函数的周期性与函数的图象讲义

八、函数的周期性

㈠ 主要知识：

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为

4T a =，

若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.

⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；

⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

3、图象的对称性

一个函数的对称性：

1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称

()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++

特殊的有：

① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔

=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。 ④ c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2

,2(

c

b a + 对称

2、两个函数的对称性：

①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 ②)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

③)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=对称. 函数)(x a f y -=与函数)(b x y -=关于直线2

b

a x +=

对称。 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称

⑤ )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 ⑥ )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 ⑦ )()(1

x f

y x f y -==与关于直线x y =对称

例1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数

例 2 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，

x x f 2

1

)(-=，则=)6.8(f ___________

例3 函数)2

52sin(π

+

=x y 的图像的一条对称轴的方程是（ ） 4

5.8.4

.2

.ππ

π

π

=

=

-

=-=x D x C x B x A

例 4 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1

=

x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________

例5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

1

2f x f x +=

，若()15,f =-则()()5f f =__________。

练习1.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，

f (x) = －

2

1

x ，则f (8.6 ) = _________ 练习2设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，

f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5

(D) －1.5

练习

3（08

湖北卷

6）已知()f x 在R 上是奇函数，且

2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则

A.-2

B.2

C.-98

D.98

练习4、（08四川卷）函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）

132 （Ｄ）2

13

练习5、（2010安徽理数）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则

)4()3(f f -的值为（ ）A 、1- B 、1 C 、2- D 、2

练习6、（09江西卷）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ( )

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

练习7、2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则

()()()741f f f ++等于

( )

A.-1

B.0

C.1

D.4

练习8、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，2)1(=f 则

=)2009(f ( )

A 、2009

B 、-2009

C 、-2 D.、2

练习9、()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =

求 f (2008)的值。