高等数学(下册) 格林公式和高斯公式

Pdydz Qdzdz Rdxdy

(

高斯公式的应用

P Q R ) x y z
算封闭曲面 上的对坐标 的曲面积分。



Pdydz Qdzdz Rdxdy

(
P Q R )dv x y z
注意正向法线指向外侧。 典型题：170 页，例 1；174 页，作 业题 1 题（1，2）。
计算开放曲面 上的对坐 补上与做表面平行的平面 S ， 标的曲面积分。 与 形成闭合曲面


Pdydz Qdzdz Rdxdy


(
S
P Q R )dv x y z
Pdydz Qdzdz Rdxdy
S

（转成一个三重积分和一个平面 上的面积分。注意调整好方向，使 得 和 S 指向闭合区域的外侧。） 典型题:170 页，例 2；174 页，作 业题 1 题（3）。



Pdx Qdy
D D
曲线 逆时针方向围出区 域D
(

D
Q P )dxdy x y
(直接转化成一个二重积分。) 典型题：145 页，例 2。
P( x, y ), Q( x, y ) 在 D 上某点 P
处没有定义，在 D 内部用逆 时针小圆 L 将 P 围住。

源自文库

Pdx Qdy Q P
L
( x y )dxdy

Pdx Qdy
D D

L
其中 逆时针方向， L 逆时针方向， 是 D 中挖去小圆剩下的部分。 (转成一个二重积分(一般等于 0) 和一个小圆上的曲线积分。) 典型题：146 页例 4。
算开放路径积分


Pdx Qdy
补上一段与坐标轴平行的路 径 L ，与 共同围出区域 D。


Pdx Qdy Q P ) dxdy L Pdx Qdy x y
曲线 是一个开放路径


(
D
L L
（转成一个二重积分和一个直线 段上积分。注意调整好方向，使得 和 L 连起来是逆时针方向。） 典型题：153 页，作业题 5 题（3， 4）
格林公式和高斯公式
格林公式 D 是单连通区域：
分段光滑曲线 (及 L )围 成区域 D，如右上图（右 下图）所示。
D D

( x y )dxdy
D
Q
P
Pdx Qdy

P( x, y ), Q( x, y )
在 D 上具有连续偏导数。
其中 逆时针方向。 约定路径 正向逆时针。 D 是单连通区域：
x0 y0 x y
du P( x, y )dx Q( x, y )dy
Q P x y
其中 x0 , y0 为适当选择值。 典型题：151 页，例 4，5。
高斯公式 封闭 分片光滑，正向法 线指向外侧，所围闭区域 记为 。函数 P( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ，R( x, y, z ) 在 内有一阶连续偏导数。
S
( x y )dxdy
D
Q
P
D D L


Pdx Qdy Pdx Qdy
L
其中 逆时针方向， L 顺时针方向。
算封闭曲线积分
约定外边路径 正向逆时针， 里边路径 L 顺时针。 格林公式的应用（二重积分与线积分转化） P( x, y ), Q( x, y ) 在 D 上具有 Pdx Qdy 连续偏导数
格林公式和高斯公式
积分与路径无关问题： 曲线积分 判别条件： 典型题：153 页，作业题 4 题（2）

L
Pdx Qdy 与
路径 无关，与起点、终 点有关 全微分问题： 寻找函数 u ( x, y ) ，使得
Q P x y
判别条件：
u ( x, y ) P ( x, y0 )dx P( x0 , y )dy