《常微分方程》答案习题(3)
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习题 2.4
求解下列方程 1、y y x '+='13 解:令
t p y dx dy 1=='=,则23311t t t t x +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=, 从而()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰22
3231
223,
于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩
⎪⎨⎧++=+=c
t t y t t x 2232
2
3. 2、()0133='--'y x y
解:令tx p y dx
dy =='=,则()()013
3=--tx x tx ,即t t t t x 1123-=-=, 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+=⎰⎰1122
()c dt t t t +⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-=⎰2412 c t
t t ++-=12152
25,
于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t
t x 121521252
.
3、y e y y ''=2 解:令
p y dx
dy
='=,则p e p y 2=, 从而()c e p d p
x p +=⎰21
()
c dp e p pe p
p p ++=⎰
221
=()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1,
于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p
p
e
y y c
e p x 21, 另外,y=0也是方程的解. 4、()a y y 212='+, a 为常数 解:令
ϕtg y dx
dy ='=,则ϕϕϕ2
2
2cos 2sec 212a a tg a y ==+=, 从而()
c a
d tg c dy p
x +=+=⎰
⎰ϕϕ
2cos 21
1
c a c
d a ++-=+-=⎰⎰2
2cos 14cos 42ϕ
ϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2,
于是求得方程参数形式的通解为()⎩⎨⎧=++-=ϕ
ϕϕ2
cos 22sin 2a y c
a x . 5、='+22y x 1 解:令
t p y dx
dy
cos =='=,则t t x sin cos 12=-=, 从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t
c tdt ++=+=⎰
⎰2
2cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4
12
1,
于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩
⎪
⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .
6、()()2221y y y '-=-'
解:令yt y ='-2,则11-='-yt y ,得t
t y 1+=,
所以()
()
dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=-=
'=-, 从而c t c dt t x +=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=⎰1
12
, 于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+
=+=t t y c t
x 11,
因此方程的通解为c x c
x y -+-=
1
.