八年级数学上册第二章

第二章：实数

知识梳理

1.平方根

如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；即:当

)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：

（1）当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

（2）当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

（3）当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.

（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；

（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是

（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

2.算术平方根

（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a

的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与

它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±

。 例1.

（1）下列说法正确的是 （ ）

A.1的算数平方根是1±

B.24±=；

C.81的平方根是3±

D.0没有平方根

（2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=

- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

3.立方根

（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：

3a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，

平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能

省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，

并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.

（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）

A. 1000000

B. 1000

C. 10

D. 10000

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。 其中正确的有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

（4）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y

x 2+的立方根。求A －B 的平方根。

（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条

件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：

①特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；

②开方开不尽的数，如:39,5,2等；

③特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1

个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；

无理数也不一定带根号，如：π

（2）有理数与无理数的区别：

①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小

数；

②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），

而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-

、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,

4,32其中无理数有 ( )个

A 2

B 3

C 4

D 5

4.实数

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实

数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a

1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩

⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 （3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，

两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运

算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。