实变函数

∩
Σ(F ) =
Σ,
F ⊂Σ, Σ为σ环
则 Σ(F ) 为 Ω 上的 σ 环, 称之为由 F 生成的 σ 环.
证明. 直接验证, 详证略. 特别, 对拓扑空间 (Ω, τ ), 将以上的 F 取成 τ, 则称 Σ(τ ) 为 Ω 上的 Borel 代数, 记为 B. Borel 代数中的元素叫做 Borel 集. 在实变函数论中, 我们已经看 到, 对于 Rn 上的 Lebesgue 测度, Borel 集有着十分重要的地位.
k=1
则
(
)
∩∞
µ
Ak = lim µ(Ak).
k→∞
k=1
证明. 略.
3 环上测度的延拓
定义 13 (σ 有限) 设 (Ω, R, µ) 为测度空间, 称它是 σ 有限的, 如果存在
一列 {An} ⊂ R 适合下列条件: • µ(An) < +∞, n = 1, 2, · · · ;
∪∞ • Ω = Ak.
µ(A) = |A|, ∀A ∈ 2Ω.
则 µ 为 2Ω 上的测度.
思考题 让 S = 2R, 则 S 是 R 上的环. 构造环 S 测度 µ, 使得对每个开区间 (a, b), 都有 0 < µ((a, b)) < +∞.
定理 12 设 R 为集合 Ω 上的环, µ 为环 R 上的测度, 则 µ 具有如下性质: • 单调性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). • 可减性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则有
(3) 不妨设 µ∗(An) < +∞. 任给 ε > 0, 对每个 An ⊂ Ω, 由外测度定义,
n=1
存在一列 {Bn,k}∞ k=1 ⊂ R, 使得
An
⊂
∪∞
Bn,k, µ∗(An) +
ε 2n
≥
∑ ∞ µ(Bn,k ),
k=1
k=1
故有
∪∞
∪∞ ∪∞
An ⊂
Bn,k ,
n=1
n=1 k=1
从而由外测度的定义有
显然 K(A) ⊂ M (R). 只需证明 K(A) = M (R), 为此, 我们先证明: K(A) 为单 调类.
3
任取一列 {Bn} ⊂ K(A), B1 ⊂ B2 ⊂ · · · , 注意到 M (R) 为单调类, 由
K(A) 定义, 我们有
(
)
∪∞
∪∞
Bn ∪ A = (Bn ∪ A) ∈ M (R),
献给亲爱的 *** 老师和 *** 老师! 博士数学论坛 Weingarten, 2015 年 3 月 26 日
1
1 集类
设 Ω 是某个集合, 以 Ω 的某些子集为元素所成的集合称为 Ω 上的集类.
定义 1 (环, 代数) 设 Ω 为集合, R 为 Ω 上的集类, 称 R 为 Ω 上的环, 如 果对一切 A1, A2 ∈ R, 都有
∀B ⊂ Ω, µ∗(B) = µ∗(B ∩ A) + µ∗(B ∩ Ac).
所有可测集的全体记为 R∗.
• 显然, 不等式
µ∗(B) ≤ µ∗(B ∩ A) + µ∗(B ∩ Ac)
自动成立, 故为了验证 Caratheodory 条件, 我们只需验证
µ∗(B) ≥ µ∗(B ∩ A) + µ∗(B ∩ Ac).
(a, b] 表示 R 中的左开右闭的区间1, 让
{
}
∪n
R0 =
(ai, bi] : n ∈ Z+, ai, bi ∈ R ,
i=1
则 R0 为 R 上的一个环. R1 表示 R 中的有限个有限区间 (不论开, 闭抑或半开 半闭) 的并集的全体所成的集类, 则 R1 也是 R 上的环.
例 3 (环 E) 设 R2 为 2 维 Euclid 空间, 当 a ≤ b, c ≤ d 时, 称
最后我们证明 M (R) 是 σ 环, 这只需验证 M (R) 对 “可列并” 运算封闭3.
任取一列 {An} ⊂ M (R), 由于 M (R) 是一个环, 故
∪n A1, A1 ∪ A2, · · · , Ai, · · · ∈ M (R),
i=1
而 M (R) 是单调类, 故有 这就证明了 M (R) 是 σ 环.
∪∞ An ∈ Σ, A1 \ A2 ∈ Σ.
n=1
进一步地, 对 Ω 上的 σ 环 Σ, 如果还有 Ω ∈ Σ, 则称 Σ 为 Ω 上的 σ 代数, 简 称 Σ 为 σ 代数.
依 De Morgan 律, 显然 σ 代数对 “可列交” 运算也是封闭的.
1我们认为 (a, a] = ∅.
2
定理 5 (由 F 生成的 σ 环) 设 Ω 为集合, F 为 Ω 上的集类, 让
(
)
∪∞
∑ ∞ ∑ ∞
µ∗
An ≤
µ(Bn,k )
n=1
n=1 k=1
≤
∑ ∞
( µ∗(An)
+
ε 2n
)
n=1
∑ ∞ ≤ ε + µ∗(An),
n=1
Baidu Nhomakorabea
7
让 ε → 0, 故得次可加性.
定义 17 (可测集) 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, µ∗ 为外测度. 称 A ⊂ Ω 是可测的, 如果它适合如下的 Caratheodory 条件:
(2) 当 A ∈ R 时, 有 µ∗(A) = µ(A).
(3) 次可加性: 若 An ⊂ Ω, n = 1, 2, · · · , 则
(
)
∪∞
∑ ∞
µ∗
An ≤ µ∗(An).
n=1
n=1
6
证明. (1) 为显然.
(2) 当 A ∈ R 时, 显然 µ∗(A) ≤ µ(A), 故我们只需再证明 µ(A) ≤ µ∗(A). 任 ∪∞
{
}
∑ ∞
∪∞
µ∗(A) = inf
µ(An) : {An} ⊂ R, A ⊂ An ,
n=1
n=1
称 µ∗(A) 为 A 的外测度.
定理 16 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, Ω 上的外测度 µ∗ 有如下性
质:
(1) 单调性: 当 A ⊂ B ⊂ Ω 时, 有 µ∗(A) ≤ µ∗(B).
E = {(x, y) : a < x ≤ b, c < y ≤ d}
为 R2 中左下开右上闭的矩形, 由有限个左下开右上闭的矩形的并集的全体构成 R2 上的一个环 E.
定义 4 (σ 环, σ 代数) 设 Ω 为集合, Σ 为 Ω 上的集类, 称 Σ 为 Ω 上的 σ 环, 如果对 Σ 中的任何一列元素 {An}, 都有
• 非负性: 对任何 A ∈ R, 都有 µ(A) ≥ 0;
• 可列可加性: 对任何一列 {An} ⊂ R, 如果 Ai ∩ Aj = ∅(i ̸= j 时) 并且 ∪∞
An ∈ R, 则有
n=1
(
)
∪∞
∑ ∞
µ
An = µ(An).
n=1
n=1
一个赋予了测度 µ 的可测空间 (Ω, R) 叫做测度空间, 记作 (Ω, R, µ).
n=1
K(A) 是单调类.
特别, 对 A ∈ R, 由于 R 为环, 故 R ⊂ K(A), 由单调类 M (R) 的极小 性2可知 M (R) ⊂ K(A), 进而 M (R) = K(A).
综合以上可知, 对每个 B ∈ M (R), 只要 A ∈ R, 则 B ∪A, B ∩A, B \A, A\B 都属于 K(B), 故有 R ⊂ K(B). 再次注意到单调类 M (R) 的极小性即得 M (R) ⊂ K(B) ⊂ M (R), 从而 K(B) = M (R), 进而 M (R) 是一个环.
n=1
由上面的定义容易看出, σ 环都是单调类.
定理 7 (由 F 生成的单调类) 设 Ω 为集合, F 为 Ω 上的集类, 让
∩
M (F ) =
M,
F ⊂M , M 为单调类
则 M (F ) 为单调类, 称它为由 F 生成的单调类.
证明. 直接验证, 详证略. 下面的单调类定理将在后面测度延拓唯一性的证明中有重要的应用.
A1 ∪ A2 ∈ R, A1 \ A2 ∈ R.
称集合 Ω 连带其上的一个环 R 为一个可测空间, 记作 (Ω, R). 进一步地, 如果 还有 Ω ∈ R, 则称 R 为 Ω 上的代数.
依 De Morgan 律, 显然代数对 “有限交” 运算也是封闭的.
例 2 (环 R0, R1) 设 R 为 1 维 Euclid 空间, 对 −∞ < a ≤ b < +∞, 用
(n=1 )
n=1
∪∞
∪∞
Bn ∩ A = (Bn ∩ A) ∈ M (R),
n=1
n=1
(
)
∪∞
∪∞
Bn \ A = (Bn \ A) ∈ M (R),
n=(1 ∪∞
) n=1 ∩∞
A\
Bn = (A \ Bn) ∈ M (R),
n=1
n=1
∪∞ 从而 Bn ∈ K(A), 类似验证 K(A) 对单调递减列的可列交也是封闭的, 从而
∪∞ An ∈ M (R),
n=1
2 环上的测度
定义 9 (环上的测度) 设 Ω 为集合, R 为 Ω 上的环, 称函数 µ : R → R 为环 R 上的测度, 如果它满足:
2M (R) 是包含环 R 的最小的单调类. 3因为 M (R) 已经是环, 故它对 “差” 运算封闭.
4
• µ(∅) = 0;
容易看到, 可列可加性蕴含有限可加性, 事实上, 对 R 中有限个互不相交的
元素 A1, A2, · · · , An, 让 An+1 = An+2 = · · · = ∅, 则由可列可加性得
( )( )
∪n
∪∞
∑ ∞
∑n
µ
Ai = µ
Ai = µ(Ai) = µ(Ai).
i=1
i=1
i=1
i=1
例 10 (诱导测度) 设函数 g : R → R 为单调递增右连续. 由于 R0 中每个 元素 A 总可以唯一分解成有限个互不相交的左开右闭的区间的并, 将这样的分
µ(B) − µ(A) = µ(B \ A).
5
∪∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊂ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 并且 Ak ∈ R, 则有
k=1
(
)
∪∞
µ
Ak = lim µ(Ak).
k→∞
k=1
∩∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊃ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 如果 µ(A1) < +∞ 并且 Ak ∈ R,
• 由上面定义容易得到: ∅, Ω ∈ R∗, 并且当 A ∈ R∗ 时, Ac ∈ R∗.
给 ε > 0, 由外测度的定义, 存在 {An} ⊂ R 使得 A ⊂ An, 并且满足
n=1
∑ ∞ µ∗(A) + ε > µ(An).
n=1
让 Bk = Ak ∩ A, k = 1, 2, · · · , 则 (
)
∪∞
∪∞
A=A∩
An = Bn.
n=1
n=1
让
(
)
n∪−1
C1 = B1, C2 = B2 \ C1, · · · , Cn = Bn \
定义 6 (单调类) 设 Ω 为集合, M 为 Ω 上的集类, 称 M 为单调类, 如果 它满足以下两条:
∪∞ • 对任何一列 {An} ⊂ M 适合 A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , 都有 An ∈ M ;
n=1
∩∞ • 对任何一列 {Bn} ⊂ M 适合 B1 ⊃ B2 ⊃ · · · , 都有 Bn ∈ M .
k=1
例 14 设 Ω 为一不可列集, R = {A ⊂ Ω : |A| < +∞}, 则 R 为 Ω 上的 环, 让 µ 定义为可测空间 (Ω, R) 上的计数测度, 则 (Ω, R, µ) 不是 σ 有限的.
定义 15 (外测度) 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, 对每个 A ⊂ Ω, 让
Ck , · · · ,
k=1
则 {Cn} ⊂ R 为一列互不相交的集合, 并且
∪∞
∪∞
Bn = Cn = A ∈ R.
n=1
n=1
于是由测度的单调性有
∑n
∑ ∞
∑ ∞
µ∗(A) + ε ≥ µ(Ak) ≥ µ(Bn) ≥ µ(Cn) = µ(A).
k=1
n=1
n=1
让 ε → 0, 可得 µ∗(A) ≥ µ(A), 故 µ∗|R = µ. ∑ ∞
解记为
∪m A = (an, bn],
n=1
对每个 A ∈ R0, 定义
∑ m µ(A) = (g(bn) − g(an)),
n=1
容易验证 µ 是 R0 上的测度, 称它是由 g 诱导出的.
例 11 (计数测度) 设 Ω 为集合, |·| 表示子集 · 的元素个数, 定义 µ : 2Ω → R ∪ {+∞} 为
定理 8 (单调类定理) 设 R 为集合 Ω 上的环, 则
Σ(R) = M (R).
证明. 只需验证 Σ(R) 是单调类, 而 M (R) 是 σ 环, 前者为显然. 我们先来证明 M (R) 是一个环. 对任何 A ∈ M (R), 让
K(A) = {B ∈ M (R) : A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A ∈ M (R)},