拆项法与数列级数积分

拆项法与数列、级数、积分

第一部分 数列

在进行数列求和时，同学们都希望将n 项变成1项,然而解决一类通项为分式的数列求和问题时，我们要往往将数列的每一项拆为两项，表面上看来是变得更麻烦了，最后求和的时候却能够得到非常简单的结果。 想了解其中的奥秘吗？请跟我学！

总体思路 先看一个现象：11112122==-∙，111162323

==-∙ 简单的一项被拆分为两项，有什么意义呢？这就是常用得拆项法.

1126+＝？这个很好算，直接通分很容易就可得＝23，1111261220

+++＝？ 费一番功夫通分运算得45

，观察得 1111111126122012233445

+++=+++∙∙∙∙ 如果将每一项都拆开的话11111111(1)122334455=-+-+-+-=- 前后项相消得解45

。 由上启发得111(1)1n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，那么1111()()n a n b b a n a n b ⎛⎫=- ⎪++-++⎝⎭， 数列1()()n a n b ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭

的求和问题则变得相当简单，那么如果通项分母中含有3个因子呢？如1()()()n a n a n b n c =

+++同样拆一为二111()()()()

n a c a n a n b n b n c ⎡⎤=-⎢⎥-++++⎣⎦这样数列1()()()n a n b n c ⎧⎫⎨⎬+++⎩⎭的求和就变为数列1()()n a n b ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭和数列1()()n b n c ⎧⎫⎨⎬++

⎩⎭的求和问题，依次类推分母中含有多个因子，最后都能转变为1()()n a n b ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭

类型的数列求和，这类题得解题步骤为： 第一步：求出或观察该数列的通项公式； 第二步：以“拆一为二”为原则，将数列的通项公式转化成1()()n a n b ++形式； 第三步：以“拆一为二”为原则，对1()()n a n b ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭

类型的数列求和进而得解。 下面我们来体验一下该方法的使用。

体验 求和2222132435(2)

n n ++++∙∙∙∙+ 体验思路：首先易观察该数列的通项公式 2(2)n a n n =+ 第二步可直接对通项公式进行拆分，求n 项和

体验过程：第一步：数列的通项公式为2(2)

n a n n =+ 第二步211()(2)2k a k k k k ==-++ 令k=1，2，3，… n 2222132435(2)n n ++++∙∙∙∙+ 1111111(1)()()()324352

n n =-+-+-++-+

111111111(1)()2343412

n n n n =+

++++-+++++++ 1111212n n =+--++311212

n n =--++ 小结： 通过这个题目，同学关键要记住裂项求和的具体思考过程，这样才能够举一反三，

不论题目换成什么花样，你也可以从容应对。再简要重复一下要点：

⑴首先求出或观察出数列的通项

⑵若通项不为1()()n a n b ++形式则通过拆分法将通项化为1()()n a n b ++形； ⑶以“拆一为二”为中心将

1()()n a n b ++拆分求解。 相信同学们已经明白了拆分思想，下面我们通过几道题来实践。

实践1

求数列 1，

112+，1123++,1,123n ++++的前n 项和

实践2

已知数列[a n ]的前n 项和为S n =n 2

+n ，求和：

实践3 求数列1111,,,,62460(1)(2)

n n n ++的前n 项和 实践题答案

实践1

指点迷津：表面上看不出来数列的通项，我们首先求出数列的通项；将数列的通项化为

1()()

n a n b ++形式，则直接运用拆分法求解； 实践略解：求出数列通项1

21234(1)

n a n n n ==++++++

拆分得

11111112(1)2()2()2()22334

1n S n n =-+-+-++-+ ＝11111112(1)22334

1n n -+-+-++-+ ＝12(1)1n -

+=21n n + 实践2 指点迷津：首先求出数列{}n a 的通项公式，从而得到所求数列的通项公式，最后利用拆分

裂项法求解

实践略解：求得数列{}n a 的通项公式得a n =2n,然后得到该数列设为{}n b

{}n b 的通项公式为4(1)n b n n =

+ 那么4114()(1)1

k b k k k k ==-++1,2,3,,k n =Λ 11111114(1)4()4()4()22334

1n S n n =-+-+-++-+41n n =+ 实践3

指点迷津：观察该数列的通项公式，分母里含有3个因子，将其先拆为两项1()()

n a n b ++ 类

型，而后分别求两个

1()()

n a n b ++类型的数列的和，那原数列的和自然也就得解。

实践略解： 1111(1)(2)2(1)(1)(2)k a k k k k k k k ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦ 111111112()()2112221k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫=---=+- ⎪⎢⎥+++++⎣⎦⎝⎭

0,1,2,3,,k n =Λ 11111()2122n S n n ⎡⎤=

---⎢⎥++⎣⎦11142(1)2(2)n n =-+++ 怎么样？这种题是不是很简单啊？

第二部分 级数

11111lim lim(1)1(1)(1)

1n n n n k n n k k n ∞

→∞→∞====-=+++∑∑ （1） 11113lim (2)(2)

4n n n k n n k k ∞→∞====++∑∑ （2） 111111111[][][(1)]()(1)n n k k a k d a kd d a k d a kd d a a nd ===-=-+-++-++∑∑

111[(1)]()k a k d a kd ad ∞

==+-+∑ （3） 111(1)(2)4

n n n n ∞==++∑ （4） 第三部分 积分 1、111()(1)1dx dx x x x x =-++⎰

⎰=11ln ln 11dx dx x x c x x -=-+++⎰⎰=ln 1x c x ++ 2、11ln ()()x b dx c x a x b a b x a

+=+++-+⎰ 3、2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+⎰