《流体力学》典型例题

2 2 2r 2 X x, Y y , Z g z H0 ，可推出自由水面（为一等压面）的方程： 2g d d d d p X x Y y Z z
根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：

由此可求得： H 0 h
5
D
H h
G

则由：
C
解： （1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为 r 0, z H 0 ，
2 2 2r 2 X x, Y y , Z g H0 ，可推出自由水面（为一等压面）的方程： z 2g dp Xdx Ydy Zdz
＝
粘性阻力（摩擦力） ： F S dl 克服油的粘性阻力所消耗的功率：
n d 60 du dy
d n d n d n 2l P M F dl 2 30 2 30 602
3
3.14 0.36
z
a 0.98 x x 0.1x g 9.8
（2） 假设水箱以加速度 amax 运动时， 其中的水刚好没有溢出， 且此时水箱右侧水的深度为 h ， 则根据加速前后水的体积不变的性质可得
Lh ( h H ) L 2
②
又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系
pA p1 水 h1 ， p1 p2 水银 h ， pB p2 水 h2
pA pB 水银 h 水 h2 h1 水银 h 水 h z 133416 0.32 9810 0.32 1 29743.92 Pa
水g h1 h2 g h3 h2 水g h4 h3

h1 h2 h3 h4 水 h3 h2
3
h
h1
h2
z
容器A
容器B
例题 5：如图所示，U 型管中水银面的高差 h＝0.32 m，其他流体为水。容器 A 和容器 B 中 心的位置高差 z＝1 m。求 A、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度 水 ＝9810 N/m3， 水银的重度 水银 ＝133416 N/m3） 。 解：图中 1-1、2-2 为 2 组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程 p p0 gh ， 可得：
3
602 50938.83(W)
0.73 2002 1 0.23 103
例题 3：如图所示，直径为 d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为 ，若下 盘固定不动，上盘以恒定角速度 旋转，此时所需力矩为 T ，求间隙厚度 的表达式。
ω
δ
d
解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径 r 处取径向宽度 dr 的微元面积环，根据牛顿 内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为： r r dF dA 2 rdr
amax g H h L
③
②和③式联立求解，得：
amax
2 H h 2 1.2 0.9 g 9.8 1.96 m s 2 L 3
例题 7：有一盛水的旋转圆筒，直径 D＝1 m，高 H＝2 m，静止时水深为 h＝1.5 m。求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度 应控制在多大？ （2）当 ＝6 rad/s 时，筒底 G、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？
（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。 （2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度 amax 。
z H h O a L
4
x
解： （1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂 直向上，x 轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分 量分别为 X a,Y 0 ,Z g 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式 dp Xdx Ydy Zdz dW ，得
《流体力学》典型例题（9 大类）
要先把布置的各章作业题做熟练！举一反三。
例 1~例 3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用 例 4~例 5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之 间的压差。 例 6~例 8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关） 例 9 液体静压强分布图绘制 例 10~12 静止液体作用在平面上的总压力 例 13——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度） ；旋度计算及流动有旋、无旋判断 例 14~20——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例 21——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例 22~24——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例 25~26——总流伯努利方程的应用 例 27——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算
例题 2： 如图所示， 转轴的直径 d＝0.36 m， 轴承的长度 l＝1 m， 轴与轴承的缝隙宽度 ＝0.23
1
mm，缝隙中充满动力粘性系数 0.73Pa s 的油，若轴的转速 n 200rpm 。求克服油的粘性阻 力所消耗的功率。

n d l
解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力
dp adx gdz
积分得
①
p ax gz c1
利用边界条件确定积分常数 c1 ：在坐标原点 O（ x z 0 ）处， p p0 ，得 c1 p0 由式①可得水箱内的压强分布 p p0 ax gz 98000 1000 0.98 x 9.8 z 98000 980 x 9800 z 对于水箱中的等压面，有 dp 0 ，所以由式①可得等压面的微分方程 a dx gd z a 积分得 z x c2 g 上式给出了一簇斜率为 a g 的倾斜平面， 就代表水箱加速运动的一簇等压面， 自由水面是等 压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数 c2 0 。因此自由水面方程为


dT dF r
r

2 r 2 dr
2
T
d 2 0
4 2 d 4 dT dr r 2 32 0 d 4
d
32T 例题 4：如图所示的双 U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知 液体的密度 （取管中水的密度 水 ＝1000 kg/m3） 。
G=mg
又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律： F ma 0 ，即：
mgsin S 0
mgsin 5 9.8 sin 30 1103 0.1021 N s m 2 4 U S 1 40 60 10
粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属 性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。
根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：

由此可求得： H 0 h
D2
0
2r 2 D2 2 r H 0 h dr 2g 4
2 D2
16g
，带入自由表面方程得：
D2 2 r 2g 8 若使 达到某一最大值而水不溢出，则有 r D 2 时， z H ，带入上式，得 z h


2
2
h1
h3
h4
1
1
h2
水
解：经分析可知图中 1-1 和 2-2 为两组等压面。
水
根据等压面的性质和流体静力学基本方程 p p0 gh ，采用相对压强可得： 左侧： p1 水 g (h1 h2 ) ， 右侧： p2 水 g (h4 h3 ) 中间： p1 p2 g (h3 h2 ) 联立可得：

2g H h
2 2
D D 8 2 30 30 18.67 178.25 n

2 9.8 0.5 0.3 18.67 rad s 0.32 8


r
min
例 9：液体静压强分布图绘制要点及举例
例题 8：如图所示为一圆柱形容器，直径为 d 300mm ，高 H 500mm ，容器内装水，水深 为 h 300mm ，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速 n 。
6
z
H
H0
o
r
h
解：如图所示，将坐标原点 o 放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为
r 0, z H 0 ，则由：
例题 6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高 H＝1.2m，长 L＝3m，静止时盛水深度
h=0.9m 。 现 水 箱 以 a 0.98 m s 2 的 加 速 度 沿 水 平 方 向 做 直 线 运 动 。 若 取 水 的 密 度
1000 kg m3 ，水箱中自由水面的压强 p0 ＝98000Pa。试求：
2

2g H h D D 2 8 2
2

2 9.8 2.0 1.5 8.854 rad s 1 1 4 8
（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为
2r 2 2r 2 2 D2 p g H0 z g h z 16g 2g 2g 将 G 点条件： r 0, z 0 带入得： 2 D2 62 12 pG g h 1000 9.8 1.5 12450Pa 16g 16 9.8 同理，将 C 点条件： r D 2, z 0 带入得： 2 D2 2 D2 62 12 h pC g 1000 9.8 1.5 16950Pa 16g 16 9.8 8g
例题 1：如图所示，质量为 m＝5 kg、底面积为 S＝40 cm×60 cm 的矩形平板，以 U＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角 ＝ 30 的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度
＝1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。

U

解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力 ＝ du U dy
d 2
0
2r 2 d2 2 r H 0 d r h 2g 4
2d 2
16g
Hale Waihona Puke Baidu
，带入自由表面方程得：
d2 2 r 2g 8 若使 达到某一最大值而水不溢出，将 r d 2 时， z H ，带入上式，得 z h
2
1、静压分布图绘制要点： （1）将物面各点的压强用箭头表示，箭头与物面垂直，其长度与压强大小成比例。 （2）箭头方向代表压强作用方向，且将箭头落在物面上。 （3）受压面为平面时，箭头尾端连线为直线；受压面为曲面时，箭头尾端连线为曲线。 2、举例
7
(a) (b) (c) 例 10： 宽 B 1 m、 倾角为 60°的闸门铰接于 A， 如图 2－29 所示。 已知 h0 1 m、 H 0 3 m，