正弦函数y=sinx的图象与性质

§4.4 正弦函数的性质教学目标：

1、进一步熟悉单位圆中的正弦线；

2、理解正弦诱导公式的推导过程；

3、掌握正弦诱导公式的运用；

4、能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；

5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；

6、能熟练运用正弦函数的性质解题。 二、教学重、难点

重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。

难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路

【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。

【探究新知】 1．复习：（公式1）sin(360︒k +α) = sin α

2．对于任一0︒到360︒的角，有四种可能（其中α为不大于90︒的非负角）

[

[[[

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角），

当为第二象限角），

当为第一象限角，当

36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3． 公式2：

设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180︒+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知：

sin(180︒+α) = -sin α

4．公式3：

如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得：

sin(-α) = -sin α,

5．公式4：由公式2和公式3可得：

P’(P(x ,-y )

sin(180︒-α) = sin[180︒+(-α)] = -sin(-α) = sin α,

同理可得： sin(180︒-α) = sin α, 6．公式5：sin(360︒-α) = -sin α 【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评

例1：求下列函数值

（1）sin(－1650︒)； （2）sin(－150︒15’)； (3)sin(－

4

7

π) 解：（1）sin(－1650︒)＝－sin1650︒＝－sin(4×360︒＋210︒)＝－sin210︒

＝－sin(180︒＋30︒)＝sin 30︒＝2

1

(2) sin(－150︒15’)＝－sin150︒15’＝－sin(180︒－29︒45’) ＝－sin29︒45’＝－0.4962

(3) sin(－

47π)＝sin(－2π＋4π)＝sin 4π＝2

2 例2．化简：

()()()()()

πααπαπαπαπ---+-+-sin 3sin sin 3sin 2sin 解：（略，见教材P24）

2．学生练习

教材P24练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思

第二课时 正弦函数的性质 一、 教学思路

【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx

（1） 正弦函数的定义域是什么？ （2） 正弦函数的值域是什么？ （3） 它的最值情况如何？

（4） 它的正负值区间如何分？

x

（5） ƒ(x)＝0的解集是多少？ 师生一起归纳得出：

1． 定义域：y=sinx 的定义域为R

2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1]

3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋2

π

,k ∈Z 时 y max ＝1

当且仅当时x ＝2k π－2

π

, k ∈Z 时 y min ＝－1

2︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜0

4．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明 结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性

sin(－x)

sinx (x∈R)是奇函

数

6．单调性

增区间为[－

2＋2k π， 2＋2k π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2

π＋2k π， 23π

＋2k π]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】 1．例题讲评

例1．利用五点法画出函数y ＝sinx －1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。

解：（略，见教材P26） 2．课堂练习

教材P27的练习1、2、3 二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题． 四、课后反思