12.平面几何的最值问题(教师版)

较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．
解： ⑴ l12 25 2 ， l22 ＝49，l1＜l2，故要选择路线 l 较短．
⑵ l12 h2 r 2 ， l22 h 2r 2 ， l12 l22 r 2 4 r 4h ．
当
r＝
4h 2
4
时， l12
l22
，
当
r＞
4h 2
y＝－ 1 （x－2）2＋1（0＜x＜4）. 4
当 x＝2 时, y 最大值＝1cm.
（2）由 1 ＝－ 1 （x－2）2＋1， 44
得 x＝（2＋ 3 ）cm 或（2－ 3 ）cm.
8. 当过 A，B 两点的圆与 x 轴正半轴相切时，切点 C 为所求. 作 O′D⊥A B 于 D.，
O′D 2＝ O′B 2－B D 2＝ (a b)2 － (a b)2 ＝ab，O′D＝ ab
GF∥AB，则梯形 DEFG 面积的最大可能值为
．
（上海市竞赛试题）
5. 已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A，B 分别在平面直角坐标系的 x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点
C 在第一象限，连结 OC，则 OC 的最大值是
．
（潍坊市中考试题）
6．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+ PD 取
所以，应选择路线 2． (1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1 分米，高 AB 为 5 分米”继续 按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线 1：l12=AC2=
；
路线 2：l22=（AB+BC）2=
．∵ l12
l22，∴l1
l2 （ 填“＞”或“＜”），所以应
S＝－2
y
5 2
2
25 2
，
因 3≤y≤4，而 y＝ 5 不在自变量 y 的取值范围内， 2
所以 y＝ 5 不是极值点， 2
当 y＝3 时，S(3)＝12，当 y＝4 时，S(4)＝8，故 Smax＝12．
此时，钢板的最大利用率
42
12 1
2
1
＝80%．
2
例 6 如图，在四边形 ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，
①求 y 关于 x 的函数关系式；
②当 x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时 y 的值．
（南通市中考试题）
第 9 题图
第 10 题图
第 11 题图
第 12 题图
11．如图，已知直线 l ： y kx 2 4k ( k 为实数)．
(1) 求证：不论 k 为任何实数，直线 l 都过定点 M，并求点 M 的坐标； (2) 若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）
选择路线
（填“1”或“2”）较短．
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r，高为 h 时，应如何选择上面的两条路线
才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短． （衢州市中考试题）
解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比
∴y 的最小值为 4.
课后练习
1．已知凸四边形 ABCD 中，AB+AC+CD= 16，且 S 四边彤 ABCD=32，那么当 AC=
四边形 ABCD 面积最大，最大值是
．
，BD=
时，
（“华杯赛”试题）
2．如图，已知△ABC 的内切圆半径为 r，∠A=60°，BC=2 3 ，则 r 的取值范围是
．
（江苏省竞赛试题）
(1) 求点 P 在 BC 上运动的过程中 y 的最大值；
(2) 当 y= 1 cm 时，求 x 的值． 4
（河南省中考试题）
8．如图，y 轴正半轴上有两点 A(0，a)，B(0，b)，其中 a>b>0．在 x 轴上取一点 C，使∠ACB 最大，求 C
点坐标．
（河北省竞赛试题）
9．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 M，N 分别在 BC，CD 上，使得△CMN 的周长为 2．求：
BC，AD 的延长线交于 P，求 AB·S△PAB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）
解题思路：设 PD=x(x>1)， 根据勾股定理求出 PC，证 Rt△PCD∽Rt△PAB，
得到 AB PA ，求出 AB， CD PC
根据三角形的面积公式求出 y=AB·S△PAB， 整理后得到 y≥4，即可求出答案．
AB
BA
CA
SADG SABC
＝x2， SBDE SABC
＝（1－x）2＝ SCFG SABC
，S
梯形
DEFG＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－
2 3
）2＋
1 3
.
5. 3 1 a 2
提示：当 OA＝OB 时，OC 的长最大.
6. C
7. （1）由 Rt△ABP∽Rt△PCQ，得 BP ＝ AB ，即 x ＝ 4 ， CQ CP y 4 x
解： 如图，B′M＋MN 的最小值为点 B′到 AB 的距离 B′F，
BE＝ AB BC 4 5 cm，BB′＝ 8 5 cm， AC
AE＝
AB2 BE 2
202
4
5
2
8
5 cm．
在△ABB′中，由 1 BB′•AE＝ 1 AB•B′F，得 B′F＝16cm．
2
2
故 BM＋MN 的最小值为 16cm．
例 3 如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b( a b )，P 为 AB 边上的一动点，
直线 DP 交 CB 的延长线于 Q．求 AP+BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）
解题思路：设 AP= x ，把 AP，BQ 分别用 x 的代数式表示，
运用不等式以 a2 b2 2ab 或 a+b≥2 ab （当且仅当 a=b 时取等号）
解： 设 PD＝x(x＞1)，则 PC＝ x2 1 ，
由 Rt△PCD∽△PAB，得 AB＝ CD PA x 1 ，
PC
x2 1
令
y＝AB•S△PAB，则
y＝
1 2
AB×PA×AB＝
x 12 2x 1
，求
y
的最小值，
有下列不同思路：①配方：y＝
x
1 2
x
2 1
2
x 1 2
x
2 1
2
4
4
时， l12
l22
，
当
r＜
4h 2
4
时，
l12
l22
．
例 5 如图，已知边长为 4 的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中 AF=2，BF=1．为了 合理利用这块钢板，将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP，使点 P 在 AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．
（中学生数学智能通讯赛试题）
，
∴当 x 1 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4．
2
x 1
②运用基本不等式：y＝ x 1 2 2 2 2 x 1
x 1 2 ＋2＝4， 2 x 1
∴当 x 1 ＝ 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4. 2 x 1
③借用判别式，去分母，得 x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，
由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得 y≥4，
课后练习参考答案
1. 8 8 2 32
提示：当∠CAB＝∠ACD＝90°时，四边形 ABCD 的面积达到最大值.
2. 0＜r≤1
提示：设 BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝2 3 （r＋1），
又
1 2
bcsin60°＝S△ABC＝
1 2
（a＋b＋c）r，
即 1 bc· 3 ＝ 1 ［2 3 ＋2 3 （r＋1）］r，即 bc＝4r（r＋2）. 2 22
最小值时，△APD 中边 AP 上的高为(
)
（鄂州市中考试题）
A． 2 17 17
B． 4 17 17
C． 8 17 17
D．3
第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图
7．如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 P 是 BC 边上不与点 B，C 重合的任意一点，连结 AP，过点 P
作 PQ⊥AP 交 DC 于点 Q．设 BP 的长为 xcm，CQ 的长为 ycm．
提示：当 CM⊥AB 时，CM 值最小，CM＝ AC BC 12 AB 5
例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=10cm．
若在 AC，AB 上各取一点 M，N，使 BM+MN 的值最小， 求这个最小值．（北京市竞赛试题）
解题思路：作点 B 关于 AC 的对称点 B′， 连结 B′M，B′A， 则 BM= B′M，从而 BM+MN= B′M+MN． 要使 BM+MN 的值最小， 只需使 B′M 十 MN 的值最小， 当 B′，M，N 三点共线， 且 B′N⊥AB 时，B′M+MN 的值最小．
12.平面几何的最值问题
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、 图形面积）等的最大值或最小值．
求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下 的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理． 3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．
来求最小值．
解： 由△APD∽△BPQ，得 AP AD ，即 BQ＝ AD BP b a x ，
BP BQ
AP
x
∴AP＋BQ＝x＋ ab b ． x
∵x＋ ab ≥ 2 x ab 2 ab ，
x
x
∴当且仅当 x＝ ab 即 x＝ ab 时，上式等号成立． x
故当 AP＝ ab 时，AP＋BQ 最小，其最小值为 2 ab －b．
b，c 为方程 x2－2 3 （r＋1）x＋4r（r＋2）＝0 的两个根，由△≥0，得（r＋1）≤22.
因 r＞0，r＋1＞0，故 r＋1≤2，即 0＜r≤1.
3. 4 2 － 3 提示：过 P 作垂直于 OP 的弦 AB，此时弓形面积最小. 9
4.
1 3
提示：设 AD ＝x，则 BD ＝1－x＝ CG ，
例 4 阅读下列材料：问题 如图 1，一圆柱的底面半径为 5dm，高 AB 为 5dm，BC 是底面直径，求一只蚂 蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到 C 点的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线 1：侧面展开图中的线段 AC．如图 2 所示． 设路线 l 的长度为 l1，则 l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线 2：高线 AB 十底面直径 BC．如图 1 所示． 设路线 l 的长度为 l2，则 l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225． ∵l12 – l22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l12 ＞l22 ，∴ l1＞l2 ．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点 F 在边 AB 上，点 G，H 在边 BC 上，四边形 EFGH
是一个边长为 y 的正方形，且 AE=AC．
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式；
百度文库
(2) 当 x 为何值时，y 取得最大值？求出 y 的最大值．
（上海市竞赛试题）
例 1 在 Rt△ABC 中，CB=3，CA=4，M 为斜边 AB 上一动点．
过点 M 作 MD⊥AC 于点 D，过 M 作 ME⊥CB 于点 E，
则线段 DE 的最小值为
．（四川省竞赛试题）
解题思路：四边形 CDME 为矩形，
连结 CM，则 DE= CM，将问题转化为求 CM 的最小值．
解： 12 5
解题思路：设 DN=x，PN=y，则 S= xy ．建立矩形 MDNP 的面积 S 与 x 的函数关 系式，利用二次函数性质求 S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．
解： 设 DN＝x，PN＝y，则 S＝xy，
由△APQ∽△ABF，得
2
4
4
y
x
1 2
即
x＝10－2y，
代入
S＝xy
得
S＝xy＝y(10－2y)，即
(1) ∠MAN 的大小；
(2) △MAN 的面积的最小值．
（“宇振杯”上海市竞赛试题）
10，如图，四边形 ABCD 中，AD= CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点 D 作 DE⊥AC 于 F，DE 与 AB 相交于
点 E．
(1) 求证：AB·AF=CB·CD；
(2)已知 AB=15cm，BC=9cm，P 是射线 DE 上的动点，设 DP=xcm(x>0)，四边形 BCDP 的面积为 ycm2．
第 2 题图
第 3 题图
第 4 题图
第 5 题图
3．如图⊙O 的半径为 2，⊙O 内的一点 P 到圆心的距离为 1，过点 P 的弦与劣弧A⌒B组成一个弓形，则此
弓形面积的最小值为
．
4. 如图，△ABC 的面积为 1，点 D，G，E 和 F 分别在边 AB，AC，BC 上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，