北师大版八年级上册数学[平行线的性质知识点整理及重点题型梳理](提高版)

北师大版八年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

平行线的性质知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；

2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；

3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.

【要点梳理】

要点一、平行线的公理、定理

公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．

(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、平行线的性质定理的探究过程

1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.

3

21

c

b

a

因为a∥b,

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），

又∠3=∠1 (对顶角相等)

所以∠2=∠3.

2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).

因为a∥b,

所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），

又∠3+∠1=180°（补角的定义），

所以∠2+∠1=180°.

要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．

【典型例题】

类型一、平行线的性质公理、定理的应用

1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，

∠EFG=50°，求∠DEG和∠BGM的大小．

【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然

后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继

而可求得∠DEG和∠BGM的度数．

【答案与解析】

解：∵AD∥BC，∠EFG=50°，

∴∠EFC=180°-∠EFG=130°，

由折叠的性质可知，∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，

∴∠DEG=100°，

∴∠EGC=180°-100°=80°，

则∠BGM=∠EGC=80°（对顶角相等）．

【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．

举一反三

【变式】（2015•洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n

和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为度．

【答案与解析】

∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，

∴∠BCD=25°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACD=60°﹣25°=35°．

∵l∥m，

∴∠α=∠ACD=35°．

故答案为：35．

2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．

【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．

（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．【答案与解析】

解：

（1）∠A+∠C+∠P=360；

（2）∠A+∠C=∠P；

（3）∠A+∠P=∠C；

（4）∠C+∠P=∠A．

说明理由（以第三个为例）：

已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不

相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．

【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．

3、（2015•东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°，∠

C=120°，求∠F-∠E的大小．

【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出

∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，

内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．

【答案与解析】

解：过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，

∴∠A=∠1，EG∥FH，

∵∠A=36°，

∴∠1=36°，

∵AB∥CD，FH∥AB，

∴FH∥CD，

∴∠C+∠4=180°，

∵∠C=120°，

∴∠4=60°，

∵EG∥FH，

∴∠2=∠3，

∴∠F-∠E=（∠3+∠4）-（∠1+∠2），

=∠3+∠4-∠1-∠2，

=∠4-∠1，

=60°-36°

=24°．

【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．

举一反三

【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，

（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．