广东省东莞市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题含答案

2018—2019学年度第一学期教学质量自查试卷

高一数学参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．2； 14 15．5 16．36π 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分=70分） 17.解：

因为,0

()x x f x x >⎧==⎨ ………………1分

…………………………………3分

（2）()y f x =为偶函数。下证：任意x R ∈，有()()f x x x f x -=-== 所以()y f x =为偶函数 …………………………………6分

（()y f x =在()∞-,0单调递减，在(+)∞0,

单调递增。下证：任意120x x <<， 120x x -<，121212()()()0f x f x x x x x -=---=-->，所以12()()f x f x >，

故()y f x =在()∞-,0单调递减，同理()y f x =，在(+)∞0,单调递增）（也给3分）

（3）当122y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 有44x y =-⎧⎨=⎩ 又当1

22y x y x =⎧⎪

⎨=-+⎪⎩有4

3

43

x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

…………8分 ()()f x g x ∴<的解集为4

(4,)3

- ………………………………10分

18. 解：（1）

311

312

BC k -=

=+ …………………………………2分 ∴直线BC 的方程为;11(1)2

y x -=+ …………………………………3分

即230x y -+= …………………………………4分 (2)把(1,1)B -代入50x y n ++= 即4n =- …………………………………5分 所以中线l 的方程为540x y +-= …………………………………6分

AC 的中线坐标为33(,

)22m

+ …………………………………7分 3354022

m +∴+-= 即2m =- …………………………………8分

(0,2)

A

∴-所以点A到直线BC

的距离d==……………9分

BC==…………………10分

1

7

2

ABC

S

∆

∴==…………………………………12分19.解.（1）()01

f=，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量保持原样 .…………2分（2）()

f x应满足：()()1

01,1

2

f f

==，且()

f x在定义域[)

0, +∞上单调递减，()

f x的值域为(]

0, 1，其大致图像为：…………………………………………5分

………………………………7分

（3）对于方案一，用a单位的水清洗一次，残留的农药量为

12

1

1

f

a

=

+

. …………8分

对于方案二：清洗两次后，残留的农药量为

()

2222

2

1116

4

11

22

f

a a a

=⋅=

⎛⎫⎛⎫+

++

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

. ………9分

因为

()

()

()()

22

1222

2222

8

116

1414

a a

f f

a a a a

-

-=-=

++++

，……………………………10分

故，当0a

<<

12

f f

<，方案一蔬菜上残留的农药量比较少；

当a=时，

12

f f

=，两种方案蔬菜上残留的农药量一样；

当a >时，12f f >，方案二蔬菜上残留的农药量比较少. ………………………12分

20.证明：（1）

底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥ ……………………1分

PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥ ……………………2分

,BD PD 是平面PBD 内的两条相交直线 ……………………3分

∴AC ⊥平面PBD 又

PB ⊂平面PBD ……………………4分

∴AC PB ⊥ ……………………5分

（2）

底面ABCD 为菱形，∴1==CD AD ，又

0120=∠ADC ， ∴AC =

PD ⊥平面ABCD ，∴PA PC ==……………………6分

设点D 到平面PAC 的距离为h ，且PD ⊥平面ABCD ， (等体积法) ∴P ADC D PAC V V --= ，即1

1

33

ADC PAC S PD S h ∆∆⋅=

⋅ …………………8分

PAC ∆为等边三角形，∴13==

224

PAC S ∆

∴11=22ADC S ∆….………………10分

∴h =

，即点D 到平面PAC . …………………12分

（2）另解：连接BD 与AC 交于点O ，连PO ，过D 作DF PO ⊥

底面ABCD 为菱形，∴1==CD AD ，又

0120=∠ADC ， ∴AC =

PD ⊥平面ABCD ，∴PA PC ==1

2DO =

，3

2

PO = ……………6分 由（1）可知AC ⊥平面PBD ，DF ⊂平面PBD ∴AC DF ⊥ ……7分

,AC PO 是平面PAC 内的两条相交直线 …………………8分

∴DF ⊥平面PAC ∴点D 到平面PAC 的距离为DF …………………9分

(等面积法)

PDO ∆中，11

==22

PDO S PD DO PO DF ∆⨯⨯⨯⨯…………………10分

∴DF =

,即点D 到平面PAC 的距离为3

…………………12分21．解：（1） 二次函数12

)(2

+-

+-=a

ax x x f 为偶函数， ∴对称轴02

==

a

x ，得0=a ………………………………3分