异面直线所成角的计算

第二节 异面直线所成角的计算

1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围：

例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.

分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有:

①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系.

2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.

小结：求异面直线所成角的方法：

变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。

变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。

例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．

例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。

变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC

BD ⊥，,M N 分

别为,AB CD 的中点，求MN

及MN 与BD 所成角的正切值。

1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是

(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能.

2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 .

3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条.

4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o

角，则c 与b 所成角的范围是 .

5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的 度数为

6、 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ， （1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。

（2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M

A 1与CN 所成角的余弦值。

A

C B D

A

B

M

D

A C B

F

E

1

A 1