、系统性能的评估等。
4. 基于频率域分析法的系统优化设计：频率相关控制器设计、频率调制等。
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
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成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
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第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
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第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
第8章 线性离散时间控制系统
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
第4章：线性离散系统的数学描述1
这是一个二阶离散系统，该系统稳定的充要条
件为：
∴使系统稳定的k值范围为 0<k<2.39
思考题：
1、自己随便定一个一阶微分方程，用前向 差分将其转变成差分方程。 2、描述Z变换中的实数位移定理和复数位 移定理。 3、会用Z变换解差分方程。 4、会写闭环系统Z传递函数。 5、线性离散系统稳定性分析。
du(t ) 将 用后向差分 dt
代替得：
u(k ) u(k 1) T
整理后得：
2.用差分方程描述离散系统
（1）系统本身是离散过程
（2）系统本身是连续的采样控制系统： 利用定义推导3. 差 Nhomakorabea方程的解法
（递推法）
……
3. 差分方程的解法
（2）经典分析法：全解=通解+特解。麻 烦。 （3）Z变换法
离散系统的闭环脉冲传递函数为
z
K (0.368z 0.264) z 2 (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
G0 ( z ) 1 G0 ( z )
于是，离散系统的闭环特征方程为
2.离散系统的稳定性判定
D(z)=z2(0.368K－1.368)z+(0.264K+0.368)=0
第4章：线性离散系统的数学描述 与分析
一、离散系统的差分方程描述 二、线性离散系统的z传递函数描述 三、线性离散系统的稳定性分析
一、离散系统的差分方程描述
1. 差分方程的定义 2. 用差分方程描述离散系统 3. 差分方程的解法
1. 差分方程的定义
描述方程
分析工具
拉普拉斯变换
Z变换
典型的离散信号—均是单边信号
定义：零初始条件下，线性定常离散控制系统的输出序 列的z变换和输入序列的z变换之比。
自动控制原理 胡寿松 第七章 线性离散系统的分析与校正
2.数字控制系统（也称计算机控制系统，时间和幅值上都是离散的）
被控对象中包含了 放大器，执行器等
计算机控制系统典型原理图
严格讲，此图不一定对。
再看一例计算机控制系统： P9，图1-12
1）A / D 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。它的转换包括两个过程： 一是采样过程；二是量化过程，计算机中任何数值的离散信号必须表示成二进制 数才能进行运算。 2）D / A 转换器是把离散的数字信号转换为连续的模拟信号的装置。它的转换也经历两个 过程：一是解码过程，把离散数字信号转换为离散的模拟信号；二是复现过程， 经过保持器将离散的模拟信号复现为连续的模拟信号。
7-1 .信号的采样和保持
离散系统的特点是，系统中一处或数处的信号是脉冲序列或数字序列。为 了把连续信号变换为脉冲信号，需要使用采样器；另一方面，为了控制连续式 元部件，又需要使用保持器将脉冲信号变换为连续信号。因此，为了定量研究 离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程用数学的方法加以描述。
本节内容
3）数字控制系统的典型结构图
e
e
数字控制统典型结构图
此图将数字控制器的控制律用线性连续系统传递函数来代替了。
3.离散控制系统的特点
采样和数控技术，在自动控制领域中得到了广泛的应用，其主要原因是采样 系统，特别是数字控制系统较之相应的连续系统具有一系列的特点： 1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，且由软件实现 的控制律易于改变，控制灵活。 2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效的抑制噪声，从而提高了系统的抗 扰能力。 3）允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度（有些高灵敏度的检测 元件提供的检测信号就是离散的）。 4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 5）对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳定。
离散控制系统及Z变换(补充)
t s(settling
系统的动态特性（ 2、系统的动态特性（dynamic
character）
K T 若对象为 G p (s) = ，一般取 T = 0.1 0 T0 s +1 T 若对象为 Ke−τs ， = (1.2 ~ 0.35)τ ,0.1 ≤ τ T 0≤ 1 G p (s) = T0 s +1 T = (0.35 ~ 0.22)τ ,1 ≤ τ T 0≤ 10
+∞
f * (t) = ∑ f (nT)δ (t − nT)
n=0
对上式两边取拉氏变换， 对上式两边取拉氏变换，令 F(s) = L[ f * (t)] 则
F(s) = ∑L[ f (t)] = ∑ f (nT)L[δ (t − nT)] = ∑ f (nT)e
* n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ +∞ −nTs
终值定理( 5、终值定理(finial value theorem)
f (∞) = lim f * (t) = lim f (nT) = lim (1− z −1)F(z) = lim (z −1)F(z)
t→∞ n→∞ z→ 1 z→ 1
1
0
h0 (t) =1(t) −1(t −T)
T
t
三、 数字控制系统中采样周期T的确定 数字控制系统中采样周期T
(采样周期:sampling period) 采样周期:sampling
1、理论依据
香农采样定理： 香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续 的变化规律， 信号 f (t) 的变化规律，采样频率 f 至少应该是 f (t) 频谱 的两倍, 的最高频率 fmax的两倍,即
宽度为0的脉冲量， 宽度为0的脉冲量，图形表示 如右， 如右，
离散系统建模与仿真理论基础_南开大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
离散系统建模与仿真理论基础_南开大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.SIMSCRIPT的第一个版本基于以下哪个算法？答案:事件调度算法2.有些统计工具软件总是会拟合出某个概率分布，而不论其是否合理。
答案:正确3.对于两个系统比较的相关抽样法，如果一个系统在模型结构的某一方面完全不同于另一个系统，则同步性将不再适用，或者说不能实现同步。
答案:正确4.比较两个系统性能时，统计显著性与仿真实验和输出数据有关。
答案:正确5.在无限源模型中，到达率（单位时间内到达顾客的平均数量）不受已进入排队系统顾客数量的影响。
答案:正确6.考虑到排队系统的多样性，有学者针对并行服务台系统提出了一套被广为采用的符号体系，这一体系缩略版为A/B/c/N/K，其中A代表什么含义（）？答案:到达间隔时间分布7.选择仿真软件时，需要考虑的输出特性不包括（）答案:动作质量8.发生在外部环境，对系统造成影响的活动和事件是指什么（）？答案:外生（活动或事件）9.发生在系统内部的活动和事件是指什么（）？答案:内生（活动或事件）10.下列关于随机数流的说法不正确的是（）。
答案:对于线性同余生成器而言，随机数流就是一组数据11.下列哪项不属于仿真历史的一个时期？答案:成熟期12.随机数生成后，若完全相同的随即数列重复出现，说明该方法发生了（）。
答案:退化13.在随机数检验中，即使一个数集通过了全部检验，也不能保证随机数生成器的随机性，因为还有很多方法可能得出不同的结论。
答案:正确14.在独立性检验中，如果不能拒绝原假设，意味着通过检验未发现存在依存关系的证据。
答案:正确15.在排队系统中，如果服务台数量减少，那么排队等待时间、服务台利用率，以及顾客到达后不能立即获得服务的概率都会（）？答案:增加16.连续型经验累积分布函数的反函数是：X=x(i-1)-ai(R-ci-1),其中ci-1＜R≤ci。
答案:错误17.舍选法就是不断生成服从某种统计分布的随机变量R直到满足条件为止。
865自动控制原理
辽宁大学2020年全国硕士研究生招生考试初试自命题科目考试大纲科目代码：865科目名称：自动控制原理满分：150分
1.自动控制系统的基本概念
（1）自动控制系统的组成
（2）自动控制系统的工作原理
（3）自动控制系统的类型
（4）自动控制系统的性能指标
2.自动控制系统的数学模型
（1）传递函数的定义及典型环节的传递函数
（2）根据物理定律写出描写系统动态的微分方程并求传递函数
（3）画出系统的动态结构图并通过化简求出传递函数
（4）画出系统的信号流图并通过化简求出传递函数
3.自动控制系统的时域分析
（1）根据系统的微分方程或传递函数求出系统的时域响应，并分析系统的性能（2）根据系统的特征方程判断系统的稳定性
（3）稳态误差的计算
4.自动控制系统的根轨迹分析法
（1）根轨迹的概念和绘制方法
（2）利用根轨迹分析系统的性能
5.自动控制系统的频率分析法
（1）频率特性的概念及表示方法
（2）典型环节及开环系统频率特性的绘制
（3）利用系统的开环频率特性分析系统的性能（4）闭环频率特性及与系统的动态性能的关系
6.控制系统的校正及综合
（1）控制系统校正的基本概念
（2）串联校正、反馈校正、复合校正的原理和方法7.非线性系统分析
（1）非线性系统的特点
（2）典型的非线性系统
（3）利用描述函数法分析非线性系统
（4）相平面法
8.线性离散系统的理论基础
（1）离散系统的基本概念及基础知识
（2）脉冲传递函数的定义及推导
（3）采样控制系统的时域分析。
7-1 离散系统的基本概念
e*(t) A(t) τ
e*(t)
理想化后： τ→0
t T t
T
矩形面积：s=A(t)×τ
τ ：脉冲宽度 A(t)：幅度
由定义： B(t ) (t )dt A(t )
0－
0＋
由脉冲函数定义，在0－～0+脉冲强 0 度B(t)可视为不变数。而 0 (t )dt 1
所以：B(t)= A(t)×τ
a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外， 或系统本身不存在闭合回路。 b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。 而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。 误差采样：采样开关设在误差比较点之后。 s:采样开关，τ→0
r(t) e(t) S e*(t) eh(t) c(t)
Gh(s)
e*(t)
e*(t) 信号复现滤波器
(保持器）
eh(t)
e*(t)(t) eh
保持器输入信号
t
保持器输出信号
t
图7-3 保持器的输入与输出信号
保持器可把脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号eh(t)； 当采样频率足够高时，eh(t)接近于连续信号。
(2) 采样系统的典型结构图
根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采 样系统。
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7－6 离散系统的动态性能分析 7－7 离散系统的数字校正
学习目的
由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的 发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为 分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制 理论发展也非常迅速。 离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同， 又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散 系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线 性离散系统。 通过本章学习，建立有关离散控制系统的概念， 掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数 学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型， 掌握离散系统的分析和校正方法。
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a
21
延迟定理
设t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则延迟定理为
Zf(tiT)zt)]=F(z)，则
i 1
Z[f(tiT)]ziF (z)zi f(kT)zk k0
a
23
复位移定理
令 z e T s ， 则 上 式 变 为 Z [f ( t) ] F (z )f( k T )z k k 0
此式称为采样函数 f ( t ) 的Z变换。
a
14
二. Z变换的方法 级数求和法 部分分式法
a
15
级数求和法
例8-1 求1*（t）的Z变换 。
解：F(z)Z[1(t)] 1(kT)zk
a
10
零阶保持器的传递函数为：
Wh0(s)
1eTS s
a
11
零阶保持器的幅频与相频特 性如下图所示：
a
12
第三节 Z 变 换
Z变换的定义 Z变换的方法 Z变换的性质 Z反变换
a
13
一. Z变换的定义
采 样 函 数f(t)f(t)(tkT) k0
对其进行拉氏变换：
L [f (t)] F (s ) L k 0f(k T )(t k T ) k 0f(k T )e k T s
设 Z{f(t)}=F(z)，则
Z[eatf(t)]F(zeaT)
a
24
初值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞时F（z）的极限 存在，则函数的初值为
lim f(t)f(0)lim F(z) z
a
25
终值定理
设 Z{f(t)}=F(z)，则函数的终值为
l i m f( t ) f( ) l i m ( z 1 ) F ( z ) l i m ( 1 z 1 ) F ( z )
xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+…
=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……
或表示为
xc(k)=T[xr(k)]
当系数均为常数时，上式为线性定常差分方程。
a
30
差分方程的解法
迭代法 Z变换法
a
31
迭代法
例 8-5：已知采样系统的差分方程是
x c ( k ) x c ( k 1 ) x r ( k ) 2 x r ( k 2 )
本章重点 学习本章，需要掌握离散系
统的相关基本概念，特别是采样过程和采样 定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程 和脉冲传递函数等概念。在此基础上了解利 用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应， 离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。
a
2
第一节 基本概念
❖ 采样控制系统 ❖ 数字控制系统 ❖ 离散控制系统的特点 ❖ 采 样信号
所以 F(z) zz1zzeaT (zz(11)(zeaeT)aT)
a
18
例8-4 求 F(z)Z[s in t]
s s 1
1
解： L[sint] 2 j 2 2 2 j 2 j 2 j
s2 2
s2 2
s j s j
因为 所以
L1
s
1
j
e
j (t )
F(z)
z
s2
a
27
Z反变换
幂级数展开法
部分分式法
反演积分法（留数法）
a
28
第四节 线性常系数差分方程
差分方程的定义 差分方程的解法
a
29
差分方程的定义
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的 输与的如出过输下值去出：时值xc刻x(kc()的k不-1输仅)，入与值x这c(xk一r-(2k时)-…1)刻，有的关x输r(。k入-可2)值…以x有把r(关k这)有，种关还关，与系而过描且去述
第八章 线性离散系统的理论基础
本章主要与学习重点
❖第一节 基本概念
❖第二节 信号的采样采样定理
❖第三节 Z变换
❖第四节 线性常系数差分方程
❖第五节 脉冲传递函数
❖第六节 采样控制系统的时域分析
❖第七节 采样控制系统的频域分析
❖小结
a
1
本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相 关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保 持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、 基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建 立及其解法、脉冲传递函概念及求取方法等。
t
z 1
z 1
a
26
卷积和定理
若
k
xc(kT)
g(ki)Trx(iT)
，
i0
其中，k=0，1，2，…且当k=-1，-2，-3，…时，
xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0， 则
Xc(z)W (z)Xr(z)
式中， W ( z ) Z [ g ( k)T X ] r ( z ,) Z [ x r ( k)T ]
a
3
▪ 自动控制系统按信号形式划分可分 为以下三种类型
➢ 连续控制系统，见图（a） ➢ 采样控制系统，见图（b） ➢ 数字控制系统，见图（c）
a
4
a
5
采样系统的特点
• 在连续系统中的一处或几处设置采样 开关，对被控对象进行断续控制；
• 通常采样周期远小于被控对象的时间 常数；
• 采样开关合上的时间远小于断开的时 间；
初始条件： k
xr(k) 0
• 采样周期通常是相同的。
a
6
第二节 信号的采样采样定理
离散时间函数的数学表达式
先看一下原理示意图：
采样过程
a
7
采样函数的频谱分析
a
8
香农（Shannon）采样定理
为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等 于原始信号最大频率的二倍，即
s 2max
a
9
信号的复现
把采样信号恢复为原来的连续 信号称为信号的复现。实用的办法 是加入保持器。常用的为零阶保持 器。
k0
z0 z1z2
11z1
z z1
a
16
例8-2 求 e at 的F(Z)。
解 ： Fz eakTzk e0z0eaTz1e2aTz2 k0 1e 1aTz1zzeaT
a
17
部分分式法
例8-3
求解
a F(s)
s(s a)
的Z变换 。
解：因为 Fs A B 1 1
s sa s sa
而 L1Fs1(t)eat
2
1 2j
1
1 e jT
z1
1 2j
1
1 e jT
z1
1
e
jT
z1 z1
sinT
e jT z1
z2
1
z1 sinT 2z1 cosT
z2
a
19
三. Z 变 换 的 性 质
线性性质 延迟定理 超前定理 复位移定理 初值定理 终值定理 卷积和定理
a
20
线性性质
若 ： Z [f1 *(t)]F 1(z),Z [f2*(t)]F 2(z)，