ANOVA分析例题
Single（7）
单因素单向分组方差分析
例1、北京农业大学从南斯拉夫引进15个T型恢复材料，为了研究其应用价值，以农大139为对照，进行了个农艺性状表现的观察。其中6个恢复材料和农大139各5个单株抽穗期观察结果如表1：
表1 引进恢复系抽穗期观察资料
恢复系
单株抽穗期
12345
PI2770161111101211
Lot-11313121414
Texas1212131212
zgR2806-781312121313
zgR2268-781819181819
vk-64-281918201919
农大1391011101110例2、5个玉米品种的盆栽试验，调查了穗长（cm）性状，得资料如下表2，试检验品种穗长间有无差异。（各处理的重复数不等）
表2 5个玉米品种的穗长
品种穗长（cm）重复数
B121.519.5202218206
B21618.51715.520166
B31917.52018175
B42118.519204
B515.51817164例3、表3为同一公猪配种的3头母猪所产的各头仔猪的断奶时体重（斤），试分析母猪对仔猪体重效应的差异显著性。（每组样本容量不等）
表3 三头母猪的仔猪断奶时体重
母猪别n i观察值
No.182422.5242022232222.5
No.271919.52023.5192116.5
No.39161615.520.51417.514.515.519
单因素双向分组方差分析
小区内没有重复观察值
例4、5个水稻品种的产量比较试验，随机区组设计，4次重复，获得每个小区产量（Kg）资料如表4所示：试分析这5个水稻品种间产量水平有无显著差异。
表4 水稻5个品种的每区产量（Kg）
品种
区组（重复）
ⅠⅡⅢⅣ
农林130********
西海6753525051
十石52585557
农林8758565353
农林1853515455
例5、将一种生长激素配成M1、M2、M3、M4、M5五种浓度，并用H1、H2、H3、三种时间浸渍某大豆品种的种子，45天后得各处理每一植株的平均干物重（g）于下表5，试作方差分析。
表5 生长激素对大豆干重的影响
M i
（生长激素）
H i（时间）
H1H2H3
M1131414 M2121213 M3333 M410910 M5254
小区内有重复观察值
例6、北京农业大学以4×5的两个亲本杂交设计研究亲本配合力，随机区组设计3次重复，从样段内随机抽取10株进行考种，其中5个组合和对照农大139的结实小穗数部分资料如下表6：（部分是指其中5个组合+CK，3次重复，每小区5株的考种数据。）
表6 两组亲本杂交结实小穗数部分资料
1151617151615151516151514151616
2151516151515151415161514151616
3141415131416161416151614151516
4151616151615161516151517171415
5161717171716171817171819171718农大139141413121213131212121212141313例7、对A、B、C、D、E 5个杂优水稻品种的干物质积累过程进行了系统的测定，随机区组设计，2次重复，每小区5株观察数据。试作方差分析。统计数据如下表7：
表7 5个杂优水稻品种干物质积累资料
重复品种
ⅠⅡ1234512345
A7.88.99.211.410.512.110.68.79.910.1 B7.48.88.97.89.8 6.2 6.6 5.37.58.1 C12.610.211.411.812.115.215.112.312.512.9 D 5.8 4.7 6.67.47.9 6.4 6.88.17.27.9 E13.815.113.412.616.611.717.215.615.115.8
Double（4）
两因素完全随机试验的方差分析
例1、为了研究不同的田间管理方法对草莓产量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分成3个小区，随机安排3种田间管理方法，所得结果见下表1，进行方差分析。（两因素交叉分组单个观察值试验资料）。
表1 各地块不同管理措施的草莓产量
地块（A）
田间管理方法（B）
B1(化学控制)B2（集成虫害管理）B3（改良集成虫害管理）
A1717377
A2909092
A3597080
A4758082
A5656067
A6828685
例2、某毛纺织厂为了研究毛纱与股线在选取不同捻度时对某种毛织物强力的影响，特选用了表2.1的因素水平。（多个观察值试验资料）表2.1 2因素3水平捻度表单位：捻/米
按照以上不同捻度水平的毛纱、股线经织造与后整理，然后对该毛织物做强力试验，测得强力值数据如表1.2所示（每个方案下共试验3次）。
表2.2 毛织物强力测试数据表单位：Kg 处理测试数据
A1B1616261
B2606162
B3616161 A2B1606061
B2605961
B3626061
A3B1606062 B2636463 B3606061
两因素随机区组试验的方差分析
例3、将水稻的3个不同细胞质源的不育系（A1、A2、A3）和5个恢复系（B1、B2、B3、B4、B5）杂交，配成15个F1。采用随机区组设计，重复2次，小区计产面积6m2。小区稻谷产量（公斤）列于下表3。试作分析。
表3 水稻杂交小区稻谷产量资料
处理
区组
ⅠⅡ
A1B1 4.3 4.1 B2 4.9 4.8 B3 3.9 3.6 B4 4.8 4.0 B5 4.7 4.5
A2B1 5.2 4.7 B2 5.0 5.2 B3 3.8 3.4 B4 4.9 4.8 B5 5.0 5.8
A3B1 4.6 4.7 B2 4.4 4.2 B3 3.5 3.4 B4 3.4 3.6
B5 3.7 4.2
例4、为了研究不同的种植密度和商业化肥对大麦产量的影响，将种植密度（A）设置3个水平，施用的商业化肥（B）设置5个水平，交叉分组，重复4次，完全随机设计。产量结果（Kg/小区）列于下表4，分析种植密度和施用的商业化肥对大麦产量的影响。(两因素交叉分组有重复观察值试验)。
表4、不同种植密度和商业化肥的大麦试验的产量结果（Kg/小区）
B1B2B3B4B5
A12726313025 2925303025 2624303126 2629313024
A23028313228 3027313429 2826303328 2925323227
A33333353530 3334333429 3434373331 3235353530
Triple（3）
三因素随机区组试验的方差分析
例1、有一棉花栽培试验，A因素为品种，有A1=陆地棉，A2=草棉两个水平；B因素为播期，B1=谷雨播，B2=立夏播两个水平；C因素为密度，C1=3500株/亩，C2=7000株/亩，C3=10500株/亩三个水平。随机区组设计，重复3次，小区计产面积40m2。
表1 各处理对应小区产量资料（Kg）
处理
区组
ⅠⅡⅢ
A1B1
C1121413
C2121111
C31099 B2
C11099
C2998
C3667
A2B1
C1324
C2434
C3767 B2
C1223
C2345
C3577
例2、有一荞麦品种抗旱性和耐热性试验，A因素为品种，A1=美国荞麦，A2=通选90荞麦，A3=蒙87荞麦，A4=大黑三棱荞麦；B因素为时间（种子处理：取饱满发芽力强的四种荞麦种子分别放于室温中浸润吸水，然后放于温箱中25℃下发芽，芽长1cm时取出分别进行干处理的时间），B1=18小时，B2=24小时，B3=48小时；C因素为温度（干处
第一节 量纲分析方法
第一节量纲分析方法 量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。 1.1量纲 当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。按照国家标准（GB3101—93），物理量?的量纲记为dim?，国际物理学界沿用的习惯记为[?]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如： 速度v = ds/dt 量纲：[]V =1 LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2 []a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --== 压强P = F/S 量纲： 22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此 时记为[][]1e π==。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的
量纲分析
1．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系. 解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲. 量纲矩阵为： A=) ??????? ???---ρ()() ()()()()(001310013212s v P T M L 齐次线性方程组为： ?? ? ??=--=+=-++0 30 32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得 1 1 31ρπs v P -=， 1 1 3ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 2．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞 系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式. 解：设v , ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1， [ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为 A=) ()()()()()()(210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即 ??? ??==+=+0 2y -y - y -0 y y 0y y -3y -y 431 324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得 g v μρπ1 3--=. 3 ρ μλg v =∴，其中λ是无量纲常数.
[量纲分析]习题
习题 1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？ 2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。 3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？ 4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。 5、求谐振子的自振频率。 6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。 7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更 为本质？ 8、从隐函数法证明π定理。 9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。 10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。 11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明 其物理原因。 12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度 的缩比范围？ 13、作船舶润湿面积的量纲分析。 14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。 15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。 16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。 17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。 18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。 19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？ 20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？ 21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。 22、求有限弹性体的固有周期。 23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？ 24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？ 25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。 26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？ 27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。 28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？ 29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。 30、估计和比较含水地层中弹性变形和渗流的传播时间。 作业上交时间可能在期中的时候，请小伙伴们相互转告。
量纲分析法原理
量纲与谐原理 我们经常遇到许多物理量,如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名称、记号与量纲如表所示。 表1 流体力学中常见物理量的量纲 速度表示单位时间内所经历的距离,它的单位就是[米/秒]。距离就是长度l ,它的量纲就是[L ],而时间t 的量纲就是[T ],故速度v 的量纲就是[1LT -]。 动量就是质量m 与速度v 之积。质量的量纲就是[M ],故动量的量纲就是[1MLT -]。 如果我们选定三个相对对立的,例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲,那么其她物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示,例如,加速度a 的量纲可表示为[2LT -],力F 的量纲可表示为[2LMT -]。当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时,用量纲表示就比较便利。 如果我们要写出一个流体微团的运动方程 F ma =∑v v 式子左边就是作用在微团的各力与,它可以包括:重力W v 、压力P v 、粘滞τv 、力弹性力E v 等;右边就是微团的惯性力ma v 。于就是得到 +++W P E ma t =v v v v v (5-1) 上式中的每项都就是力,所以各项的量纲都就是[2 LMT -]。又如,关于理想流体的伯努利方程 2 ++=2v p z H g g r 表示流管中三项能头之与保持常数,即等于总能头H 。每项的单位都就是米,故它们的量纲 都就是[L]。不仅如此,在力学上任何有物理意义的方程或关系式,每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲与谐性原理,又称为“量纲齐次性规律”。量纲与谐原理就是由傅里叶1822年提出来的,它就是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念,也就是量纲分析法的理论基础,并可具体表达成:只有相同类型的物理量才能相加减,也就就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小;不同类型的物理量相加减没有任何意义。例如,速度可以与速度相加减,但绝不可以加上粘性系数或压力。当然,相同量纲与不同单位的物理量之间就是可以相互加减与比较大小的,因为只要将其单位稍加换算即可完成。 一个量纲齐次性的方程,可以化为无量纲方程,只要用方程中的任意一项除其她各项。例如,在式(5-1)中,用惯性力项遍除其她各项,于就是各项都变成无量纲量,而各无量纲量之与
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析 包思远 摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。 关键字模型试验，相似原理，量纲分析 1 模型实验相似原理基础 模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N 倍，进行相应的实验，得到相应的规律， 来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。 模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安
装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高 能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。 实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以
相似原理与量纲分析
第五章 相似理论与量纲分析 5．1基本要求 本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。 5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义， 量纲的定义。 5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。 5．2基本知识点 5．2．1相似的基本概念 为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似 两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即 n n l m m L d C L d == n m θθ= 相应有 222n n A l m m A L C C A L === 333n n V l m m V L C C V L === 2. 运动相似 两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n n u m m u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2 u u a t l C C C C C == 3. 动力相似 两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。 Im pn n In n Gn En F m m Gm pm Em F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 5．2．2相似准则 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re Re uL uL ρμν = = ，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr 2 u Fr gL =，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。 3. 欧拉数Eu 2 p Eu u ρ?= ，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St 2L u t St tu u L = =，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。 5．2．3模型律 1. 模型律的选择 动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也
量纲分析
第一节量纲分析方法 1.1量纲 当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲： 力F = ma 量纲： 压强P = F/S 量纲： 实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。 有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量来描述客观规律。在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。 要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。 1.2 量纲齐次原则 当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一
量纲分析法
3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi 定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为 [][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v . 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， []η ξεδγβαJ N I T M L q Θ= 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式 3211αααλg l m t = ---------------（3.1） 其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 [][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T L M T --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有 ?? ???=-=+=12003321αααα ---------------（3.3） 解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 g l t λ= -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理， 定理：设n 个物理量n x x x ,,,21ΛΛ之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f ΛΛ --------------（3.5） [][]m x x ΛΛ1为基本量纲，n m ≤。1x 的量纲可表示为
量纲分析法
量纲分析法 3、量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是 在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则 可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为 ,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f 在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和 物质的 ,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。任一个物理 量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， ,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ 量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一 个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固 定，小m 球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。 mgt
t,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式 ,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1 其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式 有 ,,,,,23 ,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有 ,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23 ,,2,,13, 11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22 (3.4)式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理， 定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n --------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n 为基本量纲，m,n。的量纲可表示为 ,,,,x？？xx1m1 m,ij[x],[x]i,1,2,？？,n ij,,1j RankA,r,矩阵称为量纲距阵，若则(3.5)式与下式等价， A,(,)ijn，m F(,,？？,),012n,r 其中F为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为 ,,ss n(s),i,,x -----------(3.6) si,,1i (s)(s)(s)(s)T而为线性齐次方程组的基本解向量. ,,(,,？？,)A,,012n 利用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量, ,,？？,12n,r 作为量纲分析法的应用，下面我们介绍航船阻力的建模. 3(2 航船的阻力，
第六讲 相似原理与量纲分析(习题)
例5-1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？ 解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等 由于d p=d m，故上式可写成 或 将已知条件νp= 0.13cm2/s ，νm= 0.0131cm2/s代入上式，得 即当模型中流量Q m为0.0181m3/s时，原型与模型相似。 （2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足 已知，则原型输油管的压强差为 也可以写成 这里，引入了A p=A m (d p=d m )及g p=g m。所以，5m长输油管的压差油柱为
例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？ 解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。即 由于 由于g p=g m，故上式可写成所以 或 例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s ，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。 解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。 （2） 由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。于是模型液体的运动粘度应为νm=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s了。 （3）模型流体选好后，由于所选择的νm不再等于0.0925cm2/s ，所以对长度比λL应进行
第四章 量纲分析和相似原理
第四章 相似原理与量纲分析 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。 §6—1 量纲分析 一、量纲、无量纲量 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。 是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。 ● 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数 值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。 ● 量纲可分为基本量纲和诱导量纲 基本量纲（dim ）：互不依赖，互相独立的量纲。 基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出，如][][γβαM T L x =，γβα,, 称为量纲指数。1） 1） 若0,0,0==≠γβα，则x 为几何学的量； 2）若0,0,0=≠≠γβα，则x 为运动学的量，如运动粘性系数][][12-=T L ν； 3）若0,0,0≠≠≠γβα，则x 为动力学的量，如动力粘性系数][][11M T L --=μ. ● 纯数 如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数），也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成（如压力系数22 1∞∞-=U p p C p ρ）. 二、量纲和谐原理 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理。 ● 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。
相似原理和量纲分析习题
第三节流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件： 1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题： 1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 第四节近似模拟试验 完全相似和不完全相似 动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。 例如： 粘滞力相似：由得 重力相似：由得 由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。 一、物理方程量纲一致性原则 第五节量纲分析 1、量纲 量纲是物理量的一种本质属性，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。 如：
习题参考解答
《数学建模》习题解答 第一章 部分习题 3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度. 4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解. 5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少. 6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m . 7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()() 01t t r m e x t x --+= ，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系. 8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较. 9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。 参考答案 3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即 () v s s t 21+≈ 其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响. 4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο 180，其余作法与1.3
量纲分析例题集
1-4-6、解：（1）当T=20℃时，=1.205kg/,=1.81Pa s =998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数设空气的流动为“实物”，水的流动为“模型”，则： ===1，===1.207，===0.018 考虑雷诺相似，有==14.913, 所以，风速v==14.913 2.5=37.28m/s （2）由欧拉相似，得==0.268 由=，得=3.73 即通过空气时测得的压力损失应扩大3.73倍才是通过水的压降。 1-4-7、解：（1）当T=20℃时，=998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数 ==10，===4.007，===0.036 考虑雷诺相似，有==8.984，
所以，水速===0.89m/s （2）由欧拉相似，得==0.032 所以===3.75kPa 1-4-8、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0 取d，v，为基本物理量，由定理可得： F（1, 1, 1，，，）=0 式中=，=， 对以上三式可写出量纲方程式如下： = 由=0 ，可解得所以= 同理，可解得==，= 所以f（，即= f（ 所以v= 1-4-9、解：拟定函数关系式为f（D，v，，，，F）=0
取D，v，为基本物理量，由定理可得： F（1, 1, 1，，）=0 式中=，= 所以== 由=0 ，可解得所以== 同理，可解得=所以f（）=0 即= f（）所以F=f（） 1-4-10、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0 取d，v，为基本物理量，显然h f/L是一个π，因h f和L量纲都是长度由定理可得： F（1, 1, 1，，）=0 式中=，= 所以== 由=0 ，可解得所以==
第六讲 相似原理与量纲分析(练习题)
5-1、想一想：两恒定流流动相似应满足哪些条件？ 答：应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件相似。 5-2、判断：惯性力是所有外力的矢量和。你的回答：B A对； B错 5-3、想一想：牛顿相似准则说明了完全的什么相似。动力 5-4、算一算：如模型比尺为1:20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为m/s。 2.5 5-5、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D.其他准则。 5-6、雷诺数的物理意义表示：C A. 粘滞力与重力之比； B.重力与惯性力之比； C.惯性力与粘滞力之比； D.压力与粘滞力之比。5-7、压力输水管模型实验，长度比尺为8，模型水管的流量应为原型输水管流量的：C A.1／2； B.1／4； C.1／8； D.1／16。 5-9、进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：B A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则； D. 其它准则。 5-10、明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的: D A.1／2； B.1／4； C.1／8； D. 1／32。 5-11、长度比尺λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N，则原型中需要的功率N p为：B A.2.17kW； B.32.4kW； C.17.8kW； D.13.8kW。 5-12、设模型比尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s？ C A.0.01； B.108； C.10； D.10000。 5-13、进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：A A.雷诺准则； B.弗劳德准则； C.欧拉准则。 5-14、判断：当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。你的回答：A A对；B错 5-15、想一想：欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？ 答：欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。 5-16、判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。你的回答：B A对；B错 5-17、想一想：马赫数与斯特哈罗数的物理意义是什么？ 答案:马赫数为弹性力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与弹性力之比，马赫数相等则弹性力相似。斯特哈罗数是在非恒定流体流动中，因当地加速度不为零，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 5-18、为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 答案: 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形
量纲分析
量纲分析 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。 例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 单位：物理量的大小； 量刚：物理单位的种类。 m 、cm、mm 长度类用L表示 分、小时、秒时间类用T表示 公斤、克质量用M表示
一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，量刚只能用L来表示。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。 基本量的量纲称为基本量纲，互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导出来量纲。 在国际单位制中有7个基本量纲：质量[M]、长度[L]、时间[T] 、电流[I]、热力学温度[Θ]、物质的量[N]、发光强度[J] 其他量的量纲可以由基本量纲导出。 导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲 例如，我们取基本的量纲为L、T和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。（导出量刚） 任何物理量B的因次可写成 [B]=M a L b T c
量纲分析
量纲分析 1，试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q 的表达式。已知q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关。 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关系式表示为 2. 将q 写成H ，ρ，g 的指数乘积形式，即 3. 写出量纲表达式 4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为 5. L ：2=a-3b+c T ：-1=-2c ? M ：0=b 6. 代入指数乘积式，得 即 2求水泵输出 功率的表达式。已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关。 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关,用函数关系式表示为 2. 将N 写成γ ，Q ，H 的指数乘积形式，即 (,,)q f H g ρ=a b c q kH g ρ=dim dim () a b c q H g ρ=2132[][][][] a b c L T L M L LT ---=3/201/23/2q kH g k ρ= =3/23/2 q k ==g γρ=(,,,)0f N Q H γ=
3. 写出量纲表达式 4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为 5. L ：2=-2a+3b+c T ：-3=-2a-b ?M ：1=a 6. 代入指数乘积式，得 其中，k 为无量纲系数，通过实验来确定 相似准则 【例4.10】汽车高h p ＝1.5m ，最大行速为108km/h ，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最大风速为45m/s ，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为1.50KN ，试求原型汽车所受得阻力。 解：把握两个方面：一是确定哪个是决定性相似准则；二是分清哪些量是模型上得量，哪些量是原型上得量。对于分析气体阻力问题，可按雷诺相似准则计算。雷诺准则为 由于 故 又因为阻力得比尺可写成： 由于此 a b c N k Q H γ=dim dim () a b c N Q H γ=232231[][][][]a b c L T M L T M L T L ----=N k QH γ=1l v υ λλλ=1v λ=1m l p υυλλυ==1081.5145 3.6p p m p l m h h h m υλυ===?=?22 P F l ρυλλλλλ==1,1/l ρυλλλ==22221 l P l l υλλλλλ===1.50P m P P KN ==
量纲分析法
量纲分析方法 倪致祥主讲 为了能够应用数学来描述物理对象，我们需要对其定量化。物理对象的定量化需要有单位和数值，单位是作为度量标准的某个物理量。被测物理量的数值大小不仅取决于其本身，而且取决于所选用的单位。例如为了描述一块地的范围，需要确定其面积的单位和数值的大小。我们可以说这是块大小为1平方公里的地，也可以说这是块大小为1000000平方米的地。离开了单位，仅根据数值我们无法判断一块地的大小。单位的选取往往带有任意性，比如说度量长短可以选用米为单位，也可以选用厘米、分米、公里甚至光年为单位。然而这些单位都是用来度量同一个物理量—长度的，它们之间可以相互换算，具有某种统一性。我们把这种统一性称为量纲。 一般来说，测量同一个物理量可以有不同的单位，但是它的量纲是唯一的。例如，测量长度可以用厘米、分米、公里甚至光年为单位，但是决不能用公斤或吨为单位。不同量纲的物理量之间有本质的区别，相互不能换算。说一根木头长度为2?10-16光年虽然很不合适，但是并没有原则性错误；如果说一根木头长度为100公斤，就要让人笑掉大牙。 通常用［量］来表示物理量的量纲，不同的物理量往往有不同的量纲：长度的量纲记为L，时间的量纲记为T，质量的量纲记为M，无单位的物理量的量纲记为1。一个具体的物理对象往往要有许多不同的物理量来描述其不同的特性，我们可以把其中的一些看成是基本量，其他的是导出量。基本量的量纲称为基本量纲，其他量的量纲可以由基本量纲导出。例如，我们取基本的量纲为L、T 和M，那么面积的量纲为L2，速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为LT-2。 由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一致，这个要求称为量纲一致原则。根据量纲一致原则和牛顿第二运动定律，我们可以导出力的量纲为MLT-2。在量纲一致的原则下，问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析。量纲分析是应用物理理论解决实际问题的一个有力工具，可以用来合理地组合变量从而简化问题的处理，导出新知识和获得新信息。下面我们来看几个典型的例子： 例1. 真空中自由落体的速度 设物体的释放高度为h，自由降落的落地速度为v，不失一般性，我们假定v与物体的质量m、重力加速度g和h有关，即 v＝v ( m, g, h ) (1) 不做实验，你能求出上述关系式的具体形式吗？
量纲分析法
最纲分析法 量纲分析法在流体力学和模型试验等领域被广泛应用，成为一种有效的研究手段。量纲分析常用于： （1）物理量量纲的推导； （2）根据量纲和谐原理，校核由理论分析推导出的代数形式方程各项因次是否正确； （3）量纲分析基于表达自然现象的物理规律，不取决于所用量纲的单位，因而，在表达这些规律的公式中，可用无量纲组合的形式来表示，从而使方程形式简化； （4）用于确定模型实验的相似条件，指导整理实验资料、把无量纲数组合整理成含有待定系数的函数式，这个函数式可将模型参数换算、推广至原型，其中待定系数由实验确定。 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种称瑞利（Rayleigh）法，适用于比较简单的问题；另一种称定理，是一种具有普遍性的方法。 一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某一物理过程同n个物理量有关 其中的某个物理量可表示为其它物理量的指数乘积
（9-3）写出量纲式为 =K·dim() dimq i 将量纲式中各物理量按式（9-1）表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理，确定指数，就可得出表达该物理过程的方程式。 用瑞利法求力学方程，在有关物理不超过4 个，待求的量纲指数不超过3个时，可直接根据量纲和谐条件，求出量纲指数，建立方程。二、定理 定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉（Buckingham）1915年提出，又称为布金汉定理。定理指出，若某一物理过程包含n个物理量，即 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n-m）个无量纲项所表达的关系式来描述，即 （9-4） 由于无量纲项用表示，定理由此得名。定理可用数学方法证明。