第二章 控制系统的数学模型习题讲解

06-7-20
控制工程基础
20
（b） 弹簧 k 2 和阻尼器 D2 的并联等效弹簧刚度 等于 k 2 + D2 s 弹簧 k1 和阻尼器 D1 的串联等效弹簧刚度
1 1 1 = + 等于 k k1 D1s
k1 D1s k= k1 + D1s
故： ( k 2 + D 2 s )[ X i ( s ) − X o ( s )] = F ( s )
f ( t ) = e − 20 t • ( 2 + 5 t ) • 1 ( t ) + ( 7 t + 2 ) • δ ( t ) （ 8） + [ 3 sin( 3 t −
π
6
)
−
2 d 1 3•e 解：F ( s ) = −5• ( )+ 2 + 3• 2 s + 20 ds s + 20 s +9
06-7-20
G1G2G3 G7 = = 1 1 + G2 H1 + G2G3 H 2 − G1G2 H1 1 − G1G6 H1 G3
控制工程基础
G1G6
12
X o ( s) G1G2G3 = − G4 X i (s) 1 + G2 H1 + G2G3 H 2 − G1G2 H1
− H2
Xi
1
1
06-7-20 控制工程基础 10
G5 G6 = 1+ G5 H2
Xo (s) G G1G5 G1(G2G3 + G4 ) = G(s) = 7 = = Xi (s) 1+ G7 1+ G5H2 + G1H1G2 + G1G5 1+ (G2G3 + G4 )(G1 + H2 ) + G1H1G2
（C)
X o(s) G3 G3 = = G2 H2 Xi 2 (s) 1+ G G (G H + H2 ) 1+ G3 (G1H1 + ) 3 4 1 1 G2 1+ G2H3 G2
X o(s) G3 (1+ G2H3 ) = Xi 2 (s) 1+ G2H3 + G3H2 + G1G2G3H1
证明题图2 13中(a)与(b)表示的系统是 2－13 证明题图2－13中(a)与(b)表示的系统是 相似系统（ 相似系统（即证明两个系统的传递函数具有相似 的形式）。 的形式）。
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化简下列方块图，并确定其传递函数。 2－6 化简下列方块图，并确定其传递函数。 （b) G
4
Xi (s) G1
A
-
H1
-
B
G2
G3 H2
C
C(s)
（1)引出点A前移至B点，并联支路合并。得 1)引出点A前移至B 引出点 并联支路合并。
G5 = G2G3 + G4
（2)前移得引出点A后移至C点 2)前移得引出点A后移至C 前移得引出点
(2) f2(t) =sin t •1 t −t0) =sin[ (t −t0) +ω 0]•1 t −t0) ω ( ω t (
=[sin (t −t0)cos t0 +cos (t −t0)sin t0]•1(t −t0) ω ω ω ω
) 之间的闭环传递函数。 （2）求X o (s) 和 X i 2 (s之间的闭环传递函数。
解 ： （ 1） 令 X i 2 ( s ) = 0
06-7-20
控制工程基础
14
Xi1 G1
H3
Xi 2 Xo (s)
G2
H1
-
A H2
G3
B
G5 Xi1 G1 H3
1 G3
G2
G4 Xo (s) B
H1
-
1 e − πs 1 + e − πs = F (s) = 2 + 2 s +1 s +1 s2 +1
（ 4） 解：
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f ( t ) = [ 4 cos( 2 t − f ( t ) = [ 4 cos 2 ( t −
π
3
)] • 1 ( t − )] • 1 ( t −
π
6
) + e − 5 t • 1( t ) ) + e − 5 t • 1( t )
代入初始条件， 代入初始条件，得：
a3 s2 + 6s + 1 a1 a2 X (s) = = + + 2 s ( s + 6 s + 8) s s+2 s+4
1 a1 = [ X (s)s] s=0 = 7 8 a2 = [ X (s)(s + 2)] s=−2 = 47 a3 = [ X (s)(s + 4)] s=−2 = − 8 1 7 − 2t 7 − 4t x (t ) = ( + • e − • e ) • 1(t ) 8 4 8
a1 =
也可以用初值定理和终值定理： 也可以用初值定理和终值定理： 值定理
2s + 3 1 2 yo (0) = lim sYo ( s) = lim s • • = 3s + 2 s 3 s →∞ s →∞ 2s + 3 1 3 yo (∞) = lim sYo (s) = lim s • • = 3s + 2 s 2 s →0 s →0
2
π
6
π
6
控制工程基础
s•e 6 1 4s • e 6 1 + + F (s) = 4 • 2 = 2 s +4 s+5 s +4 s+5
−
πs
−
πs
（ 5） 解：
f (t) = (15t + 4t + 6) • δ (t) +1(t − 2)
2
e −2 s F (s) = 6 + s
π
2 )] • 1 ( t −
H2 Xi (s) G1
G2
A
Xo (s) G3
H1 G4
-
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控制工程基础
11
G5 (s) H2 Xi (s) G1
G7 (s) G6 (s)
G2
A
Xo (s) G3
H1 H1 G4
1 G3
-
G2 G5G3 G2G3 G5 = G6 = = 1 + G2 H1 1 + G5G3 H 2 1 + G2 H1 + G2G3 H 2
X o(s) D1D2 s + (k2 D1 + k1D2 )s + k1k2 = 2 X i(s) D1D2 s + (k2 D1 + k1D2 +k1D1 )s + k1k2
2
2－20 (1)
ω f1 (t ) = sin ωt F1 ( s ) = 2 2 s +ω
控制工程基础 22
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第二章 控制系统的动态数学模型 习题讲解
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控制工程基础
1
习题 试求下列函数的拉氏变换： 2－1 试求下列函数的拉氏变换： （ 3） 解：
sin t , f (t ) = 0, 0≤ t ≤π 0 p t, t f π
f ( t ) = sin t + sin( t − π ) • 1 ( t − π )
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G5 = G2 G3 + G4
Xi (s)
串联和并联
G7
G6
G1
G5
X o (s)
-
-
H2 H1G2
1 G5
反馈公式 G1G 5 G1G 6 1 + G5 H 2 G1G 5 G7 = = = 1 G1 H 1G 2 1 + G 5 H 2 + G1 H 1G 2 1 + G1G 6 H 1G 2 1+ G5 1 + G5 H 2
6
π
s
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2 5 9•e = + +2+ 2 2 s + 20 ( s + 20 ) s +9
6
控制工程基础
−
π
s
3
试求下列函数的拉氏反变换： 2－2 试求下列函数的拉氏反变换： （ 5）
s F (s) = ( s + 2 )( s + 1 ) 2
a3 s a2 a1 = + + 解：F ( s ) = 2 2 ( s + 2 )( s + 1) ( s + 1) s +1 s + 2
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R1
D2 K2 Xi
R2 Ui Uo C1 C2
D1
Xo K1
（ a） （ b）
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控制工程基础
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（ a） U ( s ) o
U i ( s)
=
1 R2 + sC2 1 R1 • 1 sC1 R2 + + sC2 R + 1 1 sC1
2
R1R2C1C2 s + ( R1C1 + R2C2 )s + 1 = R1R2C1C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 )s + 1
a2 = [F (s)(s +1) ] s=−1 = −1 d 2 a1 = [F (s)(s +1) ] s=−1 = 2 ds a3 = [F (s)(s + 2)] s=−2 = −2
2
f (t ) = ( − t • e + 2 • e − 2 • e
06-7-20 控制工程基础
−t
−t
−2 t
k1 D1 s X o (s) = F (s) k1 + D1 s
(k 2
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k1D1s + D 2 s )[ X i ( s ) − X o ( s )] = X o (s) k1 + D1s
控制工程基础 21
X o( s ) k 2 + D2 s = X i( s ) ( k + D s ) + k1 D1 s 2 2 k 1 + D1 s
) • 1(t )
4
4 （ 6） F ( s ) = s 2 + s + 4 8 15 • 2 15 解： F ( s ) = 1 2 15 2 (s + ) + ( ) 2 2
8 f (t ) = e 15
1 − t 2
15 sin( t) 2
= 0;
用拉氏变换法解下列微分方程： 2－3 用拉氏变换法解下列微分方程：
时，输
3[ sY o ( s ) − sy o ( 0 )] + 2Yo ( s ) = 2[ sX i ( s ) − sx i ( 0 )] + 3 X i ( s ) Yo ( s ) 2s + 3 = 代入初始条件， 代入初始条件，得： X i ( s ) 3s + 2
1 x i ( t ) = 1 ( t ), X i ( s ) = s
A H2
G3
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控制工程基础
15
G3 G4 = 1+ G3H2
G2G3 G5 = = H3 1+ G2H 3+G3H 2 1+ G2G4 G3 G2G4
X o(s) G1G5 G1G2G3 = = Xi1(s) 1+ G1G5H1 1+ G2H3+G3H 2+G1G2G3H1
（2）令 X i1 (s) = 0
G1
H3 G2
Xi 2 Xo (s)
1 G1 1 G2
-
A H2
G3
H1
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G4 H3 Xi 2 Xo (s)
G1 G2
1 G1 1 G2
-
A H2
G3
H1
Xi 2 G3
Xo (s)
G4
H2 G1H1 + G2
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控制工程基础
17
G2 G4 = 1 + G2 H 3
06-7-20 控制工程基础 7
a2 = − 2 62 3 5 −3t y o (t ) = ( − e ) • 1( t ) 2 6 2 3 y o (0) = y o (∞ ) = 3 2
a2 2s + 3 2 s + 3 1 a1 Yo ( s ) = • X i (s) = • = + 2 s 3s + 2 3s + 2 s s+ 3 5 3
G1 e1
G2 − H1 H1 e2 − G4
G3
1
Xo
前向通路 回路
P = G1G2G3 1
P2 = −G4 L3 = G1G2 H1
L1 = −G2 H1 L2 = −G2G3 H 2
∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) = 1 + G2 H1 + G2G3H 2 −G1G2 H1
06-7-20 控制工程基础 13
控制工程基础
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6
dyo (t ) dxi (t ) + 2 yo (t ) = 2 + 3xi (t ) 2－5 某系统微分方程为 3 dt dt
已知： 已知：y o ( 0 − ) = x i ( 0 − ) = 1 ，当输入为1( t ) 出的终值和初值各为多少？ 出的终值和初值各为多少？ 解：方程两边同时进行拉氏反变换
d 2 x (t ) dx (t ) dx ( t ) 其中： （1） dt 2 + 6 dt + 8 x(t ) = 1 其中：x ( 0 ) = 1, dt
06-7-20 控制工程基础
t=0
5
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解：
2
方程两边同时进行拉氏反变换
•
1 [ s X ( s ) − sx ( 0 ) − x ( 0 )] + 6[ sX ( s ) − x ( 0 )] + 8 X ( s ) = s
∆1 = 1
∆2 = ∆
Xo (s) G1G2G3 1 = P = (P∆1 + P ∆2 ) = −G4 1 2 Xi (s) 1+G2H1 +G2G3H2 −G1G2H1 ∆
对于图2 所示系统， 2－7 对于图2－7所示系统， (s 之间的闭环传递函数。 （1）求 X o (s) 和 X i1 (s)之间的闭环传递函数。