高考数学一轮复习精讲 第14单元第78讲 圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用 湘教版
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1 .下 列 对 于 半 径 为 4的 圆 在 已 知 平 面
上的射影的说法错误的是
A． 射 影 为 线 段 时 ， 其 长 度 为8 B．射影为椭圆时，其短轴长小于8 C ． 射 影 为 椭 圆 时 ， 其 长 轴 长 为8 D ． 射 影 为 圆 时 ， 其 直 径 为10
解 析 ： 利 用 射 影 的 概 念 推 理 可 知 ， A、 B、 C均 正 确 ， 而 D选 项 ， 射 影 为 圆 时 ， 其 直 径 为 8， 故 选 D.
.
解析：截得的椭圆的离心率为cos60 1， 2
而椭圆的短半轴长b 1，而 c 1，所以a 2c， a2
所以a2 b2 c2，即2c2 1 c2，
解得c 3，故2c 2 3 .
3
3精品课件
1．平行投影基本定理：不平行于投影线的线段， 在平面上的投影仍为① __________，线段上的 点分线段的比保持② ________，端点仍为端点．
则 1 a， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 椭 圆 ； 2 ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 抛 物 线 ； 3 ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 双 曲 线 ．
3． 通 过 丹 迪 林 双 球 探 求 椭 圆 的 性 质 ， 加 深 对 数 形结Leabharlann Baidu思想的认识，理解平面与空间的统一关系．
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2.如果一个三角形的平行投影还是一个
三角形，则下列结论正确的是
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心
解 析 ： 在 平 行 投 影 时 ， 垂 直 关 系 与 线 段 长 度 不 一 定 都 能 保 持 不 变 ， 但 线 段 的 中 点 投 影 后 仍 是 线 段 的 中 点 ， 所 以 重 心 的 平 行 投 影 还 是 重 心 ．
解析：若圆所在平面与已知平面垂直时，则其 平行投影是线段；若圆所在平面与已知平面平 行时，则其正投影是圆；若圆所在平面与已知 面相交时，则其平行投影是椭圆，故选D.
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评 析 ：一 个 平 面 图 形 在 一 个 平 面 上 的 投 影 既 与 投 影 的 方 式 有 关 ， 又 与 平 面 图 形 所 在 平 面 与 已 知 平 面 的 位 置 关 系 有 关 ．
第78讲 圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用
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1．了解平行投影的含义，通过圆柱与平 面的位置关系，体会平行投影；会证明 平面与圆柱截线是椭圆(特殊情形是圆)．
精品课件
2． 通 过 观 察 平 面 截 圆 锥 的 情 境 ， 体 会 下 面 定 理 ： 在 空 间 中 ， 取 直 线 l为 轴 ， 直 线 l与 l相 交 于 O 点 ， 其 夹 角 为 ， l 围 绕 l 旋 转 得 到 以 O 为 顶 点 ， l 为 母 线 的 圆 锥 面 ， 任 取 平 面 ， 若 它 与 轴 l交 角 为 (当 与 l平 行 时 ， 记 0 )，
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素 材1： 已 知 a、 b、 c、 d 是 四 条 互 不 重 合 的
直 线 ， 且 c、 d 分 别 为 a、 b在 平 面 上 的 射 影 ，
给出下面两组判断：
第 一 组 ： ① a b， ② a //b；
第 二 组 ： ③ c d， ④ c//d .
分别从两组中各选出一个判断，使一个作
条件，另一个作结论，那么写出的一个正
确命题是
.
解 析 ： 两 平 行 线 在 一 个 平 面 上 的
射 影 可 能 仍 平 行 ． 精填 品课② 件 ④ .
题型二 圆柱截面的性质及应用
例 2.证 明 ： 长 半 轴 长 为 a， 短 半 轴
长 为 b的 椭 圆 的 面 积 为 ab.
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【要点指南】
①线段；②不变；③椭圆；④ cos；
⑤圆锥曲线；⑥椭圆；⑦抛物线； ⑧双曲线；⑨椭圆；⑩双曲线；
抛物线； 准线
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题型一 投影的概念及应用
例 1.一 个 圆 在 一 个 平 面 上 的 平 行 投 影 可 能 是 ( )
A． 圆
B． 椭 圆
C． 线 段
D． 圆 或 椭 圆 或 线 段
2．平面与圆柱面的截线：若一平面 与圆柱面的 轴线所成的角为锐角，则平面 与圆柱面所截
得的曲线是③ ________________________， 此椭圆的离心率e ④ __________.
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3． 平 面 与 圆 锥 面 的 截 线 ： 在 空 间 中 ， 取 直 线 l为 轴 ， 直 线 l 与 l相 交 于 O 点 ， 其 夹 角 为 ， l 围 绕 l旋 转 得 到 以 O 为 顶 点 ， l 为 母 线 的 圆 锥 面 ． 任 取 平 面 ， 若 它 与 轴 l的 交 角 为 (当 与 l平 行 时 ， 记 0 )， 则 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑤ __________， 其 离 心 率 e cos .
c o s ① ＞ ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑥ __________； ② ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑦ __________； ③ ＜ ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑧ __________ .
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4． 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ： 平 面 内 ， 动 点 M 到定点F的距离和它到一条定直线的距离之 比 是 常 数 e. 当0＜e＜1时，点M 的轨迹是⑨ __________ ； 当e＞1时，点M 的轨迹是⑩ __________ ； 当e 1时，点M 的轨迹是 __________ ， 其中定点F为焦点，定直线是相应的 ____ .
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3.在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交
于点O，夹角为60，l围绕l旋转得到以O
为顶点，l为母线的圆锥面．若平面与l
的夹角为45，则平面截圆锥面所得的
截线为
.
解析：因为4560， 所以截线为双曲线．
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4. 设圆柱的底面直径为2，圆柱的截面
与圆柱的轴所成的角为60，则截得的
椭圆的焦距为
1 .下 列 对 于 半 径 为 4的 圆 在 已 知 平 面
上的射影的说法错误的是
A． 射 影 为 线 段 时 ， 其 长 度 为8 B．射影为椭圆时，其短轴长小于8 C ． 射 影 为 椭 圆 时 ， 其 长 轴 长 为8 D ． 射 影 为 圆 时 ， 其 直 径 为10
解 析 ： 利 用 射 影 的 概 念 推 理 可 知 ， A、 B、 C均 正 确 ， 而 D选 项 ， 射 影 为 圆 时 ， 其 直 径 为 8， 故 选 D.
.
解析：截得的椭圆的离心率为cos60 1， 2
而椭圆的短半轴长b 1，而 c 1，所以a 2c， a2
所以a2 b2 c2，即2c2 1 c2，
解得c 3，故2c 2 3 .
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1．平行投影基本定理：不平行于投影线的线段， 在平面上的投影仍为① __________，线段上的 点分线段的比保持② ________，端点仍为端点．
则 1 a， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 椭 圆 ； 2 ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 抛 物 线 ； 3 ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 双 曲 线 ．
3． 通 过 丹 迪 林 双 球 探 求 椭 圆 的 性 质 ， 加 深 对 数 形结Leabharlann Baidu思想的认识，理解平面与空间的统一关系．
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2.如果一个三角形的平行投影还是一个
三角形，则下列结论正确的是
A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心
解 析 ： 在 平 行 投 影 时 ， 垂 直 关 系 与 线 段 长 度 不 一 定 都 能 保 持 不 变 ， 但 线 段 的 中 点 投 影 后 仍 是 线 段 的 中 点 ， 所 以 重 心 的 平 行 投 影 还 是 重 心 ．
解析：若圆所在平面与已知平面垂直时，则其 平行投影是线段；若圆所在平面与已知平面平 行时，则其正投影是圆；若圆所在平面与已知 面相交时，则其平行投影是椭圆，故选D.
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评 析 ：一 个 平 面 图 形 在 一 个 平 面 上 的 投 影 既 与 投 影 的 方 式 有 关 ， 又 与 平 面 图 形 所 在 平 面 与 已 知 平 面 的 位 置 关 系 有 关 ．
第78讲 圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用
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1．了解平行投影的含义，通过圆柱与平 面的位置关系，体会平行投影；会证明 平面与圆柱截线是椭圆(特殊情形是圆)．
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2． 通 过 观 察 平 面 截 圆 锥 的 情 境 ， 体 会 下 面 定 理 ： 在 空 间 中 ， 取 直 线 l为 轴 ， 直 线 l与 l相 交 于 O 点 ， 其 夹 角 为 ， l 围 绕 l 旋 转 得 到 以 O 为 顶 点 ， l 为 母 线 的 圆 锥 面 ， 任 取 平 面 ， 若 它 与 轴 l交 角 为 (当 与 l平 行 时 ， 记 0 )，
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素 材1： 已 知 a、 b、 c、 d 是 四 条 互 不 重 合 的
直 线 ， 且 c、 d 分 别 为 a、 b在 平 面 上 的 射 影 ，
给出下面两组判断：
第 一 组 ： ① a b， ② a //b；
第 二 组 ： ③ c d， ④ c//d .
分别从两组中各选出一个判断，使一个作
条件，另一个作结论，那么写出的一个正
确命题是
.
解 析 ： 两 平 行 线 在 一 个 平 面 上 的
射 影 可 能 仍 平 行 ． 精填 品课② 件 ④ .
题型二 圆柱截面的性质及应用
例 2.证 明 ： 长 半 轴 长 为 a， 短 半 轴
长 为 b的 椭 圆 的 面 积 为 ab.
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【要点指南】
①线段；②不变；③椭圆；④ cos；
⑤圆锥曲线；⑥椭圆；⑦抛物线； ⑧双曲线；⑨椭圆；⑩双曲线；
抛物线； 准线
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题型一 投影的概念及应用
例 1.一 个 圆 在 一 个 平 面 上 的 平 行 投 影 可 能 是 ( )
A． 圆
B． 椭 圆
C． 线 段
D． 圆 或 椭 圆 或 线 段
2．平面与圆柱面的截线：若一平面 与圆柱面的 轴线所成的角为锐角，则平面 与圆柱面所截
得的曲线是③ ________________________， 此椭圆的离心率e ④ __________.
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3． 平 面 与 圆 锥 面 的 截 线 ： 在 空 间 中 ， 取 直 线 l为 轴 ， 直 线 l 与 l相 交 于 O 点 ， 其 夹 角 为 ， l 围 绕 l旋 转 得 到 以 O 为 顶 点 ， l 为 母 线 的 圆 锥 面 ． 任 取 平 面 ， 若 它 与 轴 l的 交 角 为 (当 与 l平 行 时 ， 记 0 )， 则 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑤ __________， 其 离 心 率 e cos .
c o s ① ＞ ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑥ __________； ② ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑦ __________； ③ ＜ ， 平 面 与 圆 锥 的 交 线 为 ⑧ __________ .
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4． 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ： 平 面 内 ， 动 点 M 到定点F的距离和它到一条定直线的距离之 比 是 常 数 e. 当0＜e＜1时，点M 的轨迹是⑨ __________ ； 当e＞1时，点M 的轨迹是⑩ __________ ； 当e 1时，点M 的轨迹是 __________ ， 其中定点F为焦点，定直线是相应的 ____ .
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3.在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交
于点O，夹角为60，l围绕l旋转得到以O
为顶点，l为母线的圆锥面．若平面与l
的夹角为45，则平面截圆锥面所得的
截线为
.
解析：因为4560， 所以截线为双曲线．
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4. 设圆柱的底面直径为2，圆柱的截面
与圆柱的轴所成的角为60，则截得的
椭圆的焦距为