异面直线所成角的计算
异面直线所成角的几种求法资料讲解
异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。
由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。
在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=61。
所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。
异面直线成角求法
求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。
例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。
异面直线所成角的几种求法
第 1 页 共 3 页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角)来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。
解法一：(作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。
作法:连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。
过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS.由B 1H//C 1D 1//FS,B 1H=FS ，可得B 1F//SH. 在△GHS 中，设正方体边长为a 。
GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，连QH,可知△GQH 为直角三角形）， HS=a(连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形)，GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。
∴Cos ∠GHS=.所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。
解法二：（向量法）分析:因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角. 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z则点A 1的坐标为（0,2,2)，点E 的坐标为（1，0，1)，点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为(2,1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1）,向量的坐标为（2，1，—1)，所以这两个向量的夹角θ满足cos θ===-。
异面直线所成角的计算
C1
D
C
则MON=120，
即异面直线AC与BD所成的角为60°.
2.已知正方体的棱长为a , M为AB的中点,N 为 BB1的中点， 求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值.
解： 如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中 D1 C1
1 2 1 2
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角（或其补角）
∵ EG AD 1, FG BC 1 ，
EG 2 FG 2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 在 EGF 中， cos EGF 2 EG FG 2
，
∵两异面直线所成角的范围是： 00 , 90 0 ∴异面直线 AD, BC 所成的角为 60
BG=BE=
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
5 2
a,， F C1 =
6 a 2
A1
E
F
B1
G D N C
想一想：还有其他定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
则∠FNC为所求角.
A
M
B
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化 归的数学思想.
化归的一般步骤是：定角
方法归纳： 平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中， 由余弦定理得
补充构造异面直线所成角的几种方法
补充构造异面直线所成角的几种方法一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]90︒ 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。
EF1A 1B 1C 1D BCDGEF1A 1B 1C 1D ABCDG例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
BM AN CS B M ANC SM ANCS例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC所成角的正切值等于_____．练习：1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是()31032()()()()21055A B C D2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()()()1021510A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面(第2F 1 ABCD 1 C 1A 1B 1B 1(第1题)A 1ABC 1D 1CD MNN MFEDCB A在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的正切值为 。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
异面直线所成角公式
异面直线所成角公式
异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度。
这种角度可以用以下公式来计算：
所成角（°）= 180° - 倾斜角1 - 倾斜角2
其中，倾斜角1和倾斜角2分别表示两条直线的倾斜角度。
注意，倾斜角是指直线与水平面的夹角，一般情况下，倾斜角的取值范围是0°~90°。
举个例子，如果有两条直线，倾斜角分别为30°和45°，那么它们所成角的大小就可以用以下公式计算：
所成角（°）= 180° - 30° - 45° = 105°
总之，异面直线所成角是指两条直线在同一平面内，但并不重合，且有一个交点的角度，可以使用以上公式来计算。
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。
2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。
3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。
4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。
具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。
由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。
为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。
由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。
因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。
通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。
异面直线所成角定义
异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。
2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。
我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。
2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。
两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。
2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。
若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。
3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。
定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。
4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。
设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。
计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。
通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。
异面角的知识点总结
异面角的知识点总结
异面直线所成的角的方法归纳
(1）求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识（余弦定理、正弦定理、射线定理( cos0 =cos6, cos0,))求解，整个求解过程可概括为:一找二证三求。
(2）求异面直线所成角的步骤:
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角0的范围是0°<0≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
方法总结:直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法
总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学习的第一个空间角，它的求法体现了立体几何将空间图形问题化归为平面图形问题的基本思想。
正四棱锥异面直线所成角
正四棱锥异面直线所成角
正四棱锥异面直线所成角是指正四棱锥中，不在同一平面上且不平行也不相交的两条直线所成的角。
这个角的大小取决于两条异面直线的方向向量或基向量之间的夹角。
在正四棱锥中，两条异面直线的方向向量分别为a和b。
这些向量之间的关系可以通过角度来表示。
当这两条异面直线是斜对边时，所成的角就是90 度（π/2弧度）；当它们是相邻边时，所成的角就是 45 度（π/4弧度）。
异面直线所成角的计算公式为：
θ = arccos(abs(a·b) / (||a|| ×||b||))
其中，θ是异面直线所成角，a·b 是向量a和b的点积，||a|| 和 ||b|| 分别是向量a和b的模长。
在具体问题中，需要根据正四棱锥的几何特性和异面直线的位置关系来确定所成角的大小。
例如，在计算正四棱锥的体积或表面积时，需要用到异面直线所成角的信息。
异面直线所成的角的求法
异面直线所成的角的求法法一：平移法例1：在正方体1111ABCD A B C D -中，求下列各对异面直线所成的角。
（1）1AA 与BC ； （2）1DD 与1A B ； （3）1A B 与AC 。
法二：中位线例2：在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且AB ⊥CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，求直线AB 与MN 所成的角。
变式：在空间四边形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点，AB ＝CD ＝2，且MN ＝2，求直线AB 与CD 所成的角。
习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 5．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值法三：补形法 例3：如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC ，求下列各对异面直线所成的角的正切值.（1）PB 与AC ；(2)AB 与PC 。
法四：空间向量法例4：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1,BB CD 的中点，求证：1AE D F⊥ 变式1. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。
立体几何_异面直线成角求法
构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF＝2222221112B GG FB FB G G F+-+-=∙＝0，故∠B 1G F ＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．图1BCE图21A 1B 1C 1D ACDE FG解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ．∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，P A ⊥平面A B C，90A C B ∠=︒且P A A C B C a===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体'''D B C A D B C P -，P B 与A C 所成的角的大小即此正方体主对角线P B 与棱B D 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即ta n P D D B A D B∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''D B C A D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面1D 1B 1C PDBCAPBCAA B C SE F ABC D D 1 C 1B 1 A 1 M N N MFE DCB A J IHG F ED C B A B A C DA F EPC BA 直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的 中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ． 三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点．NMD CBA D CB A P QD 1C 1B 1A 1（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）EF 与PC 所成的角； （3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ； （2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长； （2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离． 2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性． 5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想； ②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成； ④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。
最新异面直线所成的角求法-总结加分析
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
异面直线所成角
异面直线所成角概念&性质：在三维空间中，当两条直线不在同一个平面上时，它们所成的角称为异面直线所成角。
异面直线所成角与二维平面中直线所成角有着一定的区别。
在二维平面中，直线之间只能是相交或平行，而在三维空间中，两条直线可能相交，也可能平行，因此在考虑两条异面直线所成角的问题时，需要考虑两条直线是否平行，如果平行则不存在所成角。
我们可以通过斜线与平面的关系来确定两条直线是否平行，具体方法有以下两种：1. 方向向量法：设异面直线L1和L2分别由向量a1和a2表示，判断直线是否平行可以通过检查两个向量的数量积是否为零。
当a1·a2=0时，L1和L2平行。
2. 法向量法：设L1过点P1(x1, y1, z1)，方向向量为a1=(a, b, c)；L2过点P2(x2, y2, z2)，方向向量为a2=(d, e, f)。
设L1所在平面的法向量为n1=(m, n, p)，L2所在平面的法向量为n2=(q, r, s)。
要判断L1和L2是否平行，可以检查两个法向量的数量积是否为零，即m·q + n·r + p·s=0。
如果两条异面直线不平行，则它们所成的角可以通过以下步骤计算：1. 找到两条直线的公共点，并将其命名为点O。
2. 分别取一条直线上的两个点，分别命名为A和B；再分别取另一条直线上的两个点，分别命名为C和D。
其中，A、C在直线L1上，B、D在直线L2上。
3. 计算向量OA和OD的数量积，记为a，计算向量OB和OD的数量积，记为b。
则两条直线所成的角θ可通过以下公式计算：θ= arccos(a / |OA|·|OD|) = arccos(b / |OB|·|OD|)。
4. 由于计算角度时需要使用反余弦函数arccos，所以角度θ的范围在[0, π]之间。
结论：异面直线所成角是三维空间中的一个重要概念，在几何学和物理学中起着重要的作用。
异面直线所成角
正弦定理a=2RsinA余弦定理二、数学思想、方法、步骤：1.数学思想：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
2.方法：求异面直线所成的角：平移 构造可解三角形3.步骤：①①作（找）② 证③算1、在正方体AC1中，M,N 分别是A1A 和B1B 的中点，求异面直线CM 和D1N 所成的角？AB DA B 1 D 1C 11sin 2ABC S ab C ∆=222cos 2b c a A bc+-=1．经过空间一点P 作与直线l 成45°角的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条[答案] D [解析] 如图，∠APO ＝45°，l ∥PO ，以PO 为轴旋转PA ，则PA 总与PO 成45°角，从而l 与PA 成45°角，这样的直线PA ，即圆锥的母线所在直线有无数条．2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对[答案] B3. 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A [解析] 取AD 的中点H ，连FH 、EH ，在△EFH 中 ∠EFH ＝90°，HE ＝2HF ，从而∠FEH ＝30°，故选A.4、(07·福建)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所 成角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B5．异面直线a , b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是（A ）[60°, 90°] （B ）[30°, 90°] （C ）[60°, 120°] （D ）[30°, 120°][答案] A6．在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，AD ＝BC ＝6，MN ＝32，则AD 和BC 所成的角是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] B [解析] 取AC 中点E ，则EN ∥AD ， EN ＝ 12AD ∴EN ＝3 同理，ME ＝3 在△MEN 中，由于MN ＝3 2 ∴∠MEN ＝90°，又EN ∥AD ，ME ∥BC ∴AD 与BC 成90°角，故选B.7、在空间四边形ABCD 中，3AB CD ==，,E F 分别是AD 和BC上的点，且12,AE ED BF FC EF ===:::则AB 和CD 所成的角是________．[答案] 60°8．已知异面直线a 与b 所成角60°，P 为空间一定点，则过P 且与a 、b 所成角是30°角的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] A9、在正方体A C 1中，点P 在线段A D 1 上运动，则异面直线CP 与B A 1所成角θ的取植范围是________．[答案] 0060θ≤0<10、在长方体A C 1中，112, 3.AB BC AA ===4,N 在 A 1 B 1上，且B 1N ＝4，求异面直线B D 1和C 1 N 所成角余弦值？ [答案] 3511、在空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB 和CD 所成的角是30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角？ [答案] 75° 或15°12、已知正四面体ABCD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求AF 和C E 所成的角余弦值？ [答案]23习题1．经过空间一点P 作与直线l 成45°角的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对3. 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4、(07·福建)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所 成角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°5．异面直线a , b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )（A ）[60°, 90°] （B ）[30°, 90°] （C ）[60°, 120°] （D ）[30°, 120°]6．在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，AD ＝BC ＝6，MN ＝32，则AD 和BC 所成的角是( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°7、在空间四边形ABCD 中，3A B C D ==，,E F 分别是AD 和BC 上的点，且12,AE ED BF FC EF ===:::AB 和CD 所成的角是________．8．已知异面直线a 与b 所成角60°，P 为空间一定点，则过P 且与a 、b 所成角是30°角的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9、在正方体A C 1中，点P 在线段A D 1 上运动，则异面直线CP 与B A 1所成角θ的取植范围是________．10、在长方体A C 1中，112, 3.AB BC AA ===4,N 在 A 1 B 1上，且B 1N ＝4，求异面直线B D 1和C 1 N 所成角余弦值？11、在空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB 和CD 所成的角是30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 和AB 所成的角？12、已知正四面体ABCD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求AF 和C E 所成的角余弦值？。
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第二节 异面直线所成角的计算
1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围：
例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值.
分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有:
①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系.
2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.
小结：求异面直线所成角的方法：
变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。
变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。
例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。
变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC
BD ⊥，,M N 分
别为,AB CD 的中点，求MN
及MN 与BD 所成角的正切值。
1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是
(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能.
2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 .
3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条.
4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o
角，则c 与b 所成角的范围是 .
5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的 度数为
6、 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ， （1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。
（2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M
A 1与CN 所成角的余弦值。
A
C B D
A
B
M
D
A C B
F
E
1
A 1。