复合函数求导公式-复合函数综合应用
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导数的运算法则及基本公式应用
一、常用的求导公式
11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1
7.()log ,'()(0,1);
ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a
-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x
==
则
二、复合函数的导数
若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则
2
)()()()(v v
u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''
=''+'='⋅'±'='±
三、基础运用举例
1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1
D 2
2 经过原点且与曲线y =
5
9
++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x
+y =0
C x +y =0或25x －y =0
D x －y =0或25
x
－y =0
3 若f ′(x 0)=2,k
x f k x f k 2)
()(lim 000--→ =_________
4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________
5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程
6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =31x
x
-
四、综合运用举例 例1求函数的导数
)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322
+=-=+-=
x f y x b ax y x
x x
y ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x
''
-+--+'=+-解
2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
''-+--+++=
+-+---+=
+--+-+=
+
(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx
y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则
y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2
1v －21
·2x
=f ′(12+x )·
2
11
12+x ·2x =
),1(1
22+'+x f x x
解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
=f ′(12
+x )·2
1
(x 2+1)2-·(x 2+1)′
=f ′(12
+x )·2
1
(x 2+1)
2
-
·2x
=
1
2+x x f ′(12+x )
例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标
解 由l 过原点，知k =
x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴
x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =
x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=2
3 由x ≠0,知x 0=
2
3 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－8
3
∴k =
00x y =－4
1 ∴l 方程y =－
41x 切点(23，－8
3
)
五、巩固练习 1.函数y =
2
)
13(1
-x 的导数是 A.
3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2
)13(6
-x
2.已知y =
2
1
sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +
4π
)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4
π
)