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概率公式总结

概率公式总结一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X ^b) =F(b) P(a X 岂b) =F (b) _F (a)2、散型随机变量3、续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i.=P(X =X i) =' P(X =X i,Y =y j) =' P ijP j=P (丫二y j) P(X 二X j,丫二y j)pjjjjj2、离散型二维随机变量条件分布3、连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F(X,y)「二f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： Fx (x) = ： _ f (u, v)dvdu 密度函数：fx(x)二 _ f(x,v)dvP i j =P(X =X j Y =y j )P(Y =y j ) P jP ji =P (Y =yj X -xi)=P(X二X i,Y=yj )二,j =1,2…y-beF Y(y)二f (u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)八X k Pk连续型随机变量：E(X)= xf(x)dxk J_2、数学期望的性质 (1) E(C)二C,C 为常数 E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X Y)=E(X) E(Y) E(aX b) =aE(X) b E(C 1X^ C n X n ^C 1E(X 1^C n E(X n )⑶若XY 相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) ⑷ [E(XY)]2_E 2(X)E 2(Y)3、方差： D(X) =E(X 2) _E 2(X)4、方差的性质 (1) D(C) =0D[D(X)]=0D(aX _b) =a 2D(X)D(X) ：：： E(X -C)2⑵ D(X Y) =D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 若XY 相互独立则： D(X土Y) =D(X)+D(Y)5、协方差： Cov(X,Y) =E(X,Y) -E(X)E(Y) 若XY 相互独立则： Cov(X,Y) =06、相关系数：P XY =P(X,Y)= Cov(X ,Y)若XY 相互独立则：臥=0即r'D(XHD(Y)XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 ⑴ Cov(X,X) =D(X) C o(X,Y) =C o(¥,X) (2) Cov(X1+X2,Y)=C OV (X 1,Y)+C OV (X 2,Y)Cov(aX+c,bY+d) =a b C(X,Y)f Y (y)二'f (u, y)dufYx(yx)_ f(x,y)"f x (x) ，-:::::y ::::fx Y (xy )_f(x,y)"f Y (y)-：::::x :::.&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X)i,D(X)z 2,对于任意 0 有 P{X —E(X)亠豎或 P{X —E(X)「}—晔)2、大数定律：若"X n相互独立且 …:时，十\D/E(X i )⑴若X<X n相互独立， E(XJ =\D(X i) Yi2且；「2_M 贝Vn n1 .P 1.一 Xi〔(X i), (n )二)n . d n . d3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为「，方差为「20的独立同分布时，当n 充分大时有：(2)拉普拉斯定理：随机变量叫(n=1,2…)~B(n,p)则对任意 X 有:np X 1lim P{ t nEx} = J -?=e 2dt =Q(x)x r '、，np(1 - p)2二⑵若X i X n相互独立同分布，且E(XJ则当 n T 时：-Z Xi —N 卩n imYn二kW、N(0,1)ny X k -n 」_a —nk4b -n - b —n- a —n -P(a_'X k_b)=P()■："「( )-：•：」( )k」•. n；「，n 匚、n 匚；nn； n ；「六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数F(x)样本(X 1,X‘ X n )的联合分布为 F(X 1,X2…X n) =£F(X k)2、统计量 (1)样本平均值：X.s nXi(2)样本方差:i二⑹次序统计量：设样本(X 1,X 2 X n)的观察值(X 1,X 2 X n)，将x 1,x^ xn按照由小到大的次序重新排列，得到X (1)沁)J £X (n)，记取值为X (0的样本分量为X(i)，则称X (1)乞X (2)「亠)为样本(X 1,X 2 X n)的次序统计量。

概率公式大全

第一章随机事件和概率第二章随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第七章参数估计单正态总体均值和方差的假设检验公式整理1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i in i iA A 11=== ni in i iA A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(222221212121)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率统计公式大全

（15）全概率公式
设事件 B1, B2, , Bn 满足
1° B1, B2, , Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, , n) ，
2° 则有
n
A Bi
i 1
，
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
2°
,
x2
x 3° P( 1
X

x2)

f (x)dx
,
x1
4° 若f (x)在点x处连续，则有 F ' (x) f (x) 。
（3）离散与连续型随机变量的关系
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P( X k) p k q1k ， k 0.1，这就是 0-1 分布，
所以 0-1 分布是二项分布的特例。
设随机变量 X 的分布律为
泊松分布
即 P( )
P( X k) k e ， 0 ， k = 0,1,2…， k!
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。分布
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]的概率。

成功率的计算方法

成功率的计算方法以成功率的计算方法为标题，写一篇文章。

成功率是衡量一个事件或行动成功的概率或比例。

在不同领域和不同情境下，成功率的计算方法也各不相同。

本文将介绍几种常见的成功率计算方法，并对其应用进行说明。

一、成功率的计算方法1. 百分比法：成功率可以用百分比表示，计算公式为：成功次数/ 总次数× 100%。

这是最常见的计算方法，适用于大多数情况。

2. 概率法：成功率也可以用概率表示，计算公式为：成功次数/ 总次数。

这种计算方法更直观，能够直接反映成功的概率。

3. 加权平均法：在一些需要考虑不同事件权重的情况下，可以使用加权平均法计算成功率。

具体计算方法是将每个事件的成功率与其对应的权重相乘，然后求和。

这种方法适用于需要考虑不同事件重要性的情况。

二、成功率的应用1. 投资领域：在投资领域，成功率是一个重要的指标。

投资者可以通过计算自己的投资成功率来评估自己的投资能力。

如果一个投资者的成功率较高，说明他的投资决策相对准确，具备较强的投资能力。

2. 销售领域：在销售领域，成功率可以用来评估销售人员的业绩。

通过计算每个销售人员的成功率，公司可以了解到不同销售人员的表现，并对其进行奖励或培训。

3. 生产领域：在生产领域，成功率可以用来评估生产线的效率。

通过计算产品的合格率，可以了解到生产线的质量控制情况，并对不合格产品进行改进。

4. 项目管理：在项目管理中，成功率可以用来评估项目的进度和质量。

通过计算项目的成功率，可以及时发现问题并采取相应的措施，确保项目的顺利进行。

三、成功率的局限性成功率作为一个指标，虽然在很多情况下有一定的参考价值，但也存在一些局限性。

成功率只是一个统计数据，不能完全反映一个事件或行动的成功与否。

有时候，即使成功率很高，但仍有可能发生失败。

因此，在使用成功率作为决策依据时，还需要考虑其他因素的影响。

四、总结成功率是衡量一个事件或行动成功的概率或比例的指标。

常见的计算方法有百分比法、概率法和加权平均法。

概率的基本公式

P( A1 )
C51 C425 C530
0.2525
P( A3 )
C53 C530
0.0005
P( A2 )
C52 C415 C530
0.0230
所以
P(A) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) 0.2760
“取出的3个产品全是合格品”这一事件的对立事件
解设A表示“元件a发生故障”，B表示“元件b发生故障”，C表示“电路断路”，则 C AB 由概率的加法公式得 P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB)
0.05 0.06 0.003 0.107
7.2.3 条件概率
一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习
所以 P( A) 3 6
P(B) 2 6
P(C) 5 6
事实上 P(C) P(A B) 5 P(A) P(B) 6
二、概念和公式的引出
互斥事件
在同一次随机试验中，若事件A与B不可能同时发生，则称事件为互斥事件，即
AB
如果一组事件中，任意两个事件都互斥，称为两两互斥．
三、进一步练习练习1 [射击] 甲、乙二人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，求（1）两人都击中目标的概率；（2）恰有1人击中目标的概率．
解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，由射击本身的要求，A发生不会影响B发生的概率， B发生不会影响A发生的概率，即A与B相互独立．
解产品的分配情况见下表．
甲厂乙厂总数
正品 100 65 165
次品 20 15 35
总数 120 80 200
根据古典概率公式，有

概率的计算公式-

B所选人是 .求一下班列的事件
P（A）
P（AB）
P（B）
P（B| A）
条件概率计算公式
当 P(A)0,P(BA)P(AB ) P(A)
当 P(B)0,P(AB)P(AB ) P(B)
Note 条件概率是概率吗？
条件概率满足概率三公理。
2. 乘法公式
P(A)B P(A )P(BA )P(B)P(AB).
§1.3 概率的计算公式
一、加法公式二、条件概率与乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯(Bayes)公式
二．条件概率与乘法公式
1．条件概率
Def 已知事 B出件现的条 A出件现下的
称为条件概率。记作 P(A B).
eg 班级男生女生总数
1班
16
16
32
2班
18
10
28
从这两个班，A 中令选任得选是，
P (Y )P (A 1A 1B 1A 2)P (A 1)P (A 1B 1A 2)
0 .2 P (A 1 ) P (B 1 /A 1 ) P (A 2 /A 1 B 1 )
0 .2 0 .8 0 .7 0 .4 0.424
三．全概率公式
设A1，A2，，An为一互不相容完组备，
eg 4.
在空战 ,甲中机先向乙,击机毁开率火 0.2为 ,
若乙机未 ,就被向击甲毁 ,机击反中0击率 .3,
若甲机又未被击毁就乙向机再次反,击
击毁率为0.4, 求在这3个回合中, 甲机被击毁的概机率被与击乙毁的?概
解令 X 甲被 ,Y击乙毁被 , 击毁
四．贝叶 (Ba斯 ye)公 s 式

概率计算公式

概率计算公式
概率计算公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们计算某些事件发生的概率情况。

概率计算公式可以看作一个表达式，它可以有效地帮助我们得到想要知道的结果。

概率计算公式有一个特点，即可以来表示一些抽象的概念，如它可以把求和的思想映射为数学的形式。

总的来说，概率计算公式是一个很有效的数学工具，它可以帮助我们计算某些事情发生的概率情况，比如条件概率，全概率，贝叶斯概率定理，甚至还可以通过表达式映射到实际生活中去，帮助我们做出更加明智的决定。