函数的周期性与函数的图象讲义
《函数的周期性》课件
对于一些基本的周期函数，如正弦函数、余弦函数等，可以直接使 用其周期公式来求解。
计算法
通过计算函数在两个不同点上的值，然后比较这两个值是否相等来 确定函数的周期。
函数周期性的进一步研究
特征，如振幅、相位等。
周期函数的性质
02
研究周期函数的性质，如对称性、奇偶性等。
周期性理解
周期性是函数的一种特性，它描述了函数值重复出现的规律。周期函数在一个 周期内的变化规律与整个函数的变化规律相同。
周期性的分类
最小正周期
如果存在一个最小的正数$T$，使得 对于函数$f(x)$的定义域内的每一个 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$T$ 为函数$f(x)$的最小正周期。
函数周期性的扩展知识
最小正周期的概念
最小正周期
对于函数$f(x)$，如果存在一个正数 $T$，使得当$x$取值在$T$的长度 内重复出现时，函数$f(x)$的值也重 复出现，则称$T$为函数$f(x)$的最 小正周期。
周期性
函数在某个固定周期内重复出现的性 质。
函数的最小正周期的求法
观察法
通过观察函数图像或性质，直接判断出函数的周期。
《函数的周期性》 ppt课件
xx年xx月xx日
• 函数的周期性概述 • 三角函数的周期性 • 函数周期性的判定 • 函数周期性的应用 • 函数周期性的扩展知识
目录
01
函数的周期性概述
周期性的定义
周期性定义
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$的定义域内的每一个$x$，都 有$f(x+T)=f(x)$，则称函数$f(x)$为周期函数，非零常数$T$称为这个函数的 周期。
常见周期函数
函数的周期性ppt课件(自制)
三角函数图像2：周期性
周期函数如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个__非零__常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__结论函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__(2)最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__结论这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π__2π__奇偶性__奇函数____偶函数__[知识点拨]1.对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin [2(x ＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x ．(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 预习自测1．函数f (x )＝－2sin(πx ＋π3)的最小正周期为( D )A ．6B ．2πC ．πD ．22．下列函数中，周期为π2的是( D )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x ) 3．设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．若f (x )(x ∈R )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝__0__．命题方向1 ⇨三角函数的周期 典例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin(x 3－π6)．[思路分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T ＝2π|ω|直接求解．[解析] 解法1：(1)令u ＝12x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π．∴sin(12x ＋2π)＝sin 12x ，即sin[12(x ＋4π)]＝sin 12x ．∴y ＝sin 12x 的周期是4π．(2)∵2sin(x 3－π6＋2π)＝2sin(x 3－π6)，∴2sin[13(x ＋6π)－π6]＝2sin(x 3－π6)，∴y ＝2sin(x 3－π6)的周期是6π．解法2：(1)∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π．(2)∵ω＝13，∴T ＝2π13＝6π．『规律总结』 求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin(3x ＋π3)；(2)y ＝|cos(2x ＋π6)|；(3)y ＝sin(2πx －π4)．[解析] (1)∵ω＝3，T ＝2π3．(2)∵函数y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期为π，而函数y ＝|cos(2x ＋π6)|的图象是将函数y ＝cos(2x ＋π6)的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2．(3)∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝π2．命题方向2 ⇨三角函数奇偶性的判断 典例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x．[思路分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，最终确定奇偶性．[解析] (1)函数的定义域为R ．∵f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R ．∵f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(3)函数应满足1＋sin x ≠0，则函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的定义域为{x ∈R |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }．显然定义域不关于原点对称，故函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 为非奇非偶函数．『规律总结』 1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f (－x )的解析式中拼凑出f (x )的解析式，再看f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性． (3)验证法，即验证f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )－f (x )＝0(或f (－x )f (x )＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝sin(cos x )．[解析] (1)函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝x ·cos(π＋x )＝－x ·cos x ，∴f (－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x ·cos x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R ．∵f (－x )＝sin [cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，求f (5π3)的值．[思路分析] 利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (5π3)＝f (2π3＋π)＝f (2π3)＝f (π－π3)＝f (－π3)．又f (x )是偶函数．∴f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．〔跟踪练习3〕若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求f (－5π6)的值．[解析] ∵f (x )为以π2为周期的奇函数∴f (－56π)＝－f (56π)＝－f (π2＋π3)＝－f (π3)＝－1．不清楚f (x ＋T )表达的意义典例4 利用定义求f (x )＝sin(2x －π6)的最小正周期．[错解] ∵f (x ＋2π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋2π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋4π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )， ∴T ＝2π是f (x )的最小正周期．[错因分析] 错解中求的不是最小正周期．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，其周期为2πω． [正解] 令z ＝2x －π6，∵x ∈R ，∴z ∈R ．又∵y ＝sin z 的周期是2π， z ＋2π＝⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝2(x ＋π)－π6， ∴f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )． ∴T ＝π．[点评] 最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．〔跟踪练习4〕对于函数y ＝sin x ，x ∈R 有sin(π6＋2π3)＝sin π6，能否说2π3是它的周期？[解析] 不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f (x ＋T )＝f (x )． 课堂检测1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )2．函数y ＝sin2x 是( A ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的偶函数D ．周期为π2的奇函数3．若函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为( B )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π4．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝2，则f (6)＝__2__． [解析] f (6)＝f (4＋2)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＝2．5．设f (x )是以1为一个周期的奇函数，且当x ∈(－12，0)时，f (x )＝4x －1，求f (－318)的值．[解析] ∵f (x )的周期为1，f (－318)＝f (－4＋18)＝f (18)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1， ∴f (－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f (x )是奇函数，∴f (－18)＝－f (18)，∴f (18)＝32.故f (－318)＝32．A 级 基础巩固一、选择题1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )[解析] 由已知，得f (x )是周期为2的偶函数，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π C ．4πD ．π23．函数f (x )＝7sin(2x 3＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数4．函数y ＝|cos x |的最小正周期是( C ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π5．下列说法中正确的是( A )A ．当x ＝π2时，sin(x ＋π6)≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin(x ＋π6)＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos(π2－x )＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期6．若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( A )A ．3B ．32C ．23D ．13[解析] 函数y ＝2sin ωx 的最小值是－2，该函数的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由2πω＝2π3，得ω＝3．二、填空题7．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．8．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝__－1__． [解析] 由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． [证明] ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期．10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ．(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∵当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，∴当x ∈[－π2，0]时，f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ．又∵当x ∈[－π，－π2]时，x ＋π∈[0，π2]，f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ．∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x ． (2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f (x )＝12时，x ＝π6或5π6，∴在[0，π]内，f (x )≥12时，x ∈[π6，5π6]．又∵f (x )的周期为π，∴当f (x )≥12时，x ∈[k π＋π6，k π＋5π6]，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( D )A ．10B ．11C ．12D ．13[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D ．2．函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π5的周期是( C ) A ．2π B ．π C ．π3D ．π6[解析] T ＝12·2π3＝π3．3．函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( A ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] ∵⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π2)＋⎪⎪⎪⎪cos (x ＋π2)＝|sin x |＋|cos x |.∴原函数的最小正周期为π2． 4．函数f (x )＝4sin(23x ＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为43π的奇函数D ．周期为43π的偶函数[解析] f (x )＝4sin(23x ＋15π2)＝4sin(23x ＋32π)＝－4cos 23x ，∴T ＝3π，且满足f (－x )＝f (x )，故选A ．二、填空题5．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，则f (－17π6)＝__1__．[解析] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)＝f (π2－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．6．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 ±45． [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6． 由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35．∴sin α＝±1－cos 2α＝±45．三、解答题7．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).11 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．8．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52π，3π]时f (x )的解析式．[解析] x ∈[52π，3π]时， 3π－x ∈[0，π2]， 因为x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52π，3π]． C 级 能力拔高定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则有下面三个式子：①f (sin 12)<f (cos 12)；②f (sin π3)<f (cos π3)；③f (sin1)<f (cos1)．其中一定成立的是__②③__(填序号)．。
函数的周期性
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2. 于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛•+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x +3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02sin 4141=+x 得 4π=x故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
高一数学周期函数的图像与性质
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汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
添加标题
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矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
感谢观看
汇报人：WPS
周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的周期性ppt课件
当x∈［2,3］时，f(x)=x，则x∈［-2,0］时，f(x)的解析式
为( )
(A)f(x)=2+|x+1|
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
【创新体验】分段函数的性质判断
【典例】(2012·福建高考)设函数 Dx 10,,xx为为有无理理数数，，则下列
结论错误的是( )
(A)D(x)的值域为{0,1}
(B)D(x)是偶函数
(C)D(x)不是周期函数
(D)D(x)不是单调函数
3.(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+ f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1 2 010 335.
6
而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
个周期.
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】选B.∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)=f(0)=0,故选B.
2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)
函数周期性及其图像变换一、知识梳理1.周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【例题精讲】例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【归纳总结】1. 周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．变式训练：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.例2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．例3、设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．题型二、函数的图像及变换(一)、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．(二)、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．根据解析式作函数的图象例1、作出下列函数的图象：(1) y＝x3|x|； (2) y＝x＋2x－1；变式训练：1、画出函数y＝x2－2|x|－1的图象：2、函数y＝x|x|的图象大致是( )识图与辩图例2、已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )【总结归纳】“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．变式训练：1、如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．函数图象的应用例3、已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围 是________．【题后悟道】所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y ＝|x 2－1|x －1的图象，然后利用图象直观确定直线y ＝kx －2的位置．作图时应注意不包括B 、C 两点，而函数y ＝kx －2的图象恒过定点A (0，－2)，直线绕A 点可以转动，直线过B 、C 两点是关键点． 变式训练：1．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．题型三、抽象函数问题1．抽象函数的函数值例1、已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．1求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x0的值．[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．2．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．例2、已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解．3．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用单调性定义进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．例3、设f(x) 定义于实数集上，当x＞0时，f(x)＞1 ，且对于任意实数x、y，有f(x + y) =f(x)·f(y)，求证：f(x) 在R上为增函数．[题后悟道]一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．4．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．例4、已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 014)＝________【课堂练习】1、 函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
函数的图象与函数的周期性
函数图象与函数的周期性【知识梳理】1、常见的作图方法：描点法、利用基本函数的图象变换；2、基本函数图象变换的常用方法：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换；（1）平移变换①()()a x x a y f x y f x a →+=−−−−−−→=+向左平移个单位； ②()()b x x b y f x y f x b →-=−−−−−−→=-向右平移个单位； ③()()m y y my f x y m f x →-=−−−−−−→-=向上平移个单位，即()y f x m =+； ④()()n y y ny f x y n f x →+=−−−−−−→+=向下平移个单位，即()y f x n =-.（2）对称变换①()()x y f x y f x =−−−−−−−−→=-将函数图象关于轴整体对称； ②()()y y f x y f x =−−−−−−−−→=-将函数图象关于轴整体对称； ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--将函数图象关于原点整体对称； ④()()1y x y f x y f x =-=−−−−−−−−→=将函数图象关于整体对称； ⑤()()1y x y f x y f x =--=−−−−−−−−−→=--将函数图象关于整体对称.（3）翻折变换 ①()()y y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=保留轴右侧的图象不变，并将轴右侧的图象沿着轴对称到轴左边保右，右翻左；②()()x x x x y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=保留轴上方的图象不变，并将轴下方的图象沿着轴对称到轴上方保上，下翻上.（4）伸缩变换①()11a x x a y f x y f x a →⎛⎫=−−−−−−−−−−−→= ⎪⎝⎭保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍； ②()()11a y y a y f x y f x a→=−−−−−−−−−−→=保持横不变，纵坐标变为原来的倍，即()y af x =.3、轴对称的一般表达()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称⇔()()f a x f b x +=-；4、中心对称的一般表达 ()y f x =的图象关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称⇔()()f a x f b x c ++-=. 5、周期函数的概念：对于函数()y f x =，若存在常数()0T T ≠，使得对定义域的任意x 均有()()f x f x T =+，则函数()y f x =称为周期函数，T 称为此函数的周期.6、常见的周期形式（简单式）：()f x 对定义内的x 均满足：①()()f x f x a =-+，则()f x 的周期2T a =；②()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期T a b =-；③()()f x a f x b +=-+，则()f x 的周期2T a b =-； ④1()()f x f x a =+，则()f x 的周期2T a =； ⑤1()()f x f x a =-+，则()f x 的周期2T a =； ⑥1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 的周期2T a =；⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 的周期4T a =； ⑧()()()f x f x a f x a =++-，则()f x 的周期6T a =；7、常见的复合周期形式①()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=-⎩，则()f x 的周期2T a b =-；②()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=--⎩，则()f x 的周期4T a b =-； ③()()()()f a x f a x f b x f b x +=--⎧⎨+=--⎩，则()f x 的周期2T a b =-.8、周期性与对称性应用①()()()()f a x f a x f x f x T +=-⎧⎨=+⎩，则()f x 的图像关于直线2T x a =+对称； ②()()()()f a x f a x f x f x T +=-⎧⎨=-+⎩，则()f x 的图像关于点,02T a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称； ③()()()()f a x f a x f x f x T +=--⎧⎨=+⎩，则()f x 的图像关于点,02T a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称； ④()()()()f a x f a x f x f x T +=--⎧⎨=-+⎩，则()f x 的图像关于直线2T x a =+对称.9、零点：函数值为0时对应的自变量的值，从图象上看，零点即为函数图象与x 轴交点的横坐标.【典型例题】例1、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中：①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图像关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图像关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图像关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图像关于直线2=x 对称.其中正确命题序号为_______.例2、关于x 的方程2230x x k --+=，k 为何值时：（1）方程有2个不同的实数解；（2）方程有3个不同的实数解；（3）方程有4个不同的实数解；（4）方程无实数解.例3、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根； ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根； ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根； ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根； 其中正确命题的是__________(注：把你认为是正确的序号都填上).【拓展】已知函数11()f x x x x x =+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是_______.例4、已知函数1,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是_______.例5、若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像和直线y x =无交点，现有下列结论：①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立；③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >；④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数都成立；⑤函数2()g x ax bx c =-+的图像与直线y x =-也一定没有交点.其中正确的结论是_______.例6、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数,若方程()(0)f x m m =<在区间[]8,8-上有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++=_______.例7、【长宁二模】设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234026402720142014201420142014f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_______.例8、【黄浦二模】已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，()161,022log ,2xx f x x x ⎧⎛⎫≤<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩.若关于x 的方程()()()20,R f x a f x b a b +⋅+=∈⎡⎤⎣⎦有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是_______.例9、【闵行二模】对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是_______.例10、【松江一模】已知函数()()log 10,1a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=_______.例11、设方程240x x +-=的根为α，设方程2log 40x x +-=的根为β，则αβ+=_______.例12、定义在R 上的函数)(x f 满足)2(-x f 是偶函数，且)1(+x f 是奇函数，又2013)4(=f ，则=)2014(f _______.例13、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，)()4(x f x f =-，且当[]2,0x ∈-时，12)(+-=x x f ，则当[]4,6x ∈时，求)(x f 的解析式.例14、设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：(1)(1)f x f x +=--，(1)(1)f x f x -=-+，且当[2,3]x ∈时，()25f x x =-（1）证明)(x f 是周期函数并求出函数的周期；（2）求出)(x f 在区间[0,1]上的解析式并指出函数在该区间上的单调性与最值；（3）求出函数在区间[4,41](Z)k k k +∈上的解析式．。
数学(1.4.2-1函数的周期性)
周期函数的傅里叶级数展开式
傅里叶级数展开式
将周期函数表示为无穷级数的方 法，其中每个项都是正弦或余弦 函数的线性组合。
傅里叶级数的应用
傅里叶级数在信号处理、振动分 析、电磁波分析等领域有广泛应 用，通过傅里叶级数可以分析信 号的成分和频率特性。
周期函数的微积分性质
连续性
周期函数在其定义域内是连续的，这是由于函数值的重复性导致 的。
数学(1.4.2-1函数的周期性)
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数 • 周期函数的图像 • 周期函数的应用 • 周期函数的扩展知识
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数$T$，使 得对于定义域内的每一个$x$，
都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $f(x)$为周期函数，$T$称为这
个函数的一个周期。
周期函数的性质
周期函数具有周期性，即对于任 意整数$k$，函数$f(x)$的图像 总是重复出现，且每重复一次所
需要的时间为$T$。
周期函数的分类
根据周期的不同，可以将周期函 数分为最小正周期函数、有界周
期函数、无界周期函数等。
周期函数的性质
最小正周期
对于一个周期函数，存在一个最小的 正数$T$，使得对于定义域内的每一 个$x$，都有$f(x+T) = f(x)$，则称 $T$为该函数的最小正周期。
形状
正弦函数的图像是一个波浪线，形状类似于英文处达到最大值和最小值，这些点是函数周 期性变化的标志。
余弦函数的图像
周期性
余弦函数也是周期函数，其图像同样呈现规律性的重复。
形状
余弦函数的图像是一个起伏的曲线，形状类似于英文字母 "c"。
周期函数讲义
周期性（1）若函数()()()()，的周期为则满足T ,T x f x f x f x f =+（2）()()()()的一个周期是则满足若函数x f x f x f x f T 2,1T ±=+（3）()()()()是它的的一个周期是周期函数，则满足T 2,T x f x f x f x f -=+ （4）()()()()的一个周期是则满足x f x f x f x f T 2,T T -=+对称性 若f （x+a ）=f(b-x) 则X=(a+b)/2是它的对称轴、根据公式求周期奇偶性例题：．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常 数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ））A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值5奇偶性的解决方法，特定函数和抽象函数（1）f （x+y ）=f(x)+f(y), （2）f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•f(y)且f(0)≠0）试着证明函数的奇偶性奇偶性，周期性，对称性的综合结论三角函数求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin+=的周期是ππ243811=⨯==T n T1、（2006安徽理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
第八讲 函数的周期性与图象
一、知识点梳理： 导学一 函数的周期性对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．导学二 函数周期性表达形式周期函数f (x )满足的条件周期 f (x ＋a )＝f (x －a ) 2a f (x ＋a )＝－f (x ) 2a f (x ＋a )＝－1f (x )2a f (x ＋a )＝1f (x )2a 关于直线x ＝a 与x ＝b 对称 2|b －a | 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b －a | 关于直线x ＝a 与点(b,0)对称 4|b －a | 偶函数，关于直线x ＝a 对称 2a 奇函数，关于直线x ＝a 对称4a第九讲函数的周期性与图象(1)平移变换y ＝f (x )―――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝|f (x )|. 二、自主学习：周期性1．判断题(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋π)＝－f (x )，则f (x )是周期为2π的周期函数．( )(2)函数f (x )在定义域上满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a >0)且为偶函数，则f (x )为周期函数，其中一个周期为2a .( )(3)函数f (x )在定义域上关于两相邻对称轴x ＝a ，x ＝b 对称，则f (x )是周期函数．( ) (4)周期函数一定存在最小正周期．( ) 2．填空题(1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的函数，并且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 019)＝________. (3)(2018·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.函数图象画法1．判断题(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 2．填空题(1)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________. (2)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(3)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝________.三、精讲精练： 【考点一】周期性[例1] (2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________．[例2] ．(2018·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12[变式1]．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. [变式2]．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________．【考点二】周期性奇偶性单调性综合[例3] (2018·安徽池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a[变式训练3]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11)【考点三】函数图象考法(一) 函数图象画法[例4] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2.考法(二) 函数图象识别[例5] (1)(2018·湖北四地七校联考)函数y ＝ln |x |－x 2的图象大致为( )(2)如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )利用图象研究函数性质[例6] 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则下列说法：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确说法的序号是________．四、能力展示1．函数f (x )的周期为4，且x ∈(－2,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________． 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________.3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (0)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±24．已知函数f (x )是奇函数，且满足f (2－x )＝f (x )(x ∈R )，当0<x ≤1时，f (x )＝ln x ＋2，则函数y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 6. 函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )7.作下列函数的图象： (1)y ＝1x －1＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋2，x ∈(－1,2]； (3)y ＝|x －1|，x ∈R.。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
课件5：2.3 函数的奇偶性与周期性
• (2)图像法：
提醒：(1)确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是 否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意 性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简， 判断 f(x)与 f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．
即时训练 2 (1)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，
对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，
则 f(123)＝( )
A．－94
B．－14
1
9
C.4
D.4
(2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x
＜2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴
②f(x＋a)＝f1x(a≠0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它
的一个周期．
③f(x＋a)＝－
1 ，则函数 fx
f(x)必为周期函数，2|a|是它的
一个周期．
提醒：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间
内．
(3)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数， 求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．
值
或方程(组)，进而得出参数的值．
比较函数值 利用奇、偶函数的图像特征或根据奇函数在对称区 的大小或解 间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性 函数不等式 相反，转化到同一单调区间上求解．
求函数解析 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用
周期函数课件
图像法判定周期性
总结词
通过观察函数的图像来判断其周期性。
详细描述
图像法是一种直观的判定函数周期性的方法。通过观察函数的图像，如果函数图像呈现规律性的重复 ，则说明该函数具有周期性。同时，图像法还可以用于确定函数的周期长度。
对称轴
01
对于一些周期函数，如正弦函数和余弦函数，存在垂直于x轴的
对称轴。
对称中心
02
有些周期函数存在关于某点的对称中心，源自正弦函数和余弦函数的零点。
对称轴和对称中心的应用
03
对称性在解决与周期函数相关的问题时具有重要作用，如求函
数的最大值和最小值、判断函数的奇偶性等。
PART 05
周期函数的应用实例
半角函数的周期性
例如，半正弦函数sin(θ/2)和半余 弦函数cos(θ/2)等半角函数也具 有周期性。
双角函数的周期性
例如，二倍角函数 sin2θ=2sinθcosθ和余二倍角函 数cos2θ=cos²θ-sin²θ等双角函 数也具有周期性。
PART 03
函数周期性的判定
REPORTING
WENKU DESIGN
正弦、余弦、正切等三角函数是周期函数，它们在解决数学问题 中有着广泛的应用。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究周期函数的重要工具，它在信号处理、图像处理 等领域有着广泛的应用。
调和分析
调和分析是研究函数和信号的分解与合成的一门学科，其中周期函 数是重要的研究对象之一。
THANKS
感谢观看
REPORTING
高中数学函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像
函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。
知识讲解_正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性_基础
正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性编稿：孙永钊 审稿：王静伟【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解正弦函数的性质. 【要点梳理】要点一：正弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。
2．几何法利用三角函数线作出正弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =的图象。
3．五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-要点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出正弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =的图象。
要点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈的图象叫做正弦曲线。
（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。
要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+要点四：周期函数函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点五：正弦函数性质要点诠释：（1）正弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．要点六：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R （2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【典型例题】类型一：“五点法”作正弦函数的图象例1．用五点法作出函数2sin y x =-，[0,2]x π∈的图象. 【思路点拨】（1）取[0,2]π上五个关键的点（0，2）、（2π，1）、(,2)π、3(,3)2π、（2π，2）。
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八、函数的周期性㈠ 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3、图象的对称性一个函数的对称性：1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(cb a + 对称2、两个函数的对称性：①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
②)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
③)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 函数)(x a f y -=与函数)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称⑤ )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
⑥ )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
⑦ )()(1x fy x f y -==与关于直线x y =对称例1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数例 2 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 21)(-=，则=)6.8(f ___________例3 函数)252sin(π+=x y 的图像的一条对称轴的方程是（ ） 45.8.4.2.ππππ==-=-=x D x C x B x A例 4 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________例5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
练习1.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，f (x) = －21x ，则f (8.6 ) = _________ 练习2设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5(D) －1.5练习3（08湖北卷6）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A.-2B.2C.-98D.98练习4、（08四川卷）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213练习5、（2010安徽理数）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则)4()3(f f -的值为（ ）A 、1- B 、1 C 、2- D 、2练习6、（09江西卷）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2练习7、2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于( )A.-1B.0C.1D.4练习8、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，2)1(=f 则=)2009(f ( )A 、2009B 、-2009C 、-2 D.、2练习9、()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =求 f (2008)的值。
练习10、已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.其中正确的命题序号是.练习11、f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．5练习12、对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.九、函数的图象1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。
2．描点法：通过、、三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。
3．函数图象变换：.图象变换法(1)平移变换①水平平移：y=f(x±a)(a＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.②竖直平移：y=f(x)±b(b＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.(2)对称变换①y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.②y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.③y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.④y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.⑤y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.⑥y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象.(3)伸缩变换①y=Af(x)(A＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，横坐标不变而得到.②y=f(ax)(a ＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小原来的a1倍，纵坐标不变而得到.1.作出下列函数的图象：⑴12-=x y ；⑵12--=x y ；⑶322--=x x y ；⑷322--=x x y ； ⑸322--=x x y ；⑹32++=x x y ；⑺11-=x y ；⑻x y 2=；⑼12-=x y ；⑽12-=x y ；⑾x y 2log =；⑿x y 2log =；⒀1log 2-=x y ；⒁1log 2-=x y ；⒂21-+-=x x y ；3、设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］，若当x ∈［0,5］时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解是___________.4、关于x 的方程|x 2-4x+3|-a=x 恰有三个不相等的实数根，则实数a 的值是__________.5、(2007北京朝阳期末,3)已知a ＞0,a≠1,函数y=a x ,y=log a (-x)的图象大致是下面的( )6、为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x 的图象上所有的点( )A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度7、函数y=111--x 的图象是…( )8、已知f(x)+f(2-x)+2=0对任何实数x 恒成立,则函数y=f(x)的图象( ) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=2对称 C.关于点(1,-1)对称 D.关于点(-1,1)对称 9、已知函数f(x)的定义域为R ，则下列命题中： ①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y 轴对称;②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称; ③若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图象关于直线x=2对称; ④y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称. 正确命题的序号有___________.10、函数y=e |lnx|-|x-1|的图象大致是( )11、已知f(x)=)1(+--a x xa ,且f -1(x-1)的图象的对称中心是(0,3)，则a 的值为( ) A.2 B.2C.3D.312、函数f(x)=21log x,则函数f(1-x)的大致图象为( )13、若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a ＞0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是_________. 14、函数y=2)1(1+x 的大致图象是（ ）15、设f(x)表示-x+6和-2x 2+4x+6中较小者，则函数f(x)的最大值是__________.6.若函数y=|-x 2+4x-3|的图象C 与直线y=kx 相交于点M(2,1),那么曲线C 与该直线有_________个交点.16、函数y =2x -2x 的图像大致是17、设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是18、直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .20、已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是( )x y O 图2 x y O 图1A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--21、方程｜2x-1｜=2x+1有______个实数解。