高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义练习含解析新人教A版选修220822556

高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义练习含解析新人教A版选修220822556

1.1.3 导数的几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1.曲线y=2x3在点A(1,2)处的切线的斜率等于()

A.0

B.2

C.4

D.6

解析:因为Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,所以lim

Δx→0=Δx

Δx

=

lim

Δx→0

[2(Δx)2+6Δx+6]=6.

由导数的几何意义知,曲线y=2x3在点A处的切线的斜率等于6,故选D.

答案:D

2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是()

A.f'(x A)>f'(x B)

B.f'(x A)

C.f'(x A)=f'(x B)

D.不能确定

解析:由题图知f(x)在点A,B处的切线斜率k A,k B满足k A

3.已知曲线y=1

2x2-2上一点x(1,-3

2

),则曲线在点P处的切线的倾斜角为()

A.30°

B.45°

C.135°

D.165°

解析:∵y=1

2

x2-2,

∴y'=lim

Δx→01

2

(x+x x)2-2-(1

2

x2-2)

x x

=xxx

x x→0

1

2

(Δx)2+x·Δx

Δx

=lim

Δx→0

(x+1

2

Δx)=x.

∴y'|x=1=1.

∴曲线在点x(1,-3

2

)处的切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选B. 答案:B

4.若曲线f(x)=x2在点P处的切线斜率等于2,则点P的坐标为()

A.(-2,-8)

B.(-1,-1)

C.(1,1)

D.(-1

2,-1

8

)

解析:设点P的坐标为(x0,y0),

则k=f'(x0)=lim

Δx→0f(x0+x x)-f(x0)

x x

=xxx

x x→0

(x0+Δx)2-x02

Δx

=lim

Δx→0

(Δx+2·x0)=2x0,

即2x0=2.

所以x0=1,此时y0=x02=12=1.

故点P的坐标为(1,1).故选C.

答案:C

5.若函数f(x)在x=-2处的导数f'(-2)=-1,则曲线f(x)在(-2,f(-2))处的切线的倾斜角等于.

解析:因为切线的斜率k=f'(-2)=-1,而tan135°=-1,所以切线的倾斜角θ=135°.

答案:135°

6.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:

其对应导数的图象如图①②③:

则曲线y=f'(x)对应图象是;曲线y=g'(x)对应图象是;曲线y=h'(x)对应图

象是.(只填序号)

解析:由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f'(x)对应图象②;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h'(x)对应图象①.

答案:②③①

7.若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.

解析:设切点坐标为(x0,1),

∵f'(x0)=lim

Δx→02(x0+x x)2-4(x0+x x)+p-(2x02-4x0+x)

x x

=xxx

x x→0

2(Δx)2+(4x0-4)Δx

Δx

=lim

Δx→0

(2·Δx+4x0-

4)=4x0-4,

由题意知4x0-4=0,

∴x0=1,即切点坐标为(1,1).

∴1=2-4+p.

∴p=3.

答案:3

8.求证:函数f(x)=x+1

x

图象上各点处的切线的斜率小于1.

证明∵f'(x)=lim

Δx→0f(x+x x)-f(x)

x x

=xxx

x x→0

(x+Δx+1

x+Δx

)-(x+1

x

)

Δx

=1−1

x2

<1,

∴f(x)=x+1

x

图象上各点处的切线的斜率小于1.

9.已知曲线y=f(x)=1

x-x 上的两点P(2,-1),x(x0,1

2

).

求:(1)曲线在点P、点Q处的切线的斜率;

(2)曲线在点P、点Q处的切线方程.

分析:由导数的几何意义,求曲线在点P、点Q处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.

解:把P(2,-1)代入y=1

x-x ,得t=1,即y=1

1-x

.

又点Q在曲线上,所以1

1-x0=1

2

,解得x0=-1.

所以y'=lim

Δx→0f(x+x x)-f(x)

x x

=xxx

x x→0

1

1-(x+Δx)

-1

1-x

Δ

=lim

Δx→0

Δx

[1-(x+Δx)](1-x)Δx

=lim

Δx→0

1

(1-x-Δx)(1-x)

=

1

(1-x)2

.

(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2=1

(1-2)2

=1,

曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=1

4

.

(2)曲线在点P处的切线方程为

y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,

曲线在点Q处的切线方程为

y−1

2=1

4

[x-(-1)],即x-4y+3=0.

能力提升

1.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()

A.-9

B.-3

C.9

D.15

解析:由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,

所以切线方程为y-12=3(x-1),