全国卷历年高考数列真题归类分析2019

全国卷历年高考数列真题归类分析（2019.7含答案）

（2015年-2019年共14套）

一、等差、等比数列的基本运算（13小3大）

1.（2016年1卷3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

【解析】由已知,11

93627

,98a d a d +=⎧⎨

+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=选C.

2．（2017年1卷4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】：()

1661664816

2

a a S a a +=

=⇒+=，

451824a a a a +=+=，

作差86824

a a d d -==⇒=，

故而选C.

3.（2018年1卷4） 设为等差数列

的前项和，若，，则（ ）

A.

B.

C.

D.

【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得

，

整理解得

，所以

，故选B.

4.（2019年3卷14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则

10

5

S S =___________. 【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，

所以

105S S =111

1109

1010024542552

a d a a a d

⨯+

==⨯+． 5．（2017年3卷9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则

{}n a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2

3

26a a a =⋅，即()

()()2

11125a d a d a d +=++，又∵11a =，代入上式可得220d d +=，又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ⨯⨯=+

=⨯+⨯-=-，故选A. 6.（2019年1卷9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A. 25n a n =-

B.

310n a n =-

C. 2

28n S n n =-

D. 2

122

n S n n =

- 【解析】由题知，41514430

2

45

d S a a a d ⎧

=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 方法2：本题还可用排除法，对B ，55a =，44(72)

1002

S -+=

=-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，

2455415

0,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．

7.（2017年2卷15）等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑ ．

【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123

43

4102

a d a d +=⎧⎪

⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n n n n a n S +==

，那么()121

1211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭

，那么 11111111221......21223111n

k k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .

8.（2016年2卷17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴41

13

a a d -=

=，

∴1(1)n a a n d n =+-=．∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，

[][]101101101lg lg 2b a ===．

⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．

当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；

当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．

∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．

9.（2017年2卷3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由

()71238112

x -=-可得3x =，故选B.

10.（2015年2卷4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=（ ）

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84

【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a 1+a 1q 2+a 1q 4=21, 又因为a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,解得q 2=2,a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=42.

11．（2017年3卷14）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．

【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112

11

13a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①

②， 显然1q ≠，10a ≠，②

①

得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，

()3

341128a a q ∴==⨯-=-．

12.（2019年3卷5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A. 16

B. 8

C. 4

D. 2