第33课时___三角函数的最值

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课题：三角函数的最值

教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 教学重点：求三角函数的最值．

（一） 主要知识： 求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通

过三角变换化为下列基本类型处理：

①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++

，引入辅助角(c o s ,s i n )

ϕϕϕ==

，化为)y x c ϕ=

++求解方法同类型①；

③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；

④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i n c o t x x =±化为二次函数2

(1)2

a t y bt c -=

++±

在闭区间[t ∈上的最值求之；

⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2

at b y t

+=用∆法求值；当0ab >时，还可用

平均值定理求最值； ⑥sin sin a x b y c x d

+=

+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数

形结合”．

（二）主要方法：

①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法；⑥导数法

（三）典例分析：

问题1． 求函数的最大值和最小值：

()

1sin cos()6

y x x π

=+-

； ()2(sin 2)(cos 2)y x x =--

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2

13sin θ

+()

22sin sin y x x =+(0,)x π∈的最小值．()32cos (0)sin x

y x x

π-=

<<的最小值．

问题3．()1（95全国文）函数cos cos 3y x x π

⎛⎫

=++

⎪⎝

⎭

的最大值是

()

2()()()3sin 105sin 70f x x x =+︒++︒的最大值是 .A 5.5 .B 6.5.C 7.D 8

()3 ( 05全国Ⅰ文) 当02

x π

<

<

时，函数2

1cos 28sin ()sin 2

x x

f x

++=

的最小值为

.A 2

.B .C 4 .D

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（四）课后作业：

1.2cos y x x =+在0,

2π

⎡⎤

⎢⎥⎣

⎦

上取得最大值时，x 的值是 .A 0.

B 6π.

C 3π.

D 2π

2.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值

3.

已知sin sin 2

αβ+=

，则cos cos y αβ=+的最大值是

4.当函数2

13sin cos 2

2

y x a x a =+-

-

的最大值为1时,求a 的值.

（五）走向高考：

5. (04全国)函数()1cos cos 22

f

x x x =-

的最大值是

6.已知1sin sin ,3

x y +=

求2

sin cos y x -的最大值.

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7.（07全国Ⅱ）在A B C △中，已知内角A π=

3

，

边BC =设内角B x =，周长为y ．

()1求函数()y f x =

的解析式和定义域；()2求y 的最大值．

8.(06重庆)设函

数2

()sin cos f x x x x a ωωω=++ (其中0ω>,a R ∈),且

()f x 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为

6

x .

（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

-

65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.

9.（07

湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

，ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，．

（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；

（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，求实数m 的取值范围．