积分变换法求解定解问题
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
第三章积分变换法2
0,
t
0,
(3.41) (3.42)
u x0 f (t),t 0,
(3.43)
不能用Fourier变换，因为 x, t (0, )
用Laplace变换求解。
对x还是t取Laplace变换？
U (x, p) u(x,t)e ptdt
记
0
号 F ( p) f (t)e ptdt 0
dt
a2
2u x2
ej x dx Nhomakorabea22U
(,
t
)
f (x, t)e jxdx G(, t)
得到 dU (,t) a22U (,t) G(,t) （3.37）
dt
dU (,t) a22U (,t) G(,t) （3.37）
3.3 积分变换法举例
积分变换的某些作用：
通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象 函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的
目的。
积分变换法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程 两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变 量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方 程。
例1 无界杆上的热传导问题
c
方程的特点:非齐次 ，求解的区域又是无界。
(3.35) (3.36)
u
t
a2
2u x2
f
(x,t),
x
, t
0,
u t0 (x), x ,
(3.35) (3.36)
因为 x ，所以对x取Fourier变换来解。
jxdx
第十二章 积分变换法
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
数学物理方法试题汇总
12届真题1． 求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<； （2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰； （2）3||1zz e dz z =⎰。
4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。
6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
第三章 积分变换法
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
积分变换法求解定解问题
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
数理方程：第9讲积分变换法
L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
第13章积分变换法
1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
例：求解无限长细杆的热传导问题：
泛定方程 ut a2uxx 0
( x )
初始条件 u(x,t) t0 (x) ( x )
解： 将
u(x,t) U (,t)ei xd
代入泛 定方程
[ dU(,t) a2 2U (,t)]ei xd 0
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
u (x, p) 1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
2a
p
1 e px/a x e p /a [ p ( ) ( )]d
dU (,t) a2 2U (,t) F(,t) 求其
dt
通解
初始条件
U (,0) ()
dU (,t) a2 2U (,t) F(,t)
dt
其通解可用Laplace 变换法求
pU U (0) a2 2U F 其中 U (,0) ()
U
( ) p a2 2
1
pHale Waihona Puke a2 2F因为L1[
t
)
§13.2 Laplace变换法
Laplace变换法适用于求解初值问题，不管泛定方程 或边界条件是否为齐次
例：求解无限长的自由振动定解问题：
泛定方程 utt a2uxx 0 ( x )
初始条件 u(x,t) t0 (x) ( x ) ut (x,t) t0 (x) ( x )
1 [ e p( x)/a ( )d x e p(x )/a ( )d ]
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
数学物理方法讲义11积分变换法
Chapter 11 积分变换法一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法定解问题: ()2(,)(,)(,), ().t xx t u x t a u x t f x t x u x φ=⎧-=-∞<<∞⎪⎨=⎪⎩()()22000, (,), ().0.t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v φ==⎧⎧-=-∞<<∞-=-∞<<∞⎪⎪⇔+⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ ⇒ (,)(,)(,).u x t w x t v x t =+1．一维无源导热问题()20(,)(,)0, ().t xx t w x t a w x t x w x φ=⎧-=-∞<<∞⎪⎨=⎪⎩ 解：把t 看作参数，应用Fourier 变换:1(,)(,)d ;2(,)(,)d .ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰(,)(,),w x t w k t ↔()22(,)(,)(,).xx w x t ik w k t k w k t ↔=-220(,)(,)0,().t t w k t a k w k t w k φ=⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 解得22(,)().a k tw k t k e φ-= 因为)()(~x k ϕϕ↔， ta x tk a eta e2222421--↔ (利用a b ax e a x bx e 422d cos -∞∞--=⎰π）， 利用卷积定理，得()()222244(,)(d (d ()(,;,0)d ,x x a ta tw x t G x t ξξφξξφξξφξξξ----∞∞-∞-∞∞-∞===⎰⎰其中()224(,;,0).x a tG x t ξξ--=容易验证，)0,;,(ξt x G 是问题()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞<<∞-=-=)( 0),(),(02ξδx u x t x u a t x u t xx t 的解。
《数理方程》积分变换法解析
x2
x2
1 p2
dU dx
2x p
x2 p3
.
而 u |x1 cos y
变为
U
x,
p
|x1
1
p p2
,
解常微分方程得
U x, p
1 3 p3
x3
1 p
x2
p 1 p2
1 3 p3
1 p
.
取拉普拉斯逆变换，得
L(t n )
n! pn1 , n 0,1,
u
|x
0
f
t.
思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？
对 t 进行拉普拉斯变换，设
u x,t U x, p, f t F p
于是方程变为
a2
d 2U x,
dx 2
p
pU
x,
p,
U x, p |x0 F p
这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为
根据傅里叶变换的微分性质，
方程转化为
dU ,
t
2U , t
dt
U , t |t0 F
于是 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换.
U ,t F e2t .
再由边值条件 U x, p |x0 F p 可知，C = F(p).
U
x,
p
F
pe
p a
x
.
为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。
行波法与积分变换法——数学物理方程
1 3 u f1 3 x f1 f2 x f 2 1 3 f1 0 f2 0 C
其解中得f1 , ff21是3两x个二94x次2连34续C可微函数.
于是原方程 f的1 通x 解 为14 x 2
4
4
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
例 求方程 u x x 2 s in xu x y c o s2x u y y c o sx u y 0
的一般解. 解 特征方程为
d y 2 2 s in x d x d y c o s 2x d x 2 0
dy sinx1 dx
rat 1( )d , r at 0
at)
u
(r,t)
(r
at
)
0
(r
at
)
(at
r
)
0
(at
r
)
2r
1 2ar
atr
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t)
f1 x f2 x x ……………①
u t| t 0 a f ' 1 ( x a 0 ) a f 2 ' ( x a 0 )
a '1 x f a '2 x fx ……………②
由第二式得
f1xf2xa10xdC.............③
进一步有
2tu 2 a22ru rr2u 20 2(tr2u)a22(rr2u)0
数理方程参考答案4第四章 积分变换法
若 在 点连续，则
1
定义
设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在 (−∞, +∞) 上绝
对可积，则称广义积分
为
的傅里叶变换，或者称为 定义 称
的像函数。通常记为
，或
。
为
的傅里叶逆变换，或者称为 傅里叶变换及其逆变换的基本性质
的像原函数。记为
.
性质 1（线性性质） 傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即
其中 ， 是任意常数。 性质 2（相似性质） 对于任意实常数 ，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数 ，有 , 性质 4（微分性质）设 ， 的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设 的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义 于所有的 设函数 和 是 上定义的函数。 如果广义积分 对
2 ∂ 2u 2 ∂ u a − = 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), ∂t 2 ∂x 2 ∂u u| ψ ( x). ( x), = = t =0 ϕ ∂t t =0
的解为
二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ 2u ∂ 2u = 0 ( −∞ < x < +∞, y > 0), ∂x 2 + ∂ y2 u | = f ( x ), x =0 u = 0. |xlim |→+∞ 的解为
2
s2
例3 解
求函数 F ( p ) = 因为
p 的拉普拉斯逆变换 p − 2 p +5
圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线是一类受应力和形变作用的曲线，它的应用广泛，是研究几何图形的重要工具。
圆锥曲线的定点定值问题要求在任意给定的两个圆锥曲线上找到定点定值的解，而这样的解通常是难以求得的。
一般情况下，这类问题使用数学变换方法，如积分转换、限界积分转换、局部变换等。
首先，以积分变换为例，我们可以使用积分变换来求解圆锥曲线定点定值问题。
这种变换把原始曲线进行分段处理，求出每一段的积分，然后求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，可以使用常用的数学软件解决大多数圆锥曲线定点定值问题。
其次，我们也可以使用限界积分变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换首先要将原始曲线进行分段处理，通过限界积分计算每一段的积分。
最后，用积分变换求出曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，它可以有效节省计算时间，并且灵活性强，将积分计算公式转换成局部变量。
最后，我们还可以使用局部变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换将原始曲线进行分段处理，将每一段的积分表示为一个局部变量函数，然后将局部变量函数进行积分，求出圆锥曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，使用较少的计算量可以快速地求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
总之，我们可以使用积分变换、限界积分变换和局部变换等数学变换方法来求解圆锥曲线定点定值问题。
这几种方法各有优缺点，需
要结合实际情况来选择合适的解决方案。
圆锥曲线定点定值问题是解决几何图形相关问题的重要方法，也是构建几何图形的基础之一，研究者需要加强对其原理性质的理解，发掘更多的实用方法。
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2
2
1 FF(x)
2
（ 3） 位移定理 函若F(ω)= F[f(x)] ，则有
F f (x x0 ) eix0 F f (x) F1 F ( 0 ) emix0 f ( x)
证明： 由傅里叶变换积分式
u x x0
F f (x x0) f (x x0)eixdx
x u mx0 dx du
二、傅里叶变换
定义 13.1.1 傅里叶变换 若函数f(x)满足傅里叶 积分定理条件，称表达式
F() f (x)eixdx
为函数f(x)的傅里叶变换式，记为F[f(x)]；称函数 F(ω)为f(x)的傅里叶变换，简称傅氏变换(或像函 数)。
定义 13.1.2 傅里叶逆变换 记表达式
f (x)
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
卷积运算符合如下交换律和加法分配率：
= 1
2
F
(
)
F
(
)
1
2
ei
(
)
xdx
dd
= 1
F()F() ( )dd
2
= 1
2
F
(
)
F
(
)
(
)d
d
= 1 F()F()d = 1 F() 2 d
2
2
注：常用函数的傅里叶变换已制成了表
13.2 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并且在 区间(-∞,∞)上绝对可积。这是一个相当强的条件 ，以至于许多常见的函数(例如多项式、三角函数 等)都不满足这一条件。因此，我们引入一种新的 变换——拉普拉斯变换，这种变换存在的条件比 傅里叶变换存在的条件要宽。
l
l l ll
l
其跃变间隔为：
n
l
对于非周期函数，不具备以上特点，但若将其 看成周期趋于无穷大(2l→∞)的周期函数，则可以 仿照周期函数的做法写出它的傅氏展开式，只是此 时∆ωn=π/l→0，不再跃变，而是连续变化，记为ω ，这样非周期函数f(x)可以表示为：
f
(x)
lim
l
n
1 2l
l l
f
(
)e
in
d
ein
x
1 n l
1
lim
n 0
n
2
f
(
)ein
d
ein
x
n
即
f
(x)
1
2
f
( )eid eixd
称为函数f(x)的傅里叶积分(傅氏积分)。
注：由于交换了极限过程及求和过程的顺序，上式 的推导不严格。实际上，关于傅氏积分成立的条件 ，有如下傅里叶积分定理：
f1( x) * f2 ( x) f2( x) * f1(x)
f1(x) * f2(x) f3(x) f1(x) * f2(x) f1(x) * f3(x)
（5） 卷积定理 设F[f1(x)]= F1(ω)， F[f2(x)]= F2(ω)，则有
F f1(x) * f2(x) F1() F2()
f1( )ei F2 ()d
F2 ()
f1( )ei d
F1()F2()
（6） 频谱卷积定理
F
f1(x)
f2(x)
1
2
F
f1(x)* F
f2(x)
证明：
1
2
F1() * F2()
F f1(x) f2(x)
f1( x) f2 ( x) eixdx
f1( x)
1
2
F2
证明略
（ 2） 对称定理 若F(ω)= F[f(x)] ，则有
FF(x) 2 f ()
证明： 因为F(ω)= F[f(x)] ，固其傅里叶逆变
换为
f (x) F1 F ()
1
F ()eixd
1
F ( p)eipxdp
2
2
令x=-ω可得：
f ()
1
F ( p)eipdp
1
F ( x)eixdx
1
2
F2
()
f1
(
x)eixdx
d
1
2
F2
(
)
f1(
x)ei
x
dx
d
1
2
F1()F2 ()d
同理可证另 一个等式
（8） 微分定理 若当x→±∞时，f(x) →0且满足 F[f(x)]= F(ω)， 则有
证明：
F f (x)=iF()
F f (x) f (x)eixdx
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
1
2
F1() F2()d
1
2
F1() F2()d
其中f1(x)和f2(x)为x的实函数， F1(), F2() 为相 应函数的复共轭。
证明：
f1( x) f2 ( x)dx
f1 ( x)
1
2
F2
()ei
xd
dx
1
2
F2
(
)
f1
(
x)eixdx
d
交换积分 次序
l l
f
( )eind
即，函数f(x)可表示为：
f
(x)
1 2l
l
n l
f
(
)ein
d
ein
x
由上式看到，以2l为周期的函数，在自变量增长的 过程中，函数值有规律的重复，自变量每增长一个
周期2l ，函数就重复变化一次；其中参数ωn不连 续地、跳跃地取下列数值：
L , n ,L , 2 , ,0, , 2 ,L , n ,L
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
（10） 帕萨瓦定理 若F[f(x)]= F(ω)， 则有
f (x) 2 dx= F () 2 d
证明：
f (x) 2 dx= f (x) f (x)dx=1 Nhomakorabea2
F
()eixd
1
2
F
(
)ei
xd
dx
=
1
2
F
(
)ei
xd
1
2
F
(
)e
i
xd
dx
先对x积分
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
在这种变换之下，方程变得简单了，例如原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方 程，原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使 在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解；再 经过逆变换，便得到原来要在函数类A中所求的解 ，有时甚至还能得到有限形式的解，而这往往是用 分离变量法或幂级数解法不能得到的。
(
)ei
xd
e
i x
dx
交换积分次序
1
2
F2
(
)
f1(
x)ei
(
)
x
dx
d
1
2
F2()F1( )d
1
2
F
f1 ( x) *
F
f2(x)
1
2
F1() * F2()
（7） 乘积定理 设F[f1(x)]= F1(ω)， F[f2(x)]= F2(ω)，则有
f1(x)
f 2 ( x)dx=
δ( x)
lim
N
fN
(x)
lim
N
fN
(x)
0
lim
N
fN ( x)dx 1
x0 x0
例如：
fN (x) N rect Nx
fN (x) N eN2 x2
δ 函数的性质： (1) 筛选特性
f (x)δ(x x0 )dx f (x0 )
(2) 乘法性质 f (x)δ(x x0 ) f (x0 )δ(x x0 )
f (u)ei(umx0 )du eix0 f (u)eiudu
eix0 F f ( x)
另一个同学
们自己证明
对位移定理的第一式两边同时作傅里叶逆变换即 对第二式两边同时作傅里叶变换，便可得相移定 理：