信息论基础复习
信息论复习提纲
信息论复习提纲第一章1、信息的概念。
信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。
2、信息论的研究对象、研究目的。
对象：通信系统模型。
目的：找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的可靠性、有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系统最优化。
3、通信系统模型的组成，及各部分的功能（1）信息源：产生消息的源，消息可以是文字，语言，图像。
可以离散，可以连续。
随机发生。
（2）编码器：信源编码器：对信源输出进行变换（消去冗余，压缩），提高信息传输的有效性信道编码器：对信源编码输出变换（加入冗余），提高抗干扰能力，提高信息传输的可靠性（3）信道：信号从发端传到收端的介质（4）译码器：译码就是把信道输出（已叠加了干扰）的编码信号进行反变换。
（5）信宿：信宿是消息传送的对象，即接受消息的人或机器。
（6）干扰源：系统各部分引入的干扰，包括衰落，多径，码间干扰，非线性失真，加性噪声，主要研究的是统计特性。
4、消息，信号，信息三者之间的关系信息---可以认为是具体的物理信号、数学描述的消息的内涵，即信号具体载荷的内容、消息描述的含义。
信号---则是抽象信息在物理层表达的外延；消息---则是抽象信息在数学层表达的外延第二章1、信源的分类，着重单符号信源。
信源的概率空间的构成形式。
单消息（符号）信源，离散信源，连续变量信源，平稳信源，无/有记忆信源，马尔可夫信源，随机波形信源。
单消息（符号）信源：单消息（符号）信源－－离散信源单消息（符号）信源－－连续信源2、自信息的计算及物理含义，单位与底数的关系，含义。
计算：含义：当事件ai发生以前，表示事件ai发生的不确定性当事件ai发生以后表示事件ai所含有（所提供）的信息量单位与底数的关系：通信与信息中最常用的是以2为底，这时单位为比特（bit）；理论推导中用以e为底较方便，这时单位为奈特（Nat）；工程上用以10为底较方便，这时单位为哈特（Hart）。
它们之间可以引用对数换底公式进行互换。
信息论基础总复习
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
5. 信宿 信宿是消息的接收者。
1.3 离散信源及其数学模型
信源是产生消息的源，根据X的不同情况，信源可分为以下
条件互信息
I(X ;Y|Z ) x y z p (x) ylo zp p (g (x x||z y z ))
I(X ;Y |Z ) H (X |Z ) H (X |Y )Z
I(X;Y)ZI(X;Y)I(X;Z|Y) I(X;Z)I(X;Y|Z)
连续随机变量的互信息
I(X;Y) 0 I (X ;Y ) I (Y; X ) I (X ;Y | Z) I (Y; X | Z) I(X;Z) I(X;Y) I (XY; Z) I (X ; Z) I (Y; Z | X )
说明: R（D）也称率失真函数。
对于离散无记忆信源，R（D）函数可写成
R (D )p m i jpDi n i1n jm 1p(xi)p(yj/xi)lop(p g y (jy/jx )i)
输入 xX
信道模型
输入 y Y
转移概率矩阵
p(y/ x)
图5-1-2 信道模型
5.1.2 信道容量
• 1．如何刻画DMC信道的容量 考虑一个DMC信道，其输入字符集是X={x0， x1，…，xq-1}，输出字符集是Y={y0,y1，…， yQ-1}，转移概率P（yj／xi）. 若给定信道的转 移概率和对应于输入符号的概率分布p（xi）, 则 DMC信道容量C为
• 这个表达式平均错误译码概率的最小值， 是把每一个yj对应的后验概率排除后再连 续求和。
《信息论基础A》(清华)复习资料
信息论基础A 复习资料作者 郝仁第一章 概论● 在认识论层次研究信息时，把只考虑到形式因素的部分称为语法信息， 把只考虑到含义因素的部分称为语义信息；把只考虑到效用因素的部分称为语用信息。
目前，信息论中主要研究语法信息● 归纳起来，香农信息论的研究内容包括： 1) 信息熵、信道容量和信息率失真函数2) 无失真信源编码定理、信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理 3) 信源编码、信道编码理论与方法● 一般认为，一般信息论的研究内容除香农信息论的研究内容外，还包括 维纳的微弱信号检测理论：包括噪声理论、信号滤波与预测、统计检测与估计理论、调制理论等。
信息科学以信息为研究对象，信息科学以信息运动规律为研究内容，信 息运动包括获取、传递、存储、处理和施用等环节。
第二章 离散信源及离散熵● 单符号离散信源的数学模型：1212()()()()n n x x x X P x P x P x P X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭L L自信息量：()log ()i x i I x P x =-，是无量纲的，一般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，自信息量的单位为比特(bit,binary unit)；对数底为e 时，其单位为奈特(nat,nature unit)；对数底为10时，其单位为哈特(Hart, Hartley)自信息量性质：I(x i )是随机量；I(x i )是非负值；I(x i )是P(x i )的单调递减函数。
● 单符号离散信源的离散熵：1()[()]()()ni i i i H X E I x P x lbP x ===-∑，单位是比特/符号(bit/symbol)。
离散熵的性质和定理：H(X)的非负性；H(X)的上凸性；最大离散熵定理：()H X lbn ≤● 如果除概率分布相同外，直到N 维的各维联合概率分布也都与时间起点 无关，即：111111()()()()()()k l k k l l k k k N l l l N P X P X P X X P X X P X X X P X X X ++++-++-===LL L则称该多符号离散信源为N 维离散平稳信源。
信息论基础复习题目PPT课件
22
则：H(XY)
p(xi y j ) log p(xi y j )
i1 j1
1.43比特/ 信源符号
.
15
N
由p( y j ) p(xi y j )得到Y集中各消息概率 i 1 2 p( y1) p(xi y1) p(x1 y1) p(x2 y1) 0.59 i 1
则该事件携带的信息量为：
I (xi | yj ) log p(xi | yj ) log(1/ 8) 3bit
由结果可知:
事件yj的出现降低了事件xi发生所携带的信息量
原因:
事件yj的出现带来了事件xi的部分的信息，导致对事件xi的
不确定性减小
.
6
例2-4
设一系统的输入符号集X=(x1,x2,x3,x4,x5)，输出符号集 Y=(y1,y2,y3,y4) 输入符号与输出符号间的联合分布为
x 0.98 1 0.02
y1
x 0.2
2
0.8
y2
.
13
解：由题意可知
p(x1 ) 0.5 p(x2 ) 0.5 p( y1 | x1 ) 0.98 p( y2 | x1 ) 0.02 p( y1 | x2 ) 0.2 p( y2 | x2 ) 0.8
2
则：H ( X ) p(xi ) log p(xi ) i 1
.
3
（2）此消息中平均每个符号携带的信息量为：
I2 87.81/ 45 1.95bit / symbol
信源的信息熵:
4
H ( X ) p(ai ) log p(ai ) i 1
3 log 3 1 log 1 1 log 1 1 log 1 8 84 44 48 8
信息论总结与复习
i 1 k 1
i 1
k 1
结论：N阶马氏信源稳态信息熵(即极限熵)等于N+1阶条件熵。
H lN iN 1 m H (X 1 X 2 X N 1 X N ) H (X N 1 |X 1 X 2 X N )
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
[例1] 已知二阶马尔可夫信源的条件概率：
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
（4）序列信息熵的性质：
《1》条件熵不大于无条件熵，强条件熵不大于弱
条件熵：H(X1) ≥ H(X2|X1) ≥ H(X3|X1X2) ≥ …
…… ≥H (XN|X1X2……XN-1)
《2》条件熵不大于同阶的平均符号熵:
HN ≥H (XN|X1X2……XN-1)
[例3]求对称信道
P00..32
0.3 0.2
0.2 0.3
00..23的信道容量。
解：C =log4-H(0.2,0.3,0.2,0.3)
=2+(0.2log0.2+0.3log0.3)×2 = 0.03 bit/符号；
第二部分、无失真信源编码
2.1 信源编码理论
第二部分、无失真信源编码
1.1 信源编码理论:
稳态方程组是：
QQ((EE32
) )
0.2Q(E1 0.6Q(E2
) )
0.6Q(E3 ) 0.2Q(E4 )
Q(E4 ) 0.4Q(E2 ) 0.8Q(E4 )
Q(E1) Q(E2 ) Q(E3 ) Q(E4 ) 1
第一部分、信息论基础
1.1 信源的信息理论
可解得：
Q (E1 )
[例5] 以下哪些编码一定不是惟一可译码？写出每 种编码克拉夫特不等式的计算结果。
信息论复习要点
信息论复习要点1. 非奇异码：若一个码子中各码子都不相同，则称非奇异码，否则称为奇异码；2. 唯一可以码：若任何有限长信源序列都能译成唯一的信源消息序列，则称为唯一可译码；3. 二元最优码：就某一信源，存在最优的二进制码，其中至少有两个最长的码子有相同长度且仅最后一个码位有别。
4. AWGN 信道的容量：一个加性高斯白噪声（AWGN ）信道的噪声功率谱为N 0/2,输入信号平均功率为P ，信道带宽为W ，那么信道每单位时间的容量为：0log 1P C W N W ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（容量单位为比特/秒）5. 对于输入平均功率受限的加性高斯噪声信道，当传输速率R<=C 时，总可以找到一种编码方式，使得差错率任意小；反之，找不到使译码错误概率任意小的编码。
6. 信息率失真理论是有损数据压缩的理论基础，该理论的核心是在保真度准则下的信源编码定理，即香农第三定理。
7. 限失真信源编码定理：()D R R D >→≤存在平均失真的信源编码8. 限失真信源信道编码定理：()D C R D >→≤存在平均失真的信源信道编码9. 和信道及其容量：若一个信道分为若干子信道，且各子信道输入之间互不相交，输出之间也互不相交，信道总的输出与输入集合分为各子信道输出与输入之并集，而且每次传输只能用某个子信道，则称此信道为和信道。
和信道容量：21log 2i NC i C ==∑其中，i C 为每个子信道的容量，第i 个子信道的使用概率为：1222ii iC C Ci NC i r -===∑达到容量时的输入概率为各子信道达到容量时的输入概率乘以i r ，N 为子信道的个数。
10. 各种信息的概率公式：自信息：()()log I x p x =-；联合自信息：()()log I xy p xy =-；条件自信息：()()|log |I x y p x y =-三者的关系：()()()()()||I xy I x I y x I y I x y =+=+； 互信息：()()()()()|,loglog|p x p x y I x y p x y p x =-=； 互信息与自信息和条件自信息的关系：()()(),|I x y I x I x y =-；11. 最佳判决与译码准则： MAP 准则：（输入不等概）（1）信道转移概率矩阵乘以信道输入符号概率得到联合概率矩阵； （2）联合概率矩阵每一列中找到一个最大的概率对应的输入符号就是译码； （3）正确概率是所有译码的概率和，错误概率是1与正确概率的差； ML 准则：（输入等概）（1）信道转移概率矩阵中最大的概率对应的输入符号作为译码输出； （2）正确概率是联合概率分布中译码概率的和，错误概率是1与之的差； 无记忆二元对称信道，最大似然准则等价于最小汉明距离准则；12. 并联高斯信道的容量，能量分布和输入概率分布：（输入均值为0） （1） 并联独立高斯信道：利用注水定理对能量进行分配，计算信道容量，达到容量时，两个信道的输入是独立的，所以输入的概率密度为：()2212122212,22x x p x x σσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2） 关联相关高斯信道：将噪声自协方差矩阵分解（如下公式所示），找出等价矩阵，利用注水定理计算信道容量，得到能量分配和输入概率密度公式；41501110122211⎛⎫⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝⎝ （3） 反推得到输入概率的协方差矩阵，进而得到输入概率的密度公式； （4） 对于独立并联高斯信道，达到容量时各子信道输入是独立的； （5） 对于相关并联高斯信道，达到容量时各子信道输入是相关的； （6） 在总噪声和输入平均能量约束都相同的条件下，相关并联高斯信道的容量大于独立并联高斯信道容量。
信息论基础复习提纲
第一章 绪论1、什么是信息？香农对于信息是如何定义的。
答：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述(Information is a measure of one's freedom of choice when one selects a message )。
2、简述通信系统模型的组成及各部分的含义。
答：（1）、信源：信源是产生消息的源。
信源产生信息的速率---熵率。
（2）、编码器：编码器是将消息变成适合于信道传送的信号的设备。
包括信源编码器（提高传输效率）、信道编码器（提高传输可靠性）、调制器。
（3）、信道：信道是信息传输和存储的媒介。
（4）、译码器：译码是编码的逆变换，分为信道译码和信源译码。
（5）、信宿：信宿是消息的接收者（人或机器）。
3、简述香农信息论的核心及其特点。
答：（1）、香农信息论的核心：在通信系统中采用适当的编码后能够实现高效率和高可靠性的信息传输，并得出了信源编码定理和信道编码定理。
（2）、特点：①、以概率论、随机过程为基本研究工具。
②、研究的是通信系统的整个过程，而不是单个环节，并以编、译码器为重点。
③、关心的是最优系统的性能和怎样达到这个性能（并不具体设计系统）。
④、要求信源为随机过程，不研究信宿。
第二章 信息的度量2.1 自信息和互信息1、自信息（量）：（1）、定义：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
某个消息i x 出现的不确定性的大小定义为自信息，用这个消息出现的概率的对数的负值来表示： （2）、性质：①、()i x I是()i x p 的严格递减函数。
当()()21x p x p <时()()21x I x I >概率越小，事件发生的不确定性越大，事件发生以后所包含的自信息量越大。
()()()i i i x p x p x I 1loglog =-=②、极限情况下，当()0=i x p 时()∞→i x I ；当()1=i x p 时，()0→i x I 。
信息论基础
信息论基础第一讲信息的基本概念与预备知识一、信息的基本概念1、信息论是通信的数学理论，是运用数理统计的方法研究信息的传输、存储与处理的科学。
2、物质、能量、信息是构成客观世界的三大要素，信息存在于任何事物中，有物质的地方就有信息。
3、信息具有的性质（1）无形————不具实体性；（2）共享————交流者不会失去原有信息，还可获得新的信息，可无限传播，也可限制传播，如设密码、安全措施；（3）信息是一种资源————永远在产生、更新、演变，取之不尽用之不竭；（4）可度量————信息的数量和质量可度量。
3、概率信息（香农信息或狭义信息）美国数学家香农（C.E.Shannan）提出，信息源具有随机性不定度，为了消除一定的不定度必须获得与此不定度相等的信息量。
（1）甲袋有100个球，50个红，50个人白，取出一个为红；（2）乙袋有100个球，25个红，25个白，25个蓝，25个黑，取出一个为红；概率大，不确定性小，信息量小，。
4、消息构成消息的条件：能被通信双方理解，可在通信中进行传递和交换。
消息具有不同的形式，如语言、文字、符号、数据、图片等。
消息是信息的载荷者，同一消息可以含不同的信息量，同一信息可以用不同形式的消息来载荷。
5、信号信号是消息的表现形式，消息是信号的具体内容。
信号是消息的载体。
6、信息的传输系统信源——编码——信道——译码器——信宿 二、预备知识 1、全概公式∑∑====nk k k nk k A B p A p B A p B p 11)()()()(2、贝叶斯公式)()()()()()(B p A B p A p B p B A p B A p k k k k == 3、条件概率)()()(B p AB p B A p =4、乘法公式)()()()()(B A p B p A B p A p AB p ==4、不等式1ln 110-≤≤-⇒>x x xx三、自信息的度量 1、自信息随机事件ix 发生概率为)(ix p ，则随机事件ix 的自信息量为)(log )(i i x p x I -= 。
信息论基础总复习2
H C ( X ) p( x) log p( x)dx
RX
课程复习大纲
⑸. 熵函数的性质 （指离散熵） 1. 对称性： H ( p1, p2 ,, pn ) H ( p2 , p1, p3 , pn ) 2. 非负性： H ( X ) 0 Hn1 ( p1, p2 ,, pn , ) Hn ( p1, p2 ,, pn ) 3. 扩展性： lim 0 4. 确定性： H (1,0) H (1,0,0) H (1,0,0,,0) 0 5. 可加性： H ( XY ) H ( X ) H (Y X )
课程复习大纲 《Elements of Information Theorem》
Summary
P(ai | b j ) log Pji
I (ai | bj )
I (ai ) I (ai bj )
I (ai ; b j )
E[I (Pji )]
C
max I ( X ; Y )
min I ( X ; Y )
课程复习大纲
⒆. 比特能量的物理意义
Em Ps Em S t dt Eb 0 K R ⒇. 频谱利用率与功率利用率
T 2
w
bit
R F
def
bit Sec.Hz
and
Eb N0
如何提高两者的有效性？
(21). 什么是Shannon Limit ？要达到它的条件是什么？
n j i Pji i 1 解出极限分布 i 1 , 2 , , n L nL i 1 i 1
L
Then H i Pji log Pji
信息技术理论知识复习要点
★★★上机操作注意事项：一看清考试日期时间，提前15分钟到场等候，千万不要迟到；二带准考证、身份证；三做操作题时仔细看清题目，操作题一次性从头做到尾，一定要存盘；四不要早交卷，做完一定要检查。
信息技术理论知识复习要点第一部分信息技术基础(必修)【第一章信息与信息技术】1、信息论的奠基人之一香农认为“信息是用来消除不确定性的东西”。
★2、控制论的奠基人维纳提出“信息就信息，不是物质，也不是能量”，信息、物质、能量是人类所必须得三大资源。
3、利用文字、图形、图像、声音等形式作为载体，通过各种渠道传播的信号、消息或报道等内容，都可以称之为信息。
★4、信息的重要特征：①传递性（一传十，十传百）②共享性（一人计短，二人计长）③依附性和可处理性（玉不琢，不成器）④时效性（老黄历看不得）⑤价值相对性（一千个读者，一千个“哈姆雷特”）⑥真伪性（空城计、减灶退兵）5、信息技术（IT）主要包括计算机技术、通信技术、微电子技术和传感技术等。
计算机技术是信息处理的核心。
6、信息技术的五次发展历程：第一次是语言的产生和应用；第二次是文字的发明和使用；第三次是造纸术和印刷术的发明和应用；第四次是电报、电话、电视及其他通讯技术的发明和应用；第五次是电子计算机和现代通信技术的应用。
7、信息技术的发展趋势：①多元化；②网络化；③多媒体化；④智能化；⑤虚拟化。
8、计算机辅助技术（CAD）【第二章信息的获取】1、获取信息的基本过程：确定信息需求→确定信息来源→采集信息→保存信息2、根据不同的信息来源，信息采集有不同的方法：①通过检索媒体采集信息；②通过与他人交流采集信息；③通过亲自探究事物本身获取信息。
★3、计算机是以文件的扩展名来判断其类型的，其图标也会因文件类型的不同而各不相同。
★4、信息的存储格式文字.txt .doc .pdf .htm/.html图形图像.jpg .bmp .gif动画.gif .swf声音.wav .mp3 .mid .wma视频.mpg .rm/.rmvb .mov .avi .wmv5、网络信息检索的主要方法：①直接访问相关信息网页；②使用搜索引擎；③直接访问在线数据库；④使用BBS论坛。
信息技术理论知识复习要点
★★★上机操作注意事项：一看清考试日期时间，提前15分钟到场等候，千万不要迟到；二带准考证、身份证；三做操作题时仔细看清题目，操作题一次性从头做到尾，一定要存盘；四不要早交卷，做完一定要检查。
信息技术理论知识复习要点第一部分信息技术基础(必修)【第一章信息与信息技术】1、信息论的奠基人之一香农认为“信息是用来消除不确定性的东西”。
★2、控制论的奠基人维纳提出“信息就信息，不是物质，也不是能量”，信息、物质、能量是人类所必须得三大资源。
3、利用文字、图形、图像、声音等形式作为载体，通过各种渠道传播的信号、消息或报道等内容，都可以称之为信息。
★4、信息的重要特征：①传递性（一传十，十传百）②共享性（一人计短，二人计长）③依附性和可处理性（玉不琢，不成器）④时效性（老黄历看不得）⑤价值相对性（一千个读者，一千个“哈姆雷特”）⑥真伪性（空城计、减灶退兵）5、信息技术（IT）主要包括计算机技术、通信技术、微电子技术和传感技术等。
计算机技术是信息处理的核心。
6、信息技术的五次发展历程：第一次是语言的产生和应用；第二次是文字的发明和使用；第三次是造纸术和印刷术的发明和应用；第四次是电报、电话、电视及其他通讯技术的发明和应用；第五次是电子计算机和现代通信技术的应用。
7、信息技术的发展趋势：①多元化；②网络化；③多媒体化；④智能化；⑤虚拟化。
8、计算机辅助技术（CAD）【第二章信息的获取】1、获取信息的基本过程：确定信息需求→确定信息来源→采集信息→保存信息2、根据不同的信息来源，信息采集有不同的方法：①通过检索媒体采集信息；②通过与他人交流采集信息；③通过亲自探究事物本身获取信息。
★3、计算机是以文件的扩展名来判断其类型的，其图标也会因文件类型的不同而各不相同。
★45、网络信息检索的主要方法：①直接访问相关信息网页；②使用搜索引擎；③直接访问在线数据库；④使用BBS论坛。
6、搜索引擎主要有按目录索引搜索（雅虎、搜狐、新浪等）和全文搜索（又称按关键词搜索）（百度、google）。
信息技术基础理论复习
从本质上讲，计算机的基本功能是 （A）计算 （B）图像处理 （C）音频处理 （D）视频处理
A
4．多媒体信息处理 （1）图像处理 ①图像处理的有关知识。像素、分辨率、位图、矢量图、 颜色、图像文件格式、图形与图像等概念。 ②分辨率就是单位长度或面积的像素数。 ③位图与矢量图的区别。前者放大以后会失真，后者放 大以后不会失真 用计算机处理彩色图像时，一般用RGB来表示图像的 A （A）颜色 （B）分辨率 （C）大小 （D）存储容量 计算机中的彩色图像往往采用 RGB 三原色模式来表示， 这三种颜色指的是 C （A）黄青蓝 （B）红黄蓝 （C）红绿蓝 （D）红紫青
概述 信息技术理论在会考中有10个题目，每题3分， 占30%。 虽然只占30%，但往往其决定性作用
因为操作题，我们在经过一段时间的练习后，提 高比较快
另一方面，我们往往忽视了理论知识点的复习 因为如果你错3个，基本就很难拿A了。
信息技术基础理论复习
分为三大块内容：
第一部分 信息技术基础（课本第1、7 章） 第二部分 信息的获取、加工与管理（课 本第2、3、4章）
在地震救援中，用生命探测仪探测废墟下生命 体征信息的主要方法属于 B （A）现场观察 （B）遥感遥测 （C）电 视直播 （D）网络通讯 2．因特网上信息的浏览与获取 （1）网站的访问与浏览 通过“超链接”在不同页面间跳转。
在IE浏览器中，将一张网页保存到本地计算机， 主要操作过程如下： ①在“保存网页”对话框中，选择要保存的文 件夹 ②在“保存网页”对话框中，单击“保存”按 钮 ③浏览需要保存的网页 ④单击“文件”菜单下的“另存为”项 C 正确的操作顺序是 （A）①②③④ （B）②③④① （C）③④①② （D）④①②③
（D）
③计算机内部采用二进制表示数据信息，但是不便于书写，在实际表示中，常常采 用十六进制的形式。 十进制D 二进制B 十六进制H 0 0000 0
信息论基础C 复习课
失真函数、平均失真 信息率失真函数R(D)、信息率失真函数的性质
信息论基础
4.1.3 信息率失真函数R(D)
X
x ∈ {a1, a2 , an }
信源编码器
Y
y ∈ {b1, b2 ,bn }
假想信道
将信源编码器看作信道
信息论基础
4.1.3 信息率失真函数R(D)
信源编码器的目的是使编码后所需的信息传输率R尽量小，然而R越 小，引起的平均失真就越大。给出一个失真的限制值D，在满足平均 失真
使编码中各个符号出现的概率尽可能地相等， 即概率均匀化。
信息论基础
信源编码的基础是信息论中的两个编码定理：
无失真编码定理 限失真编码定理
∆无失真编码只适用于离散信源 ∆对于连续信源，只能在失真受限制的情况下进行
限失真编码
信息论基础
能获得最佳码的编码方法主要有：
香农（Shannon） 费诺（Fano） 哈夫曼（Huffman）等
信息论基础
马尔可夫极限熵
信息论基础
第3章信道和信道容量
重点掌握 信道容量的概念 对称DMC信道容量的计算 准对称DMC信道容量的计算 限时限频限功率加性高斯白噪声信道 容量的计算 一般掌握 信道模型及其分类 了解 一般DMC信道容量的迭代计算 离散序列信道容量的计算
信息论基础
第5章
无失真信源编码定理（定长编码定理、变长编 码定理）； 最佳变长编码（香农编码、费诺编码、哈夫曼 编码）； 限失真信源编码定理； 了解常用信源编码方法
信息论基础
信源编码的主要任务就是减少冗余，提高编码 效率。
信源编码的基本途径有两个： 使序列中的各个符号尽可能地互相独立，即解 除相关性；
信息基础论复习题答案
信息基础论复习题答案一、选择题1. 信息基础论认为，信息是：A. 物质的属性B. 能量的表现形式C. 物质、能量和信息的统一体D. 独立于物质和能量之外的存在答案：C2. 信息的传递需要：A. 物质载体B. 能量C. 时间D. 所有以上选项答案：D3. 信息的基础论中，信息的三个基本特性是：A. 可存储性、可传输性、可处理性B. 可复制性、可共享性、可转换性C. 可识别性、可操作性、可扩展性D. 可测量性、可预测性、可控制性答案：A二、填空题1. 信息基础论认为信息具有_______性，即信息可以在不同的物质载体之间传递。
答案：可传递2. 信息的_______是信息能够被接收者理解和利用的基础。
答案：可理解性3. 在信息基础论中，信息的_______指的是信息在传递过程中保持其内容和结构的完整性。
答案：保真性三、简答题1. 简述信息基础论中信息的定义及其重要性。
答案：信息基础论中，信息被定义为物质、能量和信息的统一体，它不仅包含数据和信号，还包括意义和知识。
信息的重要性体现在它是现代社会沟通、决策和创新的基础，对于提高效率、促进发展具有关键作用。
2. 描述信息基础论中信息的三个基本特性，并解释它们在实际应用中的作用。
答案：信息的三个基本特性包括可存储性、可传输性和可处理性。
可存储性允许信息被保存，为后续使用提供便利；可传输性使得信息能够在不同地点和时间被共享；可处理性则允许信息被分析、整理和转换，以适应不同的应用需求。
四、论述题1. 论述信息基础论对现代信息技术发展的影响。
答案：信息基础论为现代信息技术的发展提供了理论基础。
它强调了信息的可存储性、可传输性和可处理性，这直接推动了存储技术、通信技术和计算机技术的进步。
此外，信息基础论还促进了信息安全、数据挖掘和人工智能等领域的发展，为信息的高效利用和智能处理提供了理论支持。
五、案例分析题1. 请结合一个具体的信息技术应用案例，分析信息基础论在该案例中的应用及其效果。
信息论基础复习共38页
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
38
信息论基础复习
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
信息论复习知识点
信息论复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
信息论基础——总复习
8
0.48
14
1.68
16 5.292×2
16 5.76×2
16 5.76×6
数据压缩的好处
✓ 时间域压缩──迅速传输媒体信源 ✓ 频率域压缩──并行开通更多业务 ✓ 空间域压缩──降低存储费用 ✓ 能量域压缩──降低发射功率
数据压缩技术实现的衡量标准
压缩比要大 恢复后的失真小 压缩算法要简单、速度快 压缩能否用硬件实现
定义: I(x i;y j) lo p ( 1 x g i) lo p (x g i1 |y j) lo p (p x g ( ix |iy )j)
❖ 互信息量表示先验的不确定性减去尚存的不确定性，这就 是收信者获得的信息量；
❖ 互信息量可能为正数、负数、0；
平均互信息量
❖ 定义
I ( X ; Y ) j ip ( x i,y j) I ( x i; y j) j ip ( x i,y j) lo p ( p x ( ix |g iy ) j)
Shannon信息论：在噪声环境下，可靠地、安全 地、有效地传送信息理论
----狭义信息论
编码理论与技术
有效性编码：压缩信源的冗余,从而提高信息 的传输效率,主要是针对信源的统计性进行编 码,故也称为信源编码。 可靠性编码：一般增加信源的冗余,有以提高 信息传输的可靠性, 主要是针对信道的统计性 进行编码,故也称为信道编码 安全性编码：将信源的明文编码成密文，提高 通信的安全性。
改变模拟信道求平均互信息的最小值，实质上是选择一种 编码方式使信息传输率为最小。
什么是数据压缩
• 数据压缩就是在一定的精度损失条件下，以最 少的数码表示信源所发出的信号
信源
信源 编码
信道 编码
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4
定义6.4.1 有输入功率约束P的高斯信道容量定义为
C = max I ( X ; Y ) 2
f (x ):EX P
这个信道容量的计算并不是困难,事实上,取约束
条件为EX 2 P, 则:
I ( X ; Y ) h(Y ) h(Y X ) h(Y ) h( X Z X )
EY 2 = EX 2 + EZ 2 P N
由定理6.2.6知,有方差为P N的连续随机变量的最大熵
在正态分布N(0,P N )时到达,所以
1 h(Y ) log 2 e( P N ) 2
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其中等号成立当且仅当Y N(0,P N ),从而
1 1 I ( X ; Y ) log 2 e( P N ) log 2 eN 2 2
H ( X 1 , X 2 , , X n ) H ( X i | X i 1 , , X 1)
i 1 n
二进熵函数：
h (p ) p log p (1 p ) log(1 p)
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16
四、相对熵和互信息
相对熵：
D( p || q)
xX
p ( x) p ( x) p( x) log E p log q ( x) q ( x)
Z (t )
X (t ) Y (t )
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根据随机信号的采样定理，可将随机信号离散化。 因此，对时间离散信道的输入和输出序列可分别表示为
X ( X1,X 2 , ,)和 Y (Y1 , Y2 ,)
随机噪声可表示为 Z (Z1,Z 2， )
则加性噪声信道可表示如下
1 h(Y ) h( Z X ) h(Y ) h( Z ) h(Y ) log 2 eN 2
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5
于是计算信道容量的问题就转化为求h(Y )的极大值问题.
注意到Z 与X 独立,且EZ =0,EZ 2 N , 而Y =X + Z ,所以
EY = E ( X + Z ) = EX + EZ =0
yY
熵的简单性质：
1、H ( x) 0,
等号成立的充要条件是X有退化分布．
H ( X ) log || X ||
2、极值性
等号成立的充分必要条件是X服从均匀分布
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3、链法则：
H ( X ,Y ) H ( X ) H (Y | X ) H (Y ) H ( X | Y ) H (Y , X )
正态分布N (0, N )有最大熵， 所以 1 h(Z ) log(2 eN ) 2 定义 1 2 h(Z ) Pe e 2 e 为具有可微熵h( Z )的熵功率
----它就是具有可微熵的高斯随机变量的功率
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1 所以 C log 2 e( P N ) h(Z ) 就变为 2 1 1 C log 2 e( P N ) log(2 ePe ) 2 2
1 P C C X log(1 ) 2 N
－－下界
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另方面，由于Y =X + Z，EY = E ( X + Z ) = EX + EZ =0
EY 2 = EX 2 + EZ 2 P N
所以
1 －－上界 C log 2 e( P N ) h(Z ) 2 进一步，因为与EZ 2 =N 有相同方差的分布中
平均错误概率： pe p( x) p( y | x)
xX x , y
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生成矩阵、校验矩阵、相互关系
1 PN log 2 Pe
一般无记忆加性噪声信道容量的上、下界：
1 PN 1 PN log C log 2 N 2 Pe
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10
复习提要
序论
一、信息论的形成及历史
——Claude Shannon及其主要贡献
二、通信系统的模型 ——信源、信道、信宿及相互关系 三、信息论的基本研究内容
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27
第四章 数据可靠传输和信道编码 一、离散无记忆信道和信道容量 离散信道的数学模型：
X，Q ( y x )，Y
信道编码的定义、编码速率、错误概率 离散无记忆信道容量的定义：
C = max I ( X;Y )= max I ( p;Q )
p(x ) p(x )
几种特殊的信道容量的计算：
二进无噪信道、二进对称信道、一般对称信 道、弱对称信道、准对称信道
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二、信道容量的计算 会用拉格朗日乘数法求信道容量
信道容量C的性质：
1) C ³ 0；
2) C £ log X ;
3) C £ log Y ；
了解信道容量的迭代算法的基本思想
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29
三、线性分组码
信道的译码规则
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11
第一章 随机变量的信息度量
一、信源的分类及数学模型
连续信源 单符号 无记忆信源 信源 符号序列 离散信源 有记忆信源 符号序列记忆无限 马尔科夫信源
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12
二、自信息
定义
1 I ( x) log log p ( x) p( x)
1 P log(1 ) 2 N 1 P C max I ( X ; Y ) log(1 ) 2 N
由于达到信道容量当且仅当Y N(0,P N ),
又因为Z N(0,N ),所以由X = Y - Z ,可得,X N(0,P).
即达到信道容量的输入分布为正态分布N(0,P)
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一般无记忆加性噪声信道
当加性噪声功率为EZ =N ,输入功率约束为EX P时 信道容量也可定义为：
2 2
C = max I ( X ; Y ) 2
f (x ):EX P
或等价地表示为： C = max ( h(Y ) h( Z )) 2
f (x ):EX P
由于有相同功率约束高斯信道是其特例，所以
最大后验概率译码规则:
选择译码函数F ( y ) = x ,使之满足条件 p( x | y ) p( x | y ) 对x X
极大似然译码规则：
选择译码函数F ( y ) = x ,使之满足条件 p( y | x ) p( x ) p( y | x) p ( x) 对x X
I ( X ;Y | Z )
互信息的简单性质： 1、非负性 2、链法则 3、数据处理不等式
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各种熵及互信息的相互关系：
H ( X ,Y ) H(X | Y) H (Y | X )
X
Y
H(X )
I ( X ;Y )
H (Y )
注：此图表示了一些等式和不等式的关系，能 够写出并从信息的角度来解释它们。
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四、信源编码定理 了解信源编码定理的内容(定理2.4.1)
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24
第三章 数据压缩和信源编码
一、等长码 等长码的概念 码率:
k R = log2 D 比特/信源字母 n
编码方案(f ,j )的错误概率：
Pe = Pr {j ( f (x n ))
xn}
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性质、单位、随机事件的不确定性
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1) p (x ) log p (x )
x
信息含义（物理意义） 单位——bit、nat、hart、N进信息单位 联合熵：
H (X ,Y )
x
y
p (x , y ) log p (x , y )
def
n 特别 1、无记忆信源： H ( X ) H ( X 1 )
2、k阶平稳马氏信源：
H ( X ) H ( X k 1 | X1, X 2 ,, X k )
k＝1时： H ( X ) H ( X 2 | X1) 注：会计算平稳马氏信源的平稳分布及熵率
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H ( X 1 , X 2 ,, X n )
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条件熵：
H (Y | X x) p( y | x)log p( y | x)
H (Y | X )
xX
xX
yY
p ( x ) H (Y | X x )
p ( x, y ) log p ( y | x)
（1） 2- n ( H ( X ) + ) p( X n ) 2- n ( H ( X )- )，若X n W( n )
（2） Pr W( n ) 1 ，若n充分大
（3） (1 )2n ( H ( X ) - ) W( n ) 2n ( H ( X ) + )，若n充分大
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五、信息量的一些性质
1、凸函数的定义
2、Jensen不等式，对数和不等式 3、D(p||q)是概率分布对(p,q)的凸函数(证明） 4、熵 H (p) 是概率分布p的凹函数(证明)
5、对任给的p( y | x), I ( X ; Y )是p(x)的凹函数(证明)；
对任给的p( x), I ( X ; Y )是p(y|x)的凸函数(证明)。
6、法诺不等式
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第二章 随机过程的信息度量
一、信源和随机过程的基本概念 各种信源的数学模型： 无记忆信源 马尔科夫信源：