关于线性相关和线性无关的练习
关于线性相关和线性无关的练习
关于线性相关和线性无关的练习一. 判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关.4. n R 中任意n+2个必线性相关.5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0.二. 填空题1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= .2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 当且仅当 当且仅当 .3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则 .4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 .5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα .6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 .7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是 . 9. 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 . 三. 计算1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321--==--==αααα.2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=111111*********11111A . 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.6. 设3321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性无关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.关于线性相关和线性无关的练习---参考答案一.判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.(F) 正确的命题应该为:若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则向量组中至少有一个)1(s i i ≤≤α可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.(F) 正确的命题应为:若当s k k k === 21≠0时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 或为:若s k k k ,,,21 不全为零, 使得02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关. 或为:若02211=+++s s k k k ααα 可推知s k k k === 21=0, 则s ααα,...,,21线性无关. 4. n R 中任意n+2个必线性相关. (T)5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.(F) 正确命题应为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关则r s ≤. 或为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.(F) 正确命题应为:方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有无穷多个解.7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.(F) 正确命题应为:若s ααα,...,,21线性无关, 则s βββ,...,,21也线性无关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.(T) 这是应为04321=-+-ββββ9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.(F)正确命题应为:设线性无关的向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤. 10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0. 三. 填空题1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= -3 .解: 321,,ααα线性相关的充要条件是011334221||=--=kA , 解之得k= -3. 2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 A 的列向量线性无关 当且仅当 R(A)=n 当且仅当 以A 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解 . 3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则R(s ααα,...,,21)≤R(r βββ,...,,21).4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 r ≤ s.5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα 线性无关 .6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 β 可由s ααα,...,,21 线性表出.7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 ir i i ααα,...,,21 是向量组s ααα,...,,21 的一个极大无关组 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是: 这两个向量组等价 . 9. 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 只有零解 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 方程组有非零解 . 三. 计算1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321-==--==αααα. 解:.0000100001000100001000013010*********00000101132013011032022101131312313123111312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−−−−→−-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=r r r r r r r r r A得极大无关组为421,,ααα, 2133131ααα+=.2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=11111111111111211111A . 解:.1100001100331101111102200202003311011111111111111111112111111413122⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=---r r r r r r A得R(A)=4. 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明: 因为04321=-+-ββββ, 所以4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价. 证明, 一方面, 由条件321,,βββ可由321,,ααα线性表出. 另一方面,)(212311βββα-+=, )(213212βββα-+=, )(211323βββα-+=.所以两个向量组可由彼此线性表出, 从而它们等价.3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.证法 1. 由3题的证明结果, 向量组321,,ααα与321,,βββ等价, 有相同的秩, 再由条件321,,ααα线性无关, 所以R(321,,ααα)=3, 因而R(321,,βββ) =3, 这样321,,βββ线性无关.证法 2. 设0332211=++βββk k k , 则0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k , 由于321,,ααα线性无关, 所以0322131=+=+=+k k k k k k , 解之得0321===k k k , 所以321,,βββ线性无关.5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.证明: 设A 的列向量为n ααα,...,,21, 其极大无关组为ir i i ααα,...,,21; B 的列向量为n βββ,...,,21, 其极大无关组为js j j βββ,...,,21. 则A+B 的列向量为n n βαβαβα+++,...,,2211, 且这组向量可由向量组ir i i ααα,...,,21,线性表出, 所以R(A+B)=R(n n βαβαβα+++,...,,2211)≤R(ir i i ααα,...,,21,js j j βββ,...,,21)≤r+s=R(A)+R(B).6. 设3321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性无关.证明: 因为321,,εεε可由321,,ααα线性表出, 所以3=R(321,,εεε)≤R(321,,ααα)≤3, 得R(321,,ααα)=3, 从而321,,ααα线性无关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).证明: 取s ααα,...,,21的极大无关组it i i ααα,...,,21, 再取r βββ,...,,21的极大无关组jp j j βββ,...,,21, 则it i i ααα,...,,21可由jp j j βββ,...,,21线性表出, 由定理2的推理1知, t ≤p即(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.证明: 由于向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 设β=s s l l l ααα+++ 2211. 必要性. 设02211=+++s s k k k ααα , 若s k k k ,...,,21不全为零, 则β=s s l l l ααα+++ 2211;β=s s s l k l k l k ααα)()()(222111++++++ .由于s k k k ,...,,21不全为零, 所以s l l l ,...,,21和s s l k l k l k +++,,,2211 是两组不同的数, 与表示法唯一矛盾, 所以s k k k ,...,,21全为零, s ααα,...,,21线性无关.充分性. 设s ααα,...,,21线性无关, 若β=s s l l l ααα+++ 2211=s s k k k ααα+++ 2211, 则0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα , 由于s ααα,...,,21线性无关, 所以02211=-==-=-s s l k l k l k , 即s s l k l k l k === ,,2211, 表示法唯一.。
线性代数练习8(答案)
习题8 向量组的等价，线性相关与线性无关(答案)一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式12312()bαααββ+=n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)( 2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ d ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( (d)A 中必有一列为其它列的线性组合3. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( b ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例)(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关4. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( d ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示 5. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ c ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关6. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ c ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211)(d 对β的表达式唯一 7. 下列说法正确的是（ d ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示)(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关 二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=5。
向量组的线性相关习题
在线性方程组中的应用
矩阵的秩
向量组的线性相关性决定了矩阵的秩。一个矩阵的秩等于其行向量组或列向量组中线性无关向量的个数。
矩阵的分解
利用向量组的线性相关性，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，如行阶梯形矩阵、LU分解等。
在矩阵理论中的应用
VS
一个向量空间的一组基底是由该空间中线性无关的向量组成的。向量组的线性相关性决定了基底的个数和构成。
基础题1
基础题2
基础题解析
中档题解析
中档题1：已知向量组$\overset{\longrightarrow}{a}，\overset{\longrightarrow}{b}，\overset{\longrightarrow}{c}$线性无关，且满足$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{c}$，求证：向量组$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}，\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c}，\overset{\longrightarrow}{c} + \overset{\longrightarrow}{a}$线性相关。
判定方法二
向量组线性相关与向量组秩的关系
关系一
关系二
关系三
若向量组线性无关，则其秩等于向量个数。
若向量组全为零向量，则其秩为零。
若向量组线性相关，则其秩小于向量个数。
02
向量组线性相关的判定方法
线性代数23向量间的线性关系-2线性相关与无关
1T
,
T 2
,3T
线性相关
4 1 1
1
0 0
0
1 0
2
1
0
1
0
0
0
1T
T 2
T 3
只作行变换
∴1 2 3 线性相关 Q 3 21 2
3 21 2
21 2 3 0
a11 a12
a1n
1
a21
2
a22
...
n
a2n
am1
am2
amn
011 0 1 1
k1 k2 k3 0 ∴ +, + ,+ 线性无关.
课堂练习 设
1 1 0 0 ... 0 2 1 1 0 ... 0
3 1 1 1 ... 0
n 1 1 1 ... 1
证设
k11 k22 ... knn 0
(*)
即
k1
1
0
0
0M
k2
1
1
0
0M
例 判断向量组 1 (1, 2, 1,5) 2 (2, 1,1,1)
3 (4, 3, 1, 11)是否线性相关.
1 2 4 1 2 4 1 2
1T
,
T 2
,
T 3
2 51
1 1 1
3 1 11
0
0
0
5
3
9
359
0 0 0
1 1 1
1T
T 2
T 3
r
1T
,
T 2
,3T
23
0
1
1
2
解 ( 1 2
1 3 )= 3 0 1
(人教b版)数学必修三练习：2.3.2两个变量的线性相关(含答案)
第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg[答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”、“大体”而不能说“一定”、“必”．2．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝150＋60x ，下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为210元B ．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高60元C ．劳动生产率提高1 000元，则工资平均提高210元D ．当月工资为270元时，劳动生产率为2 000元[答案] B[解析] 由回归系数b ^的意义知，b ^>0时，自变量和因变量按同向变化(正相关)，b ^<0时自变量和因变量按反向变化(负相关)，回归直线斜率b ^＝60，所以x 每增加1，y ^平均增加60，可知B 正确．3．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点( )A.(2,2) B ．(1.5,2) C ．(1,2)D ．(1.5,4)[答案] D[解析] x －＝0＋1＋2＋34＝1.5，y －＝1＋3＋5＋74＝4，回归直线必过点(x －，y －)，故选D.4．(2013·湖北文，4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x 、y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578 其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] D[解析] 本题考查的是线性相关关系及回归直线方程． 若y 与x 负相关，则y ^＝bx ＋a 中b <0，故①不正确，②正确； 若y 与x 正相关，则y ^＝bx ＋a 中b >0，故③正确，④不正确；故选D.5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] 本题主要考查了回归分析及回归直线方程． 依题意：x ＝3.5，y ＝42，又b ^＝9.4，∴42＝9.4×3.5＋a ^. ∴a ^＝9.1，∴y ^＝9.4x ＋9.1，当x ＝6时，y ^＝65.5，故选B. 6．以下关于线性回归的判断，正确的有________个．( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A 、B 、C 点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y ^的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^、b ^得到的直线y ^＝a ^x ＋b ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，解得y ^＝11.69，∴③正确；④正确，∴选D.二、填空题7．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为________．[答案] 450kg[解析] 将x ＝50代入回归直线方程得y ^＝250＋4×50＝450，故预计小麦产量为450kg. 8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案] 0.254[解析] 本小题考查内容为回归直线方程与回归系数的意义．由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.三、解答题9．要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩(x )和高一年级期末数学考试成绩(y )(如下表)：(2)判断入学成绩(x )与高一期末考试成绩(y )是否有线性相关关系；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩． [解析] (1)入学成绩(x )与高一期末考试成绩(y )两组变量的散点图如下：(2)从散点图可以看出这两组变量具有线性相关关系．(3)设所求的回归直线方程为：y ^＝a ^＋b ^x ，经计算可得：x －＝70，y －＝76.3，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x － y－∑i ＝110x 2i －10x －2＝0.787 389， a ^＝y －－b ^x －＝21.182 78， 因此所求的回归直线方程为 y ^＝21.182 78＋0.787 389x .(4)把某学生入学数学成绩80分，代入回归直线方程可得：y ≈84分．即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分．一、选择题1．观测两相关变量得如下数据：A ．y ^＝12x －1B ．y ^＝xC ．y ^＝2x ＋13D ．y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 由回归系数公式可算出b ^＝1，a ^＝0.故回归直线方程为y ^＝x ，故选B.也可以根据回归直线方程过(x －，y －)代入求解．2．某同学对一家超市就“气温与热饮杯的销售量”进行调查，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x ℃与当天销售量y (个)之间的线性回归方程为：y ^＝－2.352x ＋147.767，当x ＝2℃时可卖出热饮杯的杯数约为( )A ．109B ．128C ．134D ．143[答案] D[解析] 把x ＝2℃代入线性回归方程得y ^＝－2.352×2＋147.767≈143.故选D.二、填空题3．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是________．[答案] y ^＝1.23x ＋0.08[解析] 设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，(x －，y －)是样本点的中心．依题意，b ^＝1.23，x －＝4，y －＝5，所以a ^＝y －－b ^x －＝0.08，所以回归直线的方程是y ^＝1.23x ＋0.08.4．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y ^＝－2x ＋60.d ＝________.[答案] 100[解析] 由题意得，x －＝14(c ＋13＋10－1)＝22＋c 4，y －＝14(24＋34＋38＋d )＝96＋d 4，又线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，故－2×22＋c 4＋60＝96＋d 4，解得2c ＋d ＝100.三、解答题5．假设学生在初中的数学成绩和高一的数学成绩是线性相关的．现有10名学生的初中数学成绩(x )和高一数学成绩(y )如下：[解析] 求斜率即求回归方程中的b ，按照公式进行计算．因为x －＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y －＝72.3，∑i ＝110xi y i ＝51 467，所以b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2. 斜率为1.218 2.6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) [解析] (1)由题设所给数据，可得散点图如下图．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14i 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －·y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。
2.3 线性相关和线性无关
第一节 线性方程组的消元法 第二节 n维向量 第三节 线性相关与线性无关 第四节 向量的秩 第五节 矩阵的秩
第三节 线性相关和线性无关
一、线性表出
1、线性表出 设 k1, k2, …, ks ∈R, α1, α2, …, αs 是 n 维向量， 若β = k1α 1+ k2α2 + … + ksαs，则称 β 为向量
α 1 = k2 α 2+ k3 α3 + … + kn α n
于是 1⋅α 1+ (− k2) α 2 + … + (− kn ) α n= 0 其系数 不全为零，故 α1, α2, …, αn 线性相关。
推论 向量组α1, α2,
…, αn 线性无关的充要条件是
向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。 性质2 性质2 如果向量组 a1 , a2 ,L , an线性无关，而向量组
证明 若
k1ε 1 + k 2ε 2 + L + k nε n = ο
得
(k1 , k 2 ,L, k n ) = (0,0,L,0)
由此可知，只有 k1 = k 2 = L = k n = 0 时
k1ε1 + k2ε 2 + L + knε n = 0
所以基本向量组 ε 1 , ε 2 ,Lε n 线性无关。
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0
向量组的线性相关性自测题
向量组的线性相关性自测题一. 选择题.1.设向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价，则( A ). (A) 向量组（1）线性相关; （B ）向量组（2）线性无关; （C ）向量组（1）线性无关; （D ）向量组（2）线性相关.解：由向量组（1）:321,,ααα与向量组（2）:21,ββ等价可知()()12312,,,R R αααββ= 又()12,2R ββ≤，故(){}123123,,2,,R αααααα≤<，故向量组（1）线性相关。
其中{}123,,ααα表示向量组321,,ααα的向量个数。
2. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关，则( B ).（A ）向量组中增加一个向量后仍线性无关; （B ）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;（C ）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; （D ）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.解 （A ）若增加的向量为零向量则增加后一定线性相关（当然不止添加零向量使其线性相关，你能否举出）（B ）无关向量组的子向量组必定是无关的（C ）若1100α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则去掉第一个分量后新向量组有零向量了，它必然线性相关。
（D ）1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3001α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关，任意增加一个分量得到10011α⎛⎫⎪⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭ 20110α⎛⎫ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪⎝⎭-，31001α⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关 注：若增加一个分量在同一位置，则增加一个分量后仍线性无关。
3. 设三阶行列式0==ij a D ，则( A ).（A ）D 中至少有一行向量是其余行向量的线性组合; （B ）D 中每一行向量都是其余行向量的线性组合; （C ）D 中至少有两行向量线性相关; （D ）D 中每一行向量都线性相关. 解：0==ij a D ，可知矩阵的行向量组（列向量组）是线性相关的，故有A 。
线性关系练习题(必做30道)
线性关系练习题(必做30道)以下是30道关于线性关系的练题，希望能帮助你巩固对这个概念的理解和应用。
1. 已知一条直线的斜率为2，经过点(3, 5)，求直线的方程。
2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，经过4小时后行程多少公里？3. 如果y和x之间的关系是y = 3x + 2，求当x为5时y的值。
4. 如果直线过点(1, 3)和(4, 9)，求直线的斜率和方程。
5. 线性函数y = 4x + 1的图像是一条通过点(1, 5)的直线吗？6. 如果y和x之间的关系是y = -2x + 7，求当y为3时x的值。
7. 某个商品原价为100元，现以8折的优惠出售，求现价。
8. 如果两个数x和y之间的关系是y = 2x - 5，求当y为0时x 的值。
9. 线性方程2x - 3y = 6是否过点(4, 5)？10. 某个公司的年度营业额为100万，每年增长10%，五年后的营业额是多少？11. 如果y和x之间的关系是y = -3x，求当x为-2时y的值。
12. 某个产品的价格为50元，现以每年下降5%的速度销售，五年后的价格是多少？13. 一条直线垂直地穿过点(2, 3)，求直线的方程。
14. 一架火箭以每秒1000米的速度上升，经过10秒后上升了多少米？15. 如果两个数x和y之间的关系是y = 5x + 3，求当y为20时x的值。
16. 线性方程3x - 2y = 9是否过点(3, 6)？17. 一个人每天走路1小时，平均速度是5公里/小时，那么他每天走多少公里？18. 一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过1小时30分钟后行程多少公里？19. 某个商品原价为200元，现以半价的优惠出售，求现价。
20. 线性函数y = -2x + 4的图像是一条通过点(3, 10)的直线吗？21. 如果两个数x和y之间的关系是y = 3x - 2，求当y为4时x 的值。
22. 如果直线过点(2, -1)和(5, -4)，求直线的斜率和方程。
3.2线性相关与线性无关
定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关 组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关 组”.
注意: “扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者 是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变， 维数增减.
不妨设km 0, 则有
如果m k11
m
k1mk(mk111
m1 ,
k
则
m
1
m
1
).
k11 km1 m1 1 • m 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于k个数k1 ,, km1 , km 1不全为零，故
1
,
2
,,
线性
m
相
关
。
例11设1 ,2 ,,m线 性 相 关 ，m 1且1 0.
证 明 ： 存 在 某 个t
这 就 是 说 ， 若 方 阵 的 行列 式 等 于 零 ， 则 它 的 行向 量 组
和 列 向 量 组 都 线 性 相 关； 若 方 阵 的 行 列 式 不 为零 ， 则
它 的 行 向 量 组 和 列 向 量组 都 线 性 无 关 。
定 理3.2.1m个n维 向 量1,2 ,,m (m 2)线 性 相 关
定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相 关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价 说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整 体无关，部分必无关”.
定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应 相等： i (ai1, ai2 ,, ain ),i 1,2,, m;
i (ai1, ai2 ,, ain , ai,n1 ),i 1,2,, m.
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
线性相关与线性无
解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行
变换化为最简形式.
1 1 A 3 1 -1 5 -1 1 -1 5 -1 1 -2 3 0 2 -7 4 -1 8 1 0 2 -7 4 3 -9 7 0 4 -14 8
1 0 0 0
a11 D a 21 .
... a1s ... a 2 s ... ... ... a ss
0
例5
设向量组 1 ,2 ,,m 与 1 , 2 ,, s
秩相同且 1 ,2 ,,m 能经 1 , 2 ,, s
法二：初等行变换法
,…βs)= r(β1，β2 ,…βs,α) 则α可由β1，β2，。。。Βs线性表出； 若r(β1，β2 ,…βs)＜ r(β1，β2 ,…βs,α) 则α不可由β1，β2，。。。Βs线性表出。
若r(β1，β2
例6
设α=（0，4，2，5），β1=（1，2，3， 1），β2=（2，3，1，2），β3=（3，1，2， -2） ，问α是否可表示成β1 ，β2 ，β3的线性 组合？
线性相关与线性无关习题课
题型一 讨论向量组的线性相关性
解题提示：1，定义法 一般步骤为，假设有k1,k2,….ks使得 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，要使上式成立，根据已知 条件推断，若k1，k2,….ks 至少有一个不为0，则α1， α2，…αs线性相关；若仅当k1，k2,….ks 全为0上 式才成立，则α1，α2，…αs线性无关。 2，n个n维列向量α1，α2，…αn线性相关的充要条 件是行列式 │ α1，α2，…αn │=0；线性无关的充要条件是行列 式 │ α1，α2，…αn │≠0.
线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性
![线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/6738a46983c4bb4cf7ecd1f4.png)
习题 4-1 向量组的线性相关性1．向量组12,,,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是 。
a ．12,,,s ααα均不是零向量； b ．12,,,s ααα中任意两个向都不成比例；c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示；d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。
2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立； b ．对β的线性表示式不唯一；c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关；d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得isi i k αβ∑==1成立。
3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。
a ．（2，0，0），（3-，0，4）；b ．（2，0，0），（1，1，0）；c ．（3-，0，4），（1，1，0）；d ．（2，0，0），（0，1-，0）。
4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则 。
a ．α必可由δγβ,,线性表示；b ．β必不可由δγα,,线性表示；c ．δ必不可由γβα,,线性表示；d ．δ必可由γβα,,线性表示。
5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组 线性无关。
a ．133221,,αααααα-++；b ．32132212,,ααααααα++++；c ．1332213,32,2αααααα+++；d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++.6. 设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)0,1,5,2(1=α， )1,1,1,4(),10,5,1,10(32-==αα，试求α。
7. 判断下列向量组的线性相关性。
(1) T T T T )1,0,1,0(,)1,1,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα(2) T T T T )2,0,0,0(,)1,1,0,0(,)4,0,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα8. 设321,,ααα线性无关，讨论133221,,αααααα---线性相关性。
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：1． 设TT T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα则=-21αα(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T)10,5,1,10(2=αT ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3． 已知TT T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式0abc ≠三．计算题：1． 设向量()11,1,1Tαλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)Tβλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？13212322221110111(,,,)11111111111101110,00(3)(12)r r rλλλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪=+−−−→+ ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪−−→→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭解因为2221110,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭123123123(1)03,(,,,)(,,)3,,,,;R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一123123123(2)0,(,,,)(,,)13,,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一123123123(3)3,(,,,)3(,,)2,,,.R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,, （C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,, 2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ] （A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示 （B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ] （A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关 4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r = 二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3 2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为22． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T),,(1324=α的秩为2，则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，Td ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式134321313512312343(1)53215111211221122(1)(,,,)11123215543954391112111200100010012101210121000011120121r r r r r r r r r r r r r αααα↔---⨯--↔⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭−−−→解：32414342431231231212312340010000(,,)3,,,.,,,,,3212321232121126112611261112111200145430110r r r r r r r r r r R d d αααααααααααααααα-----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4因为则线性无关，且故为的一个极大无关组.(2)()123123123412300066(,,,),,3,,,,,,32120104112610020014001400000000r d d R R αααβαααβαααααααβααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只有时即可由的极大无关组表示.3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
线性相关与线性无关
α3线性相关。 线性相关。
1 k β2 = (0，0)，则找不到不全为零的 1、k2，使 ， k1α1 + k2α2 = 0和k1β1 + k2βm = 0 同时成立。 同时成立。
例如，取 1 = (1,0，, α2 (2，2), β1 = (0，0), 1) 0， 3， 例如， α
（6）不正确。 ）不正确。
k 因为线性无关是指只有 1 = k2 = L= km = 0时， 成立。 才有k1α1 + k2α2 + L+ kmαm = 0成立。题设的条件 与此不等价。 与此不等价。
第三章
向量组的线性相关性 及 矩阵的秩 典型例题分析与计算
－－线性相关与线性无关 －－线性相关与线性无关
下列命题是否正确？如正确，证明之， 例1 下列命题是否正确？如正确，证明之， 如不正确，举反例。 如不正确，举反例。
(1) 若向量组α1、α2、 、αm是线性相关的，则 L 是线性相关的，
L 线性表示。 α1可由α2、 、αm线性表示。
例如，取 1 = (1,0), α2 (0,1), β1 = ( 1,0), β2 = 例如， α k1α1 + k2α2 + k1β1 + k2β2 = 0
(0,1)则当k1 = k2 = 1时，有
成立， , α 成立，从而 1、α2、β1、β2线性相关 但其部分向 却分别线性无关。 量α1、α2和β1、β2却分别线性无关。
(8) α1、α2、 、αm (m > 2)线性无关的充要条 L
无关。 件是任一两个向量线性 无关。
要判断这些命题是否正确， 分析 要判断这些命题是否正确，必须正确 理解线性相关和线性无关的定义，从定义入手。 理解线性相关和线性无关的定义，从定义入手。
线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性
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习题 4-1 向量组的线性相关性1．向量组12,,,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是 。
a ．12,,,s ααα均不是零向量； b ．12,,,s ααα中任意两个向都不成比例；c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示；d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。
2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立； b ．对β的线性表示式不唯一；c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关；d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得isi i k αβ∑==1成立。
3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。
a ．（2，0，0），（3-，0，4）；b ．（2，0，0），（1，1，0）；c ．（3-，0，4），（1，1，0）；d ．（2，0，0），（0，1-，0）。
4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则 。
a ．α必可由δγβ,,线性表示；b ．β必不可由δγα,,线性表示；c ．δ必不可由γβα,,线性表示；d ．δ必可由γβα,,线性表示。
5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组 线性无关。
a ．133221,,αααααα-++；b ．32132212,,ααααααα++++；c ．1332213,32,2αααααα+++；d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++.6. 设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)0,1,5,2(1=α，)1,1,1,4(),10,5,1,10(32-==αα，试求α。
7. 判断下列向量组的线性相关性。
(1) T T T T )1,0,1,0(,)1,1,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα(2) T T T T )2,0,0,0(,)1,1,0,0(,)4,0,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα8. 设321,,ααα线性无关，讨论133221,,αααααα---线性相关性。
线性相关与线性无关习题课共60页
Hale Waihona Puke 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
线性相关与线性无关习 题课
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
关于线性相关和线性无关的练习
关于线性相关和线性⽆关的练习关于线性相关和线性⽆关的练习⼀. 判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每⼀个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性⽆关.4. nR 中任意n+2个必线性相关.5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.6. ⽅程个数⼩于未知量个数的线性⽅程组必有⽆穷多个解.7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性⽆关, 则s ααα,...,,21也线性⽆关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.10. 设A 是⼀个n 阶矩阵, 若A 的⾏向量线性相关, 则|A |=0.⼆. 填空题 1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= .2. 设 A 是⼀个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当当且仅当当且仅当 .3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则 .4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性⽆关, 则 .5. 设1021,...,,ααα线性⽆关, 则21,αα .6. 若s ααα,...,,21线性⽆关,βααα,,...,,21s 线性相关, 则 .7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中⼀个线性⽆关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每⼀个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是 . 9. 齐次线性⽅程组=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性⽆关, 则该⽅程组 . 10. 上题的线性⽅程组中, 若s1. 求向量组4321,,,αααα的极⼤⽆关组, 并把不属于极⼤⽆关组的向量⽤极⼤⽆关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321--==--==αααα.2. 求矩阵A 的秩, 其中??------=111111*********11111A . 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.3. 若321,,ααα线性⽆关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性⽆关.4. 设321,,ααα线性相关,432,,ααα线性⽆关, 证明321,ααα可由线性表出.5. 设A, B 都是n s ?矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.6. 设3321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性⽆关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表⽰法唯⼀当且仅当s ααα,...,,21线性⽆关.关于线性相关和线性⽆关的练习---参考答案⼀.判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每⼀个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.(F) 正确的命题应该为:若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则向量组中⾄少有⼀个)1(s i i ≤≤α可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.(F) 正确的命题应为:若当s k k k === 21≠0时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 或为:若s k k k ,,,21 不全为零, 使得02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性⽆关. 或为:若02211=+++s s k k k ααα可推知s k k k === 21=0, 则s ααα,...,,21线性⽆关. 4. nR 中任意n+2个必线性相关. (T)5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.(F) 正确命题应为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性⽆关则r s ≤. 或为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).6. ⽅程个数⼩于未知量个数的线性⽅程组必有⽆穷多个解.(F) 正确命题应为:⽅程个数⼩于未知量个数的齐次线性⽅程组必有⽆穷多个解. 7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性⽆关, 则s ααα,...,,21也线性⽆关.(F) 正确命题应为:若s ααα,...,,21线性⽆关, 则s βββ,...,,21也线性⽆关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.(T) 这是应为04321=-+-ββββ9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.(F)正确命题应为:设线性⽆关的向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤. 10. 设A 是⼀个n 阶矩阵, 若A 的⾏向量线性相关,则|A |=0. 三. 填空题 1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= -3 .解:321,,ααα线性相关的充要条件是011334221||=--=kA , 解之得k= -3. 2. 设 A 是⼀个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 A 的列向量线性⽆关当且仅当 R(A)=n 当且仅当以A 为系数矩阵的齐次线性⽅程组只有零解 . 3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则R(s ααα,...,,21)≤R(r βββ,...,,21).4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性⽆关, 则 r ≤ s.5. 设1021,...,,ααα线性⽆关, 则21,αα线性⽆关 .6. 若s ααα,...,,21线性⽆关,βααα,,...,,21s 线性相关, 则β可由s ααα,...,,21 线性表出.7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中⼀个线性⽆关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每⼀个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 ir i i ααα,...,,21 是向量组s ααα,...,,21 的⼀个极⼤⽆关组 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是: 这两个向量组等价 . 9. 齐次线性⽅程组=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性⽆关, 则该⽅程组只有零解. 10. 上题的线性⽅程组中, 若s1. 求向量组4321,,,αααα的极⼤⽆关组, 并把不属于极⼤⽆关组的向量⽤极⼤⽆关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321-==--==αααα.解:.0000100001 000100001000013010*********0000010 1132013011032022101131312313123111312??→→?-+-→--→?-----=r r r r r r r r r A得极⼤⽆关组为421,,ααα, 2133 131ααα+=. 2. 求矩阵A 的秩, 其中??------=111111*********11111A . 解:.1100001100331101111102200202003311011111111111111111112111111413122-→???????? ??--------??→------=---r r r r r r A得R(A)=4. 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明: 因为04321=-+-ββββ, 所以4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价. 证明, ⼀⽅⾯, 由条件321,,βββ可由321,,ααα线性表出. 另⼀⽅⾯, )(212311βββα-+=, )(213212βββα-+=, )(211323βββα-+=. 所以两个向量组可由彼此线性表出, 从⽽它们等价. 3. 若321,,ααα线性⽆关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,证明向量组321,,βββ也线性⽆关.4. 设321,,ααα线性相关,432,,ααα线性⽆关, 证明321,ααα可由线性表出.证法 1. 由3题的证明结果, 向量组321,,ααα与321,,βββ等价, 有相同的秩, 再由条件321,,ααα线性⽆关, 所以R(321,,ααα)=3, 因⽽R(321,,βββ) =3, 这样321,,βββ线性⽆关.证法 2. 设0332211=++βββk k k , 则0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k , 由于321,,ααα线性⽆关, 所以0322131=+=+=+k k k k k k , 解之得0321===k k k , 所以321,,βββ线性⽆关.5. 设A, B 都是n s ?矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.证明: 设A 的列向量为n ααα,...,,21, 其极⼤⽆关组为ir i i ααα,...,,21; B 的列向量为n βββ,...,,21, 其极⼤⽆关组为js j j βββ,...,,21.则A+B 的列向量为n n βαβαβα+++,...,,2211, 且这组向量可由向量组ir i i ααα,...,,21,线性表出, 所以R(A+B)=R(n n βαβαβα+++,...,,2211)≤R(ir i i ααα,...,,21,js j j βββ,...,,21)≤r+s=R(A)+R(B). 6. 设3321,,R ∈ααα,若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性⽆关.证明: 因为321,,εεε可由321,,ααα线性表出, 所以3=R(321,,εεε)≤R(321,,ααα)≤3, 得R(321,,ααα)=3, 从⽽321,,ααα线性⽆关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).证明: 取s ααα,...,,21的极⼤⽆关组it i i ααα,...,,21, 再取r βββ,...,,21的极⼤⽆关组jp j j βββ,...,,21, 则it i i ααα,...,,21可由jp j j βββ,...,,21线性表出, 由定理2的推理1知, t ≤p即(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表⽰法唯⼀当且仅当s ααα,...,,21线性⽆关.证明: 由于向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 设β=s s l l l ααα+++ 2211. 必要性. 设02211=+++s s k k k ααα , 若s k k k ,...,,21不全为零, 则β=s s l l l ααα+++ 2211;β=s s s l k l k l k ααα)()()(222111++++++ .由于s k k k ,...,,21不全为零, 所以s l l l ,...,,21和s s l k l k l k +++,,,2211 是两组不同的数, 与表⽰法唯⼀⽭盾, 所以s k k k ,...,,21全为零,s ααα,...,,21线性⽆关.充分性. 设s ααα,...,,21线性⽆关, 若β=s s l l l ααα+++ 2211=s s k k k ααα+++ 2211, 则0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα, 由于s ααα,...,,21线性⽆关, 所以02211=-==-=-s s l k l k l k , 即s s l k l k l k === ,,2211, 表⽰法唯⼀.。
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关于线性相关和线性无关的练习一. 判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关.4. n R 中任意n+2个必线性相关.5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0.二. 填空题1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= .2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 当且仅当 当且仅当 .3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则 .4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 .5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα .6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 .7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是 . 9. 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 . 三. 计算1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321--==--==αααα.2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=111111*********11111A . 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价.3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.6. 设3321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性无关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.关于线性相关和线性无关的练习---参考答案一.判断, 如果错误,请改正.1. 若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则每一个)1(s i i ≤≤α都可由其余的向量线性表出.(F) 正确的命题应该为:若向量组s ααα,...,,21线性相关, 则向量组中至少有一个)1(s i i ≤≤α可由其余的向量线性表出.2. 若当s k k k === 21时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关.(F) 正确的命题应为:若当s k k k === 21≠0时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 或为:若s k k k ,,,21 不全为零, 使得02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性相关. 3. 若当021====s k k k 时, 02211=+++s s k k k ααα , 则s ααα,...,,21线性无关. 或为:若02211=+++s s k k k ααα 可推知s k k k === 21=0, 则s ααα,...,,21线性无关. 4. n R 中任意n+2个必线性相关. (T)5. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤.(F) 正确命题应为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关则r s ≤. 或为:设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).6. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.(F) 正确命题应为:方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有无穷多个解.7. 设s i a a a in i i i ,...,2,1),,...,,(21==α, s i b b b a a a im i i in i i i ,...,2,1),,...,,,,...,,(2121==β.若s βββ,...,,21线性无关, 则s ααα,...,,21也线性无关.(F) 正确命题应为:若s ααα,...,,21线性无关, 则s βββ,...,,21也线性无关.8. 向量组144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=线性相关.(T) 这是应为04321=-+-ββββ9. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 若r βββ,...,,21线性相关, 则r s ≤.(F)正确命题应为:设线性无关的向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则r s ≤. 10. 设A 是一个n 阶矩阵, 若A 的行向量线性相关, 则|A |=0. 三. 填空题1. 设)1,3,2(),1,,2(),3,4,1(321-=-==αααk 线性相关, 则k= -3 .解: 321,,ααα线性相关的充要条件是011334221||=--=kA , 解之得k= -3. 2. 设 A 是一个n 阶矩阵, 则|A |≠0当且仅当 A 的列向量线性无关 当且仅当 R(A)=n 当且仅当 以A 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解 . 3. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 则R(s ααα,...,,21)≤R(r βββ,...,,21).4. 若向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 且s ααα,...,,21线性无关, 则 r ≤ s.5. 设1021,...,,ααα线性无关, 则21,αα 线性无关 .6. 若s ααα,...,,21线性无关, βααα,,...,,21s 线性相关, 则 β 可由s ααα,...,,21 线性表出.7. 设ir i i ααα,...,,21是向量组s ααα,...,,21中一个线性无关的部分向量组, 且s ααα,...,,21中的每一个向量都可由ir i i ααα,...,,21线性表出, 则 ir i i ααα,...,,21 是向量组s ααα,...,,21 的一个极大无关组 .8. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 则向量组321,,ααα与321,,βββ的关系是: 这两个向量组等价 . 9. 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数矩阵的列向量线性无关, 则该方程组 只有零解 . 10. 上题的线性方程组中, 若s<n, 则 方程组有非零解 . 三. 计算1. 求向量组4321,,,αααα的极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表出, 其中)0,1.2,1(),1,1,0,0(),3,0,2,1(),0,3,2,1(4321-==--==αααα. 解:.0000100001000100001000013010*********00000101132013011032022101131312313123111312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−−−−→−-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=r r r r r r r r r A得极大无关组为421,,ααα, 2133131ααα+=.2. 求矩阵A 的秩, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=11111111111111211111A . 解:.1100001100331101111102200202003311011111111111111111112111111413122⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=---r r r r r r A得R(A)=4. 四. 证明题1. 设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明: 因为04321=-+-ββββ, 所以4321,,,ββββ线性相关.2. 设133322211,,ααβααβααβ+=+=+=证明向量组321,,ααα与321,,βββ等价. 证明, 一方面, 由条件321,,βββ可由321,,ααα线性表出. 另一方面,)(212311βββα-+=, )(213212βββα-+=, )(211323βββα-+=.所以两个向量组可由彼此线性表出, 从而它们等价.3. 若321,,ααα线性无关, 133322211,,ααβααβααβ+=+=+=, 证明向量组321,,βββ也线性无关.4. 设321,,ααα线性相关, 432,,ααα线性无关, 证明321,ααα可由线性表出.证法 1. 由3题的证明结果, 向量组321,,ααα与321,,βββ等价, 有相同的秩, 再由条件321,,ααα线性无关, 所以R(321,,ααα)=3, 因而R(321,,βββ) =3, 这样321,,βββ线性无关.证法 2. 设0332211=++βββk k k , 则0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k , 由于321,,ααα线性无关, 所以0322131=+=+=+k k k k k k , 解之得0321===k k k , 所以321,,βββ线性无关.5. 设A, B 都是n s ⨯矩阵, 证明)()()(B R A R B A R +≤+.证明: 设A 的列向量为n ααα,...,,21, 其极大无关组为ir i i ααα,...,,21; B 的列向量为n βββ,...,,21, 其极大无关组为js j j βββ,...,,21. 则A+B 的列向量为n n βαβαβα+++,...,,2211, 且这组向量可由向量组ir i i ααα,...,,21,线性表出, 所以R(A+B)=R(n n βαβαβα+++,...,,2211)≤R(ir i i ααα,...,,21,js j j βββ,...,,21)≤r+s=R(A)+R(B).6. 设3321,,R ∈ααα, 若)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε可由321,,ααα线性表出,证明321,,ααα线性无关.证明: 因为321,,εεε可由321,,ααα线性表出, 所以3=R(321,,εεε)≤R(321,,ααα)≤3, 得R(321,,ααα)=3, 从而321,,ααα线性无关.7. 设向量组s ααα,...,,21可由向量组r βββ,...,,21线性表出, 证明(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).证明: 取s ααα,...,,21的极大无关组it i i ααα,...,,21, 再取r βββ,...,,21的极大无关组jp j j βββ,...,,21, 则it i i ααα,...,,21可由jp j j βββ,...,,21线性表出, 由定理2的推理1知, t ≤p即(),...,,(21R R s ≤αααr βββ,...,,21).8. 设向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 证明表示法唯一当且仅当s ααα,...,,21线性 无关.证明: 由于向量β可由向量组s ααα,...,,21线性表出, 设β=s s l l l ααα+++ 2211. 必要性. 设02211=+++s s k k k ααα , 若s k k k ,...,,21不全为零, 则β=s s l l l ααα+++ 2211;β=s s s l k l k l k ααα)()()(222111++++++ .由于s k k k ,...,,21不全为零, 所以s l l l ,...,,21和s s l k l k l k +++,,,2211 是两组不同的数, 与表示法唯一矛盾, 所以s k k k ,...,,21全为零, s ααα,...,,21线性无关.充分性. 设s ααα,...,,21线性无关, 若β=s s l l l ααα+++ 2211=s s k k k ααα+++ 2211, 则0)()()(222111=-++-+-s s s l k l k l k ααα , 由于s ααα,...,,21线性无关, 所以02211=-==-=-s s l k l k l k , 即s s l k l k l k === ,,2211, 表示法唯一.。