2020年江苏省高考数学模拟考试

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江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题

江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 2．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（）A ．1-B ．23C ．32D ．43．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（）A ．55B ．500C ．505D ．50504．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（）A ．8B ．4C ．2D ．16．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,27．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．8．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =± D ．2y x =± 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)11．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考第二次模拟考试数学(新高考专用01)含答案

2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

2020-2021学年高考数学文科第二次模拟考试试题及答案解析高考模拟题

3
③已知直线 l1：ax+3y-1=0 ， l2：x+by+1=0，则 l1 l 2 的充要条件是 a
3；
b
④已知 a>0,b>0，函数 y
2ae x
b 的图象过点（ 0,1），则 1
1
的最小值是
4
2 ，其中正确命题的序号是。
ab
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）
（ I）求 a， b 的值；
（Ⅱ）若当 x∈ [0,+ ∞ )是，恒有 f x ≥ k g x 成立，求 k 的取值范围；
若要功夫深，铁杵磨成针！
（Ⅲ）若
5 =2.2361，试估计
5 ln 的值（精确到
0.001）
4
请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用
若要功夫深，铁杵磨成针！
最新高三第二次模拟考试
数学试题（文）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题共 60 分）
注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 U= x Z | x( x 7) 0 ， A={1,4,5} ， B={2,3,5}，则 A (CU B) =

2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)

2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。

2020年高考数学模拟试卷 (4)(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦，令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-，对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==，所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===．故选：C ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。

2023年高考第二次模拟考试卷数学(新高考Ⅱ卷A卷)(全解全析)

π 4
（
）
A． 3 9
【答案】A
B． 3 5
C． 3 9
D． 3 5
【详解】由
tan
π 12
sin
13π 3
sin
π 3
3 2
，得
tan
π 4
tan
π 12
π 6
3 3 23 1 3 3
3 .
9
23
故选：A.
5．二项式 (1 x x2 )(1 x)10 展开式中 x4 的系数为（）
C．当
0,
N
时，
f
x
在
π 5
,
π 5
单调且在
π 3
,
π 3
不单调，则
1.
D．当
π 12
时，若对任意的 x 有
f
x
f
π 3
成立，则
5 的最小值为
8
【答案】BCD
【详解】
f
x
2 sin
2 x
(
0)
，T
2π 2
π
，
1，故
A
错误；
f (x)max
2, f (x)min
2 ，又
f
x1
SMAPB
2S△APM
2 1 | AM 2
| | PA |
2
| PM |2 4 ，
当| PM | 取最小值时，四边形 MAPB 面积取得最小值，
此时| PM | | 11 2 | 2 2 ， 12 12
所以四边形 MAPB 面积的最小值为 2 8 4 4 ，故 A 正确；
又圆心 M (1, 1) 到直线 l 的距离 d | 11 2 | 2 2 ， 12 12

2020年高考数学模拟试卷1(文科)(新课标ⅲ)

2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．13．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．205．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（） A ．（136，72]B ．（72，256] C ．（256，112] D ．（112，376]6．（5分）已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2﹣5x +3的两个零点是a 1、a 5，则a 3＝（） A ．1B ．﹣1C ．±√3D ．√37．（5分）曲线y ＝sin x ﹣2cos x 在点（π，2）处的切线方程为（） A ．x +y ﹣π﹣2＝0B ．x ﹣y ﹣π+2＝0C ．2x +y ﹣π+2＝0D ．2x ﹣y ﹣π﹣2＝08．（5分）已知直线l 和平面α，若直线l 在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l ′和l （）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√311．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝． 14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝． 15．（5分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值；（2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是矩形，P A ＝AB ，E 为PB 的中点．（1）若过C ，D ，E 的平面交P A 于点F ，求证：F 为P A 的中点；（2）若平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥P A ．20．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +ax 2﹣1，且f '（1）＝﹣1．（1）求a 的值；（2）若对于任意x ∈（0，+∞），都有f （x ）﹣mx ≤﹣1，求m 的最小值．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ．（1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由；（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ．（1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|．（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．2020年高考数学模拟试卷1（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，则A ∩B ＝（） A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{1，4}【解答】解：∵A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∴A ∩B ＝{3，4}．故选：C ．2．（5分）已知a +bi （a ，b ∈R ）是1−i 1+i的共轭复数，则a +b ＝（）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1【解答】解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，∴a +bi ＝﹣（﹣i ）＝i ， ∴a ＝0，b ＝1， ∴a +b ＝1，故选：D ．3．（5分）在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，所以821=C n 1×C 10−n3C 104，所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝480，（n ∈N *）解得n ＝4．故选：C ．4．（5分）总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A ．3B ．19C ．38D ．20【解答】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点，则这四个数为：41、48、28，19，故选：B ．5．（5分）已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（） A ．（136，72]B ．（72，256]C ．（256，112] D ．（112，376]【解答】解：f （x ）＝2sin （ωx −π3），作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx −π3）＝﹣1得ωx −π3=−π6+2k π，或ωx −π3=7π6+2k π， ∴x =π6ω+2kπω，或x =3π2ω+2kπω，k ∈Z ，设直线y ＝﹣1与y ＝f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，∵方程f（x）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即3π2ω+2πω＜π≤π6ω+4πω，解得72＜ω≤256．故选：B．6．（5分）已知数列{a n}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（）A．1B．﹣1C．±√3D．√3【解答】角：由韦达定理可知a1+a5＝5，a1•a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a32=a1⋅a5=3∴a3=√3，故选：D．7．（5分）曲线y＝sin x﹣2cos x在点（π，2）处的切线方程为（）A．x+y﹣π﹣2＝0B．x﹣y﹣π+2＝0C．2x+y﹣π+2＝0D．2x﹣y﹣π﹣2＝0【解答】解：因为y＝sin x﹣2cos x，所以y′＝cos x+2sin x，则当x＝π时，y′＝﹣1，又因为x＝π时，y＝2，故曲线在（π，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣π），整理得x+y ﹣2﹣π＝0，故选：A．8．（5分）已知直线l和平面α，若直线l在空间中任意放置，则在平面α内总有直线l′和l（）A．垂直B．平行C．异面D．相交【解答】解：当直线l与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．当直线l与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．不管直线l与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l ′垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A 正确．故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．22019﹣1B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣1【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝2+22+23+…+22019的值，由于S ＝2+22+23+…+22019=2(1−22019)1−2=22020﹣2．故选：C ． 10．（5分）双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则双曲线的离心率等于（） A ．2√33B ．3√22C ．√2D ．√3【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F （2，0），可得c ＝2．双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为2√2，则2×b2a =2√2，又c 2＝a 2+b 2，联立解得：a ＝b =√2．则双曲线的离心率=ca =√2．故选：C ．11．（5分）已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1＜0”；命题q ：函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，则下列命题为真命题的是（） A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢qD ．p ∧（￢q ）【解答】解：“∀x ∈R ，x 2+1≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1＜0”，故命题p 为假命题；如图，函数f （x ）＝x 2﹣2x 有三个零点，故命题q 为真命题． ∴p ∧q 、￢q 、p ∧（￢q ）为假命题；p ∨q 为真命题．故选：B ．12．（5分）符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f （x ）是奇函数，③f （x ）＜a （常数a ＞0），④f （x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中f 1(x)=2aπarctanx ，f 2(x)=ax|x|x 2+1，f 3(x)={ a −1x x ＞00x =0−a −1x x ＜0，f 4(x)=a ⋅(2x−12x +1)中“S 函数”的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：（1）∵f 1（x ）=2aπarctan x 的定义域为R ，∵−π2＜arctan x ＜π2，∴f 1（x ）的值域为（﹣a ，a ），∵f 1（x ）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f 1（x ）是S 函数，（2）f 2（x ）=ax|x|x 2+1的定义域为R ，∵﹣1＜x|x|x 2+1＜1，∴f 2（x ）的值域是（﹣a ，a ），∵f 2（﹣x ）=−ax|x|x 2+1=−f 2（x ），∴f 2（x ）是奇函数，当x ＞0时，f 2（x ）=ax 2x 2+1=a −ax 2+1，∵a ＞0，∴f 2（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 2（x ）是S 函数．（3）由解析式可知f 3（x ）的定义域为R ，当x ＞0时，a −1x ＜a ，当x ＜0时，﹣a −1x ＞−a ，∴f 3（x ）的值域是R ，不符合条件③，∴f 3（x ）不是S 函数．（4）f 4（x ）的定义域为R ，∵2x −12+1=1−22x +1，2x ＞0，∴﹣1＜2x−12x +1＜1，∴f 4（x）的值域是（﹣a ，a ）．f 4（﹣x ）＝a •2−x −12−x +1=a •1−2x 1+2x=−f 4（x ）．∴f 4（x ）是奇函数．∵f 4（x ）＝a （1−22x+1），∴f 4（x ）在（0，+∞）上是增函数．∴f 4（x ）是S 函数．故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）．若向量（a →−2b →）∥b →，则m ＝ −32．【解答】解：∵向量a →=（3，﹣2），b →=（m ，1）， ∴a →−2b →=(3−2m ，−4)， ∵（a →−2b →）∥b →，∴﹣4m ＝3﹣2m ， ∴m =−32．故答案为：−32．14．（5分）数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），S 10＝10，则a 2+a 4+a 6+…+a 20＝ 120 ．【解答】解：由a n ﹣a n ﹣1＝2（n ≥2），知数列{a n }是公差为2的等差数列，由S 10＝10，得10a 1+10×9d 2=10，即a 1+92d =1， a 2+a 4+a 6+…+a 20=10(a 1+d)+(10×9)2d2＝10a 1+100d =10a 1+45d +55d =10(a 1+92d)+55d ＝10+55×2＝120．故答案为：120． 15．（5分）已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，若椭圆的离心率为√22，则k 1k 2＝ −12 ．【解答】解：椭圆的离心率为√22，可得e =c a =√1−b22=√22，可得b 2a 2=12，设P （s ，t ），M （m ，n ），N （﹣m ，﹣n ），可得m 2a 2+n 2b 2=1，s 2a 2+t 2b 2=1，相减可得(m−s)(m+s)a +(n−t)(n+t)b =0，即有n−t m−s •n+tm+s=k 1k 2=−b 22=−12．故答案为：−12．16．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，则四棱锥A ﹣BCFE 的体积为56V ．【解答】解：∵三棱锥S ﹣ABC 的体积为V ，点E ，F 分别在棱SB ，SC 上，且SE ＝EB ，SF =12FC ，∴S 四边形BCFE ＝S △SBC ﹣S △SEF =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×SE ×SF ×sin∠BSC =12×SB ×SC ×sin∠BSC −12×12SB ×13SC ×sin∠BSC =56（12×SB ×SC ×sin∠BSC ）=56S △SBC ，设点A 到平面SBC 的距离为h ，则三棱锥S ﹣ABC 的体积： V =13×S △SBC ×ℎ，∴四棱锥A ﹣BCFE 的体积：V A ﹣BCFE =13×S 四边形BCFE ×ℎ=13×56S △SBC ×h =56V ．故答案为：56V ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100）六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为1﹣（0.025﹣0.015×2+0.010+0.005）×10＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）众数为：70+802=75，设中位数为x ，则0.1+2×0.15+(x −70)×0.03=0.5⇒x =7313．抽取学生的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71（分），所以可估计这次考试的平均分为71分．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值；（2）若a =√3，A =π3，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）∵23cos 2A +cos2A ＝23cos 2A +2cos 2A ﹣1＝0， ∴cos 2A =125，又∵A 为锐角，cosA =15，而a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即b 2−125b −13=0，解得b ＝5（舍负），∴b ＝5；（2）方法一：（正弦定理）由正弦定理可得b +c =2(sinB +sinC)=2(sinB +sin(2π3−B))=2√3sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B +π6＜5π6， ∴12＜sin(B +π6)≤1， ∴b +c ∈(√3，2√3]．方法二：（余弦定理）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A 可得b 2+c 2﹣3＝bc ，即(b +c)2−3=3bc ≤34(b +c)2，∴b+c≤2√3，又由两边之和大于第三边可得b+c＞√3，∴b+c∈(√3，2√3]．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是矩形，P A＝AB，E为PB的中点．（1）若过C，D，E的平面交P A于点F，求证：F为P A的中点；（2）若平面P AB⊥平面PBC，求证：BC⊥P A．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以，CD∥AB，又AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面P AB＝EF，所以CD∥EF，…………………（2分）所以AB∥EF，又在△P AB中，E为PB的中点，所以，F为P A的中点．（2）因为P A＝AB，E为PB的中点，所以AE⊥PB，AE⊂平面P AB又平面P AB⊥平面PBC，平面P AB∩⊥平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，所以AB⊥BC，AE∩AB＝A，AB，AE⊂平面P AB，所以，BC⊥平面P AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥P A．20．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣1，且f'（1）＝﹣1．（1）求a的值；（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值．【解答】解：（1）对f（x）求导，得f'（x）＝1+lnx+2ax，所以f'（1）＝1+2a＝﹣1，解得a＝﹣1．（2）由f （x ）﹣mx ≤﹣1，得xlnx ﹣x 2﹣mx ≤0，因为x ∈（0，+∞），所以对于任意x ∈（0，+∞），都有lnx ﹣x ≤m ．设g （x ）＝lnx ﹣x ，则g ′(x)=1x −1，令g '（x ）＝0，解得x ＝1，当x 变化时，g （x ）与g '（x ）的变化情况如下表：x （0，1）1 （1，+∞）g '（x ） + 0 ﹣ g （x ）增极大值减所以当x ＝1时，g （x ）max ＝g （1）＝﹣1，因为对于任意x ∈（0，+∞），都有g （x ）≤m 成立，所以m ≥﹣1，所以m 的最小值为﹣1．21．（12分）已知抛物线y ＝x 2上的A ，B 两点满足OA →⋅OB →=2，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ．（1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得|MF |＝λ|MO |（λ＞0），若存在请说明理由；（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标．【解答】解：（1）由题意知，B （2，4），设A （t ，t 2），由OA →⋅OB →=2，得2t +4t 2＝2，解得：t =12（舍）或t ＝﹣1， ∴A （﹣1，1）；（2）由条件知x 2+(x −14)2=λ2(x 2+y 2)，把y ＝x 2代入得(1−λ2)y 2+(12−λ2)y +116=0， ∴△=λ2(λ2−34)，当λ＝1时，M 有两个点，当λ=√32时，M 有两个点，当√32＜λ＜1时，M 点有四个，当λ＞1，M 点有两个，当0＜λ＜√32，M 点不存在；（3）设B （x 1，x 12），A （x 2，x 22），由题意得：x 1x 2+x 12x 22=2，解得x 1x 2＝﹣2．设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m y =x 2，得x 2﹣kx ﹣m ＝0，得x 1x 2＝﹣m ，又x 1x 2＝﹣2，∴m ＝2，则直线经过定点（0，2）， ∴S 四边形OABC ＝S △OAB +S △OBC ＝S △OAB +S △OBF =12×2×(x 1−x 2)+12×14×x 1=98x 1+2x 1≥2√94=3，当且仅当x 1=43等号成立，四边形OABC 面积最小， ∴B （43，169）．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是y =xtanα(π2＜α＜π)，曲线C 1的参数方程是{x =a +acosφy =asinφ（φ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2b sin θ．（1）写出l 及C 1的极坐标方程；（2）已知a =12，b ＝1，l 与C 1交于O ，M 两点，l 与C 2交于O ，N 两点，求2|OM |2+|OM ||ON |的最大值．【解答】解：（1）将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x tan α得tan θ＝tan α， ∴l 极坐标方程是θ=α(ρ∈R ，π2＜α＜π)． C 1的普通方程是x 2+y 2﹣2ax ＝0，其极坐标方程是ρ＝2a cos θ；（2）C 1：ρ＝cos θ，C 2：ρ＝2sin θ，将θ＝α分别代入C 1，C 2得|OM |＝﹣cos α，|ON |＝2sin α． ∴2|OM |2+|OM ||ON |＝2cos 2α﹣2cos αsin α =√2sin(π4−2α)+1． ∵π2＜α＜π，∴当α=7π8时，2|OM |2+|OM ||ON |取最大值√2+1．五．解答题（共1小题） 23．已知f （x ）＝|x ﹣1|+|2x +3|．（1）求不等式f （x ）＞4的解集；（2）若关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得|x ﹣1|+|2x +3|＞4，当x ≥1时，x ﹣1+2x +3＞4，解得x ≥1；当−32＜x ＜1时，1﹣x +2x +3＞4，解得0＜x ＜1；当x ≤−32时，1﹣x ﹣2x ﹣3＞4，解得x ＜﹣2．可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由（1）可得|t ﹣1|+|2t +3| ={3t +2，t ≥1t +4，−32＜t ＜1−3t −2，t ≤−32，可得t =−32时，|t ﹣1|+|2t +3|取得最小值52，关于x 的不等式|x +l |﹣|x ﹣m |≥|t ﹣1|+|2t +3|（t ∈R ）能成立，等价为52≤|x +l |﹣|x ﹣m |的最大值，由|x +l |﹣|x ﹣m |≤|m +1|，可得|m +1|≥52，解得m ≥32或m ≤−72．。

2020高考数学卷模拟

2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数学(理工科)试卷注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内;2.选择题必须使用2B 铅笔填土,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写;3.请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答,超出答题区域的其他地方答案无效;4.作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色签字笔描黑;5.保持卡面清洁、不要折叠、弄破,不准使用修正带、涂改液、刮纸刀.第一部分选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个人符合题目要求1.设集合A =x 4−x +1 x ∈R ,B = x ∈R |√2x −1−x |<2 ,则A B =().(A)(12,2).(B)(3√42,5).(C)(12,3√42).(D)(2,5).2.设复数z =−3+2i ,则复数z 绕原点逆时针旋转π2所得到的复数是().(A)−2−3i .(B)−3−2i .(C)3−2i .(D)−2+3i .3.已知a =20.5,b =log π3,c =log 2sin 2π5,则().(A)a >b >c .(B)b >a >c .(C)c >a >b .(D)b >c >a .4.函数f (x )=2x 3e x +e −x 在[−6,6]的图像大致为()A.y 84B.y 84C.x y84D.xy 845.设{a n },为等差数列，已知S 4=0,a 5=5,则().(A)a n =2n −5.(B)a n =3n −10.(C)S n =2n 2−8n .(D)S n =12n 2−2n .6.设f (x )为奇函数,且当x ≥0时，f (x )=e x −1,则d 当x <0时，f (x )=()(A)e −x −1(B)e −x +1(C)−e −x −1(D)−e −x +11of 57.设α,β是两个平面，则α∥β的充要条件是().(A)α内有无数条直线与平面β平行.(B)α内有两条相交直线与面β平行.(C)α,β平行于同一条直线.(D)α,β垂直于同一个平面.8.若x 1=π4,x 2=3π4是f (x )=sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω=().(A)2.(B)32.(C)1.(D)12.9.下列说法中错误的是().(A)正多面体只有:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种.(B)设映射f :A →B ,集合A 称为f 的定义域,B 称为f 的值域.(C)平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直当且仅当它和这条斜线的射影垂直.(D)如果事件A 的概率P (A )=0,则事件A 与它自己独立.10.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点，则p =().(A)2.(B)3.(C)4.(D)8.11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形，E ,F 分别是PA ,PB 的中点，∠CEF =90°,则球O 的体积为().(A)8√6π.(B)4√6π.(C)2√6π.(D)√6π.12.已知a ∈R ,设函数f (x )=x 2−2ax +2a ,x ≤1;x −a ln x ,x >1;，若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为().(A)[0,1].(B)[0,2].(C)[0,e].(D)[1,e].第二部分填空题:本部分共4道小题,每个小题5分,共20分13.若变量x ,y 满足约束条件f (x )=2x +3y −6≥0;x +y −3≤0;y −2≤0;则z =3x −y 的最大值是.14.掷三枚骰子,点数之和为9的概率是.15.△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b =6,a =2c ,∠B =60°则△ABC 的面积为xy16.如上图，已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a ,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线C 的渐近线相交于A ,B 两点，−−−→F 1A =−−→AB ,−−−→F 1B ·−−−→F 2B =0则双曲线C 的离心率为.第三部分解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个考生都必须作答;第22∼24题为选考题,考生根据要求作答(每题7分,共21分)(一)必考题(共60分)17.(本题满分10分，第一小题满分4分，第二小题满6分)已知数列{a n =sin(nx )},其中x 是给定的常数.(1)求出数列{a n }的前n 项和S n 的通项公式;(2)若S n 有界,求x 的取值范围.18.(本题满分12分，第一小题满分3分，第二小题满4分,第三小题满5分)在三棱锥P −ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90◦,AP =BP =AB ,PC ⊥AC .(1)证明:PC ⊥AB ;(2)求面ABP 和面ACP 所成二面角的正弦值;(3)求点C 到平面APB 的距离.19.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)假设一种核酸检测方法对某种特定疾病的诊断准确率是99%(有病被正确诊断和没病被正确诊断的概率都是99%).如果群体中这种病的时点患病率是0.5%,问(1)甲在这种检测方法下,在社区普查时呈现阳性,被诊断患病,问甲的确患病的概率是多少?(2)甲在这种检测方法下,连续两次都呈现阳性,被诊断患病,问甲的确患病的概率是多少?请由此解释复查的意义.20.(本题满分14分,第一小题满分7分，第二小题满7分)(1)证明:反比例函数y=kx是一个双曲线,并写出它的焦点和离心率.(2)猜测一般的双曲线x2a2−y2b2=1上任意一点M到它的两条渐进线的距离乘积的值有什么规律,证明你的结论.21.(本题满分12分，第一小题满分6分，第二小题满6分)设定义在[0,1)上的函数f(x)=12ln1+x1−x−x,g(x)=f(x)−x33(1−x2).(1)证明:当0<x<1时,g(x)<0<f(x).(2)设数列a n=n!e n n n√n,证明a n单调下降.(二)选考题：共10分，请考生在第22∼24中任选一道题作答，如果考生多做，则按给出解答的第一题计分.22.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=0100.(1)计算A2;(2)证明:不存在矩阵B=a bc d,使得B2=A.23.选修4-4:参数坐标系在平面直角坐标系[xOy]中,一簇曲线C(a,b)的参数方程为:x=|b|2+|2ab|cosθ,y=|2ab|sinθ,(θ为参数, a,b是给定的复数),平面区域D可以表示为:D=|a|2+|b|2=1C(a,b)其中的并是指对一切满足|a|2+|b|2=1的复数a,b求并集.(1)试判断区域D的形状,并证明你的结论;(2)给出区域D的面积.(结论不需要证明)24.选修4-5:不等式选讲设a,b,c是正数,且a+b+c=1.(1)证明:a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2⩾6abc;(2)证明:(a+b)(b+c)(c+a)⩾89√3abc.。

2020届全国高考仿真模拟考试(二)理科数学

2020届全国高考仿真模拟考试（二）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案：A解析：因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．故选A.2．[2019·河南洛阳第一次统考]若复数z 为纯虚数，且(1＋i)z ＝a －i(其中a ∈R )，则|a ＋z |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案：A解析：复数z ＝a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －1－(a ＋1)i 2，根据题意得到a －12＝0⇒a ＝1，z ＝－i ，∴|a ＋z |＝|1－i|＝2，故选A.3．[2019·江西南昌二中模拟]设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案：B解析：若命题p 为真命题：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max 在x ∈[－1，1]上恒成立，又(3x )2max ＝3，所以a ≥3.若命题q 为真命题：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，则必须使x 2＋ax ＋1能取所有正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 是真命题，p ∧q 为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当p 为真命题，q 为假命题时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅，当q 为真命题，p 为假命题时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3)，故选B.4．[2019·江西南昌重点中学段考]一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成的，则该几何体的表面积为( )A ．13πB ．12πC ．11πD ．23π 答案：B解析：依题意知，题中的几何体是从一个圆台(该圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2)中挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1，母线长为2)后得到的，圆台的侧面积为π(1＋2)×2＝6π，圆锥的侧面积为π×1×2＝2π，所以题中几何体的表面积为6π＋2π＋π×22＝12π，故选B.5．[2019·湖南岳阳质检]函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象大致为( )答案：A解析：令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，所以点(1，0)在函数f (x )＝(－x 2＋x )e x 的图象上，所以排除B ，C.当x →＋∞时，f (x )→－∞，排除D ，故选A.6．[2019·江西赣州十四县(市)期中联考]古代有这样一个问题：“今有墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：C解析：依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{a n }，且首项a 1＝1，公差d ＝12.小鼠前三天打洞长度之和为12＋1＋2＝72，之后每天打洞长度是常数2，令n ·1＋n (n －1)2·12＋72＋(n－3)·2≥2212(n 指天数，且n 是正整数)，则有n 2＋11n －100≥0，即n (n ＋11)≥100，则易知n 的最小值为6.故选C.7．[2019·河南开封定位考试]将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12答案：A 解析：将函数y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得到的图象对应的函数解析式为y ＝－cos[2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋2m (m >0)，平移后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x ＝k2sin 2x (k >0)的图象重合，所以⎩⎨⎧k2＝1，－π2＋2m ＝2n π(n ∈Z )，得k ＝2，m ＝n π＋π4(n ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为π4，可知k ＋m 的最小值为2＋π4.故选A.8．[2019·山西太原一中检测]已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：D解析：令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线b ＝2a ，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1，0)时，z 取得最大值，且z max＝2×1－0＝2.故选D.9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，2，3的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为( )A.16B.56C.38D.58 答案：D解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球的所有情况共有4×4＝16(种)，其中号码相同的情况共有6种，则号码不同的概率为P ＝1－616＝58，故选D. 10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.334或213D.334或736 答案：D解析：由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝3sin 2A ＝6sin A cos A ，即sinB cos A ＝3sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，而C ＝π3，c ＝7，所以B ＝π6，b ＝c tan B ＝7×33＝213，所以此时△ABC 的面积为12bc ＝12×213×7＝736；当cos A ≠0时，可得sin B ＝3sinA ，由正弦定理得b ＝3a ，又c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－(7)26a 2＝cos π3＝12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.综上可知，△ABC 的面积为334或736.故选D.11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．6 3 答案：A解析：连接AM ，由已知可得AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23m AP →＋13n AQ →.因为P ，M ，Q 三点共线，所以23m ＋13n ＝1，所以mn ＋m ＝2n ＋m 3＋m ＝2n 3＋4m3＝⎝⎛⎭⎫2n 3＋4m 3⎝⎛⎭⎫23m ＋13n ＝109＋4n 9m ＋4m 9n ≥109＋24n 9m ×4m 9n ＝2，当且仅当4n 9m ＝4m 9n ，即m ＝n ＝1时取等号，所以mn ＋m 的最小值为2.故选A. 12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B 两点，且AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22C. 3D.33答案：B解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(易知k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，可得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝4－2k 2k2.又AF →·BF →＝0，易知F (1，0)，所以(1－x 1)(1－x 2)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0，即2k 2＋2＋(k 2－1)4－2k 2k 2＝0，解得k ＝22.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知α为锐角，且sin α·(3－tan 10°)＝1，则α＝________.答案：40°解析：由题意知sin α(3－tan 10°)＝sin α·3cos 10°－sin 10°cos 10°＝sinα·2(sin 60°cos 10°－cos 60°sin 10°)cos 10°＝sin α·2sin 50°sin 80°＝sin α·2cos 40°2sin 40°cos 40°＝sin αsin 40°＝1，即sinα＝sin 40°.因为α为锐角，所以α＝40°.14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式：12＝1×2×36；12＋22＝2×3×56；12＋22＋32＝3×4×76；12＋22＋32＋42＝4×5×96；……照此规律，当n ∈N *时，12＋22＋32＋…＋n 2＝________.答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6解析：第一个式子：12＝1×(1＋1)×[1＋(1＋1)]6；第二个式子：12＋22＝2×(2＋1)×[2＋(2＋1)]6；第三个式子：12＋22＋32＝3×(3＋1)×[3＋(3＋1)]6；第四个式子：12＋22＋32＋42＝4×(4＋1)×[4＋(4＋1)]6；……第n 个式子：12＋22＋32＋…＋n 2＝n ·(n ＋1)·[n ＋(n ＋1)]6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.15．[2019·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．答案：288解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A 34＝24种排法；第二步：将2，4，6这3个数插空排列，有2A 33＝12种排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有24×12＝288(个)．16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ，则f (16)＝________.答案：12解析：由f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＋f (x )＝0，得f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋52＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，解得a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，若a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)依题意知a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2且n ∈N *)，且a n >0，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，两式相除，得S n －S n －1＝1(n ≥2)，可知数列{S n }是以1为首项，公差为1的等差数列，所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以c n ＝(2n －1)·22n －1，则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1 ①，4T n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1 ②， ①－②得－3T n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n－ 2)1－4－(2n－1)×22n ＋1＝－103＋⎝⎛⎭⎫53－2n ×22n ＋1，所以T n ＝(6n －5)×22n ＋1＋109.18．(12分)[2019·湖南高三毕业班开学调研卷]如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，且AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又因为AD ∥BC ，所以TN 綊AM ，则四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB . (2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .由题易知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)，|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525.故直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.19．(12分)[2019·山西省太原市高三上学期期末检测卷]2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据，资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI )，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得AQI 的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI 为118，已知轻度污染区AQI 的平均值为74，中度污染区AQI 的平均值为114，求重度污染区AQI 的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI 的分布，11月份仅有一天AQI 在[170，180)内．AQI 为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI 不小于180的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)设重度污染区AQI 的平均值为x ，则74×2＋114×5＋2x ＝118×9，解得x ＝172.(2)①11月份仅有一天AQI 在[170，180)内，则AQI 小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P ＝1830＝35.②由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 318C 012C 330＝2041 015，P (X ＝1)＝C 218C 112C 330＝4591 015，P (X ＝2)＝C 118C 212C 330＝2971 015，P (X ＝3)＝C 018C 312C 330＝11203，则X 的分布列为数学期望EX ＝0×2041 015＋1×4591 015＋2×2971 015＋3×11203＝65.20．(12分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，点A (b ，0)，B ，F 分别为椭圆C 的上顶点和左焦点，且|BF |·|BA |＝2 6.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过定点M (0，2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(G 在M ，H 之间)，设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m ，0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：(1)由离心率e ＝12得a ＝2c ①.由|BF |·|BA |＝26，得a ·b 2＋b 2＝26，∴ab ＝23 ②. 又a 2－b 2＝c 2 ③，∴由①②③可得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2(k >0)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，易知Δ>0，∴k >12.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，PG →＋PH →＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)，GH→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))．∵菱形的对角线互相垂直，∴(PG →＋PH →)·GH →＝0，∴(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，得m ＝－2k4k 2＋3，即m ＝－24k ＋3k，∵k >12，∴－36≤m <0(当且仅当3k ＝4k 时，等号成立)．∴存在满足条件的实数m ，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－36，0.21．(12分)[2019·北京朝阳区期中]已知函数f (x )＝2mx 3－3x 2＋1(m ∈R )． (1)当m ＝1时，求f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值；(2)求证：“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件．解析：(1)由题意得f ′(x )＝6mx 2－6x ＝6x (mx －1)，所以当m ＝1时，f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1.当x 在[－1，2]内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：max min 故f (x )在区间[－1，2]上的最大值和最小值分别为5和－4.(2)因为m >1，所以由f ′(x )＝6mx ⎝⎛⎭⎫x －1m ＝0得x ＝0或x ＝1m. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因为f ⎝⎛⎭⎫1m ＝2m ·1m 3－3·1m 2＋1＝－1m2＋1，且m >1，所以f ⎝⎛⎭⎫1m >0. 又f (－m )＝m 2(－2m 2－3)＋1<0，所以f (x )有唯一零点．所以“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分条件．当m ＝－2时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f ⎝⎛⎭⎫－12＝12－34＋1>0，f (0)>0，f (3)<0，所以此时f (x )也有唯一零点．从而可知“m >1”是“函数f (x )有唯一零点”的充分不必要条件．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，若|AB |＝8，求α的值．解析：(1)直线l 的普通方程为x ·sin α－y ·cos α＋cos α＝0，∵曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ， ∴ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)代入x 2＝4y ，得t 2·cos 2α－4t ·sin α－4＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1·t 2＝－4cos 2α.∵|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝⎝⎛⎭⎫4sin αcos 2α2－4×－4cos 2α＝8， ∴cos α＝±22，α＝π4或α＝3π4.23．(10分)[2019·福建福州二检][选修4－5：不等式选讲] 已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解析：(1)方法一当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．方法二设f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－12，2，－12≤x ≤12，4x ，x >12，函数f (x )的图象如图所示．因为f (x )<4，由图可得，－1<x <1，所以M ＝{x |－1<x <1}． (2)方法一 (综合法)因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |)＝|ab |＋1－|a |－|b |＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |.方法二 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|ab |＋1－|a |－|b |≤0，只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1|)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．方法三 (分析法)要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以|ab |＋1≥1，|a |＋|b |≥1，所以只需证(|ab |＋1)2≤(|a |＋|b |)2，只需证|ab |2＋2|ab |＋1≤|a |2＋2|ab |＋|b |2，只需证|ab |2＋1≤|a |2＋|b |2，只需证(|a |2－1)(|b |2－1)≤0，又|a |2<1，|b |2≥1，所以(|a |2－1)(|b |2－1)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(解析版)

考点14 两角和与差的正弦、余弦、正切一、考纲要求1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。

2、体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用。

4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

二、近五年江苏高考“两角和(差)的正弦、余弦和正切”是C 级要求，课标要求是“两个周期函数的叠加仍然是一个周期函数”，其本质就是a sin x +b cos x = A sin ( x + φ )的转化，根据高考考试说明只需对特殊角进行转化，不必涉及非特殊角的情形. 此外，三角恒等式的证明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考)，但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合题，因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、正确的解决，所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切”这个C 级要求务必要引起足够的重视，此C 级要求与其特例“二倍角的正弦、余弦和正切” B 级要求的熟练和准确必须强化训练到位三、考点总结：注意此处的教学要求为C 级，必须要引起足够的重视. 首先，两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心，后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例；其次，高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点)，在这里重要的是强化三角恒等变换的能力，弱化公式的机械记忆；最后，用三角变换研究较复杂函数的性质，更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想，这样的题目更显得活泼、有生气，这一点在 2008~2018 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映.四、近五年江苏高考试题1、(2019年江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10. 【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式22221221⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.2、(2018年江苏卷) 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3、(2017年江苏卷).若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 【答案】 75思路分析 α＝⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4. tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4、(2016年江苏卷) 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．【答案】：8解法1 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝－tan B tan C tan B ＋tanC1－tan B tan C＝－2tan 2B tan 2C 1－tan B tan C＝2－⎝⎛⎭⎫1tan B tan C －122＋14≥8，当tan B tan C ＝2时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法2 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又由tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，从而得tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A ，tan B ，tan C >0，所以tan A tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥22，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法3 因为tan A tan B tan C ＝sin A sin B sin C cos A cos B cos C ，而sin A ＝2sin B sin C ，所以tan A tan B tan C ＝sin 2A2cos A cos B cos C ，又cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，从而cos B cos C ＝sin B sin C －cos A ＝12sin A －cos A ，故tan A tan B tan C ＝sin 2A 2cos A ⎝⎛⎭⎫12sin A －cos A ＝tan 2A tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8(因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A tan B tan C >0，故tan A －2>0)，当且仅当tan A ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.5、(2015年江苏卷) 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________【答案】： 3【解析】由题意得tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βtan α＝17＋21－27＝3.6、(2015年江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．解题过程：(1) 因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 五、三年模拟题型一两角和与差的正弦、余弦和正切1、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ()2θ－6π的值为________．【答案】5214因为θ是第四象限角，所以sin θ<0，则sin θ＝－1－cos 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θcos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝22（sin θ＋cos θ）cos 2－sin 2θ＝22（sin θ＋cos θ）（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝2245－⎝⎛⎭⎫－35＝5214.解后反思本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应用，应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简．2、(2019扬州期末）设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．【答案】 3解法1(方程法) 因为a ，b 是非零实数，由a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，得tan π7＋b a 1－b a tanπ7＝tan 10π21，解得ba ＝tan10π21－tan π71＋tan 10π21·tanπ7，即b a ＝tan ⎝⎛⎭⎫10π21－π7＝tan π3＝ 3. 解法2(系数比较法) tan 10π21＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋π3＝tan π7＋31－3tan π7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，tan 10π21＝sin π7＋b a cos π7cos π7－b a sinπ7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，所以ba ＝ 3.解后反思为了求b a 的值，自然要解出ba ，所以解法1是最自然的一种解法；解法2通过配角的技巧，再通过系数比较法求出了ba的值，技巧性强了点．3、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．【答案】34π【解析】因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，所以tan (α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝34π4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．【答案】 97【解析】由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97.5、(2017南京、盐城二模）若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α的值为________．【答案】43－310【解析】令α－π6＝β，由已知得β是锐角，且sin β＝35，cos β＝45，所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝cos βcos π6－sin βsin π6＝45×32－35×12＝43－310.6、(2017苏州暑假测试）已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 【答案】－4＋6215【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 7、(2017苏北四市一模）若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】－13【解析】因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 8、(2017苏锡常镇调研) 已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 【答案】 23－4解法 1 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12·sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝－23－21＋3＝23－4. 解法2 tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝3－11＋3＝2－ 3.因为sin α＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6，即sin α＝332sin α＋32cos α，即tan α＝32－33，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tan π121－tan αtan π12＝32－33＋2－31－32－33－3＝16－83－4＝23－4.9、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．【答案】规范解答因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(4分) (1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝⎛⎭⎫－55＋1010×255＝－210.(8分)(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×⎝⎛⎭⎫－55＋31010×255＝22.(11分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α＋β＝3π4.(14分)易错警示求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．题型二二倍角的正弦、余弦和正切1、(2019镇江期末）若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________．【答案】－78解法1 设π4－α＝β⎝⎛⎭⎫β∈⎝⎛⎭⎫－34π，－π4，则α＝π4－β.由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，得2cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2sin 2β＝4sin βcos β＝sin β，而sin β≠0，故cos β＝14.所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝cos 2β＝2cos 2β－1＝－78. 解法2 由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α得2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α－sin α≠0，故cos α＋sin α＝22.两边平方得sin 2α＝－78. 2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值．【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64.2分因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝104，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝155.(6分)(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝154.(10分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12＝＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π3sin π4(12分) ＝2－308.(14分) 3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1) cos α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．思路分析 (1) 记α＋π4＝β，则cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)，所以要先求出cos β.(2) 2α－π4＝2β－3π4，由(1)易得sin2β与cos2β的值．规范解答 (1) 记α＋π4＝β，则β∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，sin β＝210，cos β＝－1－sin 2β＝－7210.(3分) 所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)＝－35.(6分) (2) 由(1)得，sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－3π4＝－22(sin2β＋cos2β)．(10分) 因为sin2β＝2sin βcos β＝－725，cos2β＝cos 2β－sin 2β＝2425，(12分)所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝－17250.(14分) 解后反思 (1) 也可由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，展开得sin α＋cos α＝15.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，及α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝45，cos α＝－35.(2) 由(1)得sin2α＝－2425，cos2α＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22(sin2α－cos2α)＝－17250.。

江苏省淮阴中学2024年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变5．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．119．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．410．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1-D ．111．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1912．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(二)答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=≤，(){}2log1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A.[)1,+∞B.[)0,∞+C.（0，1）D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{}2A x x x=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2.已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （）A.12-B.23-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】()()()2i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=，因为复数z 为纯虚数，所以2020a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-.故选：D3.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD =（）A.43m n -B.43m n+ C.34m n -D.34m n+【答案】C 【解析】【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到2()22BC AC AM m n =-=-和AB AC BC =- 222m m n n m =-+=-，进而利用BD BC CD BC AB =+=- ，可得答案.【详解】如图，AC m =，AM n =，且在正方形ABCD 中，AB DC=12AC AM MC BC -==，2()22BC AC AM m n ∴=-=- ， AC AB BC =+，AB AC BC ∴=- 222m m n n m =-+=- ，∴BD BC CD BC AB =+=-= 22234m n n m m n--+=- 故选：C4.已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c >>B.a c b >>C.c a b >>D.a b c>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值0,1，使其和,,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值域可知，()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4 B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为32，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为a 3a =，根据该正四面体积的可得2163334a a ⨯⨯=21334324a ⨯⨯⨯，解得a =.所以该正四面体的高的最小值为66633a =⨯=.故选：B6.现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）A.514 B.314C.27D.17【答案】D 【解析】【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为284482-=-，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C 28=种情况所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287=.故选：D7.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11AD 上一点，且112A P PD =，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A. B.C.+D.+【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为112A P PD =，即11113D P A D = ，取11113D H D C =uuuu r uuuu r，连接11,,PH HC A C ，则11//HP AC ，又11//AC AC ，所以//HP AC ，所以,,,,A O C H P 共面，即过A ，P ，O 三点的正方体的截面为ACHP ，由题可知APCH ===，PH =，11A C =，所以过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为+.故选：D.8.不等式15e ln 1-≥+x a xx x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(,1e]-∞- B.(2,2e⎤-∞-⎦C.(,4]-∞- D.(,3]-∞-【答案】C 【解析】【分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x xa x x---≤>，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式15e ln 1-≥+x a xx x 对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x >，可得41e ,1ln x x xa x x---≤>恒成立，令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x---=>的最小值或范围问题；令1()e x g x x -=-，则1()e 1x g x -'=-，当1x <时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，所以4411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()*，当且仅当4ln 1x x -=时取等号，令()4ln 1h x x x =--，则44()1x h x x x-'=-=，当4x <时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，故min ()(4)34ln 40h x h ==-<，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值，即4ln 1x x -=在1x >时有根，即()*等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x---≥--=-，则41e 4ln x x xx---≥-，故4a ≤-，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为22210x y y +--=，若直线1y x =-上存在一点M ，使过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.1- D.【答案】AC 【解析】【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点M 、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC =以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210x y y +--=化为标准方程为：()2212x y +-=，圆心()0,1C ，，因为过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M 、圆心以及两个切点构成正方形，2MC =，因为M 在直线1y x =-上，所以可设(),1M a a -，则()22224MCa a =+-=，解得：2a =或0a =，所以()2,1M 或()0,1M -，故点M 的纵坐标为1或1-.故选：AC.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A.34a =B.221n n a a n +=++C.221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D.数列(){}1nn a -的前2n 项和的最小值为2【答案】ACD 【解析】【分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+,当21n k =-时，2212k k a a k -=+,联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，在逐项判断即可.【详解】令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k k k+++-==+++=⨯=+ .令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=.当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=.当n 为奇数时，()21112n nn aa n ++=++=，所以22n n a =，其中n 为偶数.所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确.所以233142a -==，故A 正确.当n 为偶数时，()22222222n nn n aa n ++-=-=+，故B 错误.因为()()222212211222n n n n a a n ----=-=，所以(){}1nna -的前2n 项和21234212nn nSa a a a a a -=-+-++-+()()121222212n n n nn +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ ，令()1n c n n =+，因为数列{}n c 是递增数列，所以{}n c 的最小项为1122c =⨯=，故数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2，故D 正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12.已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（）A.点F 到直线1l 的距离为655B.2p x +=C.221p px y ++的最小值为1 D.PA PB +的最小值为655【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，用点到直线的距离公式即可判断；对于B ，利用抛物线的定义即可判断；对于C ，利用基本不等式即可判断；对于D ，利用抛物线的定义可得到PA PB PF PB BF +=+≥，接着求出BF 的最小值即可【详解】由抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-可得抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0F ，对于A ，点F 到直线1l的距离为655d ==，故A 正确；对于B ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2P PF x =+，即2p x +=，故B 正确；对于C ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以28,0p p p y x x =≥，所以211221144111818888p p p pp p p p x x x x y x x x +=+=+=+++++1788≥=，当且仅当38p x =时，取等号，故C 错误；对于D ，由抛物线的定义可得PA PF =，故PA PB PF PB BF +=+≥，当且仅当,,P B F 三点共线时，取等号，此时1BF l ⊥，由选项A 可得点F 到直线1l的距离为5d =，故PA PB +的最小值为655，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin 3cos 0αα+=，则tan 2α=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用已知等式可求得tan α，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由sin 3cos 0αα+=得：sin 3cos αα=-，sin tan 3cos ααα∴==-，22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--.故答案为：34.14.函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()()0,0f 处的切线方程是______．【答案】310x y --=【解析】【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】()()ln 211f x x x =++-，∴2()121f x x '=++，则(0)213f '=+=，又()ln 201(0)011f =⨯++-=-Q ，∴切点为()0,1-，∴函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()0,1-处的切线方程是()130,y x +=-即310x y --=.故答案为：310x y --=.15.2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛，先要选4人站成一排拍照，且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答）【答案】3024【解析】【分析】分两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照；②若2名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照，则只选3名学生拍照，此时共有134284C C A 2688=种排列方法；②若2名老师都拍照，则只选2名学生拍照，先将学生排序，然后将2名老师插入2名学生所形成的空位中，此时，共有222823C A A 336=种排列方法.综上所述，共有26883363024+=种排列方法.故答案为：3024.16.已知A ，B 是双曲线22:124x y C -=上的两个动点，动点P 满足0AP AB += ，O 为坐标原点，直线OA 与直线OB 斜率之积为2，若平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为______．【答案】【解析】【分析】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,根据0AP AB += 得到122x x x =-，122y y y =-，根据点A ,B 在双曲线22124x y -=上则22212212416,248y x y x -=-=，代入计算得22220x y -=，根据双曲线定义即可得到12PF PF -为定值.【详解】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,则由0AP AB += ,得()()()112121,,0,0x x y y x x y y --+--=，则122x x x =-，122y y y =-，点A ,B 在双曲线22124x y -=上,222211221,12424x y x y ∴-=-=，则22212212416,248y x y x -=-=()()222212122222x y x x y y ∴-=---()()()2222121212121212828442042x x x x y y y y x x y y =+--+-=--，设,OA OB k k 分别为直线OA ,OB 的斜率,根据题意,可知2OA OBk k ⋅=,即12122y y x x ⋅=，121220y y x x ∴-=22220x y ∴-=，即2211020x y -=P ∴在双曲线2211020x y -=上,设该双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可知||12||||PF PF -为定值，该定值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()0a c a c b b a -++-=．（1）求C ；（2）若c =ABC 的面积是2，求ABC 的周长．【答案】（1）π3.（2）.【解析】【分析】（1）将()()()0a c a c b b a -++-=化为222a b c ab +-=，由余弦定理即可求得角C .（2）根据三角形面积求得2ab =，再利用余弦定理求得3a b +=，即可求得答案.【小问1详解】由题意在ABC 中，()()()0a c a c b b a -++-=，即222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，由于(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题意ABC 的面积是32，π3C =，即133sin ,2242ABC S ab C ab ab ===∴= ，由c =2222cos c a b ab C =+-得2223()6,3a b ab a b a b =+-=+-∴+=，故ABC 的周长为a b c ++=.18.已知数列{}n a 满足，()*1232311112222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >．【答案】（1）2nn a =（2）()12326n n S n +=-+【解析】【分析】(1)利用递推式相减得出2n n a =，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前n 项和【小问1详解】1232311112222n n a a a a n ++++= ，①则()12312311111122222n n a a a a n n --++++=-≥ ，②①-②得11(2)2n n a n =≥，则2(2)n n a n =≥，当n =1时，由①得1112a =，∴1122a ==，∴2n n a =.【小问2详解】易得()212nn b n =-，()123123512222n n S n =⋅+⋅+∴+-⋅+ ，①()21341232522212n n S n +=⋅+⋅+⋅+∴+- ，②②-①得()()34112122222n n n S n ++=--++++- ()()21228212n n n +++=----()12326n n +=-+，故()12326n n S n +=-+，当2n ≥时，()12320n n +->6n S ∴>19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）π4【解析】【分析】（1）先用几何关系证明π3A ∠=，然后根据余弦定理求出BD ，结合勾股定理可得BD AD ⊥，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，结合面面垂直的性质先说明可以在G 处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【小问1详解】取AB 中点E ，连接CE ，根据梯形性质和2AB CD =可知，CD //AE ，且CD AE =，于是四边形ADCE 为平行四边形，故2CE AD BE CB ====，则CEB 为等边三角形，故π3A CEB ∠=∠=，在ABD △中，由余弦定理，222π2cos 1648123BD AB AD AB AD =+-⨯⨯=+-=，故BD =，注意到22212416BD AD AB +=+==，由勾股定理，π2ADB ∠=，即BD AD ⊥，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，根据面面垂直的性质定理可得，BD ⊥平面APD .【小问2详解】过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，连接EG ，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PG ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理，PG ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，PG AD ⊥，故AG GD =（三线合一），由AE EB =和中位线性质，GE //BD ，由（1）知，BD ⊥平面APD ，故GE ⊥平面APD ，于是,,GA GE GP 两两垂直，故以G 为原点，,,GA GE GP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，BD ⊥平面APD ，又BD //y 轴，故可取(0,1,0)m =为平面APD的法向量，又P，(B -，根据题意，2BF FP = ，设(,,)F x y z，则()()1,2,,x y z x y z +-=--，解得12323,,333F ⎛- ⎝⎭，又(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(2,0,0)DA = ，42323,,333FA ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面FAD 的法向量(,,)n a b c = ，由00n DA n FA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0423230333a a =⎧⎪⎨--=⎪⎩，于是(0,1,1)n =- 为平面FAD 的法向量，故2cos ,2m n m n m n⋅=== ，二面角大小的范围是[]0,π，结合图形可知是锐二面角，故二面角F AD P --的大小为π420.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得，2 6.92s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在[]12.14,22.66以外的人数为Y ，求()1P Y ≥．2.63≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈．【答案】（1）17.4（2）0.3723【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式,即可求解.(2)根据已知条件,可知，217.4, 6.92μσ==，即可求出212.14,222.66μσμσ-=+=，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式,即可求解.【小问1详解】估计样本中女生短跑成绩的平均数为:()120.02140.06160.14180.18200.05220.03240.02217.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；【小问2详解】该校女生短跑成绩X 服从正态分布()17.4,6.92N ,由题可知217.4, 6.92μσ==， 2.63σ=≈，则212.14,222.66μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在[]12.14,22.66以外的概率为：1(12.1422.66)10.95450.0455P X -≤≤=-=，由题意可得,~(10,0.0455)Y B ,10(1)1(0)10.954510.62770.3723P Y P Y ≥=-==-≈-=.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为22，B 为椭圆C 上一动点，FAB 面积的最大值为212+．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于M ，N 两点，x 轴上点P 满足PM PN =，若MN FP λ=，求λ的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）λ=.【解析】【分析】（1）由题意可得22c e a ==，121()22a c b ++=，再结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，设0(,0)P x ，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由PM PN =可得0212x t =-+，再根据MN FP λ=可求得结果.【小问1详解】因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==，因为FAB面积的最大值为12+，所以121()22a cb ++=，因为222a bc =+，所以解得1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】(1,0)F -，设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，不妨设12y y >，设0(,0)P x ，由22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty +--=，则12122221,22t y y y y t t -+==++，所以12y y -==，因为PM PN =，所以2222101202()()x x y x x y -+=-+，所以222212102012220x x x x x x y y --++-=，所以12120121212()()2()()()0x x x x x x x y y y y +---+-+=，所以12120121212(11)()2()()()0ty ty ty ty x ty ty y y y y -+----+-+=，因为120y y -≠，所以12012(2)2()0t ty ty x t y y +--++=，所以20222222022t t t x t t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，所以20222222022t x t t --+=++，解得0212x t =-+，因为MN FP λ=，所以222MN FP λ=，0λ>，所以222212120()()(1)x x y y x λ-+-=+，222212120()()(1)ty ty y y x λ-+-=+2222120(1)()(1)t y y x λ+-=+，所以22222222288(1)(1)(2)(2)t t t t t λ+++=++，化简得28λ=，解得λ=±，因为0λ>，所以λ=22.已知函数()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+．（1）当1m =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,∞+上是单调递增的（2）2m ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导，从而确实()f x '为正及()f x 的单调性；（2）令()()()1(m )ln 1R x x x m x g =+--∈，然后分2m ≤和m>2两种情况讨论()g x 的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当1m =时，()1ln 1x f x x x -=-+，定义域为()0,∞+()()()()()2222212111121x x x f x x x x x x x +-+'=-==+++，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上是单调递增的.【小问2详解】当1x >时，()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+，()0f x >等价于()()()()1ln 1g m x x x m x R =+--∈，则()0g x >，1g ()ln 1x x m x '=++-，令()1ln 1m h x x x =++-，则22111()x h x x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，则()g x '在()1,+∞上是单调递增的，则()(1)2g x g m ''>=-①当2m ≤时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上是单调递增的，所以()(1)0g x g >=，满足题意．②当m>2时，(1)20g m '=-<，(e )e 1e 10m m m g m m --'=++-=+>，所以0(1,e )mx ∃∈，使00()g x '=，因为()g x '在()1,+∞上是单调递增的所以当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上是单调递减的，又(1)0g =，即得当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不满足题意．综上①②可知：实数m 的取值范围2m ≤.。

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．210B ．2613C ．1313D 13 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．83．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（）A ．221111a b <++ B 33a bC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+5．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 7．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（） A ．2B ．4C ．12D ．810．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m的取值范围是（）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]11．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．212．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省高考数学模拟试卷5套(附答案解析)

高考数学模拟试卷一二总分题号得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．2.已知复数z=i（1+i），其中i是虚数单位，则复数z的虚部是______．3.如图是一个算法的流程图，则输出的S的值是______．4.袋中装有3 个红球，2 个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2 个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为______．5.某学校组织部分学生参加英语口语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若不低于60 分的人数是35 人，则参加英语口语测试学生人数是______．的终边经过点6.在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作角α，已知角P（-2，1），则tanα的值是______．7.设正项数列{a}为等差数列，S为数列{a}的前n项和，已知a2-a=9，S-2a=2，n n n 2 3 4 4 则a10=______．8.已知函数，且f（3）=1，则实数a的值是______．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，F ，F 分别是椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点，1 2 椭圆上一点 P 满足 PF ⊥F F ，若三角形 PF F 为等腰直角三角形，则该椭圆的离 2 12 1 2 心率是______．10. 已知球 O 的半径 R = ，圆柱内接于球 O ，若圆柱的轴截面是一个正方形 ABCD ，则圆柱的表面积为______．11. 已知实数 x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，则 x +y 的最小值是______．12. 已知直线的值为______．13. 如图，在△ABC 中，已知 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，且=8，则实数 λ 的值为______．与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点，若 =0，则实数 m，若 14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边依次为 a ，b ，c ，a +b =2c cos B ，则的最小值为______．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）15. 如图，在三棱锥 P -ABC 中，平面 PAB ⊥平面 ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为 AB ，PA的中点．（1）求证：PB ∥平面 MNC ；（2）若 AC =BC ，求证：平面 PAC ⊥平面 MNC ．16. 已知在斜三角形 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且 tan A +tan B -tan A tan B + =0，3a =b ．（1）若 a =1，求△ABC 的面积；（2）求 tan A 的值．17.华人著名建筑设计师贝津铭设计的“苏州博物馆”用中国元素和几何元素营造中国气度和内涵．其中一处平面图纸设计如图所示，在矩形ABCD中，阴影区域为墙体涂料部分，空白区域为墙体玻璃部分（边界面积忽略不计），点P，Q是矩形边长AB，CD的中点，且EF=2AE，设∠PEH=∠PFH=θ，θ∈（0，），PE=a（米）．（1）若a=5 米，用θ表示墙体的总面积为S（即矩形ABCD的面积），并求S的最大值；（2）若PQ=10 米，求墙体涂料部分（即阴影区域）面积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的左右顶点分别为A、B，右准线方程为直线x= ，以右顶点B为圆心，半径为r（r＞0）的圆B交椭圆于点P，Q（点P位于x轴上方），直线AP与圆B相交于另一点C．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线OP与圆B相切，求圆B的标准方程；（3）若BP=PC，求直线AP的方程．19.已知函数f（x）=a ln x-x+1．（1）若函数f（x）在x=1 处取得极大值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有唯一零点，求实数a的值；（3）若不等式对任意实数x＞0 恒成立，求实数a的取值范围．20.己知等比数列{a}首项a=1，公比为q，S为{a}的前n项和．数列{b}满足b=1，n 1 n n n 1且b=max{b+S，b+ ，…，b+ }，设C=（n-1）（b-b）．n 1 1 2 n-1 n n n-1（1）若公比q=1，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}单调递增，①求证：单调递增；②求{C n}的前n项和；（3）数列中是否存在无穷等差子数列？若存在，求出所有满足条件q的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】{1，2，3}【解析】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}由集合A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵z=i（1+i）=-1+i，∴复数z的虚部是1．故答案为：1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】9【解析】解：模拟程序的运行，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，执行循环体，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，执行循环体，n=3，s=9，a=7此时，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为9．故答案为：9．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】【解析】解：从袋中任意地同时摸出两个球共C2=10 种情况，其中有C1C1=6 种情况5 3 2是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可知：故其摸出的两球颜色不同的概率为= ；故答案为：利于分布的计数原理，先从袋中任意地同时摸出两个球共C52=10 种情况，再求其中有C1C1=6 种情况是两个球颜色不相同；由古典概型概率的定义可得．3 2本题考查古典概型的概率，分布和分类的计数原理，是基础题．5.【答案】100【解析】解：由频率分布直方图得不低于60 分的频率为：（0.020+0.015）×10=0.35，∵不低于60 分的人数是35 人，∴参加英语口语测试学生人数为：=100．故答案为：100．由频率分布直方图得不低于60 分的频率为0.35，再由不低于60 分的人数是35 人，能求出参加英语口语测试学生人数．本题考查参加英语口语测试学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.【答案】-1的终边经过点P（-2，1），【解析】解：∵角∴tan（）=- ，= =-1，则tanα=tan（α+- ）=故答案为：-1根据三角函数的定义得tan（）=- ，然后利用两角和差的正切公式进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及两角和差的正切公式进行化简是解决本题的关键．7.【答案】28【解析】解：设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，n 1由a2-a=9，S-2a=2，2 3 4 4得，解得a1=1，d=3．∴a=a+9d=1+9×3=28．10 1故答案为：28．设正项等差数列{a}的首项为a，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解n 1可得首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项和，是基础的计算题．8.【答案】-1【解析】解：∵函数，且f（3）=1，∴f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，解得a=-1．∴实数a的值是-1．故答案为：-1．推导出f（3）=f（1）=f（-1）=（）-1+a=1，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．9.【答案】-1【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，离心率的计算，属于中档题．计算 PF ，根据 PF =F F 列方程得出 a ，b ，c 的关系，从而得出椭圆的离心率．2 2 1 2 【解答】解：设 F 2（c ，0），把 x =c 代入椭圆方程可得 y =± ，∵PF ⊥F F ，∴PF = ， 2 1 2 2∵三角形 PF F 为等腰直角三角形，PF ⊥F F ， 1 2 2 12 ∴ =2c ，即 a 2-c 2-2ac =0，∴e 2+2e -1=0，解得：e = -1 或 e =-1- （舍）．故答案为： -1．10.【答案】6π【解析】解：作出轴截面如图，∵球 O 的半径 R = ，直径为，∴圆柱的高与底面直径为 2，圆柱的底面半径为 1，∴圆柱的表面积为 2×π×12+2π×1×2=6π．故答案为：6π．由题意画出图形，求出圆柱的高与底面直径，则答案可求．本题考查球内接圆柱表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】3+2【解析】解：x ＞0，y ＞0，且 x +2y =xy ，∴ ，∴x +y =（x +y ）（）=3+ ，即 y =1+ ，x =，当且仅当且时取等号，故答案为：3+2 由已知可得，．，从而有 x +y =（x +y ）（），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用 1 的代换配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于基础试题． 12.【答案】±2【解析】解：根据题意，直线=0，则 OA 与 OB 垂直，△AOB 为等腰直角三角形，又由 O ：x 2+y 2=4，其圆心为（0，0），半径 r =2，则 O 到 AB 的距离 d = r = 与圆 O ：x 2+y 2=4 相交于 A ，B 两点，若，则有 d = = ，解可得 m =±2 ，故答案为：±2根据题意，由 =0，分析可得△AOB 为等腰直角三角形，由圆的方程分析圆心与半径，进而可得 O 到 AB 的距离 d = r = ，由点到直线的距离公式可得 d == ，解可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算以及性质，属于基础题． 13.【答案】【解析】解：因为，且 =8，所以（）• =8，所以（ +λ ）• =8，所以[（1-λ）所以（1-λ） ]• =8， 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，所以 6（1-λ）+9λ=8，=6，所以故答案为：．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算得：由， =8，所以（）• =8 ，所以（1-λ）=6，所以 2=8，由 AC =4，AB =3，∠BAC =60°，所以| |=4，| |=3，，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．14.【答案】【解析】解：∵a +b =2c cos B ，∴由正弦定理可得：sin A +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +cos B sin C +sin B =2sin C cos B ，可得：sin B cos C +sin B =sin C cos B ，可得： sin B =sin C cos B -sin B cos C =sin （C -B ），∵B ，C ∈（0，π），B -C ∈（-π，π），∴B =C -B ，或 B =π-（C -B ），解得：C =2B ，或 C =π（舍去），∴B ∈（0，），∴= •= •= = = == ；使得分母最大时，所求有最小值．即：转换为求分母）-2cos3B+2cos B的最大值．令f（B）=-2cos3B+2cos B，B∈（0，），f′（B）=6cos2B sinB-2sin B=2sin B（3cos2B-1），B∈（0，），利用导函数求最值易知：在（0，B）时f′（B）＞0；在（B，）时，f′（B）＜0；∴在当cos2B= 时，函数f（B）=-2cos3B+2cos B有最大值，B∈（0，），即：cos2B= 时，cos B= 时，f（B）=-2cos3B+2cos B= 为最大值．故所求最小值为：，故答案为：，根据已知a+b=2c cos B由正弦定理化简，再化简利用三角函数求分母最大值即可．本题主要考察了正弦定理的应用，二倍角公式，两角和差公式，三角形内角和的应用，三角函数求最值，属于中档题．15.【答案】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（2）∵AC=BC，∴CM⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面PAB，∴CM⊥PA，∵PA⊥PB，PB∥MN，∴PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，∴PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面MNC．【解析】（1）由中位线定理得MN∥PB，故而PB∥平面MNC；（2）证明CM⊥平面PAB可得CM⊥PA，再根据PA⊥PB得PA⊥MN，于是PA⊥平面MNC ，从而有平面PAC⊥平面MNC．本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定，属于中档题．16.【答案】解：（1）∵在斜三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且tan A+tan B- tan A tan B+ =0，a=1，∴3a=b=3，且tan（A+B）= = =- ，∴A+B= ，C= ．∴△ABC的面积为S= ab•sin C= •1•3•sin = ．= ，S= = •bc•sin A= •3••sin A，（2）由余弦定理可得c=∴sin A=．= = ，又A为锐角，故cos A=∴tan A= = ．【解析】（1）由题意利用两角和的正切公式求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，进而得到C的值，由△ABC的面积为S= ab•sin C，计算求得结果．（2）先由余弦定理求得c，根据△ABC的面积求得sin A的值，可得cos A的值，进而求得tan A= 的值．本题主要考查两角和的正切公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵PE=a=5，∠PEH=∠PFH=θ，∴PH=5sinθ，EH=5cosθ，则墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．当，即θ=时，S有最大值为；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，此时阴影区域的面积S1=5sinθ•5cosθ=25sinθcosθ．当且仅当sinθ=cosθ，即θ=时取最大值25．【解析】（1）由题意，PH=5sinθ，EH=5cosθ，可得墙体的总面积为S=10cosθ（5sinθ+5cosθ）=25sin2θ+25（1+cos2θ）= （0＜θ＜）．然后利用三角函数求最值；（2）当PQ=10 时，有5sinθ+5cosθ=10，即sinθ+cosθ=2，写出阴影部分面积，再由基本不等式求最值．本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了三角函数最值的求法，是中档题．18.【答案】解：（1）由题意可知，解得a=2，c= ，∴b2=a2-c2= ，∴椭圆的标准方程为：．（2）∵直线OP与圆B相切，∴OP⊥BP，且BP=r，由（1）可知OB=2，过P作PD⊥AB，垂足为D，则Rt△PBD∽RtOBP，∴，即，故BD= ，∴PD= ，OD=2- ，即P（2- ，），+ =1，把P代入椭圆方程可得：解得：r2=2，∴圆B的标准方程为（x-2）2+y2=2．（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），显然k＞0，直线AP的一般式方程为：kx-y+2k=0，∴B到直线AP的距离d= ，联立方程组，消去y可得：（1+3k2）x2+12k2x+12k2-4=0，设P（x，y），则-2+x=- ，即x1= ，∴y1= ，1 1 1∴r=PB= = ，若BP=PC，则△PBC为等边三角形，故d= r，•，解得：k2= ，即k= ，即=∴直线AP的方程为：y= （x+2）．【解析】（1）根据离心率和准线方程列方程组得出a，b的值即可得出椭圆方程；（2）根据三角形相似列比例式，用r表示出P点坐标，代入椭圆方程求出r的值即可得出圆B的方程；（3）设直线AP的方程为y=k（x+2），求出P点坐标，计算PB与B到直线AP的距离d，根据△BPC为等边三角形列方程求出k的值即可得出直线AP的方程．本题考查了椭圆的性质，直线与圆、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：（1），因为函数f（x）在x=1 处取得极大值，f′（1）=a-1=0，则a=1；所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增；则当x=1 时，函数f（x）有极大值；所以a=1；（2）f（1）=0当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；所以a≤0时满足函数f（x）有唯一零点；当a＞0 时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，+∞）上单调递减；函数f（x）有唯一零点，则f（a）=0，即a=1；所以a≤0或a=1 时函数f（x）有唯一零点；（3）不等式对任意实数x＞0 恒成立；即不等式则对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；或或或或则对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；对任意实数 x ＞0 恒成立；故不满足条件；则则对于对于当 x =1 时，，设，则； ①当 a ≤0 时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上单调递减，且当 x →0 时，h （x ）→+∞，故不满足条件；②当 a ＞0 时，h （x ）在（0，2a ）上单调递增，在（2a ，+∞）上单调递减；所以 h （x ）max =h （2a ）=a ln2a -a ＜0，即；故实数 a 的取值范围：；【解析】（1）f ′（1）=a -1=0，则 a =1，再验证单调性，确定函数 f （x ）在 x =1 处取得极大值；（2）讨论函数的单调可知：a ≤0 时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （1）=0 满足，当 a ＞0 时，f （x ）在（0，a ）上单调递增，f （x ）在（a ，+∞）上单调递减，分析零点位置；（3）不等式对任意实数 x ＞0 恒成立，即或对任意实数 x ＞0 恒成立；再分别讨论两个函数的最值即可；本题考查函数的极值，零点问题，零点存在性定理，恒成立求参数问题，考查利用导数考查函数单调性，分析函数最值，属于难题．20.【答案】解：（1）a =1，S =n ．因为 b =max{b +S ，…，b + }≥b + =b n -1+1， n n n 1 1 n -1 n -1所以数列{b n }单调递增．所以 b +S ＜b + ＜…＜b + ，所以 b =b + =b +1，所以数列{b }是 1 为首项， 1 1 2 n -1n n -1 n -1 n 公差为 1 的等差数列．所以 b n =n ．（2）①因为{a }单调递增，所以 a =q ＞1，所以 S = ，． n 2n 令 f （x ）=，则 f '（x ）= ，令 g （x ）=q x （x ln q -1）+1，则 g '（x ）=q x x ln 2q．当 x ＞0 时，g '（x ）＞0，所以 g （x ）单调递增，g （x ）＞g （0）=0，所以 f '（x ）＞0，所以 f （x ）单调递增．所以数列{ }单调递增．②因为数列{ }单调递增，所以≥S1=1，所以b=max{b+S，…，b+ }≥b+ ＞b，n 1 1 n-1 n-1 n-1所以数列{b n}单调递增．所以b+S＜b+ ＜…＜b+ ，所以当n≥2时，b=b+ ⇒C=（n-1）（b-b）1 12 n-1 n n-1 n n n-1=S= ；C1=0．n-1所以C+C+…+C= = ．1 2 n（3）i．当q=1 时，=1，本身就是无穷等差数列．ii．当q=-1 时，是无穷等比数列．iii．当|q|∈（0，1）时，0＜＜．假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．时，＜|B|，因此不存在无穷多项值为若A=0，因为≠0，所以B≠0，则当n＞B，矛盾；若A≠0，则存在正整数n，使得|An+B|＞，与＜≤矛盾．iv．当q＞1 时，由（2）知单调递增．令dn== ，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B，则A＞0．d n-n= + + ，令h（x）=q x-2x（x+1），则h'（x）=q x ln q-4x-2，h''（x）=q x ln2q-4．所以存在正数N使得当n＞N时，d-n＞0，即d＞n．n n所以当n＞N且，n＞A时，＞= ≥dn＞n＞A，矛盾．v．当q＜-1 时，假设存在无穷等差子列{ }，其中=An+B．因为S2n＜0，S2n+1＞0，，同iv矛盾．所以当A＞0 时，考虑，当A＜0 时，考虑综上，q=±1．【解析】（1）最重要的是要比较max 中各个元素的大小，从而确定bn的递推公式；（2）可以借用函数的单调性来分析数列的单调性；（3）此数列的性质由公比q决定，|q|＜1 时是有界的，|q|＞1 时是增长很快的，远比等差数列增长来的快，因此都不满足．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、数列的单调性等问题，运用了分析法、分类讨论等方法，属于难题．高考数学模拟试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分）1.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数对应的点位于第______象限．3.“a＞b”是“ln a＞ln b”的______条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）4.将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的方差为______．5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，则数学建模社团被选中的概率为______．6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为______．7.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为______．8.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，过直线O O的平面截该圆柱所得的1 2 1 2截面是面积为16 的正方形，则该圆柱的表面积为______．，=2 ，则9.平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足：=3=______．10.若函数f（x）=cos x-sin x在[-a，a]是减函数，则a的最大值是______．11.已知函数f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2 个零点，则实数a取值范围是______．12.已知公差为d等差数列{a}满足d＞0，且a是a，a的等比中项．记b=a（n∈N+n 2 1 4 n ），则对任意的正整数n均有+ +…+ ＜2，则公差d的取值范围是______ ．13.已知点Q（0，5），若P，R分别是⊙O：x2+y2=4 和直线y= 上的动点，则||的最小值为______14.用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，已知实数x，y满足0≤x≤y≤10，设M=max{xy，xy-x-y+1，x+y-2xy}，则M的最小值为______二、解答题（本大题共10 小题，共120.0 分）15.已知角α的顶点与原点0 重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求tan2α的值；（2）若角β满，求cosβ的值．16.如图，在斜三棱柱ABC-A B C中，侧面AA C C是菱1 1 1 1 1形，AC与A C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥1 1平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC⊥A B，求证：AC⊥BC．1 1 117.已知椭圆=1 的离心率为，以椭圆的2 个焦点与1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，求直线l的方程．18.如图（1）是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下：如图（2），自直立于水面的空中平台CP的上端点P处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA，PM，PB，水滑道的下端点B，M，A 在同一条直线上，CM=10m，∠BCA=120°，CM平分∠BCA，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B，M，A均在过C且与PC垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求S△PCB+S△PCA≤2S△ACB．（1）求滑梯的高PC的最大值；（2）现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R），设直线l，l分别是曲线y=f（x1 2）的两条不同的切线．（1）若函数f（x）为奇函数，且当x=1 时f（x）有极小值为-4．（i）求a，b，c，d的值；（ii）若直线l亦与曲线y=f（x）相切，且三条不同的直线l，l，l交于点G（m，3 1 2 34），求实数m的取值范围；（2）若直线l∥l，直线l与曲线y=f（x）切于点B且交曲线y=f（x）于点D，直1 2 1线l2 和与曲线y=f（x）切于点C且交曲线y=f（x）于点A，记点A，B，C，D的横坐标分别为x，x，x，x，求（x-x）：（x-x）：（x-x）的值．A B C D A B B C C D20.如果数列{a}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a=a a”，则n k i j称数列{a}具有“性质P”．已知数列{a}是无穷项的等差数列，公差为dn n（Ⅰ）若a=2，公差d=3，判断数列{a}是否具有“性质P”，并说明理由；1 n（Ⅱ）若数列{a}具有“性质P”，求证：a≥0且d≥0；n 1（Ⅲ）若数列{a}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a=2018，这样的数列共n k有多少个？并说明理由．21.已知矩阵A= ，向量= ．求向量，使得A2 =b．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是方程是上运动，求△PAB的面积的最大值．（t为参数），圆C的参数（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P在圆C23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．24.如图，将一个正三角形ABC的每一边都n（n≥2）等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网．记f（n）为n等分后图中所有梯形的个数．（1）求f（2），f（3）的值；（2）求f（n）（n≥4）的表达式．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：A={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】一【解析】解：∵= ，∴复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故答案为：一．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】必要不充分【解析】解：由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．∴a＞b”是“ln a＞ln b”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．由“ln a＞ln b”⇒a＞b＞0，反之，由a＞b无法推出“ln a＞ln b”．即可判断出关系．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】6【解析】解：将某选手的7 个得分去掉1 个最高分，去掉1 个最低分，现场作的7 个分数的茎叶图如图，则5 个剩余分数的平均数为：= （87+90+91+93+94）=91，∴5 个剩余分数的方差为：S2= [（87-91）2+（90-91）2+（91-91）2+（93-91）2+（94-91）2]=6．故答案为：6．先求出则5 个剩余分数的平均数，由此能求出5 个剩余分数的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，是基础题．基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，由此能求出数学建模社团被选中的概率．【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4 个社团中随机选择2 个，基本事件总数n= =6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m= =3，∴数学建模社团被选中的概率为p= ．故答案为：．6.【答案】【解析】解：模拟程序的运行过程，可得：第一次运行：k=1 时，，第二次运行：k=2 时，，第三次运行：此时k=3 满足k≥3，退出循环，输出，故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，c2=a2+b2，因此该双曲线的方程为：故答案为：，解得b=2，a=2 ，．．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．8.【答案】24π【解析】解：如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，则高为h=2r，所以该圆柱的轴截面面积为（2r）2=16，解得r=2，∴该圆柱的表面积为S=2πr2+πr2h=2π•22+π•22•4=24π．故答案为：24π．根据题意求出圆柱的底面圆半径r和高h，再计算圆柱的表面积．本题考查了圆柱表面积和体积的计算问题，是基础题．9.【答案】9【解析】解：∵=3 ，=2 ，∴∴∴，，=-= ．= = ，= =．=（）•（- ）= - = 36- =9．故答案为：9．用，表示出，，在进行计算．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=cos x-sin x= cos（x+ ）在[-a，a]是减函数，∴-a+ ≥0，且a+ ≤π，求得a≤，故a的最大值为，故答案为：．由题意利用两角和的余弦公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的最大值．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题．11.【答案】[-1，+∞）【解析】解：由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ，作出函数 f （x ）和 y =-x -a 的图象如图：当直线 y =-x -a 的截距-a ≤1，即 a ≥-1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g （x ）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是[-1，+∞），故答案为：[-1，+∞）．由 g （x ）=0 得 f （x ）=-x -a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．12.【答案】[）【解析】解：因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），2 1 4 1 1 1 解得 a =d ＞0，所以 a =nd ，因此，b =2n d ， 1 n n 故，所以，故答案为：[因为 a 是 a 和 a 的等比中项，所以（a +d ）2=a （a +3d ），继而求得 a =d ，从而 ==，，）． 2 1 4 1 1 1 1的式子即可求得，列式求解即得到 d 的取值范围．本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，属于难度较大的题目，在高考中常在选择填空压轴出现．13.【答案】6．【解析】因为 P 、Q 分别是⊙O ：x 2+y 2=4 和直线 y = 上的动点，所以设点 P （2cosθ，2sinθ），点 R （m ，），所以，，所以||=，表示的是圆 x 2+y 2=4 上一点与直线 y = 直线上一点距离的最小值，圆 x 2+y 2=4 是圆心为（0，0）半径为 2 的圆，直线一般式：3x -4y +40=0，最小值为：，故答案为：6．设出点 P 的坐标和点 R 的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值．本题考查了直线与圆的综合，会结合到参数方程和向量的坐标运算，模长的求法，属于较难题目．14.【答案】【解析】令 t =x +y ，则 t ∈[0，20]．i ．当 t ∈[ ， ]时，x +y -2xy ≥x +y - =t - ≥ ，所以 M ≥ ；ii ．当 t ∈[0，）∪（，20]时，|（xy -x -y +1）-xy |=|1-t |≥ ，所以当 max{xy ，xy -x -y +1}≤ 时，（xy -x -y +1）+xy ≤ +（ - ）= ．x +y -2xy =1-（xy -x -y +1）-xy ≥ ，所以 M ≥ ；当 x =y = 或 x =y = 时，M = ；故答案为：．当 x =y = 或 x =y = 时，M = ．我们针对 x ，y 的不同范围来证明 M 的值始终≥ ．观察发现：xy ，xy -x -y +1，x +y -2xy 三者的和为定值 1，所以理论上可以 M 的最小值可以达到，但是代入检验发现不成立．虽然题干中 x ，y 具有大小关系，实际上在各代数式中还是等价的，所以可以合理猜测 M 取最小值时，x =y ，从而把答案大致猜测出来，再辅以严密的证明即可．15.【答案】解：（1）角 a 的顶点与原点 0 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点∴tanα= = ，cosα=- ，sinα=- ， ∴tan2α==- ．（2）若角 β 满当 cos （α+β）= 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =- ．当 cos （α+β）=- 时，cosβ=cos[（α+β）-α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =-= ．，=，∴cos （α+β）=±=± ．=++【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．16.【答案】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA C C是菱形，AC与A C交于点O，1 1 1 1∴O为AC1 的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′BC1；∵OE∥平面BCC B，平面平面1 1∴,∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA C C是菱形，1 1∴AC⊥A C，1 1∵AC⊥A B，A C∩A B=A，A C⊂平面A BC，A B⊂平面A BC，1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AC⊥平面A BC，1 1∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．17.【答案】解：（1）由题意可得：= ，•2cb=2 ，a2=b2+c2．联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆的方程为：+ =1．（2）设直线l方程为：y=k（x-2），A（x，y），B（x，y），AB的中点为：M（x，1 12 2 0y0）．联立，得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，∴x+x= ，，x x=1 2 1 2|AB|= |x-x|= = ．1 2∴x0= ，点M到直线x=1 的距离为d=|x0-1|=| -1|= ．以线段AB为直径的圆截直线x=1 所得的弦的长度为，得-d2= ，∴- = ，解得 k =±1．∴直线 l 的方程为：y =±（x -2）．【解析】（1）由题意可得： = ， •2cb =2 ，a 2=b 2+c 2．联立解得：a 2，b 2，c ．可得椭圆的方程．（2）设直线 l 方程为：y =k （x -2），A （x ，y ），B （x ，y ），AB 的中点为：M （x ， 1 1 2 2 0y 0）．与椭圆方程联立化为（1+3k 2）x 2-12k 2x +12k 2-6=0，|AB |=|x -x |=1 2．可得 x 0=，点 M 到直线 x =1 的距离为 d =|x 0-1|=．以线段 AB为直径的圆截直线 x =1 所得的弦的长度为，得 -d 2=，代入解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120°．化为：10x +10y =xy ．由 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．∴ xz + yz ≤2× xy sin120°，∴z ≤10 ． ∴滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ．（2）∵滑道 PB 的坡度为 30°，∴z = x ．由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30．又 10x +10y =xy ，∴y = ∴三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC = × xy •sin120°•z = ∴V ′（x ）=可得：x =15 时，V 取得最小值，V （15）= ∴该滑梯装置（即图（2）中的几何体）的体积最小值为 562.5m 3．，10＜x ≤30．，10＜x ≤30．．=562.5．【解析】（1）设 CB =xm ，CA =ym ，PC =zm ，x ，y ，z ＞0．由题意可知：S △BCM +S △ACM =S △BCA ．由∠BCA =120°，CM 平分∠BCA ，可得： CB •CM sin60°+ CA •CM sin60°= CB •CA sin120° ．根据 S △PCB +S △PCA ≤2S △ACB ．即可得出滑梯的高 PC 的最大值为 10 m ．（2）由滑道 PB 的坡度为 30°，可得 z = x ．由（1）可得： x ≤10 ，即 x ≤30．又 10x +10y =xy ，可得 y = ，10＜x ≤30．三棱锥 P -ABC 的体积 V （x ）= S △ABC •PC =，10＜x ≤30．利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不。

2023年高考数学全真模拟试卷02(新高考专用)(考试版)

绝密★考试结束前2023高考数学全真模拟试卷02（新高考专用）（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知集合{}2N 23A x x x =∈-≤，R 02x B x x ⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=（）A ．{}3B ．{}0,3C ．{}2,3D ．{}0,2,32．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知复数z 满足()23i 3z z +=，则z =（） A ．69i 1313-- B ．69i 1313-+ C ．69i 1313- D ．69i 1313+ 3．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知ABC 中，O 为BC 的中点，且4BC =，AB AC AB AC +=-，π6ACB ∠=，则向量AO 在向量AB 上的投影向量为（） A ．14AB B ．13AB C ．12AB D ．AB4．（2023·广西柳州·二模）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．cos ()xf x x= D ．()cos x f x x=5．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知π1sin cos 62αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12- B ．12C ．34-D ．346．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）在等比数列{}n a 中，公比0,n q S >是数列{}n a 的前n 项和，若1232,12a a a =+=，则下列结论正确的是（） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列C ．564S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列7．（2023·湖南永州·统考二模）如图，12,F F 为双曲线的左右焦点，过2F 的直线交双曲线于,B D两点，且223F D F B =，E 为线段1DF 的中点，若对于线段1DF 上的任意点P ，都有11PF PB EF EB ⋅≥⋅成立，则双曲线的离心率是（）AB C ．2D 8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）设191e 10a =，19b =，32ln 2c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲，乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A ．乙同学体温的极差为0.2℃B ．甲同学体温的第三四分位数．．．．为36.5℃C ．甲同学的体温比乙同学的体温稳定D ．乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等10．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AD AB AA ===，,,E F H 分别是棱11,,AD B C BC 的中点，点P 在侧面11A ADD 内，且(),BP xBE yBF x y =+∈R ，则（）A ．APB ．1A H BP ⊥C ．三棱锥P ABF -的体积是定值D ．三棱锥1P BB F -的外接球表面积的取值范围是[]12π,44π11．（2023·安徽·模拟预测）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2||||||OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>12．（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x'>.则对任意1x ，()20,x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的是（） A ．()()11e1ex x f f <B ．()222221122x x f x f x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C ．()()()1212f x x f x f x +>+D ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +>+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·天津·高三大港一中校考）若()()()()21112412012*********x x a a x a x a x a x ++=++++⋅⋅⋅++++，则01112a a a ++=______.14．（2023·全国·模拟预测）已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．（2022秋·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）已知函数()f x 为偶函数，当0x <时，()()2ln f x x x =+-，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为___．16．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为__________，编码99共出现__________次．算步骤.17．（本小题10分）（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在数列{}n a 中，114a =，111322n n n n a a++-=-．（1）证明32n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列1221n n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：43n S <．18．（本小题12分）（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，ABC 中，若角,,A B C 所对的边分别是,,,,2a b c AD DC BA BD ==.（1）证明：sin 2sin BDC BAC ∠∠=；（2）若22b a ==，求ABC 的面积.19．（本小题12分）（2023·全国·模拟预测）如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．20．（本小题12分）（2023·湖南岳阳·统考一模）8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP ，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；（2）若随机变量X 表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X 的分布列及数学期望.21．（本小题12分）（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）设椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点31,2G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点T 在直线3x =上，过T 的两条直线分别交E 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．22．（本小题12分）（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数()()21e xf x x m x nx m=--+，且曲线()y f x =在0x =处的切线为=2y -.（1）求m ，n 的值和()f x 的单调区间；（2）若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(五)试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（五）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5,7B =，则A B ⋂的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个2.已知复数52i2iz =-，则z =（）A.1B.35 C.355D.3.在ABC 中，记AB m = ，AC n =u u ur r ，则()CB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r （）A.m n- B.22m n+u r r C.22n m-r u r D.22m n-u r r 4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞5.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高分别为2和1，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PA 与CE 所成角的余弦值为（）A.B.3311C.6D.666.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（）A .0.78B.0.64C.0.58D.0.487.已知()1sinsin 2222x x x f x ⎫=-+⎪⎭.若存在0π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()20132f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,3 B.(][),03,-∞+∞ C.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭8.已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c b a<<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.空气质量指数大小分为五级.指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围[)0,50，[)50,100，[)100,200，[)200,300，[]300,500分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级.如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是（）A.这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量的中位数是196.5D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.若()2sin cos sin 2ααα-=，则角α可取的值用密位制表示可能是（）A.10—50B.2—50C.13—50D.42—5011.已知点A ，B 分别是双曲线22:14x C y -=的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，则下列说法正确的是（）A.双曲线CB.双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.12k k 为定值14D.存在点P ，使得1212k k +=12.已知()221f x x =+，()4g x x =-，若方程()()()()420f x g x f x g x ax a ---+++=有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（）A .1- B.15C.35D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含4x 的项的系数为______.14.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，则12V V 的值是______.15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30n S n+的最小值为__________．16.抛物线()2:20C y px p =>的焦点到直线10x y -+=的距离为528，点M 是C 上任意一点，点N 是圆()22:31D x y -+=上任意一点，则MN 的最小值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin sin sin A B A B +-=)sin sin A C C -.（1）求角B 的大小；（2）若BC 边上的高为2b c -，求sin C .18.设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5nn a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.19.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频率0.080.240.360.200.12（1）估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知样本中竞赛成绩在[)50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在[)50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X ，求X 的分布列及期望.20.如图所示的几何体中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，四边形PDCE为矩形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，F 为PA 的中点，N 为PC 与DE 的交点，PD =112AB AD CD ===.（1）求证：//FN 平面ABCD ；（2）若G 是线段CD 上一点，平面PBC 与平面EFG 所成角的余弦值为6，求DG 的长.21.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P ，离心率为22，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.22.已知函数()()()ln 21f x x m x m m =+-+-∈R .（1）当4m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在正整数m ，使得()0f x ≤恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.。

2020高考数学仿真模拟试卷三及答案解析点拨(65张)

之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形(这个矩形的长不小于宽)，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
10．已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B
两点，O 为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB 的面积为( )
A. 6
B．2 2
C．2 3
D．4
答案 A
解析由题意，易知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为
y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得 y2－4ky－4＝0，设 A(x1，y1)，B(x等差数列前 n 项和公式及通项公式，得
S9＝9a1＋9×2 8d＝27， a10＝a1＋9d＝8，
解得ad1＝＝1－，1，
an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选 C.
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
4套仿真模拟
2020高考仿真模拟(三)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集 R，集合 A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则
则 y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，则|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝4 1＋k12，由弦长公
式可得
1＋k12×|y1－y2|＝41＋k12＝6，∴k2＝2，|y1－y2|＝2 6.三角形的面
积为 S＝12|OF|×|y1－y2|＝12×1×2 6＝ 6.故选 A.