几类特殊函数的

1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
N q)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
dt
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
2tan x
1
tan
2
2
x
,
2
2
cos x cos2 x sin2 x ,
2
2
1 tan2 x 1 tan2 x
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,
x2
px q x
p 2
2
q
p2 , 4
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
例7
求积分
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3 ln(1
x
e6
)
3 ln(1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
2tan x 2
sec2 x
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
8.3 几类特殊函数的 不定积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
)du
1 u 1 u2
du
1
1