金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案

1•解：JEt = O 代入得A(O) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t 2 + 2t + 3) /3 In =

A(n) 一 A(n 一 1)

= (n 2 + 2n + 3) - ((n - I)2 + 2(n - 1) + 3))

= 2n + l 2.解:(1)1 = A(n)-A(t) = I n +I nl + ∙ ∙ ÷I t+1 =n(n+ l)∕2-t(t+ 1)/2 (2)I = A(n)-

A(t)= Y J l k = 2π+, -2,+,

A-r÷l

3•解：由题意得

a(0) = I Z a(3) =A(3)/A(O)= => a = , b = 1 ∕∙ A(5) = 100

A(IO)=A(O) ∙ a(10) = A(5) ∙ a(10)/ a(5)= 100 X 3 = 300.

4.解：(l)i5 =(A(5) - A(4))∕A(4)=5120^ % ilθ =(A(IO) - A ⑼)∕A(9)=5145≈ %

(2)i5 =(A(5) 一 A(4))∕A(4)

IOO(I + 0.1)5-l∞(l + 0.1)4

IOo(I + o.ιy l

5•解:A(7) = A(4)(l + i5)(l + i6)(l + i7) =1000 XXX

6•解：设年单利率为i

500(1 + = 615

解得i = %

设500元需要累积t 年

500(1 + t × %) = 630

解得t = 3年4个月 }

7•解：设经过t 年后，年利率达到％

1 + 4%×t= (1 + 2.5%)1 t Q

8. 解ι(l + i)11 = (l + i)5+2*3 = XY 3

9. 解：设实利辜为i

600[(l + i)2 一 1] = 264

解彳gi = 20%

：• A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元

10•解：设实利站为i

10% i K)=(A(10)-A(9))∕A(9) =

1∞(1 + 0.1)10-100(1 + 0.1)9 IOO(I + 0.1)9

10%

---------- 1 ------- ~ (l + z)n (l + ∕)2n

所以"=导》右

11•解:由500×(l+ i)30 = 4∞0 => (l + i)30 = 8

IOOOO I(XX)O IOOOo

+

+ i)2°

(1 +i)40 (1 +i)60

=IOOO ×

2 4 (8~+8~+8^2)

12 解:(1 + i)a = 2

(l + i)b =j (2)

(l + i)c = 5 (3)

3 + i)n =- (4) 2

=> n ∙ In(I. + i) = In 5 -In 3

⅝l∕ ⅝l∕

11/ /k 牧→ In5 = c × ln(l + i) × (2) => In3 = (a + b) ■ In (1 + i) =C -

(a + b)

13•解：

A ∙ i = 336 A ∙ d = 300 i —

d = i ∙ d => A =

2800 14•解：

(1)

10%

'1 + 5x10%

=%

⑵ a-1(t) = 1 一

=> a(t) = a(5)

III δ A(t)= δ B(t)得

t = 5

)

19・解：依题意,累积函数为a(t) = at2 + bt + 1 a = 0.25a +

+ 1 =

a(l) = a + b + 1 =

=> a =

b =

于是 δ =≤222= 0.068

a(0.5)

20∙解：依题意，§ A (t) = J 「J B (t)= ----------------

1 + L 1 + t

IllJ A (t)> ¾ (t) 1

一 1-0.1/

=dS = ΦH√1) a(5)

=%

15∙解:由

(l + -r )3=(l-£-)7 3 4

i

⑶-3

二> 〃⑷=4・[1一(1 +

寸)-可

:⑶ Itl

:⑹ z ∕(12)

(1 + L_)6=(1_L_)3) 6 12

〃(⑵

=> 严>=6∙[(1 -------- Γ2-l]

12

16•解:⑴ 终值为IOO × (1 + i(4)/

4 F?=元

⑵ 终值为Ioo × [(1 -4d

17. 解：利用 1/d (FTl)- 1/i (Fn) = I∕m=> m = 8

18. 解:aA (t) = 1 + => δ A (t)

a"1A (t) = l-0.05r=>¾ (a"1B (t))1 aΛ(t) 0.05

"l-0.05r

a A (I) 1 + 0」/

2t 2

=> -------- > ---------- 1 +L 1 +t

=> t > 1

21.解：d (4) = 8% ,设复利下月实贴现率为d,单利下实利率为do 。

__________ 全部釆用复利:

PV= 5000(1-d)25 = 4225.25 前两年用复利:

I 8%

1 — 2

PV= 5000(1-d)24(l-d 0) = 4225.46 22. 解：i K)= 6%,贝IJi= (1 +—)4-l = 6.14%

4

设笫3年初投入X,以笫3年初为比较日，列价值方程

2000(1 +i)2+ 20∞(l +i) +X= 2000v 2 + 5000v 8 解得 X= 元

23. 解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程:

2∞ + 500V 5 = 400.94解得宀 0.40188

所以

P= IOO(I +i),°+ 120(1 +i)5= 917.762

24. 解：10∞(l + 6%)1 = 2×10∞(l +4%)"解得：t = 36 年

25・解：列价值方程为l∞v n + 100v 2n = 100解得n =

26.解：Q=丄，得基金B 的积累函数为

6t

2

a B (t) = exp(∫θ J S dS) =exp(二)欲使“人⑴则

解得t=

27 解:IOOO(I+ i)15 = 3000

贝 IJi ⑵=((I +i)l-l)×2 = 7.46%

2

28.解：列价值方程为

(I T 12屮

d-d)3 = 1 8% V

1 —3d 。=