函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套练习
近年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时训练(十二)函数模型及其应用文(2021年
（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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课时跟踪检测(十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件,当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元,则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x,日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4）（100－10x）－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340（0＜x＜10)．所以当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大．答案：102．(2018·郑集中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数)，广告效应为D＝R－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a表示)解析：D＝R－A＝a错误!－A，令t＝错误!(t＞0),则A＝t2，所以D＝at－t2＝－错误!2＋错误! a2.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a2时，D取得最大值．答案：错误!a23．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2。
基本初等函数练习题
基本初等函数练习题基本初等函数练习题函数是数学中的重要概念，它描述了一种映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
而初等函数则是指可以由有限次的四则运算、指数和对数运算以及三角函数和反三角函数运算得到的函数。
在数学学习中，初等函数是一个基础且重要的概念，下面我们来练习一些基本初等函数的题目。
1. 计算函数f(x) = 3x + 2在x = 5处的值。
解答：将x = 5代入函数f(x) = 3x + 2中，得到f(5) = 3 * 5 + 2 = 17。
所以函数在x = 5处的值为17。
2. 求函数g(x) = x^2 - 4x + 3的零点。
解答：零点即函数的解，即g(x) = 0。
将g(x) = x^2 - 4x + 3置零，得到x^2 -4x + 3 = 0。
通过求根公式，我们可以得到x = 1和x = 3。
所以函数的零点为x = 1和x = 3。
3. 计算函数h(x) = log2(x)在x = 8处的值。
解答：将x = 8代入函数h(x) = log2(x)中，得到h(8) = log2(8)。
由于2的多少次方等于8，所以log2(8) = 3。
所以函数在x = 8处的值为3。
4. 求函数k(x) = sin(x) + cos(x)的最大值和最小值。
解答：由于三角函数的取值范围在[-1, 1]之间，所以sin(x)和cos(x)的最大值和最小值都是1和-1。
所以函数k(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为1 + 1 = 2，最小值为-1 - 1 = -2。
5. 计算函数m(x) = e^x在x = 2处的值。
解答：将x = 2代入函数m(x) = e^x中，得到m(2) = e^2。
e是一个数学常数，约等于2.71828。
所以函数在x = 2处的值为e^2。
通过以上的练习题，我们可以巩固对基本初等函数的理解和运用。
初等函数在数学中的应用非常广泛，它们可以描述各种各样的数学关系和现象。
函数概念基本初等函数 函数模型及其应用配套练习
函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套练习SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第33课 函数模型及其应用（1）分层训练1．某工厂生产一种产品每件成本为a 元，出厂价为b 元，厂家从每件产品获纯利%p ，则（ ）()A %b a p -= ()B %b a p b-= ()C %b a p a -= ()D %a p b= 2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）()A 不赚不亏 ()B 赚了80元()C 亏了80元 ()D 赚了2000元3．某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A 10%B 20%C 25%D 35%4．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）的函数 ，其定义域为 ．5．某种商品的进货价为a 元，零售价为每件1100元，若商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a = 元．6．建筑一个容积为36000m ，深为6m 的长方体蓄水池，池壁的造价为a 元/2m ，池底的造价为2a 元/2m ，把总造价y （元）表示为底的一边长()x m 的函数．7．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()b a <，再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是 （ ）()C ()D8．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：3()360T t t t =-+，时间单位是小时，温度单位是C ，0t =时表示12:00，其后t 取值为正，则上午8时的温度为 （ ）()A 8C ()B 18C()C 58C ()D 128C9．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比.已知开始下落的最初两秒间，物体下落了19.6米，则下落的距离S（米）与所经过的时间t（秒）间的关系为 .10．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得进价的25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与获利总额y之间的函数关系式是 .11.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定位60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元.根据市场调查，销售商一次订购订购量不会超过500件.（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数()=的P f x表达式；（2）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）拓展延伸现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）（A ）2log v t = （B ）12log v t =（C ）212t v -= （D ）22v t =-13．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.第33课 函数模型及其应用（1）⒈C 2．C 3． C 4．0.5y x =，*x N ∈ 5．800 6．解：12000122000y ax a a x =++()0x >7．C 8．A 9． 24.9S t = 10．316ay x=11. 解：（1）当0100x <≤时60P =；当100500x <≤时，()600.021006250xP x =--=-所以，()()6001006210050050x P f x x N x x <≤⎧⎪==∈⎨-<≤⎪⎩（2）设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则()2200100402210050050x x L P x x x x <≤⎧⎪=-=⎨-<≤⎪⎩()x N ∈当450x =时，5850L =.因此，当销售商的一次订购量为450件时，工厂获得的利润为5850元. 12．C将表中的数据描点可知最接近函数212t v -=的图象，也可以将表中各t 的值代入上述各函数式检验，与表中v 的值最接近的应是212t v -=. 13．（1）阴影部分的面积为501801901751651360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .（2）根据图象有5020040180(1)20541290(2)21342375(3)22243465(4)229945t t t t s t t t t t t +≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩。
五年北京专题02函数概念与基本初等函数
考点
题数/五年 考纲要求 星级
知识点 01 函数的定义域与值域
2
了解
★
知识点 02 函数的单调性与周期性
1
★★
熟悉
★
知识点 03 分段函数
★★
1
熟悉
★
知识点 04 指数与对数运算
3
了解
★
知识点 05 函数的零点与不等式问 1
题
★★
熟悉
★
知识点 06 函数模型及其应用
2
了解
★
1．函数 f (x) = 1 + 1 - x 的定义域是 x
【详解】对于 A，因为 y = ln x 在 0, +¥ 上单调递增， y = -x 在 0, +¥ 上单调递减，
所以 f x = - ln x 在 0, +¥ 上单调递减，故 A 错误；
对于 B，因为 y = 2x 在 0, +¥ 上单调递增， y = 1 在 0, +¥ 上单调递减，
故函数的定义域为 -¥, 0 È 0,1；
故答案为： -¥, 0 È 0,1
2． (0, +¥) 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
ì x>0 【详解】由题意得 íîx +1 ¹ 0 ， x > 0 故答案为： (0, +¥) 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断 ABC，举反例排除 D 即 可.
【2020 年北京第 11 题】
2．函数
f
(x)
=
1 x +1
+
ln
高中数学课时训练(含解析)：函数的概念与基本初等函数 (3)
【课时训练】第12节 函数模型及其应用一、选择题1．(德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中,t m i n 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ,假设过5 m i n 后甲桶和乙桶的水量相等．若再过mm i n 甲桶中的水只有a 4 L ,则m 的值为()A ．5B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】∵5 m i n 后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ,可得n ＝15ln 12,∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5 ,因此,当k m i n 后甲桶中的水只有a 4 L 时, f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5 ＝14a ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5 ＝14,∴k ＝10,则m ＝k －5＝5。
2．(安徽淮南模拟)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )【答案】C【解析】由三视图可知,该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台,所以水面高度随时间的变化为先慢后快再慢的情况．故选C 。
3．(北京西城模拟)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ,记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ,记作[OH －])的乘积等于常数10－14。
已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋],健康人体血液的p H 值保持在7。
35～7。
45之间,那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0。
30,lg 3≈0。
48)( )A 。
12B ．13C ．16D ．110 【答案】C【解析】∵[H ＋]·[OH －]＝10－14,∴[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014,∵7。
35<－lg [H ＋]<7。
近年高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数专题研究函数模型及应用练习理(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数专题研究函数模型及应用练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数专题研究函数模型及应用练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数专题研究函数模型及应用练习理的全部内容。
专题研究函数模型及应用1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（)A．y＝360(1.041。
012）x－1B．y＝360×1。
04xC．y＝错误!D．y＝360(错误!）x答案D解析设该乡镇现在人口量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，1年后,该乡镇粮食总产量为360M（1＋4％），人口量为M（1＋1.2％)，则人均占有粮食产量为错误!，2年后，人均占有粮食产量为错误!,…，经过x年后，人均占有粮食产量为错误!,即所求解析式为y＝360(错误!)x.2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A．x＝60tB．x＝60t＋50C．x＝错误!D．x＝错误!答案D3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是( )（lg2＝0。
301 0，lg3＝0。
高中数学高考12第二章 函数概念与基本初等函数 2 9 函数模型及其应用
2.(2018·广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲 地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了 30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为
√
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C. 又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
多维探究
题型三 构建函数模型的实际问题
命题点1 构造一次函数、二次函数模型 例2 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之 间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质 量最大为 19 kg.
解析 由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0， 解得x＝19.
跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若 初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，至少应过滤 8 次才能达到 市场要求.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1234567
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 用函数图象刻画变化过程
1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底 部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时 水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是
√
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
n≤15.
故今后最多还能砍伐15年.
命题点 3 构造 y＝x＋ax(a>0)型函数 例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆 客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为 使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 5 .
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.9 函数模型及其应用真题演练集训 理 新人教
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模型及其应用真题演练集训理新人教A版1．[2016·四川卷］某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ）（参考数据：lg 1。
12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案：B解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起,每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130,公比q＝1＋12%＝1.12,所以a n＝130×1.12n－1.由130×1。
12n－1>200，两边同时取对数,得n－1>错误!,又错误!≈错误!＝3。
8,则n>4。
8，即a开始超过200,所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B。
52．［2015·北京卷］汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( ）A．消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：根据图象所给数据,逐个验证选项．根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错;以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油,故选项C错；最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对．3．[2014·湖南卷］某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A.错误!B．错误!C。
第2章函数概念基本初等函数34函数模型及其应用配套练习
第2章函数概念基本初等函数34函数模型及其应用配套练习分层训练1.某种细胞分裂时，由1个变成2个，由2个变成4个，┅┅，一个如此的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是______________，在那个关系式中，x 的取值范畴是 .，2．某厂1992年的产值为a 万元，估量产值每年以5%递增，则该厂到2004年的产值（万元）为 （ ）()A 13(15%)a + ()B 12(15%)a +()C 11(15%)a + ()D 1210(15%)9a-3．某新型电子产品2002年初投产，打算到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本（ ）A 10%B 20%C 25%D 30% 4．有5000元存款，储蓄一年后从利息中取出100元，其余的钱加到本金里再储蓄一年，第二年的年利率比第一年高1%，利息比第一年多70元，则第一年的年利率为 ．5．已知镭通过100年，剩留原先质量的95.76%，设质量为1的镭通过x 年后的剩留量为y ，则y 关于x 的函数关系式是 ． 6．某都市现在人口总数为100万人，假如每年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：（1）写出该都市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式；（2）运算10年以后该都市人口总数（精确到0.1万人）；（3）运算大约多青年以后该都市人口将达到120万人（精确到1年）. 7．据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是 .8．某种通过电子邮件传播的运算机病毒，在开始爆发后的5个小时内，每小时有1000台运算机被感染，从第6小时起，每小时被感染的运算机以增长率为50%的速度增长，则每小时被感染的运算机数y 与开始爆发后t （小时）的函数关系为 .9．某债券市场发行的三种债券：A 种面值100元，一年到期本利共获103元；B 种面值50元，半年到期，本利共获50.9元；C 种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元．则三种投资收益比例从小到大排列为 （ ） ()A BAC ()B ACB()C ABC ()D CAB10．某种商品，假如月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.4%，假如月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种商品月初出售好，依旧月末出售好？11．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，预备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其连续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？ （参考数据：51.1 1.61=）拓展延伸12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%（不记复利）；乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次记息时，储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得利息的差为 ________ 元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到0.01元）13.某公司为了实现1000万元的利润的目标,预备制定一个鼓舞销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：70.25,log 1, 1.002x y x y x y ==+=，其中哪个模型能符合公司的要求.第34课 函数模型及其应用（2）1．2xy =，*x N ∈； 2．B ； 3.B ； 4．7%； 5．1000.9576xy =； 6．（1）x 年后该都市人口总数为()1001 1.2%xy =⨯+；（2）10年以后该都市人口总数为()10101001 1.2%100 1.012112.7y =⨯+=⨯≈（3）设x 年后该都市人口将达到120万人，即()1001 1.2%120x⨯+=1.0121.012120log log 1.2015100x ==≈（年） 因此，15年后该都市人口将达到120万人.7． ()1354.81%y x =+； 8．()*5*1000,05,5000 1.5,6,t t t N y t t N-⎧<≤∈⎪=⎨⨯≥∈⎪⎩ ；9．B10．当成本大于525元时，月初出售好；当成本小于525元时，月末出售好；当成本等于525元时，月初、月末均可出售． 11．第一种方案． 12．甲利息：()()510000 2.88%120%14400.81152⨯⨯⨯-=⨯=乙利息：()[]55100001 2.25%120%10000100001 1.8%10000932.99+--⎡⎤⎣⎦=+-=甲利息—乙利息219.01= 13．作出函数5y =，70.25,log 1, 1.002x y x y x y ==+=的图象，观看图象发觉，在区间[]10,1000上，模型0.25, 1.002xy x y ==的图象都有一部分在直线5y =的上方，只有模型7log 1y x =+的图象始终在直线5y =的下方，这说明只有按照模型log 1y x =+进行奖励才符合公司的要求.下面通过运算确认：关于模型0.25y x =，在区间[]10,1000上递增，当20x =时，5y =，当20x >时，5y >，因此该模型不符合要求.关于模型 1.002xy =，在区间[]10,1000上递增，由图象和运算可知，在区间()805,806内有一个点0x 满足01.0025x =，∴当20x >时，5y >，因此该模型也不符合要求.关于模型7log 1y x =+，它在区间[]10,1000上递增，且当1000x =时，7log 10001y =+ 4.555≈<，∴它符合奖金总数不超过5万元的要求.又当[]10,1000x ∈时，令7()log 10.25f x x x =+-，它在区间[]10,1000x ∈上递减，∴()(10)0.31670f x f <≈-<，即7log 10.25x x +<，因此按模型7log 1y x =+奖励，奖金不超过利润的25%.。
2019大一轮高考总复习文数讲义：第02章 函数的概念与
第九节 函数模型及其应用(对应学生用书P 28)几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型(2)(1)解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如 “几年后”与“第几年后”)．(2)在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 的函数值在(0，＋∞)上一定比y ＝x 2的函数值大．( )(2)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(4)幂函数增长比直线增长更快．( )(5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2．(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x 2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x解析：选B 由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求，B 中y ＝log 23∈(1,2)，C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中y ＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B ．3．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B ．4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．5．某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为____________.解析：∵a log 33＝100，∴a ＝100，y ＝100log 39＝200. 答案：200(对应学生用书P 29)用函数图象刻画实际问题 [明技法]判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[提能力]【典例】 (2018·邯郸检测)已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D 依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知，选D ．[刷好题](金榜原创)某地一天内的气温Q (t )(单位：℃)与时刻t (单位：时)之间的关系如图所示，令C (t )表示时间段[0，t ]内的温差(即时间段[0，t ]内最高温度与最低温度的差)，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是( )解析：选D 当0<t <4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C ；当4<t <8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A ，B ，选D ．已知函数模型解决实际问题 [明技法]利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．[提能力]【典例】 (2018·贵阳检测)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． [刷好题]1．(2018·雅安质检)某食品的保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192 h ，在22℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33℃的保鲜时间是( )A ．16 hB ．20 hC ．24 hD ．28 h解析：选C 由题意，得(0,192)和(22,48)是函数y ＝ekx ＋b图象上的两个点，则⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b.解得e 11k ＝12.所以当储藏温度为33℃时，保鲜时间y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝18×192＝24(h)．2．(金榜原创)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为____________kg.解析：由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 答案：19构建函数模型解决实际问题 [析考情]高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题．[提能力]命题点1：构建一次、二次、分段函数模型解决实际问题【典例1】 (2018·铜陵模拟)已知华为公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设华为公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0＜x ≤40，7 400x－40 000x 2，x ＞40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解： (1)当0＜x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x ＞40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0＜x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x ＞40.(2)①当0＜x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104. 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x ＞40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元． 命题点2：构建“对勾”函数模型解决实际问题【典例2】 (2018·抚州模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． 命题点3：构建指数、对数函数模型解决实际问题【典例3】 (2018·漳州模拟)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析：选C 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.[悟技法]解函数应用题的一般程序第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[刷好题](金榜原创)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．。
初中数学函数全课件及练习题
初中数学函数全课件及练习题
一、函数的概念
1.定义：函数是一种特殊的数学关系，它把定义域上的一个或一些值
域上的一个或一些值映射到值域上的另一个值。
2.函数的记法：函数一般用f(x)或者y=f(x)表示，其中，x为函数
的自变量，f(x)表示x变化时得到的函数值，y是f(x)的结果。
3.函数的性质：
（1）函数内容具有一一对应性：自变量x的值决定函数f(x)的值，
两个不同的自变量不能对应同一个函数值。
（2）函数具有可表示性：函数可以用函数表、函数图像或方程式来
表示。
4.函数的类型：
（1）常数函数：自变量x的值不变时，函数值也不变，定义域内任
意x值都对应同一个函数值的函数称为常数函数，可表示为f(x)=a，a为
常数。
（2）一次函数：函数在定义域上的值与其自变量的乘积为一个常数，即f(x)=ax+b，其中a>0，b是定值。
（3）平方函数：函数为自变量的平方或其平方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax²+bx+c，a、b、c为常数，a≠0。
（4）立方函数：函数为自变量的立方或其立方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax³+bx²+cx+d，a、b、c、d为常数，a≠0。
（5）指数函数：函数为以x为指数的指数函数和一个常数的乘积，即f(x)=axⁿ+b，a、b为常数，a≠0，n为正整数。
函数概念与基本初等函数题型归纳与习题含详解
(2)因为 f x ax2 bx c(a 0) 的图像上任意一点都不在直线 y＝x 的下方，取相同 x， 二次函数值总大于一次函数值，所以 f x x ，即 ax2 bx c x ，得 ax2 (b 1)x c 0 ，
对任意 x∈R 成立.
解析 f x 1 ＝ x 1 2 2 ,又 x 1 2 或 x 1 ―2,故 f x x2 2
x x
x
x
(x>2 或 x<―2) 评注 求函数解析式要注意定义域
变式 1
已知
f x 1 x
x2 1 x2
1 x
求
f x 的解析式
三、方程组法
例 2.7 已知函数 f x 满足： f x 2 f 1 3x x 0 ,求函数 f x 的解析式.
(2) y x 2 的定义域为{ x x 0 }; y x2 的定义域为 R，故该组的两个函数不是同一函
数；
(3)两个函数的定义域均为｛ x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数
故为同一函数的一组是（3）
评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什
(1) p : x 1, 2, x2 a 0 ；
(2) A N , B Z , f : x y (1)x ；
（3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y 是平面内的圆｝，f:x→y 是 x 的外接圆； （4）设集合 A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y 是平面内的矩形｝，f:x→y 是 x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______ 变式 2 已知函数 y＝f(x),定义域为 A＝｛1,2,3,4｝值域为 C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共 有多少个？
(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.8函数模型及其应用习题理
§2.8 函数模型及其应用1．函数的实际应用(1)基本函数模型：2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面：①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．(2)应用函数模型解决问题的基本过程：、、、 .自查自纠1．(1)f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)(2)增 增 增 快 慢 y x 2．审题 建模 解模 还原手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为( )A ．900元B ．810元C ．1 440元D ．160元解：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2 560×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－144＝810元．故选B .(2013·湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解：由于纵坐标是距学校的距离，随着时间的推移，到学校的距离越来越近，所以不可能是A；开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，所以D错；对于B，C，我们发现B中的两条斜线的斜率相近，没有体现出“为了赶时间加快速度行驶”，只有C符合题意，故选C.第一年，某市生产总值连续两年持续增加)2014·湖南( 的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p ＋q2A.（p ＋1）（q ＋1）－12B.pq C.1－（p ＋1）（q ＋1）D. .D 故选1.－（1＋p ）（1＋q ）＝x 解得，2)x ＋(1＝)q ＋1)(p ＋(1则有，x 设年平均增长率为解： 规定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)(单位：元)给出，其中m >0，记[m ]为大于或等于m 的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元．解：∵f (5.5)＝1.06(0.50×[5.5]＋1)＝1.06(0.50×6＋1)＝4.24.故填4.24.，千米高空水平飞行4某飞行器在，如图)2014·陕西( 从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为________．＝y 所以，0＝d 所以，)0，(0因为函数的图象经过点.d ＋cx ＋2bx ＋3ax ＝y 设该三次函数的解析式为解：a125得－)2，5－(代入点，cx ＋3ax ＝y 所以，0＝b 代入可得，2)－，(5，)2，5－(又函数过点.cx ＋2bx ＋3ax ＝c ＋a 75＝′y ，时5＝－x 当，c ＋2ax 3＝′y ，轴x 处的切线平行于)2，5－(又由该函数的图象在点2.＝c 5－x.35－3x 1125＝y 故填.x 35－3x 1125＝y 故该三次函数的解析式为 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1125，c ＝－35.解得⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，联立0.类型一 幂型函数模型双十一网购狂欢“年2016为迎接)2015·山东模拟( 节”，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售某产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销．已知生产该产品还需投入成本)为正常数a ，a ≤x 0≤其中(2x ＋1－3＝p 万元满足：x 万件与促销费用p 售量假定厂家的生产能力完全能满足市场的销，件/元⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋20p 产品的销售价格定为，)不含促销费用(万元)p 2＋(10售需求．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ ，)p 2＋(10－x －p ⎝⎛⎭⎪⎫4＋20p＝y ，由题意知(1)解： ．)a ≤x (0≤x －4x ＋1－16＝y 代入化简得：2x ＋1－3＝p 将 ，13＝4x ＋1×（x ＋1）2－17≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋x ＋1－17＝y (2)上式取等号．，时1＝x 即，1＋x ＝4x ＋1当且仅当当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；a 即促销费用投入，函数有最大值，时a ＝x 所以，上单调递增]a ，[0在⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋x ＋1－17＝y ，时<1a 当万元时，厂家的利润最大．综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大．【点拨】①列函数关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了均值不等式法，要特别注意取等条件．通常换元法、导数法也是解这类题比较常用的方法；③本题中函数的定义域含有参数，所以要对参数进行分类讨论来确定函数的最大值在何处取到，结果也要分别列出．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量为常数．已知销a ，<6x 3<其中.26)－x 10(＋a x －3＝y 满足关系式)千克/单位：元(x 与销售价格)单位：千克(y 售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．2.＝a ，11＝10＋a 2所以，11＝y ，时5＝x 因为(1)解： (2)由(1)可知，该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润26)－x 10(＋2x －3＝y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）23)－x (＝)x (f <6.x 3<，26)－x 3)(－x 10(＋2＝ 从而，f ′(x )＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．类型二 指数型函数模型其湖水的容，有一个受到污染的湖泊)2013·南京模拟( 且污染物质与，现假设下雨和蒸发正好平衡.3m r 都为，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，3m V 积为湖水能很好地混合．用g (t )表示经过时间t (天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t (天)后的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式是湖水污染的初始质量分数．(0)g 其中，≥0)p (⎣⎢⎡⎦⎥⎤g （0）－p r＋p r ＝)t (g (1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?.p r＝(0)g ∴，0＝p r －(0)g ∴，为常数)t (g (1)∵解： .(0)·g ＝)t (g 此时，0＝p 即，污染源停止(2) 设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%..(0)·g ＝(0)g ·%5即有，(0)g ·%5＝)t (g 即 .＝120∴，(0)≠0g 由实际意义知 %.5天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的ln20V r即需要，ln20V r ＝t ∴ 【点拨】在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g (0)；第(2)问中污染停止即p ＝0，从而转化为解方程的问题．)为常数A (A 某种树苗栽种时高度为)2014·南京三模( 为常b ，a ，＝t 其中，9Aa ＋btn＝)n (f 近似地满足)n (f ，．经研究发现)n (f 年后的高度记为n 栽种，米数，n ∈N ，f (0)＝A .已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．解：由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .8.＝b ，1＝a 解得⎩⎨⎧9Aa ＋b＝A ，9A a ＋14b＝3A ，所以 .＝t 其中，9A1＋8×tn ＝)n (f 所以 ，164＝nt 解得，A 8＝9A 1＋8×tn 得，A 8＝)n (f 令 9.＝n 所以，6－2＝164＝即答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．类型三 对数型函数模型某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在且，]6，[3∈y ，x a log ＝y 且，万元y 奖金为，时]64，[8∈x ，)万元(x 年销售额②没有奖金；，万元以下8年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈[4，10](万元)，年销售额x (万元)在什么范围内．，上为增函数]64，∈[8x 在x a log ＝y 依题意(1)解： ，2＝a ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧loga8＝3，loga64＝6所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x＜8，log2x ，8≤x≤64，110x ，x ＞64.＝y 所以 (2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈[4，10]， ，1024≤x ≤16⇒10≤x 2log 4≤则 所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈[4，10]⇒40≤x ≤100，所以64＜x ≤100.综上可得，当年销售额x 在[16，100](万元)内时，y ∈[4，10](万元)．【点拨】注意根据题中条件找准对应量，列出函数解析式(这里是分段式)，再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．资公司拟投资开发某种新能某创业投)2015·湖北模拟( 源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；试分析这两个函数模型是否符合公司要2.－x 2log ＝y (Ⅱ)；1＋x 120＝y (Ⅰ)现有两个奖励函数模型：(2)求．解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，则该函数模型满足的条件是：①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数；②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立；恒成立．x 5)≤x (f ，时]100，∈[10x 当③ ；①满足条件，上是增函数]100，[10它在，1＋x 120＝y (Ⅰ)对于函数模型(2) 但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．；①满足条件，上是增函数]100，[10它在，2－x 2log ＝y (Ⅱ)对于函数模型 ；②满足条件，恒成立)≤5x (f 即，5<52log 2＝2－1002log ＝max y ，时100＝x 当 15－log2e 10)≤x (′h ∴，110≤1x ≤1100∴，]100，∈[10x 又，15－log2e x ＝)x ′(h 则，x 15－2－x 2log ＝)x (h 设满足，恒成立x 5)≤x (f 即，4<0－102log ＝(10)h )≤x (h 因此，减的上是递]100，[10在)x (h 所以，0＝15－210＜条件③.故该函数模型符合公司要求．符合公司要求．2－x 2log ＝y 函数模型，综上所述类型四 分段函数模型某科研单位根据实验，为了净化空气)2014·南通二模( 得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x≤4，5－12x ，4<x≤10.＝y 变化的函数关系式近似为)单位：天(x 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能．1.4)取2参考数据：，0.1精确到(的最小值a 试求，够持续有效净化 解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x≤4，20－2x ，4<x≤10.＝y 4＝)x (f 所以浓度 ≤4.x 0≤所以此时，8＜x 0≤解得4≥4－648－x由，时≤4x 0≤则当 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上得0≤x ≤8，即若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－（x －6）－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 2＝)x (g 4－a －16a 14－x＋)x －(14＝a －16a 14－x ＋x －10＝ 4.－a －a 8＝4－a －（14－x ）·16a 14－x 2≥ 因为6≤x ≤10，所以14－x ∈[4，8]，，]8，[4∈a 4所以，≤4a 1≤而 4.－a －a 8有最小值为y ，时a 4＝x －14故当且仅当1.6.≈216－24的最小值为a 所以，4≤a ≤216－24解得，4≥4－a －a 8令 【点拨】对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．单某，发展低碳经济，为了保护环境)2015·浙江模拟( 位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种把二氧化碳处理转化为可利用化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (t)之间的函数关系可近似地表示为y ＝若该，元200且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 ⎩⎪⎨⎪⎧13x3－80x2＋5 040x ，x∈[120，144），12x2－200x ＋80 000，x∈[144，500），项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200，300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200，300]时，设该项目获利为S ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－200x ＋80 000－x 200＝S 则 ，2400)－x (12＝－80 000－x 400＋2x 12＝－ ∴当x ∈[200，300]时，S <0，因此该项目不获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳每吨的平均处理成本为 y x ⎩⎪⎨⎪⎧13x2－80x ＋5 040，x∈[120，144），12x ＋80 000x －200，x∈[144，500）.＝ ①当x ∈[120，144)时，y x，240＋2120)－x (13＝5 040＋x 80－2x 13＝240.取得最小值y x，时120＝x 当∴ ②当x ∈[144，500)时， y x，200＝200－12x ×80 000x 200≥2－80 000x ＋x 12＝ 200.取得最小值y x ，时400＝x 即，80 000x ＝x 12当且仅当 ∵200<240，∴当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．经过，%10.4土地面积每年平均比上一年增长某地区荒漠化，在我国大西北)2015·湖北模拟(．1x (x ∈R ，x ≥0)年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( ).D 故选.x )%10.4＋(1＝y 由题意可得解： 2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙车的速度曲线分别为，1t 和0t 那么对于图中给定的，如图所示，乙v 和甲v下列判断中一定正确的是( )甲车在乙车前面，时刻1t 在．A 甲车在乙车后面，时刻后1t ．B 两车的位置相同，时刻0t 在．C 乙车在甲车前面，时刻后0t ．D 甲车均在，时刻1t ，0t 则在，轴所围成的图形面积大t 与1t ～0，0t ～0在乙v 比甲v 曲线，由图象可知解：乙车前面．故选A .2x0.15－x 5.06＝1L 分别为)单位：万元(利润，某公司在甲、乙两地销售一种品牌车)2015·湖北模拟(．3) (则能获得的最大利润为，辆车15若该公司在这两地共销售．)单位：辆(量为销售x 其中，x 2＝2L 和 A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元 2x0.15＝－)x －2(15＋2x 0.15－x 5.06＝S 总利润∴，辆)x －(15则乙销售，辆x 可设甲销售，依题意解：万45.6(＝max S ，10＝x 得易，必须是整数x 又，取最大值S ，时10.2＝x 当∴．≤15)x 30(0≤＋x 3.06＋元)．故选B .为常c ，A (⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x<A ，c A ，x≥A＝)x (f 为)min 单位：(件某产品所用的时间x 一名工人组装第，根据统计．4数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16 .D 故选⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16.解得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝30，c A ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧f （4）＝30，f （A ）＝15，由解： 5．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地．把汽车离A 地的距离x (km)表示为时间t (h)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50t⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t≤2.5，150－50t ，t>3.5＝x ．C ⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t≤2.5，150，2.5<t≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t≤6.5＝x ．D 故当，h 1 地停留B ；然后在t 60＝x 地的距离A 汽车离，时≤2.5t 0≤当∴，2.5＝15060∵解：－t 50(－150＝x ，时≤6.5t 3.5<所以当，3＝15050且，km/h 50 ；又知返回速度为150＝x ，时≤3.5t 2.5< 3.5)．故选D .现要从这些边角料，为节约成本，如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料)2015·福建模拟(．6上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 ＝y 当∴，24＜y ＜8∵，180＋212)－y (54＝－xy ＝S ∴，)y －(2454＝x 故，x 20＝24－y 24－8由三角形相似得解：12时，S 有最大值，此时x ＝15.故选A .7．某商场已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，售价为每件100元时可全部售完，售价每提高1元销量就减少5件，若要获得最大利润，售价应定为每件________元．解：设售价提高x 元，获得的利润为y 元，则依题意y ＝(1 000－5x )×(20＋x )20 000＋x 900＋2x 5＝－ 60 500.＋290)－x 5(＝－ ∵0＜1000－5x ≤1000，∴0≤x ＜200，元．190此时售价为每件，60 500＝max y ，时90＝x 故当 故填190.)kg /100单位：元(Q 得到西红柿种植成本，通过市场调查，某地西红柿上市后)2014·武昌高三调研(．8t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：.t b log ·a ＝Q ，tb ·a ＝Q ，c ＋bt ＋2at ＝Q ，b ＋at ＝Q 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；(2)最低种植成本是____________元/100kg.解：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中将表中，描述m ＋2120)－t (a ＝Q 种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数，给出的四种函数关系可知120故当上市天数为，80＋2120)－t (0.01＝Q ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，数据代入可得时，种植成本取到最低值80元/100kg.故填120；80.浓度增加．据2CO 研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使．9个可6个可比单位、3个可比单位、1年增加了2009浓度分别比2CO 年大气中的2012年、2011年、2010，测模拟函数可选用二次函数，的关系x 浓度增加的可比单位数与年份增加数2CO 比单位．若用一个函数模拟每年年大气2014且又知，)为常数c ，b ，a 其中(c ＋x b ·a ＝)x (g 或函数)为常数r ，q ，p 其中(r ＋qx ＋2px ＝)x (f 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？，个可比单位16年增加了2009浓度比2CO 中的 则依题意得：，作模拟函数r ＋qx ＋2px ＝)x (f 若以解： ⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，，0＝r ，12＝q ，12＝p 解得 .x 12＋2x 12＝)x (f 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab2＋c ＝3，ab3＋c ＝6.则，作模拟函数c ＋x b ·a ＝)x (g 若以 3.＝－c ，32＝b ，83＝a 解得 3.－x⎝ ⎛⎭⎪⎫32·83＝)x (g 所以 可比17.25＝(5)g ，可比单位15＝(5)f 则其数值分别为：，浓度作估算2CO 年的2014对)x (g ，)x (f 利用单位，作为模拟函数较好．x 12＋2x 12＝)x (f 故选，16|－(5)g |＜16|－(5)f |∵ AE 其中，被锈蚀)阴影三角形(米的正方形钢板有一个角8已知边长为，如图所示)2013·海淀期中(．10＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的定义域．(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，，EF FD＝EQ PQ ，中EDF △在 ，10＋x 12＝－y 所以，42＝x －48－y 即 定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，≤8)x (4≤，50＋210)－x (12－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2x ＝xy ＝)x (S 则 所以S (x )是关于x 的二次函数，当x ∈[4，8]时S (x )单调递增，所以当x ＝8米时，矩形BNPM 面积最大，最大值为48平方米．答：矩形BNPM 面积的最大值为48平方米．甲产品的利润与投资金额，根据市场调查预测，某公司研发甲、乙两种新产品)2015·山东德州模拟(．11x (单位：万元)满足：f (x )＝a ln x －bx ＋3(a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，且曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx 在(1，3)点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过点(4，4)．(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资金额均不少于10万元．问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ (参考数据：ln10＝2.303，ln15＝2.708，ln20＝2.996，ln25＝3.219，ln30＝3.401)又，3＝k 故有，上kx ＝y 在直线)3，(1因为点，b －a x＝)x ′(f 且∞)＋，(0的定义域为)x (f 函数(1)解：则甲产品的利润与投资⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝a －b ＝3，f （1）＝－b ＋3＝3，，故有处相切3)，(1在点x 3＝y 与直线)x (f ＝y 曲线金额间的函数关系式为f (x )＝3ln x ＋3(x >0)．所以乙产，2＝m 可得，代入上式)4，(4将点，x m ＝)x (g 由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：．>0)x (x 2＝)x (g 金额间的关系式为品的利润与投资 (2)设甲产品投资x 万元，则乙产品投资(40－x )万元，且x ∈[10，30]，则公司所得利润为y ＝3ln x ＋3＋为15＝x 所以，≤30x ＜15解得，0＜′y 令，15＜x 10≤解得，0＞′y 令，140－x－3x＝′y 故有，40－x 2函数的极大值点，也是函数的最大值点．万元．21.124＝13＋3×2.708＝40－152＋3＋ln153＝max y 所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴＋(1120－kx ＝y 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程1单位长度为，垂直于地平面标．与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐k 其中，表示的曲线上>0)k (2x )2k(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．，中>0)k (2x )2k ＋(1120－kx ＝y 在(1)解： 0.＝2x )2k ＋(1120－kx 得，0＝y 令 时1＝k 当且仅当，10＝202≤201k＋k ＝20k 1＋k2＝x 的方程得x 解以上关于>0.k ，>0x 设条件知由实际意义和题取等号．所以炮的最大射程是10千米．＋ak 20－2k 2a 的方程k 关于⇔成立3.2＝2a )2k ＋(1120－ka 使，>0k 存在⇔炮弹可以击中目标∴，>0a (2)∵，有正根0＝64＋2a⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－20a ）2－4a2（a2＋64）≥0，k1＋k2＝20a a2＞0，k1k2＝a2＋64a2＞0，得 解得a ≤6.所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)(的定义域是ln （x ＋3）1－2x＝)x (f 函数)2014·洛阳高三统考(．1 A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0).A 故选<0.x 3<－得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x>0，只须，有意义)x (f 要使函数解： )(则，312log ＝c ，1213log ＝b ，133＝a 已知)2015·西安模拟(．2 A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．b >a >c .A 故选.c >b >a 所以，3<012log ＝c ，)1，(0∈23log ＝1213log ＝b ，>1133＝a 因为解： (1)g 则，4＝1)－(g ＋(1)f ，2＝(1)g ＋1)－(f 且，是偶函数)x (g ，是奇函数)x (f 已知)2013·湖南(．3等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 .B 故选3.＝(1)g 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，由已知得解： )(的单调递增区间是|x |－3＝y 函数)2015·山东模拟(．4 A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．不存在的图象如图：|x |－3＝y 画出解：故选B .的x 的12)≥x (f 则满足不等式，x⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝)x (f ，时≥0x 当，为偶函数)x (f ＝y 若函数)2015·湖南模拟(．5取值范围为( )A ．(－1，1)B ．[－1，1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 或⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，x≥0得12)≥x (f 由.x2＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝)x －(f ＝)x (f ，时0＜x 当∴，为偶函数)x (f ＝y 函数∵解：.B 故选≤1.x 1≤解得－ ⎩⎪⎨⎪⎧2x ≥12，x ＜0，．当)x (f ＝2)＋x (f 都有，R ∈x 且对任意的，上的偶函数R 是定义在)x (f 已知函数)2015·郑州模拟(．6的a 则实数，内恰有两个不同的公共点]2，[0的图象在)x (f ＝y 与函数a ＋x ＝y 若直线.2x ＝)x (f ，时≤1x 0≤值是( )．A12或－0．B12或－14－．C14或－0．D 解：∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，T ＝2.内的图象如图．]2，[0在一个周期)x (f ＝y 可画出函数，2x ＝)x (f ，时≤1x 0≤根据内恰有两不同的公共点．]2，[0在2x ＝y 与x ＝y ，时0＝a 显然 ＝x ∴，1＝x 2＝)′2x (＝′y 由题意知，相切时也恰有两个公共点≤1)x (0≤2x ＝y 与a ＋x ＝y 另当直线.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14A 即，12 .D 故选.14＝－a ∴，上a ＋x ＝y 点在A 又 的零点)x (f 则，3－x ＋x2＝)x (f ，时>0x 当，上的奇函数R 是定义在)x (f 设函数)2015·黑龙江模拟(．7个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令故函，有一个交点，如图所示，的图象3＋x ＝－y 和x 2＝y 分别画出函数，3＋x ＝－x 2则，0＝3－x ＋x 2＝)x (f 数f (x )有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3个．故选C .的m 则，2m －3m ＋1＝(2)f ，1＞(1)f ，且3小正周期为的最)x (f 若，上的奇函数R 是定义在)x (f 设函数．8取值范围为( )23＜m ．A1－≠m 且23＜m ．B23＜m ＜1－．C1＜－m 或23＞m ．D 2m －3m ＋1于是1.＜－2)－(f ＝－(2)f 则，为奇函数)x (f 又，1＞(1)f ＝3)＋2－(f ＝2)－(f 依题意可得解：.C 故选，23＜m ＜1解得－，1＜－ )(则下列等式一定成立的是，10＝d5，c ＝b lg ，a ＝b 5log ，>0b 已知)2014·四川(．9 A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c .B 故选.dc ＝a ∴，a5＝c10＝dc 5∴，10＝d 5∵，b ＝c10＝a5由已知得解： －)x (f ＝)x (g 则函数，1－x2＝)x (f ，时]1，∈[0x 且当，的偶函数2上周期为R 是定义在)x (f 已知．10)(的零点个数是|x |5log A ．2B ．4C ．6D ．8 故，均为偶函数|x |5log ＝y 和)x (f ＝y 由于，即求该方程的根的个数，|x |5log ＝)x (f 得0＝)x (g 由解：上的交点情况．作出它们的图象∞)＋，(0在|x |5log ＝y 和)x (f ＝y 只要研究函数.D 个．故选8的零点个数为)x (g 个．从而函数4可得交点为，1)＝|5|5log ，时5＝x 注意( 则称函数，A ＝}A ∈x ，)x (f ＝y |y {使得，]n ，m [＝A 若存在区间，)x (f 对于函数)2015·湖北模拟(．11f (x )为“可等域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x sin ＝)x (f ．A 1－2x 2＝)x (f ．B 1＋x2＝)x (f ．C2)－x (22log ＝)x (f ．D 解：选项A 中，区间[－1，0]，[0，1]，[－1，1]都可以是“可等域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y ＝x 不可能有两个交点；选项B 中，当区间[m ，n ]在y 轴左侧或右侧时，易知不可能，故0∈[m ，，1－”[可等域区间“存在唯一的1－2x 2＝)x (f ∴，1＝x 得x ＝1－2x 2再令，1＝－m ∴，1＝－(0)f ．而]n 1]．故选B .的取a 则实数，12)<x (f 均有，时)1，1－∈(x 当，xa －2x ＝)x (f ，≠1a 且>0a 已知)2015·湖南模拟(．12值范围是( )∞)＋，[2∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12A.]4，(1∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1B. ]2，(1∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C. ∞)＋，[4∪⎝⎛⎦⎥⎤0，14D. 两种情况求解．<1a 0<和>1a 分，利用数形结合，xa <12－2x 化为12)<x (f 将解：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a ≥12.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －1≥12结合图象得 .C 故选<1.a ≤12或≤2a 1<解得二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ________.＝x 则，a ＝x lg ，2＝a4已知)2014·陕西(．13 .12＝a ∴，12＝a22＝a∵4解： .10故填.10＝1210＝x ∴，12＝a ＝x lg ∵又 ．________的取值范围为a 则，4＝(2)f 若 ⎩⎪⎨⎪⎧x ，x∈（－∞，a ），x2，x∈[a，＋∞）.＝)x (f 设)2014·上海(．14 解：当a ＞2时，f (2)＝2≠4，不合题意；符合题意；，4＝22＝(2)f ，时2＝a 当 符合题意．，4＝22＝(2)f ，时2＜a 当 ∴a ≤2.故填(－∞，2]．的取值范围a 则实数，上是单调增函数R 在⎩⎪⎨⎪⎧x2＋ax ＋1，x≥1，ax2＋x ＋1，x ＜1＝)x (f 已知函数)2015·江苏模拟(．15是________．上是单R 在)x (f 因此，1＋1＋2×1a ＝1＋1×a ＋21而，函数上是单调增R 不可能在)x (f 时0＞a 显然解：.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0故填0.≤a ≤12解得－ ⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1，a ＜0，－12a ≥1，或0＝a 须满足，调增函数 的)mx (f 1)<－x (f 则 ⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ， x≥0，－x2＋mx ，x<0，＝)x (f ，上的奇函数R 是)x (f 已知)2015·四川模拟(．16解集为________．在x 2＋2x ＝y 容易判断二次函数2.＝m ∴，3＝－m －1－∴，(1)f ＝－1)－(f ∴，上的奇函数R 是)x (f 解：，0)＜x 0(＜x 2＋2x －，≥0)x ≥0(x 2＋2x 又，上单调递增)0，∞－(在x 2＋2x ＝－y ，单调递增∞)＋，[0 上单调递增．R 在⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ，x≥0，－x2＋2x ，x ＜0＝)x (f 函数∴ ∴由f (x －1)＜f (2x )得x －1＜2x ，解得x ＞－1.∴f (x －1)＜f (mx )的解集为{x |x ＞－1}．故填{x|x ＞－1}．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．＋⎝⎛⎭⎪⎫x －12f 解不等式，上是增函数]1，1－[且在，上的奇函数]1，1－[是定义在)x (f 设)分(10．170.＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x f 上是增]1，1－[在)x (f 又，⎝⎛⎭⎪⎫x －14f ＜⎝⎛⎭⎪⎫x －12f 因此原不等式变形为，的奇函数]1，1－[是)x (f 由于解：函数，故有⎩⎪⎨⎪⎧x －12＜x －14，－1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，.54≤x ≤12解得－ .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12≤x≤54因此原不等式的解集为 的取值范围．m 求实数，有且只有一个零点m ＋x·2m －x4＝)x (f 若函数)分(12．18 有且只有一个正实根．0＝m ＋mt －2t 有且只有一个零点等价于方程)x (f 则，x2＝t 设解： 应舍去；，不合题意，0＝2t ＝1t ∴，0＝m ＝2t ＋1t 则，0＝m ＝2t 1t 则，时0有一根为0＝m ＋mt －2t 若① ；<0m 即，<0m ＝2t 1t 则，有一正实根和一负实根时0＝m ＋mt －2t 若② 4.＝m 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4m ＝0，t1＋t2＝m>0，t1t2＝m>0.则，有两相等正实根时0＝m ＋mt －2t 若③ 综上可知，实数m 的取值范围是{m |m <0或m ＝4}．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 且，⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－x22f ·⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22f 2＝)2x (f ＋)1x (f 有2x ，1x 对任意，R 的定义域为)x (f 设函数)分(12．19＝0，f (π)＝－1. (1)求f (0)的值；(2)求证：f (x )是偶函数，且f (π－x )＝－f (x )．1.＝(0)f ，因此，0＝(0)f ＋1即－，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 2＝(0)f ＋)π(f 则，0＝2x ，π＝1x 令(1)解： 为偶函)x (f ∴，)x －(f ＝)x (f 即，)x (f 2＝)x (f (0)f 2＝)x －(f ＋)x (f 则，x ＝－2x ，x ＝1x 令证明：(2)数．，x ＝2x ，x －π＝1x 令 ，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 2＝)x (f ＋)x －π(f 则 因此f (π－x )＝－f (x )．20．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面万x )x ＋(2的相邻两墩之间的桥面工程费用为x 万元；距离为256一个桥墩的工程费用为，和桥墩．经测算元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ ，1－mx＝n 即，m ＝x 1)＋n (则，个桥墩n 设需要新建(1)解： x)x ＋1)(2＋n (＋n 256＝)x (f ＝y 所以 x)x ＋(2m x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1256＝ 256.－m 2＋x m ＋256m x＝ 12－mx 12＋256m x2＝－)x (′f ，知(1)由(2) ．512)－32x (m2x2＝ 64.＝x 所以，512＝32x 得，0＝)x ′(f 令 当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64，640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得极小值，也是最小值．9.＝1－64064＝1－m x ＝n ，此时 故需新建9个桥墩才能使y 最小．的奇函数．R 是定义域为≠1)a 且>0a (x－a －x ka ＝)x (f 设函数)2015·安徽模拟)(分(12．21 的解集；4)>0－x (f ＋)x 2＋2x (f 试求不等式，(1)>0f 若(1) 上的最小值．∞)＋，[1在)x (g 函数求，)x (f 4－x2－a＋x 2a ＝)x (g 且函数，32＝(1)f 若(2) .x－a －xa ＝)x (f ，1＝k ∴，0＝1－k ∴，0＝(0)f ∴，的奇函数R 是定义域为)x (f ∵解： >1.a ∴，≠1a 且>0a 又>0.1a－a ∴，(1)>0f (1)∵ ＋2x (f 上为增函数．原不等式可化为R 在)x (f ∴，上均为增函数R 在x－a＝－y 和xa ＝y ，时>1a 当2x )>f (4－x )，4.－<x 或>1x 解得，4>0－x 3＋2x 即，x －>4x 2＋2x 故 ．4}－<x 或>1x |x {的解集为0＞4)－x (f ＋)x 2＋2x (f 不等式∴2－x4(2－x2－2＋x 22＝)x (g ∴．)舍去(12＝－a 或2＝a 解得，0＝2－a 3－2a 2即，32＝1a －a ∴，32＝(1)f (2)∵上为增∞)＋，[1在)x (h 2.∵＋t 4－2t ＝)t (g 则，≥1)x (x －2－x 2＝)x (h ＝t 令2.＋)x －2－x 4(2－2)x －2－x (2＝)x－.32≥t 即，32＝(1)h )≥x (h ∴，)可知(1)由(函数 ，⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞∈t ，2－22)－t (＝2＋t 4－2t ＝)t (g ∵ ．)2＋(12log ＝x 此时，2取得最小值－)x (g 即，2取得最小值－)t (g ，时2＝t 当∴ 2.上有最小值－∞)＋，[1在)x (g 函数，时)2＋(12log ＝x 故当 ．)R ∈a ，2－≠a 2|(＋a lg|＋x 1)＋a (＋2x ＝)x (f 已知)分(12．22 (1)若f (x )能表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )的和，求g (x )和h (x )的解析式；的取值范围；a 求，上都是减函数)21)＋a (，∞－(在区间)x (g 和)x (f 若(2) 的大小．16和(1)f 比较，的条件下(2)在(3) 解：(1)设f (x )＝g (x )＋h (x )，其中 g (x )是奇函数，h (x )是偶函数，则有f (－x )＝g (－x )＋h (－x )＝－⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ），f （－x ）＝－g （x ）＋h （x ），联立，)x (h ＋)x (g ，f （x ）－f （－x ）2＝)x (g 得 .f （x ）＋f （－x ）2＝)x (h 2|.＋a lg|＋2x ＝)x (h ，x 1)＋a (＝)x (g ∴ (2)函数g (x )＝(a ＋1)x 是减函数，当且仅当a ＋1＜0，即a ＜－1. 2|＋a lg|＋x 1)＋a (＋2x ＝)x (f 又 2|.＋a lg|＋（a ＋1）24－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋12＝ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a ＋12的递减区间是)x (f ∴ ，a ＋12－≤21)＋a (由题意得 ，1＜－a ≤32解得－⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，（a ＋1）2≤－a ＋12，∴ .⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1的取值范围是a 所以 (3)f (1)＝1＋(a ＋1)＋lg|a ＋2|.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32≤a＜－12|＋a lg|＋2＋a ＝ ，上为增函数 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1在2|＋a lg|＝y 和2＋a ＝y 的函数a 关于∵ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32＋2lg ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＞(1)f ∴ ，16＝110lg ·13＋12＞18lg ·13＋12＝12lg ＋12＝ .16大于(1)f 即。
高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数I 第1
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数I 第14练 函数模型及其应用练习 理行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？2．某化工厂引进一条先进的生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格f (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝100(1＋kt)(k 为正常数)，日销售量g (t )(件)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝125－|t －25|，且第25天的销售金额为13 000元．(1)求实数k 的值；(2)试写出该商品的日销售金额w (t )关于时间t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；(3)该商品的日销售金额w (t )的最小值是多少？4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案精析1．解 设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000 ＝－12(x －300)2－35 000， 因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．2．解 (1)由题意，得每吨平均成本为y x(万元)， 则y x ＝x 5＋8 000x－48 ≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号． ∴当年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低为32万元．(2)设当年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴当x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13 000，即100(1＋k25)·125＝13 000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )＝100(1＋1t)(125－|t －25|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100t ＋100t ＋101，1≤t ＜25，t ∈N ，100149＋150t －t ，25≤t ≤30，t ∈N .(3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100t≥20， 所以当t ＝10时，w (t )有最小值12 100；②当25≤t ≤30时，因为150t－t 在[25,30]上单调递减， 所以当t ＝30时，w (t )有最小值12 400.因为12 100＜12 400，所以当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12 100元．4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.图②是一个二次函数的部分图象，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30＜t ≤40. 当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2， ∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0， ∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t .由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30.当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240.由F (t )在(30,40]上是减函数，得F (t )＜F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。
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函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套
练习
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第35课时 函数模型及其应用（3）
分层训练
1． 将进货单价为80元的商品400个，
按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了得到最大利润，售价应定为每个（ ）元
()A 110 ()B 105 ()C 100 ()D 95
2．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定程度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水22t 升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供 （ ）洗澡.
()A 3人 ()B 4人 ()C 5 人 ()D 6人
3．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是 元．
4．某商场出售一种商品，定价为a 元，每天可卖1000件，每件可获利4元，根据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件单价应定为 元．
5．某种商品，生产x 吨需投入固定成本1000元，可变成本为21510x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭元，而卖出x 吨的价格为每吨p 元，其中x p a b
=+（,a b 为常数），如果生产的x 吨产品全部卖掉，可获利y 元，则利润y 与产销量x 的函数关系式为 ．
6．某水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水，同
时蓄水池又向居民小区不断供水，t 小时内供水总量为()024t ≤≤.
（1）从供水开始到第几小时，蓄水池中水量最小最小水量是多少
（2）若蓄水池中水量小于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象
7．东方旅社有100张普通客床，每床每天收租费10元，客床可以全部都租出；若每床每天收费提高2元，出租的床的数量便减少10张；再提高2元，再减少10张，依此变化下去，为了投资少而获利到达每床每天应提高租金 （ ）元.
()A 4 ()B 6 ()C 4或6 ()D 5
8．如图，某工厂8年来某种产品的产量c 与时间t （年）的函数关系，下面四种说法中，正确的是 （ ）
(第8题图)
①前三年中产量增加的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，这种产品产量保持不变．
D①④()A②③()B②④()
C①③()
9．有一批材料可以围成36m 长的围墙，现用此材料围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成两块矩形（如图），则围成的矩形场地面积的最大值为______________.
（第9题图） 10．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且
销售量近似地满足关系()()1109,010033
g t t t N t =-+∈<≤，在前40天里价格为 ()()122,0404
f t t t N t =+∈<≤， 在后60天里价格为
()()152,401002
f t t t N t =-+∈<≤， 求这种商品的日销售额的最大值.
拓展延伸
11．已知某商品的价格上涨%x ，销售的数量就减少%mx ，其中m 为正的常数．
（1）当2
1=m 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大 （2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求m 的取值范围．
第35课 函数模型及其应用（3）
⒈D 2．B 提示：设最多用t 分钟，则水箱内水量2200234y t t =+-，当
172t =
时y 有最小值，此时共放水17342892
⨯=升，可供4人洗澡. 3．2250 4． 1.5a - 5．()2105100010b y x a x b
-=+-- 6．（1）6小时，40吨； （2）8小时. 7．B 8．B 9．254 m
10．这种商品的日销售额的最大值为808.5. 分情况讨论.
11．分析：第2小题m 的取值必须使得定义域是二次函数单调增区间的子区间，因此，第1小题求函数定义域的环节至关重要，不求定义域或定义域求错都将导致第2小题的错误．
解答：（1）设商品现在定价a 元，卖出的数量为b 个．
由题设：当价格上涨x %时，销售总额%)1(%)1(mx b x a y -⋅+=，
即2[100(1)10000],10000ab y mx m x =
-+-+（1000x m
<<）， 取21=m 得：]22500)50([20000
2+--=x ab y ， 当50x =时，ab y 8
9max =， 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大．
（2）二次函数2[100(1)10000],10000ab y mx m x =-+-+在 50(1)(,]m m
--∞上递增， 在),)1(50[+∞-m
m 上递减， 适当地涨价能使销售总金额增加，即在100(0,)m
内存在一个区间，使函数y 在此区
间上是增函数，所以 0)1(50>-m
m ， 解得01m <<，
即所求m 的取值范围是()0,1． 点评: 求定义域时考虑到销售量必须大于0的事实，得出了最确切的定义域，为后面继续解题打下基础．。