关于线性相关和线性无关的练习

关于线性相关和线性无关的练习

一. 判断, 如果错误,请改正.

1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.

2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.

3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关.

4. n R 中任意n+2个必线性相关.

5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.

6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.

7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.

若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.

8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.

9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则

r s ≤.

10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0.

二. 填空题

1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= .

2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 当且仅当 当且仅当 .

3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则 .

4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 .

5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα .

6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 .

7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 .

8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是 . 9. 齐次线性方程组

⎪

⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

=+++=+++=+++0

00221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 . 10. 上题的线性方程组中, 若s

1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321--==--==αααα.

2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛------=111111*********

11

11

1A . 四. 证明题

1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.

2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.

3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.

4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.

5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.

6. 设3

321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明

321,,ααα线性无关.

7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明

(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).

8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.

关于线性相关和线性无关的练习---参考答案

一.判断, 如果错误,请改正.

1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.(F) 正确的命题应该为:

若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则向量组中至少有一个)1(s i i ≤≤α可由其余的向量线性表出.

2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.(F) 正确的命题应为:

若当s k k k === 21≠0时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 或为:

若s k k k ,,,21 不全为零, 使得02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关. 或为:

若02211=+++s s k k k ααα 可推知s k k k === 21=0, 则s ααα,...,,21线性无关. 4. n R 中任意n+2个必线性相关. (T)

5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.(F) 正确命题应为:

设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关则r s ≤. 或为:

设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则

(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).

6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.(F) 正确命题应为:

方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有无穷多个解.

7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.

若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.(F) 正确命题应为:

若s ααα,...,,21线性无关, 则s βββ,...,,21也线性无关.