171勾股定理1公开课
勾股定理公开课课件
勾股定理的证明
走 进 数 学 史
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年
来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有
业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，
甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容
易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的
顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
化简得： a2 b2 c2
方法三：
c
b b-a c
a c
c
S正
c2
4
1 2
ab
(b
a)2
，
化简得： a2 b2 c2
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
《勾股定理第一节》课件
欢迎来到《勾股定理第一节》的PPT课件！在这里，我们将深入了解勾股定理 的定义、历史、应用以及如何利用它解决几何问题。准备好迎接数学的奇妙 之旅了吗？
勾股定理的定义
1 直角三角形
在直角三角形中，勾股定理描述了三条边之间的关系，即c²= a²+ b²，其中c为斜边，a和b 为两条直角边。
2 广泛应用
勾股定理在现实世界中有广泛的应用，为我们解决实际问题提供了有力工具。
3 数学乐趣
通过深入研究勾股定理，我们不仅能够提升数学技巧，还可以享受数学的乐趣。
2 数学公式
勾股定理可以用数学公式表示为a²+ b²= c²，其中a、b、c分别代表直角三角形的三条边。
3 几何推理
通过勾股定理，我们能够得到直角三角形内角的相互关系，进而应用于解决各种几何问 题。
勾股定理的历史
古代秦国
勾股定理最早可以追溯到古代秦国，文献 中有记载了解决直角三角形的方法。
中国古代
中国古代数学家对勾股定理进行了独特的 研究，发现了更多的特性和应用。
古希腊
勾股定理的现代形式由古希腊数学家一并 提出，并以毕达哥拉斯之名命名。
欧洲文艺复兴
欧洲文艺复兴时期，勾股定理开始在欧洲 广为传播，并成为现代数学的基础。
勾股定理的应用
1
导航与测量
2Байду номын сангаас
勾股定理可以帮助我们在导航和
测量中确定距离和方向。
3
建筑设计
勾股定理在建筑设计中广泛应用， 例如测量直角墙角、设计稳固的 支撑结构等。
物理学
勾股定理在物理学中有广泛应用， 尤其是在力学、光学和电磁学等 领域。
利用勾股定理求解几何问题
八年级数学下册171勾股定理-完整版PPT课件
=15
=12
=13
5
8
17
16 12
20
求下列图中表示边的未知数、y、的值
81 144
144 169
625 576
①
②
③
=15
Y=5
=7
学习体会
1本节课你又那些收获？ 2预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？ 3你认为本节还有哪些需要注意的地方？
当堂达标
1．Rt ABC的两条直角边a=3, b=4，则斜边c
= 5²-2²
C
=21
∴ AB= 21 （米） (舍去负值）
B
课堂反馈
1、直角 ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____ 2、直角 ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
13
３、已知：∠C＝90°，a=， a：b＝3：4，求b和c
24
b=8 c=10
ac
b
求下列直角三角形中未知边的长:
A5 B25 C7 D25或7
当堂达标
5 已知：如图所示∠C＝90°，a=6， a∶b＝3∶4，求b和c．
那么 a2 b2 c2
1、根据下列图你能写出勾股定理的证明过程吗？
ab241abc2
2
a b a 2 2 a b b 2 2 a b c 2
bc
c a
b
ca cb
a
a2b2c2
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SASB=SC
17.1_勾股定理(1)_优质课比赛教案
课题：18.1勾股定理（1）博兴五中蔡海妹教学目标1、知识目标：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程及定理简单应用；2、能力目标：在定理的证明中培养学生的拼图能力，并通过解决问题，提高学生的运算能力、转换能力及实际应用能力；3、情感目标：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情；教学重点探索勾股定理及定理简单应用；教学难点用拼图方法证明勾股定理。
教学流程安排教学过程设计一、创设情境，引入课题三月风筝飞满天，同学们都放过风筝，风筝的线是已知的，地面上的距离是可测的，风筝的飞行的高度能求吗？学了今天的知识，我们就能解决了。
师生互动：教师通过学生喜欢的放风筝活动，激发学生的兴趣，设置悬念，引起学生的好奇心和求知欲。
二、探索研究，得出结论1、探索勾股定理活动1：相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边之间的某种数值关系。
思考:（1）你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么关系吗？（2）你能发现图中的等腰直角三角形三边之间有什么关系吗?（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点？师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。
活动2：类比上述方法在方格纸上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。
2 若每一个小方格面积为1个单位面积，那么正方形A 、B 、C 的面积为多少？你能从中发现什么结论呢？由上述方法猜想直角三角形三边的数量关系。
命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么222c b a =+师生互动：教师提出问题，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。
活动3拼图证明勾股定理请同学们拿出我们课前准备的四个全等的直角三角形，以小组为单位，拼出一个大正方形，并用面积法证明这个命题。
勾股定理公开课课件
在物理学中，勾股定理用于描述弹性杆在受力时的弯曲程度，以及电磁 波的传播方向和强度。
在经济学中，勾股定理可用于评估投资组合的风险和回报，以及预测股 票市场的波动。
THANKS
感谢观看
勾股定理的发展历程
欧几里德在《几何原本》中证明勾股 定理的方法是构造两个直角三角形， 通过比较它们的边长来证明勾股定理 。
20世纪以来，勾股定理的应用范围不 断扩大，涉及物理学、工程学、经济 学等多个领域。
18世纪，欧拉证明了勾股定理的一个 更为简洁的证明方法，该方法基于三 角形的余弦定理。
勾股定理在现代数学中的应用
勾股定理在复数域的应用
总结词
勾股定理在复数域的应用展示了复数和三角函数之间的密切联系，为解决复杂的数学问题提供了新的 思路和方法。
详细描述
在复数域中，勾股定理可以应用于复数和三角函数之间的关系，揭示了它们之间的密切联系。这种应 用为解决复杂的数学问题提供了新的思路和方法，有助于深入理解和掌握复数和三角函数的基本性质 和应用。
勾股定理的表述方式是“勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方 ”。
03
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中一种是利用相似三角形的性质来证明
，另一种是利用代数方法来证明。
勾股定理的重要性
在几何学中的应用
勾股定理是几何学中一个重要的定理，它在解决 与直角三角形相关的问题时非常有用。例如，在 计算直角三角形的角度、边长等问题时，勾股定 理都是必不可少的工具。
在工程学中的应用
在工程学中，勾股定理也是非常重要的工具。例 如，在计算建筑物的稳定性、机械运动等问题时 ，都需要用到勾股定理。
17 勾股定理(1) 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
16.2
二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
a 理解 ＝ b
a b(a≥0，b＞0)和
a a b＝ b(a≥0，b＞0)，会利用它们
进行计算和化简．
重点 理解并掌握 a ＝ b a b(a≥0，b＞0)， a a ＝ (a≥0，b＞0)， b b
利用它们进行计算和化简． 难点 归纳二次根式的除法法则．
17．1
勾股定理
第1课时 勾股定理(1)
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用 面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
重点 勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3 cm和4 cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜
四、课堂小结 1．本节课学到了什么数学知识？ 2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？ 3．你还有什么困惑？
本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动 ，关注学生能 否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想 (数形结合 )以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注 学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理．
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
17.1 勾股定理(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
17.1 勾股定理(第1课时)一、内容及内容解析1．内容勾股定理的探究、证明及简单应用.2．内容解析勾股定理：直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．勾股定理是中学数学重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．由此，在直角三角形中已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路．我国对于勾股定理的研究与其他国家相比是比较早的，在国际上得到肯定．要通过我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．通过对勾股定理的探索和发现，有助于培养学生学好数学的自信心．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：探索并证明勾股定理．二、目标和目标解析1．目标(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．(2)能用勾股定理解决一些简单问题．2．目标解析目标(1)要求学生先观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳和合理的数学表示发现勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．目标(2)要求学生能运用勾股定理进行简单的计算，重点是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.三、教学问题诊断分析勾股定理是关于直角三角形三边之间关系的一个特殊的结论， 在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进一步得出三边之间的关系；但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形， 提出合理的猜想，学生有较大困难．学生第一次尝试用构造图形方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积．因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考去网格背景下的正方形的面积关系，再把这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理．本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明．四、教学支持条件分析借助《几何画板》软件，动态地演示三角形从网格中的等腰直角三角形，到网格中的一般直角三角形，再到去网格背景的直角三角形的变化过程，启发学生考虑用用割补法求正方形面积．五、教学过程设计1．创设问题情境引言 前面我们共同学习了三角形以及等腰三角形的有关内容，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，它有哪些特殊的性质呢？让我们一起研究吧！问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”． 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如图17.1-1就是大会的会徽图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学习的基本图形组成？这个图案有什么特别的含义？师生活动：教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形的全等的关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义.设计意图：本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题．2．探究勾股定理问题2 看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的数学道理，相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的地面(如图17.1-2)反映了直角三角形三图17.1-1边的某种数量关系．三个正方形A ，B ，C 的面积有什么关系？师生活动：教师引导学生把观察重点放在三个正方形的面积关系上．设计意图：引导学生在观察时进行合理的注意选择.追问1：由这三个正方形A ，B ，C 的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐藏的规律，通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A ，B 中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论：正方形A ，B 的面积之和等于大正方形C 的面积．这时，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.设计意图：从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化.问题3 在网格中的一般的直角三角形(如图17.1-3，每个小方格的面积均为1)，以它的三边为边长的三个正方形A ，B ，C 是否也有类似的面积关系？师生活动：分别求出A ，B ，C 的面积并寻找它们之间的关系．设计意图：引导学生把从等腰直角三角形中发现的三边关系进行初步的一般化． 追问：正方形A ，B ，C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，如图17.1-4，图17.1-5所示．教师在学生回答的基础上归纳方法——割补法. 可以求得C 的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．问题4 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？图17.1-3 C A BA CBC A B A CB CAB AC B图17.1-4 图17.1-5 图17.1-2师生活动：教师引导学生得到猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．设计意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想形成变得水到渠成．问题 5 以上这些直角三角形的边长都是具体的数值．一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，如图17.1-6所示，刚刚提出的猜想仍然正确吗？师生活动：学生通过独立思考，用a ，b 表示c 的面积．如图17.1-7，用“割”的方法可得c 2＝21ab ×4＋(a －b )2；如图17.1-8用“补”的方法可得c 2＝(b ＋a )2－21ab ×4．经过整理都可以得到a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论．问题 6 历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究．下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理．师生活动：教师展示图17.1-9，并介绍：这个图案是公元3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(黄实)．我们刚才用割的方法来证明就是使用的就是这个图形．教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究．设计意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生形象思维；使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感,通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习的自信心．图17.1-6 图17.1-8 图17.1-7 图17.1-93．初步应用，巩固新知练习1求图17.1-10至图17.1-12中字母所代表的正方形的面积．图17.1-10 图17.1-11 图17.1-12设计意图：学生应掌握三个正方形的面积关系，以及能将正方形的面积关系与直角三角形三边之间的关系进行联系．练习2 如图11.7-13，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．设计意图：本题是课本第24页练习第2题，进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系．通过几何画板演示多层分形结构，感受数学美．练习3 求出下列直角三角形中未知边的长度．设计意图：在直角三角形中，已知其中两边，求第三边，应用勾股定理求解．也可建立方程解决问题，渗透方程思想.练习4 如图17.1-14，小明妈妈买了一部29英寸(74 cm)的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕的长和宽分别只有58 cm，46 cm，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？设计意图：通过实际生活的应用，感受数学来源于生活，服务于生活．58厘米46厘米74厘米图17.1-14图17.1-134．课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)勾股定理的内容是什么？它什么作用？(2)在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样的探究过程？设计意图：让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国数学文化及数学美，感悟数形结合的数学思想，引发学生更深层次的思考，促进学生数学思维品质的提高．5．布置作业(1)整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；(2)通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法．六、目标检测设计1．下列说法正确的是( )．A ．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，∠A ＝90°，则a 2＋b 2＝c 2D ．若a ，b ，c 是Rt △ABC 的三边，∠C ＝90°，则a 2＋b 2＝c 2设计意图：考查学生能否清晰的辨别勾股定理的表述方式．2．若一个直角三角形的三边为6，8，x ，则x ＝__________．设计意图：考查学生运用勾股定理的能力，本题考查了分类讨论的数学思想.3．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D 处．已知楼顶D 处离地面的距离DA 为8 m ，云梯的长度为9 m ，为保证安全，梯子的底部与墙基的距离AB 至少为3 m ．云梯的顶部能到达D 处吗？为什么？设计意图：考查勾股定理在实际生活中的应用．参考答案：1．D ；2．10或27；3．DB ＝223 ＋ 8＝73＜9，云梯顶部能到达D 处．。
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
17.1勾股定理(第1课时)课件
( A)
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120 B
议一议：
24m 9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
AC=__1_5_______
10 6
x
X=_____8_____
x 102 62 64 8
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
长度) 长度) 位长度)
9
9 18
图2-2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
4
4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究：如图，每个小方格的面积为1个单位， 你能写出正方形A、Ｂ、Ｃ的面积吗？
A的 B的
B
面积 面积
A C
图2
(单位长度) (单位长度)
对比观察，你能验证勾股定理 的正确性吗？
b
a
a
c
cb
a a
b ca
bc
c
a
bc
b
a
b
a
b
新人教版数学初中八年级下册17.1《勾股定理》(1)公开课优质课教学设计
《勾股定理》第一课时◆教材分析本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用。
通过探索三角形的三边关系，得到勾股定理，同时还介绍了一种直角三角形的判定方法，最后介绍了勾股定理的应用。
本章知识是为后续学习解直角三角形做铺垫。
勾股定理是几何中的几个重要定理之一，它揭示了直角三角形中的三边的数量关系，可以用来解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的重要根据之一，不仅在数学的发展中起到重要作用，而且在数学及其它自然科学中都有广泛的应用。
◆教学目标【知识与能力目标】1.观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积的关系，发现勾股定理的结论.2.能证明勾股定理．3.应用勾股定理解决简单的问题．【过程与方法】在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动；同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展同学们数与形结合的数学思想．【情感态度与价值观】在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流良好学习的习惯．了解数学史，激发学生热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感．◆教学重难点【教学重点】探索并证明勾股定理．【教学难点】勾股定理的探索和证明.◆课前准备教学PPT◆ 课时安排1课时教学过程 （一）情景引入北京召开的第24（图1）这就是著名的“赵爽弦图” ，“赵爽弦图”既标志着中国古代数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎着来自世界各地的数学家们。
（二）探究新知活动一： (1)相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
若用正方形的边长即等腰三角形的边来表示以上面积,你能发现等腰直角三角形三边之间有什么关系?（2）等腰直角三角形是特殊的三角形,一般的三角形是否也有这样的特点?观察图1三个正方形之间围成了一个什么样的三角形? 你能计算出图中C B A 、、的面积吗？ 如何计算C 的面积？图1图2 图3请将结果填入下表，你能发现正方形A 、B 、C 的面积关系吗？ 即C B A S S S =+，即直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积若直角三角形的直角边长为b a 、，斜边c 你能表示正方形的面积吗？ 符号表示：在Rt △ABC 中，若a BC =，b AC =，c AB =.则222c b a =+. 公式变形：222b c a -=， 222a cb -= ●活动二 集思广益，证明勾股定理 如图4，用“补”的方法，可得()______422⨯-=c ，化简整理得222c b a =+.如图5，用“割”的方法，可得()______422⨯+=c ，化简整理得222c b a =+.（三）尝试应用例1.在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是c b a 、、.（1）若53==b a ，求c ； （2）若178==c a ，，求c ； （四）拓展应用例2 .在Rt △ABC 中，AB=4，AC=6，求BC 的长. （五）总结分享1．勾股定理是什么？ （六）巩固新知1.下列说法正确的是（ ）A.若c b a 、、是△ABC 的三边长，则222c b a =+. B.若c b a 、、是Rt △ABC 的三边长，则222c b a =+. C.若cb a 、、是Rt △ABC 的三边长，∠A=90o，则222c b a =+.D.若c b a 、、是Rt △ABC 的三边长，∠C=90o，则222c b a =+. 2.在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是c b a 、、.（1）若86==b a ，，则c =_________ ； （2）若159==c a ，，则b =_________.3.在Rt △ABC 中，∠B=90o，AB=5，AC=10，则BC=_________. 4.直角三角形的两边分别为3、4，则第三边的长为_________.5.已知∠C=90°， CD ⊥AB ，BC=8，AC=6 求斜边上的高。
17.1.1 勾股定理(1) 公开课获奖课件
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么a2＋b2＝c2.
(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般 的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之 多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示． ②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你 能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证 法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边 有关，我国把它称为勾股定理．
拼图实验，探求新知 1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生 观察思考． 2．组织学生小组合作学习． 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法． 引导学生用拼图法初步体验结论． 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面 积和． 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明． 归纳验证，得出定理
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
人教版八下17.1.1勾股定理(第一课时公开课课件)
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么
a2 b2 c2.
1.成立条件： 在直角三角形中；
2.公式变形: a2 c2 b2 , b2 c2 a2;
b
c
3.作用：已知直角三角形任意两边长， a
求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
1. 已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=2， c=5，求b.
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A a
SA+SB=SC
Bb c
C
a2+b2=c2
命题（猜想）：
直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
弦
c
股
b
a2+b2=c2
┏
勾a
四、勾股定理的证明
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？
看
发们映友 现，直家
一
什我角作 相 么们三客 传
看
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a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
(4)
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾
aB
c
a 朱实
b c
C
b
A
朱实
股之差自相乘为中
朱实
黄实。加差实，亦
成弦实。
朱实
1 C2=2 ×(2× 2来自ab）+(a-b)2
= a2+b2
“赵爽弦图’表现了 我国古代人对数学的钻研 精神和聪明才智，它是我 国古代数学的骄傲，因此， 这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大 会的会徽。取材于我国古 代数学著作《勾股圆方图》
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
等腰直角三角形三边有什么关 系？
两直角边的平方和等于斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ 探究：你会求出下列图形的面积吗？
C A
C A
B B
图1—1
图1—2
图1-1 图1-2
A、B、C面积关系
A的面积 （单位面积）
9
B的面积 （单位面积）
A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A2
B1
C2 D 3 C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B ）A 2 5 ㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5 ㎝
2
2
学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面积。
A
81
144
B
∟
400 625
80
A
24
B
46厘米 58厘米
想一想：
小明妈妈买了一部29 英寸（74厘米）的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？
同学们，在我们美丽的地球王国
上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
勾股树
活动2、 探索勾股定理
数学家毕达哥拉斯的故事
一 填空题：
1、在RT△ABC中∠C=90°, ⑴若a=4,b=3,则c=___5_ ⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_ ⑶ 若 c=17,a=8,则b=_1_5__
2、 在Rt△ABC∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,则 AC= 8 ,BC= 6
3、等边三角形的边长为12，则它的高为______
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现 的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。
证 法a 二
b
b
a
b
c c
(a+b)2 =c2 4 1 ab
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
c
a 可得: a2 + b2 = c2
a
b
大正方形的面积该怎样表示?
证 法 3：毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
弦 勾
勾股
股
勾股定理的各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
★ 公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》） 中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理
c c 2 a2 b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角
分别为a，b， 斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方
吗？拼一拼试试看
b
C
(1)
a
c
c
证
法
(a-b)2 (3)
一
(2)
(2)
c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4×12 ab
4、等腰直角△ABC中,斜边长为2,则直角边长为
5、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另 一边为___5_或_____
二 选择题：
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1，3 B 1 ，3 C 1，5 D 1 ,5
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,
16
16
36
sA+sB=sC
C的面积 （单位面积）
25 52
Aa
C c b B
SA=a2 SB=b2 SC=c2
c2=a2+b2
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
17.1勾股定理（1）
勾股定理 外星人
勾股定理有着悠久的 历史，几乎所有具有古代 文化的民族和国家都对勾 股定理有所了解，它来源 于人们生产实践之中，对 人类发展起着十分重要的 作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定 会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。
★ 《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次 提到勾股定理。——陈子定理 ★ 公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名 为“毕达哥拉斯定理” （百牛定理），而且给出了证明。
★ 古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密 斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则 A ａ2 +b2 =c2
常用的勾股数：3，4，5； 6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”， 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
b2
a2 + b2 = c2
证 法 4：加菲尔德的“总统”证法
∟
∟
b ac
c b
a
1 2
(a
+
b)(b
+
a)
=
1 2
c2 + 2(
1 2
ab )
1 a2
2
+
ab
+
1 2
b2
=
1 2
c2
+ ab
a2 + b2 = c2
你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你 再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮 了。