2020年江苏省高考数学模拟考试

2020江苏高考数学模拟考试

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3

y x π

ω=+

(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ．

2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ．

3．已知平面向量(1,1)a =-r ，(2,1)b x =-r ，且a b ⊥r r

，则实数x = ▲ ．

4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：

（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α

相交

（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直

线与平面β也不垂直

（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂

直于平面β

真命题．．．

的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离

心率为 ▲ ．

8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则

19

a c

+的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ．

10．若动点(,)P m n 在不等式组24

00

x y x y +≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取

值范围是 ▲ ．

11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足22

1sin cos 2

AP AB AC θθ=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ()R θ∈，

则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ．

12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的

一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25

()32

f x ax x a =--+

在区间

（第5题）

A B

C D

D 1

C 1

B 1

A 1 [1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

13．将所有的奇数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为ij a ，例如329a =．若

445ij a =，则i j += ▲ ．

14．若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；

（2）设向量(cos ,cos 2)m A A =u r ，(12,5)n =-r ，求当m n ⋅u r r 取最大值时，tan()4

A π

-的值．

16．（本小题满分14分）

如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，

2AB AD =，CD AD =．

（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角；

（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．

17．（本小题满分14分）

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知

该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m 元，根据市场调研，得知m 的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．

（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

18．（本小题满分16分）

已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C 过点(2,1)M ，

如图，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ．

（1）当直线l 经过椭圆C 的左焦点时，求直线l 的方程；

1

3 5 7 9 11 ……

（第12题）

（2）证明：直线,MA MB 与x 轴总围成等腰三角形．

19．（本小题满分16分）

已知函数2

1()(21)2ln 2

f x ax a x x =

-++，其中常数0a >． （1）求()f x 的单调区间；

（2）如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上，满足()()()f x H x g x <<，那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”．设2()4g x x x =-，求证：当5

22

a <<时，在区间(0,2]上，函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个．

20．（本小题满分16分）

已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和．

（1）若数列{}n a 是等差数列，且对任意正整数n 都有()3

3n n S S =成立，求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数n ，从集合12{,,,}n a a a L 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与12,,,n a a a L 一起恰好是1至n S 全体正整数组成的集合．

（i ）求12,a a 的值；（ii ）求数列{}n a 的通项公式．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．

定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲

如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，

垂足分别为C 、D ，且PC PD =，求证：PB 平分∠ABD ．