几类特殊函数的

合集下载

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。

重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -；（2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ；（4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。

的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。

因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。

（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。

（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。

（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。

（4）同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。

记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ，于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1）其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 12)1(112224+++-=+++x x x x x x ．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ．（2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）ax A - ，（2）ka x A )(- （k 是正整数，2≥k ），（3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ），（4）k q px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k +-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(，（3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）．将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2p x u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是du au B pu A dx pq p x BAx dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au Ap B du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222C pq px p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2p x u +=，并记224a p q =-，于是 ⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Audx q px x B Ax k k k )(2)()(22222．其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k k k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)( 122222)(+-++=k k k kI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+．于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u a a u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1．解 ⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u ]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u u C u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ．其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ．（4）即A x C AB xC A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C ABC A ，从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112 C x x x +----=1ln 11ln ．例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22．解因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ，两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22．例4 求⎰+-+dx x x x 6532．解因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是C x x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ．从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232．解 dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114．解 ⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+===, 2222222211tan 12tan 1sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=．又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ．由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11．解设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222 C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ．例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx x x⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx xx x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx x x dx xx ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1．例11 求dx x⎰+2cos 311．解 x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是du a nuu a b u R dx b ax x R n n n1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211．解令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换 u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰．（6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 du u u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222Cu u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222C x xx x x ++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令u x x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=，于是 du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1 C x x C u +-+-=+-=3112323．。

四类具有特殊性质的函数

§1 . 2四类具有特殊性质的函数(一)教学目的:理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质.（二）教学内容：函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法.（三）教学重点：有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数.（四）教学难点：有界函数的概念教学建议：(1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性.（五）教学方法：以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。

（六）计划课时：2课时.（七）教学过程：在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。

其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。

一、有界函数1、定义设函数)(x f 在数集A 有定义。

若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有无界）.列表如下:注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。

2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图：3、举例如下例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有界，如下图所示：说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈∀>=∃x x R x M 与有例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x下图所示：说明：2arctan ,,02ππ<∈∀>=∃x R x M 有，ππ<∈∀>=∃x arc R x M cot ,,0有.例3、数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+2)1(1n 与⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1有界. 说明：有,,01+∈∀>=∃N n M 12)1(1≤-+n; 有,,02+∈∀>=∃N n M 21≤+n n .例4、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 在R 有下界无上界.如图对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 在区间),0(+∞既无上界也无下界.如图说明：1)、0),1,0(,,0>≠>∀∈∀=∃x a a a a R x P 有,即指数函数x a y =在R 有下界2)、q a R x q q xq >∈∃>∀有,,0 3)、同理可证,)1,0(≠>∀a a a , 对数函数x y a l o g =在区间),0(+∞既无上界也无下界.例5、数列{}n 有下界无上界;数列{}n n )1(-既无上界也无下界.说明：1)、,1≤∀a 都是数列{}n 的下界;b n N n b >∈∃>∀+00,,0有,即数列{}n 有下界无上界.2)、⎪⎩⎪⎨⎧-<+-=+-∈∃>=-∈∃>∀+++.)12()12()1(,,22)1(,,0122b k k N k b k k N k b k k 有有.即数列{}n n )1(-既无上界也无下界.二、单调函数1、定义设函数)(x f 在数集A 有定义.若A x x ∈∀21,,且21x x <,有 )()(21x f x f < ))()((21x f x f >,称函数)(x f 在A 严格增加(严格减少).上述不等式若改为)()(21x f x f ≤ ))()((21x f x f ≥,则称函数)(x f 在A 单调增加(单调减少).说明: 1）函数)(x f 在A 严格增加、严格减少与单调增加、单调减少统称为函数)(x f 在A 单调;2）严格增加、严格减少统称为严格单调;3)若A 是区间,则称此区间为函数)(x f 的单调区间.2、举几个单调函数的例子例6. 1) 指数函数x a y =:当1>a 时,在R 严格增加;当 10<<a 时,在R 严格减少,如图2) 对数函数x y a log =:当1>a 时,在区间),0(+∞严格增加; 当 10<<a 时,在),0(+∞严格减少,如图3) 反正切函数x y arctan =在R 严格增加,如图4) 反余切函数x arc y cot =在R 严格减少,如图5) 反正弦函数x y arcsin =的值域限定在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上,称为反正弦函数的主值,则反正弦函数x y arcsin =在区间[]1,1-严格增加,如图6) 反余弦函数x y arccos =的值域限定在闭区间[]π,0上,称为反余弦函数的主值,则反余弦函数x y arccos =在区间[]1,1-严格减少,如图例7. 函数[]x y =与x y sgn =在R 都是单调增加(注意:并不是严格增加),如下图所示:说明: R x x ∈∀21,,且21x x <,有[][]21x x ≤ 与 21sgn sgn x x ≤.例8. 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1,{}!n ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n 都是严格增加;数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1,⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1,{}n -都是严格减少.三、奇函数与偶函数1、定义设函数)(x f 定义在数集A.若A x ∈∀有A x ∈-，且)()(x f x f -=- （)()(x f x f =-），则称函数)(x f 是奇函数（偶函数）.说明：1）奇函数的图像关于原点对称.如果点),(00y x 在奇函数)(x f y =的图像上，即)(00x f y =，故有000)()(y x f x f -=-=-，即),(00y x --也在奇函数)(x f y =的图像上,如下图所示.2）偶函数的图像关于y 轴对称. 如果点),(00y x 在偶函数)(x f y =的图像上，即)(00x f y =，故有000)()(y x f x f ==-，即),(00y x -也在偶函数)(x f y =的图像上,如上图所示.3）讨论奇偶性的前提是定义域关于原点对称.因此,例如函数(),[0,1]f x x x =∈,没有必要讨论它的奇偶性。

初中数学知识点整理：几种特殊的函数

几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k，b的关系：
（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；
（4）b＝0直线过原点；
（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；
2、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上
00a a
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：
c >0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c =0⇔图像过原点；c <0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；
（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；
3、反比例函数：
4、正比例函数与反比例函数的对照表：。

1-2四类具有特殊性质的函数1

余弦曲线
2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-
o
-1
x
y=cosx的图象
例题
例7 1）取整函数 y x 2）符号函数
xR
y sgn x
x (, )
在R都是单调增加
例题
例8 数列的单调性
n 1 1） , n
n! ,
1 2 . n
恒有 f(x1) < f(x2) （或 f(x1) f(x2) ）,则
称函数 f(x)在区间（a,b）内严格单调增(或单调增)；
两个数学符号
任意 Arbitrary

全称量词
存在 Exist

存在量词
（1）对任意的实数 x，都有 x2≥0；（2）存在实数 x，满足 x2-9≥0；（3）至少有一个实数 x，使得 x2－2＝0 成立；
f ( x1 )
o
I
x
一、单调函数
一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线。
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
函数单调的概念
回顾一下函数单调的定义: 定义设函数 f(x)在区间（a,b）上有定义，如果对于区间（a,b）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足（1）当 x1 < x2 时，
练习与作业
• 课本P24：4.1-7，9.1-2
y=1
(0, 1) o
x
o
(1) 定义域: R 性质
x
(2) 值
域: (0, +∞)

几种特殊函数的积分

2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x

几类特殊的函数

单调递增区间为，3 ，值域为 0， .
2
5
，
(3)对于(2)中的函数 f 和函数 g ＝ x 2－ mx ＋4，若对任意 x 1∈
1，3 ，总存在 x 2∈ 1，3 ，使得 g 2 ＝ f 1 成立，求实数 m 的取
值范围.
[解]
由(2)知 f 1 ∈
9
0，
5
时，若存在 x 2∈ 1，3 ，
2，故选项A错误；
当 a ＝－1时， f (－ x )＝
1
−＋

＝ −
1

＝ f ( x )，所以 f ( x )为偶函数，
1
当 x ∈(0，1)时， f ( x )＝－ x ＋，易知函数 f ( x )在区间(0，1]上单调递

1
减，当 x ∈[1，＋∞)时， f ( x )＝ x －，易知函数 f ( x )在区间(1，＋∞)上
2
所以④是正确的.
2
2
1
＋＋＝2 n ， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ；
2
1
＋＋＝2 n ＋1， 2 ＝ 2 + 2 ＝2 n ＋1，
2
方法总结
1.对于函数的新定义试题的求解:(1)根据函数的定义,可通过举出反例,说
明不正确; (2)正确理解函数的定义的内涵,紧紧结合定义进行推理、论
③④
.
⁠
① ＝； ② ＋＝＋；
③ + 1 ＝＋1；④ ＋
1
＋
2
＝ 2 .
对于①中，例如 1.5 × 1.5 ＝ 2.25 ＝2， 1.5 1.5 ＝1×1＝1，所以不
正确；
对于②中，例如 1.5 + 1.5 ＝ 3 ＝3， 1.5 ＋ 1.5 ＝2，所以不正确；

几个特殊函数

n
fn x, y 0
x 0, y 0

fn x, ydxdy 1

则:
lim
n
fn x,
y (x)
fn(x,y)或fn(x)的具体形式多种多样：
高斯函数
x lim Nexp(N 2 x2 ) n
矩形函数
x lim NrectNx n
当然无限窄的脉冲只是一种理想情况,实际的物理状态况是只能无限趋近这种理想情况.
函数的定义2.
如果函数列fn(x)的表达式为:
n
f
n
x

2a

0
xa n
其它
其中n是不为零的正数.当n逐
渐变大时,fn(x)不为零的范围逐渐变小,而在此范围内fn(x)的值变大
. 不论n为何值,图象的总面积均
rect

x

x0
a

rect

y

b
y
0

0
• x0
x
b
• y0
y
a

rect

x
x0 a

rect

y
y0 b

1 0
x x0 1 , y y0 1 a 2b 2 其它
rect xrect y
傅里叶变换中经常用到．对于x0=0，b=1的情况，记作
sinc(x)。
sinc

x
x0 b

sin x
x

课件：几种特殊函数的积分

例6
x8
(
1 x2
dx 1)
1 x2 x2 x8( x2 1)dx
1 x8
1 x6( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2(x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2
1 x2
1dx
1 7x7
1 5x5
1 3x3
1 x
arctan
x
ln sin
x
1 2
1 sin2
x
C
例10
求积分
7 sinx cos x dx. 3sinx 4cos x
解
7sinx cosx 3sinx 4cosx
d
x
(1
3 cos x 3sinx
4sinx 4 cos x
)dx
x ln3sinx 4cosx C
三、简单无理函数的积分
讨论类型
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
5 6 （待定系数法） x2 x3
x
2
x
3 5x
6
dx
5ln x 2 6ln x 3 C
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
(x

几种特殊类型函数地积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1）其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ．（2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）a x A - ，（2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ），（3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ），（4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(，（3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）．将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222．其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+．于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1．解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ．其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ．（4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ，从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ．例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22．解因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ，两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22．例4 求⎰+-+dx x x x 6532．解因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ．从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232．解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114．解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=．又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ．由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11．解设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ．例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1．例11 求dx x ⎰+2cos 311．解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211．解令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰．（6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=，于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。

几种特殊类型函数的积分

2
．
解设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x

几种特殊类型函数的积分

x 2 tan 2
2u 1 u
2 du dx 1 u
2
2
1 u 1 u
2
2
2
2 tan

万能代换
sin x dx. 例7. 求(1) 1 sin x
1 dx. (2) 3 cos x
利用万能公式处理比较复杂，更多地是利用三角恒等式化简被积函数
1 dx. 例8. 求 2 sec x sin x tan x
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2

( m n)
例9. 求
和差化积公式
解:
1 1 ∴原式 = sin 4 x dx sin 2 x d x 2 2 1 1 sin 4 x d(4 x) sin 2 x d(2 x) 4 8
1 sin x cos3x (sin 4 x sin 2 x) 2
解: (1)用赋值法
1 A B C 1 1 1 2 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 ( x 1) 2
右端通分后比较两端分子得
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 令 x=0 得 A=1 令 x=1 得 C=1 令 x=2 得 B=-1
例2. 求解: 原式 1
4 1 2x 1 dx dx 2 5 1 2x 5 1 x 2 d(1 2 x) 1 2 x dx 1 dx 1 x2 1 x2 5 5 5 1 2x 2 2 1 d ( 1 x ) 1 arctan x ln 1 2 x 5 5 5 1 x2

几类特殊函数的积分法

其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地：k 1, 分解后为 xa
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 5
2 k ( x px q ) （2）分母中若有因式，其中 2 p 4q 0 则分解后为
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 9
例4 求不定积分
解Hale Waihona Puke 1 dx . 2 x( x 1)

1 1 1 1 d x dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)

1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
3
难点将有理函数化为部分分式之和.
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 4
2、化有理函数为最简分式之和
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
2
3.3 几类特殊函数的积分法（52） 12
2
2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
2 p 2 a q , 4
Mx N Mt b,
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q )
b Mt dt 2 dt 2 2 n 2 n (t a ) (t a )
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),

函数的特殊性质

函数的特殊性质在自然科学、工程技术，甚至在某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其重要意义远远超出了数学范围。

在数学中函数处于基础的核心地位，是贯穿于中学《代数》的一条主线。

学好函数，对于学习极限、导数及微积分起到了一定的积极作用，本章节来介绍下四类具有特殊性质的函数。

一、有界性① 定义：设函数 f(x) 在数集 A 有定义，若函数值的集合 f（A）= { f(x) ∣ x ∈ A} 有上界（有下界、有界），则称函数 f（x）在A 有上界（有下界、有界），否则称函数 f（x）在 A 无上界（无下界、无界）。

1、函数 f（x）在 A 有上界，存在b ∈ R ，对任意的x ∈ A , 有 f（x）≤ b ；2、函数 f（x）在 A 有下界，存在a ∈ R ，对任意的x ∈ A , 有 f（x）≥ a ；3、函数 f（x）在 A 有界，存在 M > 0 ，对任意的x ∈ A , 有∣ f（x）∣≤ M 。

注：函数f（x）在数集A 有上界（有下界）必有无限多个上界（无限多个下界）。

② 函数 f（x）在区间 [ a , b ] 上有界的几何意义有界函数的图像的几何意义函数 f（x）在区间 [ a , b ] 上的图像位于二直线 y = M 与 y = -M 为边界的带形区域之内。

例题1、正弦函数 y = sin x 与余弦函数 y = cos x 在 R 有界。

证明：存在 M = 1 > 0 , 对任意的x ∈ R , 有∣sin x∣ ≤ 1 ，∣cos x∣ ≤ 1 。

例题2、指数函数 y = a^x ( 0 < a="" ≠="" 1="" )="" 在="" r="">对数函数y = LOGaX ( 0 < a="" ≠="" 1="" )="" 在区间="" （0，+∞）即无上界也无下界="">指数函数y = a^x ( 0 < a="" ≠="" 1="" )="">对数函数的图象二、单调性定义：设函数 f（x）在数集 A 有定义。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
du.
例7
求积分
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
A (3
B A
1, 2B)
3,
A BBiblioteka 5 ,6x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3 ln(1
x
e6
)
3 ln(1
x
e3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
2tan x 2
sec2 x
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
8.3 几类特殊函数的不定积分
一、有理函数的积分
二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
,
x2
px q x
p 2
2
q
p2 , 4
令 x pt
2
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
(
x
Mx 2 px
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
x
解令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
)du
1 u 1 u2
du
1
1
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
难点将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
N q)n
dx
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
b a2 )n
dt
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
2tan x
1
tan
2
2
x
,
2
2
cos x cos2 x sin2 x ,
2
2
1 tan2 x 1 tan2 x
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2