最优控制理论在汽车控制系统中运用

最优控制理论在汽车控制系统中运用董凤鸿1，张皓2（1 北京科技大学2010级信计2班 41040317）（2 北京科技大学2012级信计2班 41064044）摘要：随着人们生活水平的提高，汽车已经开始走进百姓的生活中。

随着人们对汽车消费的增加，越来越多的人开始更多的关注的不仅仅是汽车本身，更多的开始关注汽车的安全性及舒适性。

由此，各大汽车厂商更具消费者的需求开始着重研究带有主动控制能力的汽车控制系统。

本文引入最优控制理论对当今比较流行的汽车悬挂系统、汽车防抱制动系统（简称ABS 系统）和无级变速器控制系统进行优化。

由此达到优化汽车安全性、经济性和舒适性。

关键词：最优控制理论、悬挂系统、防抱制动系统、无级变速器控制系统一、引言汽车防抱制动系统(简称ABS系统) ，实质上是一种制动力的自动调节装置。

这种装置使汽车制动系统的结构发生了质的变化,它不仅能充分发挥制动器的制动性能,提高制动减速度和缩短制动距离,而且能有效地提高汽车制动时的方向稳定性,大大改善汽车的行驶安全性。

悬挂系统是指车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称，悬挂系统直接影响着汽车的安全性、稳定性和舒适性，是汽车的重要组成部分之一。

目前，降低汽车能源消耗和减少废气排放已成为汽车行业最关注的问题，大量试验表明，装有无级变速器(CVT)的汽车比装有传统有级变速器的汽车在改善汽车燃油经济性和排放等方面具有更大的潜力，这是因为CVT连续变化的传动比可以使发动机转速独立于负载和车速的变化，最大限度地发挥发动机的经济性和动力性。

二、正文（一）、汽车防抱制动系统最优控制1、方法介绍最优控制是基于状态空间法的现代控制理论方法。

它可以根据车辆一地面系统的数学模型,用状态空间的概念,在时间域内研究汽车防抱制动系统。

是一种基于模型分析型的控制系统,它根据防抱系统的各项控制要求,按最优化原理求得控制系统的最优控制指标。

我们知道:现代控制理论应用得成功与否,关键在于数学模型是否准确。

为此必须首先研究用状态变量表示的防抱系统的数学模型。

2、模型建立为了便于分析首先作如下假设：(1)车轮承受的载荷为常数;(2)不计迎风阻力和滚动阻力;(3)附着系数Ψ随滑动率变化的规律由图1所示的两条直线所组成 ,其数学表达式为:[ ψ=ψk S T ∙S S <S T ψ=ψn −ψq S T 1−S T −ψn −ψq 1−S T ∙S S <S T ]式中Ψh 一最大附着系数ST 一最大附着系数对应的滑动率Ψg 一车轮完全抱死时(S = l )的附着系数S = 1-RW/V 一滑动率汽车在制动过程中,单个车轮的受力情况如图2所示。

根据理论力学的知识和以上假设，可写出车轮作平面运动的运动微分方程式：MV =F t −F F =−Z ∙ψ(S )JW =RF t −M f −M b =−M b +Z ∙ψ(S )∙R图1 Ψ-S 近似曲线 图2 制动时车轮受力图式中{ M——— 分配到车轮上的汽车质量J——— 车轮的转动惯量 V——— 车体的速度W——— 车轮的角速度Mf——— 地面对车轮的滚动阻力矩Mb——— 制动器制动力矩F =Z Ψ（S ）——地面对车轮的水平作用力Z——— 车轮的法向反力Ψ(S )———附着系数，它是滑动率S 的函数Ff——— 车体受到的迎风阻力R——— 车轮半径一般地,可把制动力矩表示为如下的时间函数关系Mb =a ·P （t ）根据现代控制理论的要求，除需要选取车轮角速度W 和角加速度W 为状态变量外， 为了产生闭环控制系统,还应把附着系数Ψ和滑移率S 的关系曲线峰值处的车轮速度V *作为系统的期望值输出,显然它在制动过程中是随时间变化的,因而需要设计跟踪系统,使系统实际输出的是跟踪期望输出值 ,于是可将跟踪输出器设计成二阶积分的型式 ,即 :{ I φ1′=∫(ωR −v ∗)dt =∫(V ω−V ∗)t0dt t 0I φ2′=∫I φ1dt =∫∫(V ω−V ∗)t10dt t 0t 0式中： WR ———车轮的速度此两式可以写成如下的微分关系：[I φ1I φ2]=[ωR ωR ]+[−V ∗−V∗] 或写成状态变量Ir1，Ir2的直接关系[I φ1I φ2]=[RωI ∗φ1]+[−V ∗0] 在研究中为了便于车体速度V 和峰值车轮速度V* 相比较,将车轮角速度和角加速度两个状态变量 ,用车轮的速度Vw=Rw 和加速度Vw=Rw 来代替,作为系统的状态变量,则可得Rω=−R 2Z VJ ψn S T −αi Jp(t)另外V ′ω=Rω′联合写成矩阵形式[ V ωV ′ωI φ1′I φ2′] =[ −R 2Z VJ ψn S T 0 0 010 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0] [ V ′ωV ωI φ1I φ2] +[ α′J 000] +[00−10]V ∗由此可得汽车防抱制动系统状态方程的规范表达式：{X ′=AX +BU +Bd Y =CX式中A =[ −R 2Z VJ ψn S T 0 0 010 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0]系数矩阵{ B =[0 0 −1 0]T −误差矩阵B =[−αi J ⁄ 0 0 0]T −控制矩阵X =[V W ′ V W I φ1 I φ2]T −状态变量C ={0 1 0 0} −输出矩阵Y =ωR =V W −输出向量U =p (t ) −控制向量d f =V ∗ −误差向量用现代控制理论的方法设计汽车防抱制动装置,实质上就是设计一个最优控制系统,使其在防抱的全过程中能预报出一种控制函数,使防抱系统在防抱过程中以最优的方式工作,使预先设定的目标函数达到最小值。

为了使液压或气压控制系统消耗的能量最小,并使实际输出与期望输出的误差最小,我们选择具有二次型的目标函数，即：J r =∫(X T θX −U T RU )dt ω式中 θ—状态变量的加权矩阵R —控制变量的加权矩阵图3 线性调节器方框图对于这种线性状态方程的系统,其性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的最优控制问题 ,称为线性自动调节问题。

其系统结构可用图3所示的方框图来表示,由最优控制理论不难求出该系统的最优控制规律 :U dt =−R −1B T LX =−KX其中K=R -1BTL 称为反馈控制的线性反馈系数，L 则可Riccati 方程来求得−LA −A T T +LBR −1B T L −θ=0代入 K=R -1BTL 则可求出反馈控制系数K=[K1 K2 K3 K4]（二）、汽车防抱制动系统最优控制1、方法介绍本文对主动悬挂系统和被动悬挂系统的特点进行了对比分析，并进一步以主动悬挂系统为研究对象，结合车辆动力学原理，推导了一种基于最优控制理论的主动悬架控制方法。

控制方法是主动悬挂系统的核心技术之一，国内外学者提出了自适应控制、预见控制、滑模控制、自校正控制、最优控制理论、模糊控制和神经网络控制等方法。

其中最优控制理论基础比较完善，其最大优点是不必根据要求的性能指标确定系统闭环极点的位置，只需根据系统的响应曲线找出合适的状态变量和控制变量的加权矩阵，使系统性能指标函数即目标函数J 最小。

2、模型建立主动悬挂系统的状态方程大多具有线性形式：x ′=Ax +Bv式中：A 为，n x n 的系统矩阵；B 为，n x r 控制矩阵；x 为n 维状态矢量；v 为r 维控制矢量。

加约束后性能指标函数J ，为：J =∫12[x T Qx +v T Rv +2x T Nv]dt t 2t 1式中：Q 为状态变量的加权矩阵；R 为控制变量的加权矩阵；N 为交叉项的权重。

这里应注意：要求系统为线性定常系统，且要求系统完全能控；优化后的闭环系统是渐近稳定的。

由于目前的悬挂形式主要是独立悬挂，而二自由度1／4车辆模型能较好地描述汽车独立悬挂系统的实际情况，故取1／4车辆模型作为主动悬挂系统优化控制的研究对象，模型如图4所示。

图4 主动悬挂系统结构示意图图4中m2为1/4车身质量；m1为车轮质量；u=-Kx 表示悬挂对车身或车轮的作用力；K 为n 维向量；k1为车轮弹性系数，车轮阻尼由于影响不大而忽略不计，y2、y1、y0分别表示1/4车身质量、车轮质量的位移和路面的激励。

根据牛顿第二定律，可写出系统的微分方程式：{m 1y ′′=k 1(y 0−y 1)−u m 2y ′′2=u选取状态变量为：{x 1=y 1−y 0x 2=y 2−y 0x 3=y 1′ x 4=y 2′由上式得：{ x 1‘=x 3−y 0′ x 2′=x 42−y 0 x 3′=−k 1m 1 x 1 −u m 1 x 4′=u m 2由此可得出系统的状态方程为:x ′=Ax +Bu +Eω式中：A =[ 00 1 010 0 1 k 1m 1 0 0 0 0 0 0 0]B =[ 00−1m 11m 1], E =[−1−100] E 为扰动输入矩阵。

在确定目标函数时，应考虑到汽车的平顺性和操纵稳定性，悬挂系统弹簧的动扰度(Y1—y2)会影响到汽车的平顺性，且车轮与路面间的动载荷会影响汽车操控稳定性；从实现控制的角度看，应使所需的控制能量较小，综合以上几种因素，目标函数可写为:J =∫[Ru 2+q 1(y 0−y 1)+q 2(y 2−y 1)2]dt ∞或可写成:J =∫[x T Qx +Ru 2]dt ∞经验证系统是能控的，其中:A =[ q 10 1 01 q 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0]根据二次型性能指标的线性系统最优控制理论，其最优控制律为：u =−Kx =−R −1B T P式中：K 为最优反馈增益矩阵；P 为实对称常值矩阵，满足黎卡提(Riccati)代数方程，即−PA −A T P +PBR −1B T P −Q =0其中矩阵Q 的大小与轮胎位移加权系数q1和悬挂动扰度加权系数有关，q1和口2取不同的值就允许对不同的分量加不同的权系数，当某个分量需要特别约束时，可以增大该分量的加权系数。

（三）、汽车防抱制动系统最优控制1、方法介绍CVT 变速系统是机电液一体化的非线性系统，在升档、降档等不同情况下，其数学模型具有不同的特征，采用固定控制规律和参数不能适应各种不同的工况。

由此，本文设计出了电液控制系统的最优控制器。

2、模型建立cvT 电液控制系统可以分为夹紧力控制系统和速比控制系统，控制系统原理（如图5所示）。

夹紧力控制系统主要由夹紧力控制阀构成，它控制着液压系统压力的大小，这个压力直接作用于从动轮油缸。

在速比一定的条件下，它的大小决定了系统传递转矩的能力。

速比控制系统主要由速比控制阀构成，通过该阀可控制主动轮油缸的充油量，从而改变主动轮油缸内的压力，在金属带的制约下，使主动轮组中可移动带轮的轴向位置发生变化，实现变速比的控制。