4-7能态密度和费米面

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费米面
费米能级EF 费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：

EF
0
gE dE n或
EF
0
N E dE N
费米球半径kF N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包 括的状态数恰好等于N，即 V 4 3 2 kF N 3 1 1 1 2 3 1
1 3
4 3 rs 得到); 3
;
3.63 kF Å-1 rs / a0 4.20 vF 10 8 cm / s rs / a0 EF
rs / a0
50 .1eV
2
~1.5-15eV
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自由电子的费米面
ky
费米球 费米面
kx
2 EF kF 2m
2
kF
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电子在晶体中按能级是如何排布的呢？
布里渊区的高对称点处。
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例三
以简立方晶格为例，说明紧束缚近似下的s能带的 能态密度的临界点恰为布区的高对称点。 s k E ( k ) 0的点:
Γ点[ k 0,0,0 ]是极小值点；E ( k ) E0 6J1; R R点[ k , , ]是极大值点；E ( k ) E0 6J1; a a a X点[ k ,0,0 ]是一个鞍点——布区侧面中心。 a X E ( k ) E0 2J1;
3 3 N 3 3 3 3 k F 2 2 n 8 V 8
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关于“费米面”
（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填 充能级分隔开；
（2）费米面形状基本上不随温度变化；
温度升高时，只有少量电子从费米面内侧附 近激发到外侧附近，费米能级本身很少随温度变 化，因此，费米面成为金属的一个物理特性。
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例三
能态密度的临界点（范霍夫奇点）
dZ 2V ds 由公式 N E 可知，在某个k取值处， 3 dE 2 k E k E ( k ) 0, 在该点，N(E)显示出某种奇异性，称为范
霍夫奇点，也称临界点。 En(k)是k空间的周期函数，因此每个周期性单元中 必定存在有 k E k 0的点，例如：En(k)的极大值和极 小值点； k E k 0 的鞍点等等，而且这些点是出现在
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 3 dE dk k E 2 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 k x k y k z2 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
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例三
所以能态密度可表示为：
Hale Waihona Puke N E 2
2V
2V
3
k E
ds sin2 k x a sin2 k y a sin2 k z a
ds
2 3 等能面
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紧束缚近似等能面
能带底附近等能面 为球面；E增大，
等能面偏离球面，
E越增大，偏离越 明显（P218图440）。
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例二
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
能量为E的等能面内的状态数记作Z：
2V 4 2V 4 Z abc 3 3 2 3 2 3
dZ 2V 4 N (E) 3 dE 2 3
m1m2 m3 2 E 3
3 2
N 紧束缚近似等能面
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能态密度函数图（P219图4-41）
例三
N(E)
E0 6J1
E0 2J1 E 0 E0 2J1
E0 6J1
(1)能带底E=E0-6J1； (2)当E=E0-2J1时，出现微商不连续奇点，这时恰好等能面 与布里渊区界面相交，等能面如P219图4-42所示； (3)E=E0时，为能带的中点，N(E)函数以E0为中心，上下 对称，等能面如P219图4-43所示。
EB EC EA
N(E)
自由电子情况
近自由电子情况
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
E
(4)当E达到并超过第二布里渊 区的最低能量EB时，能态密 度N(E)将从EB开始，由0迅速 增大。
注：右图为能带无交叠的情况。
EB EC EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
能带有交叠情况 E
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
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三、晶体能带的填充情况
第一种情况：只有满带和空带
电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带 全部是空的。 最高的满带——价带；最低的空带——导带（此时 导带为空带） ；
价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底） 之间的能量范围——带隙。
带隙宽度大(约10eV)——绝缘体； 带隙宽度小(约1eV)——半导体。
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
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例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： k E 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
N E
2
2V
3
2V 4k 2 V 2m 3 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
1 m1m 2 m3 3 2 E 2 2 3 2
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例二
V m1m2 m3 2 N(E) 2 2 2 m1m2 m3 N(E) g( E ) V 2 2
3 2
E
3 2
2 2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面；
当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
dk ds
kx
2
2V
2V
3
V等能面E和E E之间

dsdk 2
3
4
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
dk k E E
Ⅲ.由此得能态密度N(E)一般表达式：
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
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§4-7能态密度和费米面
电子是费密子，它的排布原则有以下两条： （1） 服从泡里不相容原理 （2） 服从能量最小原理 排满电子的能带称为满带； 排了电子但未排满的称为未满带（或导带）； 未排电子的称为空带； （有时也称为导带）； 两个能带之间的禁带是不能排电子的。
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导体和绝缘体 （conductor &insulator） 晶体按导电性能的高低可以分为
第一布里渊区内：
认为从原点向外，等能面应该 基本上保持为球面 接近于布里渊区边界： 等能面将向外凸出 当EA<E<EC时：
等能面将不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶角附近的曲面。
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近自由电子能态密度Ｎ(E)
Ｅ～Ｎ(E)关系可表示如下： E (1)E<EA时，N(E)自由电子结果 相差不多； (2)E接近EA时，由于等能面向外 凸，导致体积增大，使N(E)大于 自由电子情况； (3)E>EA时，由于等能面开始残 破，面积下降，尤其是到达EC时， 等能面缩小为几个顶角点，所以 由EA到EC过程，N(E)将不断下降 到零。
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例三
计算简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)
解：简立方晶格的s带能带函数 s E ( k ) E0 2J1 (cos k x a cos k y a cos k z a )
dZ 2V ds 计算公式： E N dE 2 3 k E
E E E k E i j k k x k y k z 2aJ1 ( i sin k x a j sin k y a k sin k z a )
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
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例二
2 2 2 k x k y k z2 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 k x k y k z2 等能面方程可化为 2 2 2 1 a b c
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费米面的重要性在于金属的物理性质由费米面的 形状确定
（1）电子热容是由费米面附近电子激发所引起； （2）功函数是费米面附近的电子逸出金属所必须 作的功； （3）接触电势差是费米面附近的电子流动产生的；
（4）讨论金属电导问题时,认为电流是由于费米 面附近能态占据状况的变化所引起等。
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金属的功函数与接触电势差
一般称这个球为费米球，kF称为费米球半径，球的表面 称费米面。 22
费米面定义
指当T＝0时，k空间中占有电子和不占有电子区