复合函数求导公式-复合函数综合应用
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。
求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。
首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。
其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。
再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。
最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。
以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。
学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。
复合函数求导公式大全 大学复合函数求导法则
复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。
设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
复合函数求导公式复合函数综合应用
复合函数求导公式复合函数综合应用假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中y是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数。
我们希望求得y关于x的导数dy/dx。
首先，我们需要求得函数y关于u的导数dy/du。
这可以通过对函数f(u)求导得到。
假设f(u)的导数为df/du，则dy/du=df/du。
接下来，我们需要求得函数u关于x的导数du/dx。
这可以通过对函数g(x)求导得到。
假设g(x)的导数为dg/dx，则du/dx=dg/dx。
最后，我们可以通过链式法则来求得y关于x的导数dy/dx。
链式法则指出，如果z是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数，则z关于x的导数dz/dx可以表示为dz/du乘以du/dx，即dz/dx=dz/du * du/dx。
将这个原理应用到我们的问题中，可以得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
代入我们之前求得的dy/du和du/dx，可以得到dy/dx=(df/du)*(dg/dx)。
这就是复合函数求导公式。
根据这个公式，我们可以求得复合函数关于自变量的导数。
下面，我们来看一个关于复合函数的综合应用问题。
假设有一个函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)分别为：f(u)=2u^2+ug(x)=3x-1我们希望求得函数y关于x的导数dy/dx。
首先，我们可以求得函数y关于u的导数dy/du。
由于f(u) = 2u^2+ u，我们可以对f(u)求导，得到df/du = 4u + 1接下来，我们求得函数u关于x的导数du/dx。
由于g(x) = 3x - 1，我们可以对g(x)求导，得到dg/dx = 3最后，我们根据复合函数求导公式，可以得到dy/dx = (df/du) * (dg/dx) = (4u + 1) * 3这样，我们就求得了函数y关于x的导数dy/dx，即dy/dx = (4u + 1) * 3需要注意的是，我们还没求得u关于x的表达式。
复合函数求导公式_复合函数综合应用
导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x+y =0 B x －y =0或25x+y =0 C x +y =0或25x－y =0D x －y =0或25x－y =04 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 (2)y =31xx-例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83) 1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x 2.已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)C.9sin 2(3x +4π)D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)5.函数y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x +xx2cos B.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sin D.2sin2x －xx 2cos。
高中复合函数求导公式大全
高中复合函数求导公式大全，16个基本导数公式推导设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u 为中间变量，y为因变量（即函数）。
复合函数：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
复合函数如何求导：f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)。
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u) 所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x). 从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^213：复合函数求导：（uv)'=uv'+u'v(u+v)'=u'+v'(u/)'=(u'v-uv')/^214：y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)15：y'={sin(3-x)]'=-cos(x)16:F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx .(1)g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x)(2)g(x+dx) = g(x) + dg(x)(3)F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx =[ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx =F'(g) * g'(x)。
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
人教版数学高二第一章 1.2第2课时复合函数求导及应用
第2课时 复合函数求导及应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 16“思考”～P 17的内容，回答下列问题． 函数y ＝l n (x ＋2)与函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2之间有什么关系？ 提示：y ＝l n (x ＋2)是由函数y ＝l n u 和u ＝x ＋2复合而成的复合函数． 2．归纳总结，核心必记 (1)复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[问题思考](1)函数y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由哪些函数复合而成的？提示：y ＝log 2(x 2－3x ＋5)是由y ＝log 2u ，u ＝x 2－3x ＋5复合而成． (2)函数y ＝l n (2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝l n (2x ＋1)是由函数y ＝l n u 和u ＝2x ＋1复合而成的，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(2x＋1)′＝2u ＝22x ＋1.[课前反思](1)复合函数的概念是什么？ (2)复合函数的求导公式是什么？知识点1简单复合函数求导问题讲一讲1．(链接教材P 17－例4)求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [尝试解答] (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝⎛⎭⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.错误!复合函数求导的步骤练一练1．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x . 解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u ·5＝525x ＋4 . (5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6. (6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ；法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 2x ′ ＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x .知识点2复合函数与导数运算法则的综合应用讲一讲2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. [尝试解答] (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2. (2)∵y ＝x co S ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2S i n ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4＝－12S i n 4x －2x co S 4x .类题·通法复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数[如讲2(2)]，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．练一练2．求下列函数的导数．(1)y ＝S i n 2x3；(2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3；(3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )． 解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝⎛⎭⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2 .(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x1＋x .知识点3复合函数导数的综合问题讲一讲3. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[思路点拨] 当直线与曲线相切时，切点为直线与曲线的公共点．[尝试解答] 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋a x ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.类题·通法本题正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．练一练 3．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1 解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是复合函数求导公式及其应用，这也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法是复合函数的导数的求法，见讲1和讲2.3．求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组1简单复合函数求导问题1．函数y＝co S(－x)的导数是()A．co S x B．－co S xC．－S i n x D．S i n x解析：选C y′＝－S i n (－x)(－x)′＝－S i n x.2．y＝co S3x的导数是()A．y′＝－3co S2xS i n xB．y′＝－3co S2xC．y′＝－3S i n2xD．y′＝－3co S xS i n2x解析：选A令t＝co S x，则y＝t3，y′＝y t′·t x′＝3t2·(－S i n x)＝－3co S2xS i n x. 3．设曲线y＝a x－l n(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 令y ＝a x －l n (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.4．求下列函数的导数． (1)y ＝l n (e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3； (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝l n u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·l n 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3l n 10. (3)y ＝S i n 4x ＋co S 4x ＝(S i n 2x ＋co S 2x )2－2S i n 2x ·co S 2x ＝1－12S i n 22x ＝1－14(1－co S 4x )＝34＋14co S 4x . 所以y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos 4x ′＝－S i n 4x . 题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用 5．函数y ＝x 2co S 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x co S 2x －x 2S i n 2x B ．y ′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x C ．y ′＝x 2co S 2x －2xS i n 2x D ．y ′＝2x co S 2x ＋2x 2S i n 2x解析：选B y ′＝(x 2)′co S 2x ＋x 2(co S 2x )′＝2x co S 2x ＋x 2(－S i n 2x )·(2x )′＝2x co S 2x －2x 2S i n 2x .6．函数y ＝x l n (2x ＋5)的导数为( ) A ．l n (2x ＋5)－x 2x ＋5 B ．l n (2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x l n (2x ＋5) D.x2x ＋5解析：选B y ′＝[x l n (2x ＋5)]′＝x ′l n (2x ＋5)＋x [l n (2x ＋5)]′＝l n (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝l n (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 7．函数y ＝S i n 2x co S 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝S i n 2x co S 3x ，∴y ′＝(S i n 2x )′co S 3x ＋S i n 2x (co S 3x )′ ＝2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x . 答案：2co S 2x co S 3x －3S i n 2xS i n 3x 8．已知f (x )＝e πx S i n πx ，求f ′(x )及f ′⎝⎛⎭⎫12. 解：∵f (x )＝e πx S i n πx ， ∴f ′(x )＝πe πx S i n πx ＋πe πx co S πx ＝πe πx (S i n πx ＋co S πx )． f ′⎝⎛⎭⎫12＝πe π2⎝⎛⎭⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. 题组3 复合函数导数的综合问题9．曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0解析：选A 设曲线y ＝l n (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝l n (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝l n (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10l n 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75l n 2太贝克C ．150l n 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130l n 2×M 02－t30，由M ′(30)＝－130l n 2×M 02－3030＝－10 l n 2，解得M 0＝600，所以M (t )＝600×2－t30，所以t ＝60时，铯137的含量为M (60)＝600×2－6030＝600×14＝150(太贝克)．[能力提升综合练]1．函数y ＝(2 018－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 018－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 018－8x )2 D ．24(2 018－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 018－8x )2×(2 018－8x )′＝3(2 018－8x )2×(－8)＝－24(2 018－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝l n (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：选B设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.4．函数y ＝l n e x1＋e x 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝l n e x1＋e x＝l n e x －l n (1＋e x )＝x －l n (1＋e x )， 则y ′＝1－e x 1＋e x .当x ＝0时，y ′＝1－11＋1＝12.答案：125．设曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e a x 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e a x ，所以f ′(x )＝(e a x )′＝e a x ·(a x )′＝a e a x ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(a x 2－1)12，∴f ′(x )＝12(a x 2－1)－12·(a x 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2，∴aa －1＝2，∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a S i n x 3＋b co S 22x (a ，b 是实常数)的导数． 解：∵⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＝a co S x 3·⎝⎛⎭⎫x 3′＝a 3co S x 3， 又(co S 22x )′＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 4x ′＝12(－S i n 4x )×4＝－2S i n 4x ， ∴y ＝a S i n x 3＋b co S 22x 的导数为 y ′＝⎝⎛⎭⎫a sin x 3′＋b (co S 22x )′＝a 3co S x 3－2b S i n 4x . 8．曲线y ＝e 2x co S 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5，求l 的方程．解：由题意知y ′＝(e 2x )′co S 3x ＋e 2x (co S 3x )′＝2e 2x co S 3x ＋3(－S i n 3x )·e 2x＝2e 2x co S 3x －3e 2x S i n 3x ，所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2.所以该切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设l 的方程为y ＝2x ＋m ，则d ＝|m －1|5＝ 5. 解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时，l 的方程为y ＝2x －4; 当m ＝6时，l 的方程为y ＝2x ＋6.综上，可知l 的方程为y ＝2x －4或y ＝2x ＋6.。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数的求导法则及其应用
复合函数求导法则及其应用阿文摘 要：主要叙述证明了复合函数求导法则的概念定理，运算法则，性质等，以及在数学分析中的应用。
关键词：复合；函数；求导法则引 言由基本初等函数经过有限次四则运算和复合的函数，可以由下面的复合函数求导法则求出它们的导数。
1复合函数求导法则定理：（复合函数求导法则） 设函数()x g u =x 0=可导，而函数()u f y =在)()(00x u g u ==处可导，则复合函数())(x g f y =在x x 0=可导，且有()()[]()()()()()x x x u g g f g f x g f x x 00000''=''='= .证明：因为()u f y =在u 0处可导，所以可微。
由可微的定义，对任意一个充分小的0≠∆u ，都有()()()u u f f u f u u u ∆+∆'='-∆+α000 ，其中0lim 0=→∆α 。
因为当0=∆u 时0=∆y ，不妨规定当0=∆u 时0=α，因此上式对0=∆u 也成立。
设()()()00≠∆-∆+=∆x g x gu x x ，在上式两边同时乘以x ∆，则有()()()()()xux u f xg f x g f u x x ∆∆+∆∆'=∆-∆+α000 ， 由函数()x g u =在x x 0=可导，既有()x g xux 00lim '=∆∆→∆ ，且此式也蕴含了0lim 0=∆→∆u x 。
注意到在0→∆x 的过程中，或者0=∆u 有，这时有0=α；或者有0≠∆u ，但u ∆趋于0 ，因此由0lim 0=→∆αu ，可知0lim 0=→∆αu 。
于0→∆x ，得到()()()()xg f x g f dx dyx x x ∆-∆+=→∆000lim=()xu x u f x x x u ∆∆+∆∆'→∆→∆→∆0000lim lim lim α =()()x u g f 00'' .证毕复合函数求导规则可以写成dxdudu dy dx dy ∙= . 我们一般称它为 链式法则 。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，它是用于计算复杂函数的导数的方法。
在微积分中，复合函数的求导是使用链式法则的一种应用。
链式法则描述了复合函数导数与原函数导数之间的关系。
对于复合函数y=f(g(x))其中f(x)和g(x)都是可导函数，链式法则可以表达为：dy/dx = dy/dg * dg/dx其中，dy/dg 代表对 f(g(x)) 求导得到的结果，dg/dx 代表对 g(x) 求导得到的结果。
复合函数求导的一般方法是通过逐步求导的方式来计算导数。
根据链式法则，我们可以使用一些特定的公式来计算复合函数的导数。
1.复合函数导数公式：(1)若y=f(u)和u=g(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dx(2)若y=f(u)和u=g(v)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx(3)若y=f(u,v)和u=g(x)和v=h(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：∂y/∂x=∂y/∂u*∂u/∂x+∂y/∂v*∂v/∂x2.常见的复合函数求导公式：(1) 反正弦函数（arcsin）的导数：d/dx arcsin(u) = 1/√(1 - u^2) * du/dx(2) 反余弦函数（arccos）的导数：d/dx arccos(u) = -1/√(1 - u^2) * du/dx(3) 反正切函数（arctan）的导数：d/dx arctan(u) = 1/(1 + u^2) * du/dx(4)非常规复合函数求导公式：(a)e^u的导数：d/dx e^u = e^u * du/dx(b) ln(u) 的导数：d/dx ln(u) = 1/u * du/dx(c) sin(u) 的导数：d/dx sin(u) = cos(u) * du/dx(d) cos(u) 的导数：d/dx cos(u) = -sin(u) * du/dx(e) tan(u) 的导数：d/dx tan(u) = sec^2(u) * du/dx(f) cot(u) 的导数：d/dx cot(u) = -csc^2(u) * du/dx(g) sec(u) 的导数：d/dx sec(u) = sec(u)tan(u) * du/dx(h) csc(u) 的导数：d/dx csc(u) = -csc(u)cot(u) * du/dx(i)u^n的导数：d/dx(u^n) = n*u^(n-1) * du/dx(j)1/u的导数：d/dx (1/u) = -1/u^2 * du/dx(k) ln(u^c) 的导数：d/dx ln(u^c) = c*u^(c-1) * du/dx以上列举了一些常见的复合函数求导公式。
复合函数的导数公式
复合函数的导数公式
与一元复合函数不同，多元复合函数的“复合”方式多种多样，这就使得多元复合函
数求导的问题相应地比一元函数情形复杂。
其实相同了很简单,请看：对于中间变量为一
元函数的情形。
其实相同了很简单,请看：
对于中间变量为一元函数的情形：
使用换元法算外围的,然后在乘以内围的例 y=cos（sinx）的导把sinx 看作t 得
y=--sint 再乘以sinx的导得最终结果y=--sin（cosx）。
中间变量为多元函数的情形：
举个例子：z=f(x+y,xy,x),u=x+y,v=xy。
dz/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)+df/dx,（“d”则表示偏导的符号）。
这里的df/dx,是把u,y看作不变,仅仅是对z=f(x+y,xy,x)中的第三个位置的x求导。
定理:如果函数u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)都具备对x和对y的偏导数，函数
z=f(u,v)在点(u,v)具备已连续略偏导数，那么无机函数z =f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)的两个略偏导数都存有。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式
在微积分学中，借助表达式，如复合函数的求导法则公式，可以推导出函数的导数，从而研究函数变化的规律。
复合函数的求导法则公式指的是：设有函数f(x)和g(x)，其中f为g的复合函数，g(x)的导数为g'(x)，f(x)的导数为f'(x)，则f(x)的导数的表达式为
f'(x)=g'(x)f′(g(x)).这一公式也可以被称作链式法则。
具体来讲，复合函数求导时，首先要确定函数f(x)和g(x)，然后将f(x)表示为g(x)的复合函数，将其根据链式法则表示为f′(x)=g′(x)f′(g(x))。
由于这里共有两个变量，因此当可以充分解释复合函数的求导公式时，就可以使用链式法则将其求导表达式化简为一个，最终求得函数f(x)的导数。
在使用链式法则求解复合函数求导公式时，要注意一个问题，就是对导函数的理解。
只有彻底理解了导函数的内容和作用，才能正确解释复合函数求导公式。
此外，由于这个公式既涉及函数f(x)的求导，也涉及函数g(x)的求导，因此要求读者在实际计算中，具有足够的推导过程和数学计算能力，才能给出正确的求解思路，最终得到准确的解决方案。
总而言之，复合函数求导法则公式是一种有效的链式求导方法，在研究函数变化规律时，它有着重要的作用。
但同时，由于复合函数的复杂程度也很大，因此读者在实际应用时，要加强对复合函数和链式法则的认识，以保证最终的正确求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则2)()()()(v vu v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±三、基础运用举例1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1D 22 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ; (2)y =31xx-四、综合运用举例 例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)2-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)2-·2x=12+x x f ′(12+x )例2 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解 由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0, ∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83)五、巩固练习 1.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x2.已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)C.9sin 2(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) 4.函数y =cos(sin x )的导数为A.－［sin(sin x )］cos xB.－sin(sin x )C.［sin(sin x )］cos xD.sin(cos x )5.函数y =cos2x +sin x 的导数为A.－2sin2x +xx2cos B.2sin2x +xx 2cosC.－2sin2x +xx 2sin D.2sin2x －xx 2cos6.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0 B.2y +8x +7=0 C.2y +8x －9=0D.2y －8x +9=0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成.8.曲线y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________.9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2π)的导数是 .10.函数y =)32cos(π-x 的导数为 .11.函数y =cos 3x 1的导数是___________.参考答案1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案 B2 解析 设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =x y , 另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线 l A :y =－x 或l B :y =－25x 答案 A3 解析 根据导数的定义f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k答案 －14 解析 设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！ 答案 n !5 解 设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为 y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ② ∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －46 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |), 两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅复合函数的导数1.C2.B3.B4.A5.A6.A7.y =u 3,u =1+sin3x8.－39.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)32cos()32sin(ππ---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。