有限元方法及其工程应用

《有限元方法及其工程应用》读书报告数值分析技术是在力学理论、计算数学和计算机技术相互结合和渗透的基础上发展起来的一门应用数学学科。

它主要借助计算机和软件技术实现大规模的计算分析。

根据构造数值计算公式的原理不同，目前工程上常用的数值分析方法主要有：有限差分法、有限单元法和边界单元法等。

与其它方法比较，有限元法在计算公式构造、计算精度及效率、求解过程的稳定性和适用性等方面具有明显的优势。

有限元法的基本思想是把一个复杂实际问题划分成有限个简单问题的组合进行求解，由于实际问题已被较简单的问题所代替，故只能获得近似解。

如对结构受力分析问题，首先把结构的求解区域看成是由有限（数量）个小的在节点处相互联系的子域（单元）组成，先对每一个单元假定一个合适的近似解，然后推导结构的整体平衡方程，在满足边界条件情况下就可获得近似解。

当划分的子域（单元）尺寸变的越来越小时，其近似解就越来越逼近精确解。

弹性力学是进行工程结构承载分析的基本理论。

建立与未知量相等的方程是进行应力分析的首要条件，此外还需满足协调方程（位移和应变连续）和边界条件（弹性结构表面的给定位移和力的条件）。

弹性力学假设物体是完全弹性、连续、均匀和各向同性的，并且变形和位移是微小的。

弹性力学有外力、应力、应变和位移等基本概念。

弹性平面问题主要有平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题主要应用于厚度尺寸与长度和宽度相比很小的板状结构体，如板架、机体等。

这类物体只在板边受平行于板平面的外力，且外力沿厚度方向不变，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

平面应力问题只有σXX ，σYY ，τXY =τYX 三个应力分量不为零，是一种二维函数问题。

平面应变问题适用于截面不变化但长度很长的柱形结构体，如长圆柱体、高压容器、管道等。

这类物体只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力。

平面应变问题只有三个应变分量：εXX ，εYY ，γXY =γY X 不为零。

弹性力学的控制方程有：平衡微分方程、几何方程和物理方程。

其中弹性平面的平衡微分方程为： ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y yy X y xyyxy x y xxσττσ几何方程为应变和位移的关系： ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=y u x vxy y v yy xuxx γεε,物理方程为应力-应变关系（即三维条件下的广义虎克定律）：()[]zz yy xx xx v E σσσε+-=1 ， xy xy G τγ1=其它两个物理方程类似。

另外还有变形协调方程和边界条件。

可见三维弹性问题总共有15个未知参数。

能量原理是力学的基本原理之一，弹性力学能量原理，就是利用能量的概念研究物体在外力的作用下应力、应变和位移参量之间的变化规律，以及外力作功与物体变形势能所涉及的能量转换过程。

主要有泛函、变分的概念和虚位移原理和最小势能原理。

在工程中除存在依赖与自变量变化的函数关系外，还存在另一类函数，其自变量也是一类函数，而不是有限个变量，这种函数的函数叫“泛函”。

变分学就是研究这些“泛函”的极值性质，即在一组容许函数中选定一个函数，使给定的“泛函”获得极值，而不是求解含有有限个变量的函数极值。

在分析结构静力问题时，总认为其加载过程是缓慢的逐步加载过程，在该过程中结构始终处于静力平衡状态。

当结构为线弹性体时，外力所作的功将全部转换为弹性体中的弹性势能，这一过程遵循能量守恒原理。

由于外力作用，弹性体内部所储存的弹性变形势能成为应变势能。

弹性体几何允许的微小位移，称为位移的变分，根据能量守恒原理，在虚位移过程中，外力所作的虚功等于弹性体内增加的虚应变能，这就是虚位移原理。

对任何一个弹性结构，在外力作用下产生弹性变形，在这一变形过程中，外力对弹性体作功W而势能减小，弹性体由于变形而储存弹性应变势能U，那么当该弹性体处于稳定平衡状态时，其总的势能必取极小值，这就是最小势能原理。

利用有限元法进行结果分析时，首先要将物体或求解区域划分为有限个小区域（网格）的集合，这些小区域称“有限单元”，这些单元通过节点而相互连接，单元节点位于单元边界上，且相临单元通过节点连接。

其次，假设节点处的物理参量（如位移、温度等）为未知参量，用这些参量可以表示单元内部物理量变化的近似函数。

然后，利用结构的整体控制方程（平衡方程）将所有单元节点的未知量集合成一个线性代数方程组，代入边界条件，最后求解。

有限元方法的一般步骤是：1）物体结构离散化；2）选择单元内部插值模式；3）推导单元刚度矩阵和单元节点载荷向量；4）集合单元方程得到总的平衡方程组；5）求解节点未知参量；6）计算单元应变和应力。

其中，总的平衡方程组为：[K]{U}={F}式中：[K]为整体结构的集合刚度矩阵；{U}为整体结构节点位移向量；{F}为节点载荷向量。

有限元方法的第一步是对求解区域划分网格，网格为具有一定几何形状的小区域，节点在这种小区域的角点或边界上，节点的“自由度”是指节点处独立的物理参量的个数。

整个求解区域的自由度数则是全部节点自由度的总和，整个求解区域的自由度是有限的。

这样求解区域的离散化相当与用一个具有有限自由度数目的系统去替换具有无限自由度数目的系统。

在划分单元时应考虑单元的形状、尺寸、数量和分布。

单元形状取决于物体的几何形状和描述物体结构所需的独立空间坐标数，如一维、二维、三维问题等。

在选择单元类型时，应根据所研究问题本身的物理特性来选择。

单元尺寸直接影响计算结果的精度，单元尺寸越小，其计算结果的误差就越小，但对同样区域，小尺寸单元意味着单元数目的增多，节点自由度的增加及线性方程组数目的增加，即计算工作量的增大。

对同一结构，可以采用相同尺寸的单元划分网格，但对存在应力集中的结构，则应采用不同尺寸的单元划分网格，以便能有效反映局部应力急剧变化的特征。

对于节点的设置，一般情况下，根据求解问题性质均匀或局部加密布置节点，对于特殊情况，单元的节点应布置在物体几何形状、材料性能和外载有突然变化的地方，材料性能不连续、出现间断等，则应将单元的节点设置在间断截面处。

单元的数量取决于计算精度、单元尺寸及单元类型的自由度数目，一般采用更多的单元将获得更为精确的计算结果，但这会消耗大量内存，因此在客观条件允许下，并满足工程计算精度要求时，尽量减少单元数量以提高工作效率。

针对具体问题应充分利用结构的对称性，简化有限元计算模型。

有限元方法必须有效标识和管理单元和节点。

有限元法的单元节点信息是指：节点编号和单元编号。

有限元法的基本思路是分段（分区域）逼近分析方法，因此最关键的步骤是对每一个单元选择一个简单函数，用来表示求解变量在单元内部的变化情况，这种函数称为插值函数。

在有限元中一般插值函数选择多项式形式。

对结构分析而言，单元特征矩阵和节点特征向量就是建立单元节点的位移变量和节点载荷之间的关系，类似于单元的物理方程。

通常的方法有：直接法、能量法和加权余量法。

利用上述方法可推导出单元的特征矩阵或节点的特征向量。

在获得单元的特征矩阵后，可以构造出结构的整体特征（刚度）矩阵。

有限元方法最终获得一组包含节点未知参量的线性方程组，对于有限元方程组的求解，必须充分利用总体刚度矩阵的稀疏性、对称性特征。

弹性结构静力分析有限元法是用于计算工程结构或构件在稳态载荷（温度）作用下的弹性位移、应力、应变及边界载荷的变化规律。

弹性平面问题包括平面应力和平面应变问题。

在平面问题中，基本物理参量有位移分量u ，v ，应变分量εXX ，εYY ，εXY ，应力分量ζXX ，ζYY ，ζXY 。

则可总结出公式： {ζ}=[D]{ε}其中，[D]为对称矩阵：[D]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100010112v v v v E ， 平面应变问题，应将式[D]中的v 换成v/（1-v ）、E 应换成E/（1-v 2）即可。

对平面问题，最简单的离散单元是三角形单元。

每个单元包含三个节点，以每个节点的位移分量u,v 作为基本未知量，这样三个节点有六个自由度。

为了能用节点位移表示单元内部的位移变化，位移模式中应包含六个任意参数。

考虑任一单元利用能量法中虚位移原理，推导单元刚度矩阵，同时建立节点载荷与节点位移的关系，最后可得单元刚度矩阵。

有限元法是以节点处的“力平衡条件”建立求解方程的，因此当单元内部存在体力或边界上存在面力时，必须采用“静力等效原则”进行等效节点载荷计算。

所谓“静力等效原则”是指，对任意虚位移，原来载荷与转换后的节点载荷在同一虚位移上的虚功相等。

这样就可以得到单元内位移、应力、应变及节点载荷与单元节点位移的关系，利用这些关系可以建立结构的整体刚度矩阵。

对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元“节点的平衡方程”，根据节点处平衡条件，可以推导出整个结构的线性代数方程组。

在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程组：[K]{Δ}={R}；式中，{Δ}为全部节点位移列阵，{R}为全部节点载荷列阵，[K]是总刚度矩阵。

为了使方程组有确定的解，必须按实际情况代入边界条件，因此对结构分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。

总刚度矩阵具有对称性、稀疏性和带状分布的特点。

并且必须保证有限元解的收敛性。

工程结构在温度作用下的热应力分析问题十分普遍。

利用有限元法计算由于温度变化所引起的热应力的思路为：1）如果结构温度分布已知。

则可将温度作为体载荷直接加在离散模型的节点上进行计算：2）间接法，用有限元法首先进行温度计算，然后将求得节点温度作为体载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算：3）直接法，将温度和应力耦合在一起进行计算，同时得到温度和应力分布。

直接法或耦合法最符合实际情况，对大多数热应力分析都采用间接法。

对于平面热应力问题，温度T 仅是坐标x,y 的函数T=T （x,y ），温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xy xy xx yy yyyy xx xx E v T v E T v E τγασσεασσε)1(2)(1)(1，并可在此基础上计算单元的热应力。

在工程实际中最简单的单元是具有四个角点的四面体单元。

这种单元有12个自由度（位移分量），每个节点有三个位移分量。

可用建立位移模式方程、应力-应变方程，建立单元刚度矩阵，代入等效节点载荷的方法进行求解。

对许多工程结构，由于结构形式和承载的复杂性及应力集中的作用等，都会产生塑性变形，在这种情况下，应采用弹塑性力学方法进行研究。

在弹塑性情况下，材料的应力-应变关系是非线性的，对金属材料而言，这种非线性是由塑性变形引起的。

在小位移假设下，弹性力学的平衡方程和集合方程在塑性力学中有效，但物理方程变化。