第五章习题解答

第五章习题解答

5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a 、b ．中心O 取为原点，坐标系如图所示．设薄板的质量为M ，求证薄板对Ox 轴、Oy 轴和Oz 轴的转动惯量分别为

2Ox 121Mb J =

2Oy 121Ma J = ()

22Oz 12

1

b a M J += [解] 根据转动惯量的定义 ⎰

=m r J d 2 对ox J 取图示微元，有

⎰

=m mb J 2ox d 121212

1

mb = 同理可得 2oy 12

1

ma J =

对于 ⎰⎰⎰⎰

+=+==m y m x m y x m r J d d d )(d 22222oz

22ox oy 12

1

121mb ma J J +=

+=

5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m 、半径为R ，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯

量是多大

[解] 建立坐标系，取图示面积元 θd d d r r s =，根据转动惯量的定义有

⎰⎰⎰==π

θπθ0

2

2

2

2

ox d d 2sin d R

r r R m

r m y J

20

2324

1

d d sin 2mR r r R

m R

=

=⎰⎰

πθθπ

5-2-3 一半圆形细棒，半径为R ，质量为m ，如图所示．求细棒对轴A A '的转动惯量．

[解] 建立图示的坐标系，取图示l d 线元，θλλd d d R l m ==， 根据转动惯量的定义式有

⎰

⎰

=

='π

θθλ0

2

22

A A d sin d R R m x J

20

22

2

1

d sin mR mR =

=

⎰

π

θθπ

θ

d d l

θ

x

θ

d d m d r r

θR

O

x

y

5-2-4 试求质量为m 、半径为R 的空心球壳对直径轴的转动惯量．

[解] 建立如图所示的坐标系，取一θθθd +→的球带，θπd 2d rR s =它对y 轴的转动惯量

θππd 24d d 2

2

2rR R

m

r m r I == 又 θcos R r =

所以 θθd cos 2

d 32

mR I =

222

323

2

d cos 2d mR mR I I ===⎰⎰-

π

π

θθ 此即空心球壳对直径轴的转动惯量．

5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘

的齿孔A ，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为5cm ，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A 相邻的齿孔B ．（1）若测得这时齿轮的角速度为600r ，齿轮到反射镜的距离为500 m ，那么测得的光速是多大（2）齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大

[解] （1） 齿轮由A 转到B 孔所需要的时间5

1031

26005002⨯=

⨯==ππωθt 所以光速 m 10310315002285

⨯=⨯⨯==

T

L c

（2） 齿轮边缘上一点的线速度 s m 1088.1105260022⨯=⨯⨯⨯==-πωR v 齿轮边缘上一点的加速度 ()2522

2s m 1010.71052600⨯=⨯⨯⨯==-πωR a

5-3 一飞轮从静止开始加速，在6s 内其角速度均匀地增加到200min rad ，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小．又过了5s 后，飞轮停止转动．若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间

[解] 分三个阶段进行分析

10 加速阶段．由题意知 111t βω= 和 11212θβω= 得

2

21

11211t ωβωθ==

20 匀速旋转阶段． 212t ωθ=

30

制动阶段．331t βω= 332

1

2θβω= 2

23

13213t ωβωθ== 由题意知 πθθθ2100321⨯=++ 联立得到

πωωω21002

2

3

1211

1⨯=+

+t t t

所以 s 18360

2005602200

660220010022=⨯⨯-⨯⨯-

⨯=

πt 因此转动的总时间 s 19418356321=++=++=t t t t

5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为

1m 和2m 的物体，且1m >2m ．设定滑轮是质量为M ，半径为r 的圆盘，绳的质量及轴处摩擦

不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体的加速度和绳的张力．

[解] 物体21,m m 及滑轮M 受力如图所示

对1m 取向下为正方向： a m T g m 111=- （1） 对2m 取向上为正方向： a m g m T 222=- （2） 对M 取顺时针方向为正方向： βJ r T r T ='

-'21 （3） 又 2/2Mr J =

（4）

βr a = （5）

'

=11T T （6）

2

T g

m 2m 1

m 1

T g

m 1N

g

M 2

T 1

T