《常微分方程》答案习题(3)

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习题 2.4

求解下列方程 1、y y x '+='13 解:令

t p y dx dy 1=='=,则23311t t t t x +=⎪⎭

⎝⎛+=, 从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰22

3231

223,

于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩

⎪⎨⎧++=+=c

t t y t t x 2232

2

3. 2、()0133='--'y x y

解:令tx p y dx

dy =='=,则()()013

3=--tx x tx ,即t t t t x 1123-=-=, 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=+=⎰⎰1122

()c dt t t t +⎪⎭

⎛+

-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭

⎛-

-=⎰2412 c t

t t ++-=12152

25,

于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t

t x 121521252

.

3、y e y y ''=2 解:令

p y dx

dy

='=,则p e p y 2=, 从而()c e p d p

x p +=⎰21

()

c dp e p pe p

p p ++=⎰

221

=()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1,

于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p

p

e

y y c

e p x 21, 另外,y=0也是方程的解. 4、()a y y 212='+, a 为常数 解:令

ϕtg y dx

dy ='=,则ϕϕϕ2

2

2cos 2sec 212a a tg a y ==+=, 从而()

c a

d tg c dy p

x +=+=⎰

⎰ϕϕ

2cos 21

1

c a c

d a ++-=+-=⎰⎰2

2cos 14cos 42ϕ

ϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2,

于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕ

ϕϕ2

cos 22sin 2a y c

a x . 5、='+22y x 1 解:令

t p y dx

dy

cos =='=,则t t x sin cos 12=-=, 从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t

c tdt ++=+=⎰

⎰2

2cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4

12

1,

于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩

⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .

6、()()2221y y y '-=-'

解:令yt y ='-2,则11-='-yt y ,得t

t y 1+=,

所以()

()

dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪

⎝⎛+-⎪

⎭⎫ ⎝⎛+=-=

'=-, 从而c t c dt t x +=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

=⎰1

12

, 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+

=+=t t y c t

x 11,

因此方程的通解为c x c

x y -+-=

1

.

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