四川省南充高级中学2020-2021学年高一4月检测考试数学试题答案和解析

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四川省南充高级中学2020届高三数学4月检测考试试题文(含解析)

四川省南充高级中学2020届高三数学4月检测考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}4,5,7A =，{}4,6B =，则()U A B =I ð（） A ．{}5 B ．{}2C ．{}2,5D ．{}5,7【答案】D 【解析】,选D.2.复数z 与复数(2)i i -互为共轭复数（其中为虚数单位），则z =（） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i --【答案】A 【解析】。

选A 。

3.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，均有2210x -<” D ．“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题【答案】D4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a 、3a 、4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．【答案】C 【解析】所以，选C.5.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（） A ．22B ．C ．2D ．2【答案】B考点：椭圆，双曲线的标准方程及其性质．6.如图是秦九昭算法的一个程序框图，则输出的S 为（）A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值【答案】C【解析】试题分析：第①次执行循环体得；第②次执行循环体得；第③次执行循环体得，由于条件不成立，所在输出.故选C. 考点：1.秦九韶算法；2.程序框图.7.设1F ，2F 是双曲线22124y x -=的焦点，P 是双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，12PF F ∆的面积等于（） A ．42 B ．83C ．24D ．48【答案】D8.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的侧面积等于（）A ．212cm π B ．215cm πC ．224cm πD ．230cm π【答案】C【解析】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5 则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π 侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，故答案为：24πcm29.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且()()2f x f x π+=-，则函数()4y f x π=-是（） A ．奇函数且在0x =处取得最小值 B ．偶函数且在0x =处取得最小值 C ．奇函数且在0x =处取得最大值 D ．偶函数且在0x =处取得最大值【答案】D10.已知函数22016()2016log (1)20162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1(,)4-+∞D ．1(,)4-∞-【答案】C【解析】因为，所以，即函数为奇函数，又为上增函数，所以为上增函数，因此，选C.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内；11.已知函数()21xf x x =++，2()log 1g x x x =++，2()log 1h x x =-的零点依次为a ，b ，，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】因为，且为单调增函数，所以零点在区间内；因为，且为单调增函数，所以零点在区间内；而零点为2，所以，选A.12.已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为'()f x ，若方程'()0f x =无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sin cosg x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（） A ．(,1]-∞- B ．(,2]-∞C ．1,2⎡⎤-⎣⎦D ．[2,)+∞【答案】A点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(cos ,sin )22x xm =u r ，(3,1)n =-r ，则||m n -u r r 的最大值是．【答案】3 【解析】，所以的最大值是3.14.设函数()f x 的导函数3'()32f x x x =-+，则()f x 的极值点是．【答案】【解析】，由于在附近导函数符号不变，所以不是极值点；由于在附近导函数符号由负变正，所以是极值点.即的极值点是15.过定点(2,1)P -作动圆C ：222220x y ay a +-+-=的一条切线，切点为T ，则线段PT 长的最小值是．【答案】【解析】因为圆的圆心坐标和半径分别为，则，切线长，故当时，，应填答案。

2020-2021学年四川省南充高级中学高一(下)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos75°cos15°−sin75°sin15°的值是( )A. 0B. 12C. √32D. −122. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n−1，那么9是它的( )A. 第10 项B. 第4 项C. 第3 项D. 第2 项3. 若sin(π4−x)=−15，则cos(π4+x)的值等于( )A. −15B. 15C. −√245D. √2454. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2，A =120°，△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 45. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD =2DC ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C =60°，b =√2，c =√3，则sinA =( )A. √6+√24B. √6−√24C. √22D. 127. 数列{a n }中，若a 1=2,a n+1=2a nan +2，则a 7=( )A. 18B. 17C. 27D. 148. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3a +2c =2bcosA ，则角B的大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69. 设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2 C. 2α−β=π2D. 2α+β=π210. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2−c 2=2a 2，cosB =−14，则c a=( )A. 1B. 2C. 3D. 411.已知cosθ+2sinθ=−1，则tan2θ=()A. −247B. 247C. 0或−247D. 0或24712.已知函数f(x)=2√3sin(x2−π3)+2cos x2，函数g(x)=f(x)−m在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x1+x2+x3)=()A. −1B. −√3C. 1D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 为一组基底，若m a⃗+4b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，则实数m=______ ．14.已知cosα=−45,α∈(π2,π),则cosα2=______ ．15.如图，AE是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取D，C两点，使D，C，E三点在同一条直线上，在D，C两点测得顶点A的仰角分别为30o，67o，且D，C两点之间的距离为20米，则烟囱AE的高度为______ 米.(用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，√3≈1.73)16.已知平面单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ ，满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则sin2θ的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+6n(n∈N∗)．(1)判断数列{a n}的单调性，并证明你的结论；(2)若数列{a n}中存在a n=n的项，求n的值．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： (1)sinA 的值；(2)△ABC 的面积和AC 边上的高．条件①：cosC =23，b =4；条件②：cosC =23，cosB =19．19. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)，−π2<β<α<π2． (1)若OA ⊥OB ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α，β的值．20. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ．(1)若x ∈R ，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在[0,m]上的最小值为2，求实数m 的取值范围．21.余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在诞生之初，它只是以几何定理的身份出现，直到16世纪，才出现三角形式.17−18世纪，尽管三角形式偶有出现，但人们主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”的问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”的问题.到20世纪，韦达定理销声匿迹，三角形式的余弦定理一统天下.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)证明：正切定理a+ba−b =tanA+B2tan A−B2.(提示：A=A+B2+A−B2，B=A+B2−A−B2)(2)若a2+c2−b2=ac，sinA−sinC=√22，求角A，C．22.为美化环境，拟在正方形ABCD的空地上修建三条直线型道路CP、CQ、PQ，如图所示，将正方形区域分成多个区域，种植不同的花草，设正方形边长为2(单位：百米)，P、Q分别为线段AB、AD上的点(含端点)，其中P，Q两点不重合．(1)若P、Q分别为线段AB、AD的中点，求△CPQ的面积；(2)若∠BCP=π6，求△CPQ面积的最大值，并说明此时Q点的位置；(3)若∠PCQ=π4，求线段PQ的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：cos75°⋅cos15°−sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0．故选A．由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a n=3n−1=9=32，∴n=3．故选：C．把a n=3n−1中的a n换成9，解出n值即可．本题考查数列的概念及表示法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由sin(π4−x)=−15得，√22cosx−√22sinx=−15，则cos(π4+x)=√22cosx−√22sinx=−15，故选：A．根据两角差的正弦函数公式化简sin(π4−x)=−15，再由两角和的余弦函数公式化简cos(π4+x)，对比后即可求值．本题考查两角差的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式，以及整体思想．4.【答案】B【解析】解：∵△ABC的面积为√3，∴S=12bcsinA=12×2×c×√32=√3，∴c =2，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+4−2×2×2×(−12)=12， ∴a =2√3，由正弦定理知，2R =asinA =√3√32=4，∴R =2．故选：B ．先由三角形的面积公式可得c =2，再由余弦定理求得a 的值，最后根据2R =asinA ，代入数据进行运算，得解．本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵BD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：D ．由已知结合向量的线性运算即可求解．本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求B ，然后结合三角形的和差角公式即可求解．【解答】解：因为C =60°，b =√2，c =√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC ，故sinB =bsinC c=√2×√32√3=√22，因为c >b ，故C >B ，所以B =45°，则sinA=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√2+√64．故选：A．7.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，可得1a n+1=12+1a n，所以数列{1an }是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1a n =12+(n−1)×12=n2，可得a n=2n，所以a7=27．故选：C．通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．【解答】解：∵√3a+2c=2bcosA=2b×b2+c2−a22bc =b2+c2−a2c，整理可得，a2+c2−b2=−√3ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =−√32，因为B为三角形的内角，故B=5π6．故选：D．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．∵tanα=1−sinβcosβ，即sinαcosα=1−sinβcosβ，即sin(α+β)=cosα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=cosα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵b2−c2=2a2，∴a2+c2=b2−a2，且cosB=−14，∴cosB=a2+c2−b22ac =−a22ac=−a2c=−14，∴ac =12，ca=2．故选：B．根据条件可得出a2+c2=b2−a2，然后根据余弦定理即可求出ac 的值，进而可求出ca的值．本题考查了余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为cosθ+2sinθ=−1，可得cosθ=−2sinθ−1，又sin2θ+cos2θ=1，∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0，或−45，∴cosθ=−1，或35，则tanθ=0，或−43，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=0，或247．故选：D．利用sin 2θ+cos 2θ=1，组成方程组，解出sinθ，cosθ的值，从而求出tanθ，即可得解．本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，考查了转化思想，是基础题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=2√3(sin x2cos π3−cos x2sin π3)+2cos x2=√3sin x2−cos x2=2sin(x2−π6)，要使g(x)=f(x)−m 在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点，则需函数y =f(x)的图象与直线y =m 有三个不同的交点，作出函数f(x)的大致图象如下图所示，不妨设x 1<x 2<x 3，由图象可知，x 1=0,x 3=4π,2sin(x 22−π6)=−1，则x 22−π6=7π6，∴x 2=8π3，∴x 1+x 2+x 3=0+8π3+4π=20π3，∴f(x 1+x 2+x 3)=2sin(10π3−π6)=−1．故选：A ．化简函数f(x)，作出f(x)的大致图象，观察图象可求得x 1，x 2，x 3的值，进而求得f(x 1+x 2+x 3).本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，∴设m a ⃗ +4b ⃗ =k(a ⃗ +2b ⃗ )，由∵向量a ⃗ 与b ⃗ 为一组基底，∴{m =k4=2k ，解得：m =2．故m 的值为：2．利用平面向量共线定理可解决此题．本题考查向量共线定理，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】√1010【解析】解：∵cosα=−45cosα=2cos2α2−1=−45∴cosα2=±√1010∵α∈(π2,π)∴α2∈(π4,π2)∴cosα2=√1010故答案为：√1010利用余弦函数的二倍角公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：由题意可得，∠DAC=67°−37°=30°，根据正弦定理可得，ACsin30∘=DCsin∠DAC，∴AC=200.6×12=503，在△ACE中，AE=AC×sin67°=503×0.92≈15，故答案为：15．结合已知条件，以及正弦定理，即可求解．本题考查解三角形的正弦定理，以及实际应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】128【解析】解：由题意，|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，又|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，∴(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2≤3，即4|e 1⃗⃗⃗ |2+|e 2⃗⃗⃗ |2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≤3，可得e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≥12，设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，得cosα≥12．又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2|e 1⃗⃗⃗ |2+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=3+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =3+3cosα，|a ⃗ |2=(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=|e 1⃗⃗⃗ |2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =2+2cosα， |b ⃗ |2=(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=4|e 1⃗⃗⃗ |2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=5+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =5+4cosα．∴cos 2θ=(a ⃗ ⋅b ⃗ )2|a ⃗ |2⋅|b ⃗ |2=(3+3cosα)2(2+2cosα)(5+4cosα) =92⋅1+cosα5+4cosα=98⋅(5+4cosα−15+4cosα)=98(1−15+4cosα). ∵cosα≥12，∴cos 2θ≥2728， ∴sin 2θ≤128，即sin 2θ的最大值为128．故答案为：128．e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√3，得到cosα≥12，分别把a ⃗ ⋅b ⃗ ，|a ⃗ |，|b ⃗ |用含有cosα的式子表示，求出cos 2θ的最小值，则sin 2θ的最大值可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，故数列{a n }是递减数列，证明：数列{a n }中，a n =1+6n ，则a n+1=1+6n+1，则a n+1−a n =(1+6n+1)−(1+6n )=6n+1−6n =−6n(n+1)<0，故数列{a n }是递减数列；(2)若a n =n ，即1+6n =n ，变形可得n 2−n −6=0，解可得：n =3或−2(舍)，故n =3．【解析】(1)根据题意，由数列的通项公式可得a n+1=1+6n+1，据此可得a n+1−a n 的表达式，分析其符号可得结论；(2)根据题意，若数列{a n }中存在a n =n 的项，则有1+6n =n ，解可得n 的值，即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：选择条件①：(1)由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =9+16−2×3×4×23=9，即c =3，∴a =c ，sinA =sinC =√1−cos 2C =√1−49=√53；(2)S △ABC =12absinC =12×3×4×√53=2√5，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5， ∴ℎ=√5；选择条件②：(1)在△ABC 中，由cosC =23,cosB =19得，sinC =√53,sinB =4√59，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+19×√53=√53； (2)由(1)知sinA =sinC ，∴A =C ，a =c =3， ∴S △ABC =12acsinB =12×3×3×4√59=2√5，且b =2acosC =2×3×23=4，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5，解得ℎ=√5．【解析】选择条件①时：(1)根据余弦定理可求出c =3，从而可求出sinA =sinC =√53；(2)根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，再根据等积法可求出AC 边上的高；选择条件②时：(1)根据两角和的正弦公式即可求出sinA =sin(B +C)=√53；(2)可得出A =C ，a =c ，然后根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，并求出b =4，然后根据等积法可求出AC 边上的高．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1，又由−π2<β<α<π2，则α=−β，则sinα−sinβ=sinα−sin(−α)=2sinα=1，则α=π6，β=−π6，故α=π6，β=−π6．【解析】(1)根据题意，由向量的坐标公式可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可得答案； (2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1，结合α、β的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模以及向量的坐标的计算，属于基础题．20.【答案】解：f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1．(1)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，∴f(x)的递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈Z ． (2)x ∈[0,m]，得[π6,π6+2m]， ∵f(x)在[0,m]上的最小值为2， ∴π6+2m ≤5π6，解得m ∈(0,π3].【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将f(x)化简成正弦型函数，再利用正弦型函数的单调性解题．该题考查三角函数的二倍角公式及辅助角公式，还考查正弦型函数的单调性及最值，属于中等题型．21.【答案】解：(1)证明：sinA=sin(A+B2+A−B2)=sin A+B2cos A−B2+cos A+B2sin A−B2，sinB=sin(A+B2−A−B2)=sin A+B2cos A−B2−cos A+B2sin A−B2，sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，由正弦定理知，a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，∴a+ba−b =sinA+B2cos A−B2cos A+B2sin A−B2=tanA+B2tan A−B2，∴a+ba−b =tanA+B2tan A−B2；(2)∵a2+c2−b2=ac，∴根据余弦定理，有cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴A+C=2π3，C=2π3−A，∴sinA−sinC=sinA−sin(2π3−A)=sinA−√32cosA−12sinA=12sinA−√32cosA=sin(A−π3)=√22，且A−π3∈(−π3,π3)，∴A−π3=π4，A=7π12，C=π12．【解析】(1)可得出sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，根据正弦定理可得出a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，从而得到a+ba−b=tanA+B2tan A−B2；(2)根据条件及余弦定理可求出B=π3，然后根据sinA−sinC=√22，可得出sin(A−π3)=√22，再求出A，C的值．本题考查了正余弦定理，两角和差的正弦公式，弦化切公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD −S△CDQ−S△APQ−S△CBQ=4−1−1−12=32，(2)∵Q为线段AD上的点，∴当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，此时△CPQ面积最大，△CPQ面积的最大值为12×2×2=2．(3)设AP=m，AQ=n，则tan∠BCP=2−m2，tan∠DCQ=2−n2，又∵∠PCQ=π4，∴∠BCP+∠DCQ=π4，∴2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，化简整理得，n=8−4m4−m，m∈[0,2]，n∈[0,2]，则PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，令t=4−m，t∈[2,4]，则PQ2=(4−t)2+(−8+4tt )2=(t+8t−4)2，故PQ=|t+8t−4|，t∈[2,4]，∵t+8t∈[4√2,6]，∴PQ∈[4√2−4,2]．【解析】(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD−S△CDQ−S△APQ−S△CBQ，(2)当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，从而求得，(3)设AP=m，AQ=n，由∠BCP+∠DCQ=π4及两角和的正切公式得2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，从而可得n=8−4m4−m ，m∈[0,2]，n∈[0,2]，从而得到PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，再化简求解即可．本题考查了学生通过建模解决实际问题能力，同时考查了学生的化简运算的能力，属于中档题．。

四川省南充高中2020届高三数学4月月考试题文+理 (含答案)

四川省南充高中 2020 届高三数学 4 月月考试题文
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知集合 U {x | 4x2 4x 1 0}， B {x | x 2 0} ，则 CU B （）
A． (, 2)
3
的单调
递增区间为（）
A．
3
2k ,
3
2k
k
Z
B．
3
4k ,
3
4k
k
Z
C．
3
2k
,
3
2k
k
Z
D．
3
4k
,
3
4k
k
Z
10.
定义在 R 上的奇函数
f
(x) 在（- ，0）上
是
增
函
数
，
若
a
f
log
2
1 5
，
b f ( log2 4.1 ) ， c f (20.8 ) ，则 a, b, c 的的大小关系为（）
B． (, 2]
C．（1 , 2) 2
D．( - , 1 ) （1 , 2) 22
2．己知 a 3i b 2i(a, b R) ，其中 i 为虚数单位，则复数 z a bi 在复平面内的对应 i
点
在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3. 在正项等比数列{an}中，若 a2a12 4 ，则（- 2）a7 = （）
的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出 1 吨西凤脐橙获利润
800 元，未售出的西凤脐橙，每 1 吨亏损 500 元．经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示．小王为下一个月购进了 100 吨西凤脐橙，

四川省南充高中2020-2021年度高三上期第四次月考(理科参考答案)

四川省南充高中2021-2021年度高三上期第四次月考〔理科答案〕一、选择题ABBDB CDACD BA 二、填空题13. 0≠x 且0≠y 14. []2,0 15. 40 16. 362 三、解答题17. 〔每题各6分〕解：〔1〕()()062sin 22cos 2sin 3>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ωπωωωx x x x f那么21222=⇒==ωπωπT（2）由〔1〕知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2πx x f ，那么()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，()[]2,11,2162sin 32,662∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-x g x x ππππ18. 〔第〔1〕小题4分，第〔2〕小题8分〕解：〔1〕证明：AB 是半圆O 的直径，那么BC AC ⊥ 又5=AB ，3=BC ，那么4=AC在ABC ∆中，AC PA PC AC PA ⊥⇒=+222又AB PA ⊥，A AC AB = ，故⊥PA 平面ABC ，从而BC PA ⊥ 又AC BC ⊥，A PA AC = ，故⊥BC 平面PAC〔2〕建立如下图的空间直角坐标系xyz C -，那么()0,0,3B ，()0,4,0A ，()3,4,0P()0,4,0=CA ，()3,4,0=CP ，()0,0,3=CB ，点E 是线段PB 上靠近B 点的三等分点那么()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=1,34,21,34,10,0,331BP CB CE设()z y x m ,,=是平面ACE 的一个法向量，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅==⋅034204z y x CE m y CA m ，令1=x 得()2,0,1-=m 设直线PC 与平面ACE 所成的角为θ，那么2556556sin ===θ 19. 〔每题各4分〕解：〔1〕由0>n a ，()21+=n n n a a S ，令1=n 得：()12111111=⇒+==a a a a S令2=n 得：()221122222=⇒+=+=a a a a S ，令3=n 得：()2212133333=⇒+=++=a a a a S由此猜测n a n =〔2〕由〔1〕知1=n 时，n a n =成立假设()*,1N k k k n ∈≥=有k a k =那么1+=k n 时，22222121212111k k a a a a a a S S a k k k k k k k k k +-+=+-+=-=++++++ 即()()()[]10101111121+=⇒=+-+⇒=+--+++++k a k a k a k k a a k k k k k那么1+=k n 时n a n =成立，故n a n =（3）471121<=a 成立当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<==12112121212414444112222n n n n n n n a n 故4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立. 20. 〔第〔1〕小题4分〕，第〔2〕小题8分〕解：〔1〕由242=⇒=a a ，又121=⇒==c a c e ，那么3222=-=c a b故椭圆E 的标准方程为13422=+y x（2）设()11,y x A ，()22,y x B ，直线m kx y l +=:，带入椭圆E 的方程消去y 得那么221438kkmx x +-=+，222143124k m x x +-=，且()()2222224303431664k m m k m k +<⇒>-+-=∆ 假设OQB OQA ∠=∠，那么0444422112211=-++-+=-+-=+x mkx x m kx x y x y k k QB QA 即()()()()0441221=-++-+x m kx x m kx()()()()08434843124208422222121=-+--+-⇒=-+-+m k k m km k m k m x x k m x kx ，整理得k m -=满足2243k m +<那么直线()1:-=-=x k k kx y l 恒过定点()0,121. 〔每题各4分〕解：〔1〕当1=a 时，()()1ln 1-+=x x x f ，那么()()2'''11ln xx x f x x x f -=⇒+= 当()1,0∈x 时，()0''<x f ，()+∞∈,1x 时，()0''>x f()x f '在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，故()()011''>=≥f x f那么函数()x f 的单调递增区间是()+∞,0，无单调递减区间. 〔2〕当0=a 时，()x x f ln =在()+∞,0上单调递增，满足题意当0≠a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增，那么()0'≥x f 〔不连续等于0〕恒成立当0<a 时，()0''<x f ，那么()x f '在()+∞,0上单调递减而01111'<+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--aa e e f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈-,1a e x 时，()0'<x f ，不合题意当0>a 时，()x f '在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增要使()0'≥x f 〔不连续等于0〕恒成立，只需()0ln 11ln 1'≥-=+=⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a a f ，那么e a ≤<0综上，实数a 的取值范围是[]e ,0（3）由〔2〕知()xx a x g 1ln +=，()()011ln 1ln 1ln 1212221121=-+⇒+=+⇒=x x x x a x x a x x a x g x g又121=+x x ，那么0ln 0ln21211212122112=-+⇒=+-++x xx x x x a x x x x x x x x a 令112>=x x t ，即方程01ln =-+t tt a 在()+∞,1上有解. 解法一：令()()+∞∈+-=,1,1ln t t t t a t h ，那么()t t t a t at t t h ⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=1122'，()21,1>+⇒+∞∈tt t 当2≤a 时，()()t h t h ⇒<0'在()+∞,1上单调递减，又()01=h ，不合题意当2>a 时，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()0'>t h ；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+∈,242a a t 时，()0'<t h ；那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()()01=>h t h ，而()()21122>-+<-+=a e a e e a e h a a a a 令()()212>-+=x e x x x ϕ，那么()()022'''<-=⇒-=x x e x e x x ϕϕ，()x 'ϕ在()+∞,2单调递减，()()0422''<-=<e x ϕϕ()x ϕ在()+∞,2单调递减，那么()()0522<-=<e x ϕϕ，即()0<a e h故存在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈a e a a t ,2420，使得()00=t h ，故2>a 满足题意. 综上，a 的取值范围是()+∞,2解法二：〔别离变量洛必达法那么〕t t t a ln 1-=，令()()+∞∈-=,1,ln 1t tt t t m ，那么()()()2222222222'ln 11ln 1ln 1ln 1t t t t t tt t t t t t t m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-++=令()()+∞∈+-+=,1,11ln 22t t t t t M ，那么()()()()t M t t t t M ⇒>+-=0112222'在()+∞,1上单调递增，()()01=>M t M那么()()t m t m ⇒>0'在()+∞,1上单调递增，由洛必达法那么有()2111lim lim 211=+=++→→tt t m t t ，故a 的取值范围是()+∞,222. 〔每题各5分〕解：〔1〕由设抛物线C 的标准方程为()02>=a ax y ，根据抛物线过点()1,2有2112=⇒=a a 故抛物线C 的直角坐标方程为x y 212=由直线l 的极坐标方程得010101cos 22sin 222=--⇒=+-⇒=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y θθρ 即直线l 的直角坐标方程为01=--y x（2）点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 22212223〔t 为参数〕，代入x y 212=得02222=-+t t ，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，那么2221-=+t t ，121-=t t 那么()2234111121221212121=-+=-=+=+t t t t t t t t t t PB PA 23. 〔每题各5分〕解：〔1〕()()()133322=⇒===+--≤+--=m m m m x m x m x m x x f 〔2〕根据根本不等式ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+有ca bc ab c b a ++≥++222 那么()()22223c b a c b a ++≥++〔当且仅当c b a ==时等号成立〕又1=++z y x ，故()()()()()3111311122222a z a y x z a y x +=-+-+-≥-+-+- 即()231312-≤⇒≥+a a 或。

2020-2021学年四川南充高三上数学月考试卷及答案

2020-2021学年四川南充高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,0,1,2,3,4,5}，集合B ={x|(x +3)(x −4)<0}，则A ∩B =( ) A.{−1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{−1,0,1,2} D.{−1,0,1,2,3,4}2. 设复数z 满足(2−i )⋅z =5i ，则|z|=( ) A.1 B.2 C.√3 D.√53. 已知a =log 35， b =ln 12， c =1.5−1.1，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.b <c <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c4. 已知cos (π2+α)=2cos (π−α)，则tan (π4−α)=( ) A.−4 B.4C.−13D.135. (1−x )(1+x )3的展开式中，x 3的系数为( ) A.2 B.−2 C.3 D.−36. 点A(1, 2)关于直线y =kx −b 对称的点是B(−1, 6)，则直线y =2kx +b 在x 轴上的截距是( ) A.8 B.−8 C.4 D.−47. 已知向量a →=(cos θ,sin θ)，b →=(1,√2)，若a →与b →的夹角为5π6，则|a →−b →|=( )A.2B.√7C. √2D.18. 已知球面上A ，B ，C 三点，如果AB =BC =AC =√3，且球的体积为20√53π，则球心到平面ABC 的距离为( ) A.1 B.√2 C.√3 D.29. 函数y =3xe x +e −x （其中e 是自然对数的底数）的图象大致为( )A. B.C. D.10. 已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，将y =f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g(x). 若g(x)的最小正周期为2π，且g (π4)=√2，则f (3π8)=( ) A.−2 B.−√2C.√2D.211. 丹麦数学家琴生（Jemen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数f (x )在(a,b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a,b )上的导函数为f ″(x )，若在(a,b )上f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a,b )上为“凸函数”．已知f (x )=e x −x ln x −px 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是( ) A.(−∞,2e −12]B.[e −1,+∞)C.[e 42−18,+∞)D.(e 42−18,+∞)12. 已知点P 是椭圆x 216+y 212=1(xy ≠0)上的动点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M →⋅MP →=0，则|OM →|的取值范围是( )A.(0, 2)B.(0, √3)C.(0, 4)D.(2, 2√3)二、填空题若x ，y 满足约束条件 {x −y ≥0，2x +y −6≤0，x +y −2≥0，则z =3x +2y 的最大值是________.已知角α终边上一点P (3,4)，则sin 2α=________.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x +4)=f (2−x )．若当x ∈[−3,0]时， f (x )=2−x ，则f (2020)=________.已知F 1,F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则3e 1+e24的最小值为________.三、解答题已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 5=5，S 5=15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n =log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，南充市先后发行了三批消费券．我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3:2.参考数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d . (1)求m ，n 的值；(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关.如图(1)所示，AD 是△BCD 中BC 边上的高线，且AB =2AD =2AC ，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，如图(2).(1)求证：AB ⊥CD ；(2)图(2)中，E 是BD 上一点，连接AE ，CE ，当AE 与底面ABC 所成角的正切值为12时，求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，点(2, 1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线与圆O:x 2+y 2=2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求证：∠POQ 是定值．已知函数 f(x)=e x (x −2),g(x)=x −ln x .(1)求函数y =f(x)+g(x)的最小值；(2)设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a ≠0)，讨论函数ℎ(x)的零点个数．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cos α，y =sin α（α为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ−3π4)=√22． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P (2,−3)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的值．已知函数f(x)=|2x+1|+|4x−5|的最小值为M．(1)求M的值；(2)若正实数a，b，c满足a+b+c=2M，求：(a+1)2+(b−2)2+(c−3)2的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川南充高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.【解答】解：∵集合A={−1,0,1,2,3,4,5}，B={x|(x+3)(x−4)<0}={x|−3<x<4}，∴A∩B={−1,0,1,2,3}.故选A.2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】先化简复数z，再利用模长公式求解即可.【解答】解：∵z=5i2−i =5i(2+i)(2−i)(2+i)=5i(2+i)5=−1+2i，∴|z|=√5.故选D.3.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】求出各数的范围，确定大小. 【解答】解：∵1<log35<2，b=ln12<0，0<1.5−1.1<1，∴b<c<a.故选A.4.【答案】C【考点】诱导公式两角和与差的正切公式【解析】利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos(π2+α)=2cos(π−α)，∴−sinα=−2cosα，∴tanα=sinαcosα=2，则tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=−13.故选C.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为(1−x)(1+x)3=(1+x)3−x(1+x)3，所以x3的系数为C33−C32=−2．故选B．6.【答案】C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程直线的点斜式方程直线的截距式方程【解析】由中点坐标公式求出AB中点的坐标，代入直线方程，再由AB的斜率与直线y=kx+b的斜率互为负倒数求得k，则直线方程可求，由y=0求得直线y=kx+b在x轴上的截距．【解答】解：∵ 点A(1, 2)关于直线y =kx −b 的对称点是B(−1, 6)，由中点坐标公式得AB 的中点坐标为(1−12,2+62)=(0, 4)，代入y =kx −b ，得4=−b ，即b =−4，直线AB 的斜率为6−2−1−1=4−2=−2，则k =12，∴ 直线y =2kx +b =x −4.当y =0时，x =4，∴ 直线y =2kx +b 在x 轴上的截距是4．故选C ． 7.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算向量的模【解析】直接求出各向量的模，再利用数量积求出答案. 【解答】解：因为a →=(cos θ,sin θ)，b →=(1,√2)，所以|a →|=1，|b →|=√3，又∵ |a →−b →|2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2，=|a →|2−2|a →||b →|cos 2π6+|b →|2=1−2√3×√32+3=7，所以|a →−b →|=√7. 故选B ． 8.【答案】 D【考点】球的表面积和体积空间点、线、面的位置【解析】由球的体积可以求出球的半径R ，利用AB =BC =AC =√3 ，可以求出△ABC 外接圆的半径,在根据球心距OO ′，球的半径R ，△ABC 外接圆的半径，满足勾股定理即可求得球心到平面ABC 的距离．【解答】解：设球的半径R ，则V =43πR 3=20√53π， ∴ R =√5，设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r =√3sin 60∘=2 ， ∴ r =1，∵ R 2=(OO ′)2+r 2，即5=(OO ′)2+1，∴ OO ′=2，∵ 球心到平面ABC 的距离即为球心与△ABC 外接圆圆心之间的距离， ∴ 距离为2. 故选D ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．【解答】解：∵ 函数y =3xe x +e −x 的定义域为R , 且f (−x )=−3x e −x +e x =−f (x ),∴ 函数y =3x e x +e −x为定义域上的奇函数，故排除B 选项，当x >0时，y >0，故排除C 选项，当x →+∞时，e x +e −x →+∞，3x →+∞,∵ 3x 的函数值的变化趋势要小于e x +e −x 的函数值的变化趋势， ∴ y →0，故排除D 选项. 故选A . 10.【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，将y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍之后的图像为g(x)=A sin(ωx2+φ).因为f(x)是奇函数，所以g(x)也为奇函数.又因为g(x)的最小正周期为2π，由三角函数周期公式可得：2π=2πω2,解得ω=2.所以g(x)=A sin(x+φ)，f(x)=A sin(2x+φ)，所以f(3π8)=A sin(3π4+φ).由三角恒等变换公式可得，A sin(3π4+φ)=A sin[π−(3π4+φ)],即A sin(3π4+φ)=A sin(π4−φ),所以f(3π8)=A sin(π4−φ).又g(π4)=√2，因为g(x)为奇函数，所以−g(−π4)=g(π4),即−A sin(−π4+φ)=√2,即A sin(π4−φ)=√2,即所求f(3π8)=√2.故选C.11.【答案】C【考点】函数新定义问题利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的最值【解析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．【解答】解：∵f(x)=e x−x ln x−px2，∴f′(x)=e x−ln x−1−2px，则f″(x)=e x−1x−2p，∵f(x)=e x−x ln x−px2在(1,4)上为“凸函数”，∴f″(x)=e x−1x−2p<0在(1,4)上恒成立，即2p>e x−1x在(1,4)上恒成立，令g(x)=e x−1x,x∈(1,4)，g′(x)=e x+1x2>0，∴g(x)=e x−1x在(1,4)上单调递增，∴g(x)<g(4)=e4−14∴2p≥e4−14，∴p≥e42−18.故选C．12.【答案】A【考点】椭圆的应用【解析】作出椭圆x216+y28=1的图象，通过观察图象可以发现，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM→|取最小值0．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM→|取最大值2√2．由此能够得到|OM→|的取值范围．【解答】解：如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值为0．当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取最大值为|OM →|=√16−12=2．∵ xy ≠0，∴ |OM →|的取值范围是(0, 2)．故选A ．二、填空题【答案】 10【考点】简单线性规划求线性目标函数的最值【解析】先根据不等式组画出可行域，再根据目标函数求得最大值即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域如下：由z =3x +2y ，则y =−32x +z2，平移直线y =−32x +z2，由图象可知当直线y =−32x +z2经过点A 时，直线y =−32x +z2的截距最大，此时z 最大，由{x −y =0，2x +y −6=0，可得A (2,2)，∴ z max =3×2+2×2=10. 故答案为：10. 【答案】2425【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知可得sin α=45，cos α=35，则sin 2α=2sin αcos α=2425．故答案为：2425．【答案】 4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值函数的周期性偶函数【解析】根据题意，分析可得f (x +6)=f (x )，即f (x )为周期为6的周期函数，进而可得f (2020)=f (4+336×6)=f (4)，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：∵ 函数f (x )为偶函数，且f (x +4)=f (2−x )， ∴ f (x +4)=f (2−x )=f (x −2)，即有f (x +6)=f (x )，∴ f (x )为周期为6的周期函数，∴ f (2020)=f (4+336×6)=f (4)，由f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (4)=f (2)=f (−2)，当x ∈[−3,0]时，f (x )=2−x ，f (−2)=22=4，故f (2020)=4．故答案为：4．【答案】 6+√3【考点】基本不等式椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,利用垂直平分线的性质可知|F1F2|=|F2P|=2c,利用椭圆和双曲线的定义可得a1−a2=2c,则3e1+e24可根据离心率公式及a1−a2=2c化为6+3a2c+c4a2,利用基本不等式求解最小值.【解答】解：如图所示，设椭圆的长半轴长为a1,焦距为2c，双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c，由题意可知|F1F2|=|F2P|=2c，又∵|F1P|+|F2P|=2a1，|F1P|−|F2P|=2a2，∴|F1P|+2c=2a1，|F1P|−2c=2a2，两式相减，可得：a1−a2=2c，3 e1+e24=3a1c+c4a2=3(a2+2c)c+c4a2=6+3a2c +c4a2≥6+2√3a2c⋅c4a2=6+√3，当且仅当3a2c =c4a2时取等号，则3e1+e24的最小值为6+√3.故答案为：6+√3.三、解答题【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，则{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得{a1=1，d=1.∴数列{a n}的通项公式为a n=1+1×(n−1)=n.(2)∵a n=log2b n=n，∴b n=2a n=2n，由此可得b1=21=2，b n+1b n=2n−12n=2，∴数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列，因此可得{b n}前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.【考点】等差数列的通项公式等比数列的前n项和等比关系的确定指数式与对数式的互化【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知得出方程组{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得通项；(2)由已知根据对数运算得b n=2n，根据等比数列的定义可得数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列．由等比数列的求和公式可得答案．【解答】解：(1)设等差数列的公差为d，则{a5=a1+4d=5，S5=5a1+5×42d=15，解得{a1=1，d=1.∴数列{a n}的通项公式为a n=1+1×(n−1)=n.(2)∵a n=log2b n=n，∴b n=2a n=2n，由此可得b1=21=2，b n+1b n=2n−12n=2，∴数列{b n}的是首项为2，公比为2的等比数列，因此可得{b n}前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.【答案】解：(1)由题意，5+m+15+10+n+5=50，且(5+m+15):(10+n+5)=3:2，解得：m=10，n=5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：根据公式计算K 2=50(10×27−10×3)237×13×30×20≈9.98>6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．【考点】频率分布表独立性检验【解析】【解答】解：(1)由题意， 5+m +15+10+n +5=50，且(5+m +15):(10+n +5)=3:2，解得： m =10，n =5.(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，如下：根据公式计算K 2=50(10×27−10×3)237×13×30×20≈9.98>6.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对发行成都消费券的态度有差异．【答案】(1)证明：在图(2)中，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，∵ 平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD ∩平面ABD =AD ，AB ⊂平面ABD ， ∴ AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴ AB ⊥CD .(2)解：以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)，设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)，得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)，由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12，可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2，于是cos ⟨AD →,AE →⟩=5，即22=5解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)，BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0，令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ，则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515 . 【考点】直线与平面垂直的判定两条直线垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：在图(2)中，AC ⊥AD ，AB ⊥AD ，∵ 平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD ∩平面ABD =AD ，AB ⊂平面ABD ， ∴ AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴ AB ⊥CD .(2)解：以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC =1，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,0,0)，D (0,0,1)，设E (x,y,z )，由DE →=λDB →(0<λ<1)，得(x,y,z −1)=(0,2λ,−λ)，得E (0,2λ,1−λ)， ∴ AE →=(0,2λ,1−λ)，平面ABC 的一个法向量为AD →=(0,0,1)，由AE 与底面ABC 所成角的正切值为12，可得tan ⟨AD →,AE →⟩=2，于是cos ⟨AD →,AE →⟩=1√5，即1−λ√(2λ)2+(1−λ)2=1√5，解得：λ=12，则E (0,1,12)，AE →=(0,1,12)， BC →=(1,−2,0)，BE →=(0,−1,12)，设平面BCE 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即 {x −2y =0，−y +12z =0，令y =1，得x =2，z =2，则n →=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量. 设直线AE 平面BCE 所成的角是θ，则sin θ=|cos ⟨AE →,n →⟩|=|AE →⋅n →||AE →||n →|=4√515，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515 . 【答案】解：(1)由题得：e =c a=√22，即c 2=12a 2，则b 2=12a 2.再将点(2, 1)带入方程得4a 2+2a 2=1，解得a 2=6，所以b 2=3，则椭圆C 的方程为：x 26+y 23=1.(2)①当直线PQ 斜率不存在时，则直线PQ 的方程为x =√2或x =−√2，当x =√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)，此时OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘；当x =−√2时，同理可得，∠POQ =90∘. ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0. 因为直线与圆相切，所以2=√2，即m 2=2k 2+2，联立{kx −y +m =0，x 26+y 23=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k +km ×(−4km1+2k )+m 2.将m 2=2k 2+2代入上式，整理可得OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘. 综上，∠POQ 是定值90∘．【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】（1）由题得e =ca =√22得到a ，b ，c 的关系，再将点(2, 1)代入可解得a 2＝6，进而得到方程；（2）考虑PQ 斜率不存在和存在两种情况，分别计算出OP →⋅OQ →=0，可得∠POQ ＝90∘为定值．【解答】解：(1)由题得：e =ca =√22，即c 2=12a 2，则b 2=12a 2.再将点(2, 1)带入方程得4a +2a =1，解得a 2=6，所以b 2=3，则椭圆C 的方程为：x 26+y 23=1.(2)①当直线PQ 斜率不存在时，则直线PQ 的方程为x =√2或x =−√2，当x =√2时，P(√2, √2)，Q(√2, −√2)，此时OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘；当x =−√2时，同理可得，∠POQ =90∘. ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0. 因为直线与圆相切，所以√k 2+1=√2，即m 2=2k 2+2，联立{kx −y +m =0，x 26+y 23=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k 2+km ×(−4km1+2k 2)+m 2.将m 2=2k 2+2代入上式，整理可得OP →⋅OQ →=0，所以OP →⊥OQ →，即∠POQ =90∘. 综上，∠POQ 是定值90∘．【答案】解：(1)令φ(x )=f (x )+g (x )，⇒φ′(x )=e x (x −1)+(1−1x )=(x −1)(e x +1x)>0⇒x >1，所以φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以φ(x )min =φ(1)=1−e ； (2)g ′(x )=1−1x >0⇒x >1 ，g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以 g (x )≥g (1)=1>0. 所以ℎ(x )=0⇔a =e x (x−2)x−ln x=s (x )，因为s ′(x )=e x (x−1)(x−ln x−1+2x)(x−ln x )2，令k (x )=x −ln x −1+2x ⇒k ′(x )=(x+1)(x−2)x 2，所以k(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，所以 k (x )≥k (2)=2−ln 2>0，所以s(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，又因为x →0+，s (x )→0，x →+∞,s (x )→+∞，且s (1)=−e ，所以，当a <−e 时，ℎ(x ) 有0个零点；当 a =−e 或 a >0时，ℎ(x ) 有1个零点；当−e <a <0时，ℎ(x )有2个零点．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)令φ(x )=f (x )+g (x )，⇒φ′(x )=e x (x −1)+(1−1x )=(x −1)(e x +1x)>0⇒x >1，所以φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以φ(x )min =φ(1)=1−e ； (2)g ′(x )=1−1x >0⇒x >1 ，g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，所以 g (x )≥g (1)=1>0.所以ℎ(x )=0⇔a =e x (x−2)x−ln x=s (x )，因为s ′(x )=e x (x−1)(x−ln x−1+2x)(x−ln x )2，令k (x )=x −ln x −1+2x ⇒k ′(x )=(x+1)(x−2)x 2，所以k(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，所以 k (x )≥k (2)=2−ln 2>0，所以s(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，又因为x →0+，s (x )→0，x →+∞,s (x )→+∞，且s (1)=−e ，所以，当a <−e 时，ℎ(x ) 有0个零点；当 a =−e 或 a >0时，ℎ(x ) 有1个零点；当−e <a <0时，ℎ(x )有2个零点．【答案】解：(1)由{x =√2cos α,y =sin α消去参数α，得x 22+y 2=1，故曲线C 的普通方程为x 22+y 2=1.由ρsin (θ−3π4)=√22，得−√22ρsin θ−√22ρcos θ=√22，即ρsin θ+ρcos θ+1=0，将x =ρcos θ， y =ρsin θ代入上式，得x +y +1=0.故直线l 的直角坐标方程为x +y +1=0. (2)由(1)可知，点P (2,−3)在直线l 上，则设直线l 的参数方程为{x =2−√22t ，y =−3+√22t（t 为参数），将x =2−√22t ，y=−3+√22t 代入x 22+y 2=1，得3t 2−16√2t +40=0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=403.所以|PA|⋅|PB|=|t 1||t 2|=t 1t 2=403.【考点】直线的极坐标方程椭圆的参数方程参数方程的优越性【解析】【解答】解：(1)由{x =√2cos α,y =sin α消去参数α，得x 22+y 2=1，故曲线C 的普通方程为x 22+y 2=1.由ρsin (θ−3π4)=√22，得−√22ρsin θ−√22ρcos θ=√22，即ρsin θ+ρcos θ+1=0，将x =ρcos θ， y =ρsin θ代入上式，得x +y +1=0.故直线l 的直角坐标方程为x +y +1=0. (2)由(1)可知，点P (2,−3)在直线l 上，则设直线l 的参数方程为{x =2−√22t ，y =−3+√22t（t 为参数），将x =2−√22t ，y=−3+√22t 代入x 22+y 2=1，得3t 2−16√2t +40=0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=403.所以|PA|⋅|PB|=|t 1||t 2|=t 1t 2=403.【答案】解：(1)由题意得，f (x )={−6x +4，x <−12，−2x +6，−12≤x ≤54，6x −4，x >54，函数图象如图所示：由图可知，当x =54时，最小值M =72． ∴ M =72．(2)由(1)可知，a +b +c =7，∴ [(a +b +c)−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2 =(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2+2(a +1)(b −2)+ 2(a +1)(c −3)+2(b −2)(c −3)≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2] ， ∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2≥3，当且仅当a =0，b =3，c =4时等号成立，∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值为3．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法分段函数的应用一般形式的柯西不等式【解析】（1）作出分段函数的图象，数形结合即可求得函数f (x )=|2x +1|+|4x −5|的最小值为M ．（2）由a +b +c =7，得[(a +b +c )−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2，把等式右侧展开平方，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：(1)由题意得，f (x )={−6x +4，x <−12，−2x +6，−12≤x ≤54，6x −4，x >54，函数图象如图所示：由图可知，当x =54时，最小值M =72． ∴ M =72．(2)由(1)可知，a +b +c =7，∴ [(a +b +c)−4]2=[(a +1)+(b −2)+(c −3)]2 =(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2+2(a +1)(b −2)+ 2(a +1)(c −3)+2(b −2)(c −3) ≤3[(a +1)2+(b −2)2+(c −3)2] ， ∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2≥3，当且仅当a =0，b =3，c =4时等号成立，∴ (a +1)2+(b −2)2+(c −3)2的最小值为3．。

四川省南充高中2020届高三4月月考数学(文)试题含答案

南充高中2020届高三4月月考数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2U {|4410}x x x =-+≥，{|20}B x x =-≥，则U C B =（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞C ．12（,2) D ．1122∞U(-,)（,2) 2．己知32(,)a ib i a b R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内的对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在正项等比数列{}n a 中，若4122=a a ，则72a （）-=（）A ．－2B ． 2C ．4D ．164．假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（） A ．250 B ．350 C ．450 D ．5505．若3cos()2πα+=cos2=α（） A ．23-B ．13- C ．13 D ．236．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的b a ,分别为135，180，则输出的a ＝( ) A ．0 B ．5 C ．15D ．457．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线9=x 与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O 为坐标原点．若OPQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．23C ．34D.28．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1玉石，AB =10cm ，AC =6cm ，BC =8cm ，AA 1=4cm ，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（）cm 2. A.38πB.π332C.π16 D.π364 9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，若将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的单调递增区间为（） A ．()3232,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()3434,k k k 5π11π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()2,233k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()4,433k k k π5π⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z10. 定义在R 上的奇函数)(x f 在∞（-，0）上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的的大小关系为（） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面CDD 1C 1平行；②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③CD 1与PQ 一定垂直； ④AB PQ 2≥.其中正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知P 是曲线x e y C =：1在点（0，1）处的切线上任意一点，点Q 是曲线xx y C ln 2=：上任意一点，则|PQ |的最小值是（） A ．22ln 1-B ．22ln 1+C ．2D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量(2,3)a =r ，(3,)b m =r ，且0a b ⋅=r r ，则向量a r 在向量()a b -r r上的投影为 .14．某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名．若b a ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-，，，7252a b a b a 若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z ＝_______.15．过已知抛物线x y 162=的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则BF AF 2+的最小值为.16．已知数列{}n a 满足nn a a a 44,411-==+，且)2)(2()2)(2()(3221--+--=a a a a n f)2)(2()2)(2(143--++--++n n a a a a Λ，若对3≥∀n ）（*∈N n ，都有m m n f 2)(2-≥恒成立，则m 实数的最小值为．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，8,7==c a .（1）若734sin =C ，求角A ；（2）若ABC ∆的面积为310，求ABC ∆周长.18.（本小题满分12分）随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓,深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元．经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示．小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x (单位：吨)表示下一个月内市场的需求量， y (单位：元)表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润．（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67 000元的概率；19．（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=︒，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点．（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求三棱锥111B AC E -的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点P 22,2⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()2e 3xg x mx =+-，当2e 1a =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2e ()f x g x +≥，证明：2e e m ≤-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1=1:=x C y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程=4cos ρθ．（1）写出曲线1C 极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知M （1, 1），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，试求点M 到弦AB 的中点的距离. 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设函数f (x )＝|x ＋1|.（1）求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；（2）已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围．。

四川省南充市中学2021年高一数学文测试题含解析

四川省南充市中学2021年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 2. 设函数f（x）=，则f（log2）+f（）的值等于（）A．B．1 C．5 D．7参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】化简f（log2）+f（）=+，从而解得．【解答】解：∵log2＜0，＞0，∴f（log2）+f（）=+=6+1=7，故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．3. 已知=（1，﹣1），=﹣，=+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2D．参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即?=0，则（﹣）?（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2?=||2+||2+2?，得?=0，则||2=||2+||2﹣2?=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||?||=×2×2=2．故选：A．4. 已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．5. 如图，四边形ABCD中，，将沿BD折起，使平面平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面参考答案：B【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．【详解】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD=D，∴AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选：B．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定和性质定理，考查逻辑思维能力，属于中档题．6. 已知在定义域R上是减函数，则函数y＝f (|x＋2|)的单调递增区间是（）A．(－∞, ＋∞) B．(2, ＋∞) C．(－2, ＋∞)D(―∞, ―2)参考答案：D7. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（）A．B．C．D．参考答案：D试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．8. （4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A． 1 B．C．D．参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．9. 函数的最大值和最小值分别为（）A. 5,8B. 1,8C. 5,9D. 8,9参考答案：C10. 如图所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线A1B与平面所成角为，二面角的大小为，则为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．【详解】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO ⊥平面A 1DCB 1，∴∠BA 1O 是直线A 1B 与平面A 1DCB 1所成角θ1，∵BO ＝A 1B ，∴θ1＝30°；∵BC ⊥DC ，B 1C ⊥DC ，∴∠BCB 1是二面角A 1﹣DC ﹣A 的大小θ2，∵BB 1＝BC ，且BB 1⊥BC ，∴θ2＝45°．故选：A ．【点睛】本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是．参考答案：12.，若恒成立，则范围是参考答案：13. 存在使不等式成立，则的取值范围为 _;参考答案：14. 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f （2016）的值为．参考答案：【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象求出A ，ω和φ的值，结合三角函数的解析式进行求解即可．【解答】解：由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f （x ）=3sin （x+），则f （2016）=3sin （×2016+）=3sin （504π+）=3sin （）=3×=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．15. 三个平面可以把空间最多分成_____________部分参考答案：略16. 50名学生做物理、化学两种实验，每人两种实验各做一次．已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有5人，则这两种实验都做对的有人．参考答案：2617. 设，则．参考答案：3,，即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省南充高级中学高三数学4月检测考试试题理(含解析)(2021年整理)

解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省南充高级中学2017届高三数学4月检测考试试题理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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（含解析)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合，，若，则( ）A。

B。

C。

D。

不能确定【答案】B【解析】由题意可得: ,则:，,。

本题选择B选项。

2. 已知，则“”是“”的( ）A。

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C。

充分必要条件 D。

既不充分也不必要条件【答案】C本题选择C选项.3. 已知公差不为0的等差数列满足、、成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A. B。

C. D.【答案】A【解析】试题分析:设等差数列的公差为,首项为,所以，．因为成等比数列，所以,解得：．所以，故选A.考点：等差数列的性质；等比数列的性质。

4. 甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则又多少种坐法（）A。

10 B。

16 C。

20 D。

24【答案】C考点：排列组合.5. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升,其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12。

6(立方寸)，则图中的为（）A。

1.2 B. 1.6 C。

1。

8 D。

2。

4【答案】B【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体,这两个几何体组成一个组合体，其体积： ,解得：。

四川省南充市高一数学4月月考试题(理)(2021年整理)

四川省南充市2017-2018学年高一数学4月月考试题（理）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（四川省南充市2017-2018学年高一数学4月月考试题（理））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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四川省南充市2017—2018学年高一数学4月月考试题（理）（考试时间：120分钟试卷满分150分)一、选择题（每个小题5分共计60分，每题只有一个正确答案)1。

cos700cos250+sin700sin250的结果是( ） A 。

1 B 。

22 C 。

23 D 。

212.计算lg 5+lg 20的值( ）A 。

－1B .1C 。

－21D 。

213。

在ABC ∆中， a=4，A=45︒,B=60︒则b 边的值（ )A 。

13+ B.32 +1 C 。

62 D 。

2+32 4.下列函数中最小正周期为π的奇函数是（） A.y=sin(2x+2π） B.y=cos(2x+2π) C 。

y=sin2x+cos2x D 。

y=sinx+cosx5. 在ABC ∆中,角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 若asinBcosC+csinBcosA=21b且b a >则B ∠=（）A.6πB. 3π C 。

32π D.656ππ或6. 若32tan 1tanA-1+=+A ，则)4tan(1π+A 的值是（） A 。

－(2+3） B 。

2+3 C 。

2－3 D.－2+37。

已知322sin =α,则)4(cos 2πα+=( ）A.61 B 。

2021届四川省南充高级中学高三上学期第四次月考数学(理)试卷

2021届四川省南充高级中学高三上学期第四次月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}034|2<+-=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=14|22x y y B ，则=B AA ．[)3,2B ．()3,1C ．[)∞+，2D ．[]3,22．已知i 是虚数单位，m ii+-12是纯虚数，则实数m 的值为 A ．1-B ．1C ．2-D ． 23．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为^^54a x y +=，若儿童的记忆能力为12，则他的识图能力约为A ．9.2B ．9.5C ．9.8D ．104．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数()144-=x x x f 的图像大致是A B C D5．某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机，现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供选择，公司决定从四个牌子中随机选两个购买，则甲牌打印机被选中的概率为 A.61 B. 21C.32 D. 656．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积为A. π28B.380πC. π20D. π12 7．已知函数(]b a x x xy ,,14∈++=的最小值为2，则a 的取值范围是 A ．()2,1 B ．()2,1- C ．[)2,1 D ．[)2,1-8. 已知锐角α，β满足22πβα=-，且1sin cos tan =+ββαx ，则=x A ．1 B ．2C ．3D ．29. 平面向量()b -=2,1与()a ,2=()0,0>>b a 共线，则ba 11+的最小值为 A. 24 B. 2 C.2243+ D. 223+ 10. 已知ABC ∆的外接圆圆O 的半径为332，3π=A ，则=⋅BC BO A.21B ．1C ．4D ．211. 已知数列{}n a 的首项11=a ，()3cos13πn a a x x f n n --+=+为奇函数，记n S 为数列{}n a的前n 项和，则=2021SA.22023B ．1011C ．1008D ．33612. 若函数()()x e a ae x f x x--+=22，0>a ，若()x f 有两个零点，则a 的取值范围为A. ()1,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,1eC. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e ,1D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用反证法证明命题“已知x ，R y ∈，若0=xy ，则0=x 或0=y ”时，应假设 .14. 已知O 为坐标原点，点()2,1-A ，点()y x P ,是满足⎪⎩⎪⎨⎧=-≤--≥-+010101y y x y x 的平面区域上的一动点，则⋅的取值范围是 .15. ()42211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 的展开式中常数项为 .16. 已知实数x ，y 满足1422=+-y xy x ，则y x +2的最大值为 .三、解答题：共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）已知函数()x x x x x f ωωωωcos sin 32cos sin 22+-=（其中0>ω）的最小正周期为π2.（1）求ω的值；（2）将函数()x f 的图像上各点的横坐标变为原来的21（纵坐标不变）得到函数()x g y =的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，求()x g 的取值范围.18. （12分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，三棱锥ABC P -中，3==BC PA ，5==AB PC ，AB PA ⊥，点E 是线段PB 上靠近点B 的三等分点.（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）求直线PC 与平面ACE 所成角的正弦值.19. （12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()21+=n n n a a S（1）计算1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式；（3）证明不等式4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立.20. （12分）已知椭圆()012222>>=+b a b y a x E ：的离心率为21，椭圆上某点到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记点()0,4Q ，斜率为k 的直线l （不过点Q ）与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OQB OQA ∠=∠，则直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.21. （12分）已知()()1ln f x ax x ax =+-．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）令()()g x f x '=，存在120x x <<，且121x x +=，()()12g x g x =，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22. （10分）[选修4—4：极坐标与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，且过点()1,2，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为014sin 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρπθ. （1）求抛物线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，P ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.23. （10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数()m x m x x f +--=2的最大值为3，其中0>m . （1）求m ；（2）若()()()3111222≥-+-+-z a y x 对所有满足m z y x =++的实数x ，y ，z 都成立，证明：2-≤a 或0≥a .南充高中高2018级第四次月考（理科答案）（2）选择题：ABBDB CDACD BA（3）填空题：0≠x 且0≠y 14. []2,0 15. 40 16. 362 （4）解答题22. （每小题各6分）解：（1）()()062sin 22cos 2sin 3>⎪⎭⎫⎝⎛-=-=ωπωωωx x x x f 则21222=⇒==ωπωπT（3）由（1）知()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2πx x f ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,6ππx 时，()[]2,11,2162sin 32,662∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-x g x x ππππ23. （第（1）小题4分，第（2）小题8分）解：（1）证明：AB 是半圆O 的直径，则BC AC ⊥又5=AB ，3=BC ，则4=AC在ABC ∆中，AC PA PC AC PA ⊥⇒=+222又AB PA ⊥，A AC AB = ，故⊥PA 平面ABC ，从而BC PA ⊥又AC BC ⊥，A PA AC = ，故⊥BC 平面PAC（2）建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则()0,0,3B ，()0,4,0A ，()3,4,0P()0,4,0=，()3,4,0=，()0,0,3=，点E 是线段PB 上靠近B 点的三等分点则()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=1,34,21,34,10,0,331BP CB CE 设()z y x ,,=是平面ACE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅==⋅034204z y x CE m y ，令1=x 得()2,0,1-= 设直线PC 与平面ACE 所成的角为θ，则2556556sin ===θ 24. （每小题各4分）解：（1）由已知0>n a ，()21+=n n n a a S，令1=n 得：()12111111=⇒+==a a a a S令2=n 得：()221122222=⇒+=+=a a a a S，令3=n 得：()2212133333=⇒+=++=a a a a S 由此猜想n a n =（2）由（1）知1=n 时，n a n =成立假设()*,1N k k k n ∈≥=有k a k =则1+=k n 时，22222121212111k k a a a a a a S S a k k k k k k k k k +-+=+-+=-=++++++ 即()()()[]10101111121+=⇒=+-+⇒=+--+++++k a k a k a k k a a k k k k k则1+=k n 时n a n =成立，故n a n = （4）471121<=a 成立当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=-<==12112121212414444112222n n n n n n n a n 4735113121121121715151312111112232221<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++n n n a a a a n 故4711112232221<++++n a a a a 对任意*N n ∈恒成立. 25. （第（1）小题4分），第（2）小题8分）解：（1）由已知242=⇒=a a ，又121=⇒==c a c e ，则3222=-=c a b 故椭圆E 的标准方程为13422=+y x （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，直线m kx y l +=:，带入椭圆E 的方程消去y 得()0124843222=-+++m kmx xk则221438kkmx x +-=+，222143124k m x x +-=，且()()2222224303431664k m mkm k +<⇒>-+-=∆若OQB OQA ∠=∠，则0444422112211=-++-+=-+-=+x mkx x m kx x y x y k k QB QA 即()()()()0441221=-++-+x m kx x m kx()()()()08434843124208422222121=-+--+-⇒=-+-+m k k m km k m k m x x k m x kx ，整理得k m -=满足2243k m +< 则直线()1:-=-=x k k kx y l 恒过定点()0,126. （每小题各4分）解：（1）当1=a 时，()()1ln 1-+=x x x f ，则()()2'''11ln xx x f x x x f -=⇒+= 当()1,0∈x 时，()0''<x f ，()+∞∈,1x 时，()0''>x f()x f '在()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增，故()()011''>=≥f x f则函数()x f 的单调递增区间是()+∞,0，无单调递减区间. （2）当0=a 时，()x x f ln =在()+∞,0上单调递增，满足题意当0≠a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增，则()0'≥x f （不连续等于0）恒成立()()2'''11ln xax x f x x a x f -=⇒+= 当0<a 时，()0''<x f，则()x f '在()+∞,0上单调递减而01111'<+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--aa e e f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈-,1a e x 时，()0'<x f ，不合题意当0>a 时，()x f '在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增要使()0'≥x f （不连续等于0）恒成立，只需()0ln 11ln 1'≥-=+=⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a a f ，则e a ≤<0综上，实数a 的取值范围是[]e ,0 （3）由（2）知()x x a x g 1ln +=，()()011ln 1ln 1ln 1212221121=-+⇒+=+⇒=x x x x a x x a x x a x g x g 又121=+x x ，则0ln 0ln21211212122112=-+⇒=+-++x x x x x x a x x x x x x x x a 令112>=x x t ，即方程01ln =-+t tt a 在()+∞,1上有解. 解法一：令()()+∞∈+-=,1,1ln t t tt a t h ，则()t t t a t at t t h ⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+-=1122'， ()21,1>+⇒+∞∈tt t当2≤a 时，()()t h t h ⇒<0'在()+∞,1上单调递减，又()01=h ，不合题意当2>a 时，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()0'>t h ；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-+∈,242a a t 时，()0'<t h ；则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈24,12a a t 时，()()01=>h t h ，而()()21122>-+<-+=a e a e e a e h a a a a 令()()212>-+=x e x x xϕ，则()()022'''<-=⇒-=xxe x e x x ϕϕ，()x 'ϕ在()+∞,2单调递减，()()0422''<-=<e x ϕϕ()x ϕ在()+∞,2单调递减，则()()0522<-=<e x ϕϕ，即()0<a e h故存在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∈a e a a t ,2420，使得()00=t h ，故2>a 满足题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2解法二：（分离变量洛必达法则）tt t a ln 1-=，令()()+∞∈-=,1,ln 1t t t t t m ，则()()()2222222222'ln 11ln 1ln 1ln 1t t t t t tt t t t t t t m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=-++=令()()+∞∈+-+=,1,11ln 22t t t t t M ，则()()()()t M t t t t M ⇒>+-=0112222'在()+∞,1上单调递增，()()01=>M t M则()()t m t m ⇒>0'在()+∞,1上单调递增，由洛必达法则有()2111lim lim 211=+=++→→tt t m t t ，故a 的取值范围是()+∞,227. （每小题各5分）解：（1）由已知设抛物线C 的标准方程为()02>=a ax y ，根据抛物线过点()1,2有2112=⇒=a a 故抛物线C 的直角坐标方程为x y 212= 由直线l 的极坐标方程得010101cos 22sin 222=--⇒=+-⇒=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y x x y θθρ 即直线l 的直角坐标方程为01=--y x（2）点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 22212223（t 为参数），代入x y 212=得02222=-+t t ，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则2221-=+t t ，121-=t t 则()2234111121221212121=-+=-=+=+t t t t t t t t t t PB PA 28. （每小题各5分）解：（1）()()()133322=⇒===+--≤+--=m m m m x m x m x m x x f（2）根据基本不等式ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 有ca bc ab c b a ++≥++222则()()22223c b a cb a ++≥++（当且仅当c b a ==时等号成立）又1=++z y x ，故()()()()()3111311122222a z a y x z a y x +=-+-+-≥-+-+- 即()231312-≤⇒≥+a a 或0≥a。

2021-2022学年四川省南充高级中学中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若关于x的不等式组255332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-B．116a2-<<-C．1162a-<-D．1162a--2．下列各数中，最小的数是（）A．0 B．2C．1D．π-3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒4．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）A．53xx≥-⎧⎨>-⎩B．53xx>-⎧⎨≥-⎩C．53xx<⎧⎨<-⎩D．53xx<⎧⎨>-⎩5．如图是反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象，则一次函数y kx k=-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．下列命题中，真命题是（）A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r=5，AC=5 ，则∠B 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60° 8．化简221121211x x x x ÷+--++的结果是（） A ．1B ．12C ．11x x -+D ．222(1)x x -+9．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC ，已知∠ABC=60°，点B 在y 轴上，OA=1，先将菱形OABC 沿x 轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B 的落点依次为B 1，B 2，B 3，…，则B 2017的坐标为（）A．（1345,0）B．（1345.5，32）C．（1345，32）D．（1345.5，0）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．函数y=13x-+1x-的自变量x的取值范围是_____．12．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是2．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）13．在函数12xyx-=+中，自变量x的取值范围是_________．14．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．15．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______dm.16．已知抛物线y＝x2上一点A，以A为顶点作抛物线C：y＝x2＋bx＋c，点B(2，y B)为抛物线C上一点，当点A在抛物线y＝x2上任意移动时，则y B的取值范围是_________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．18．（8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩x/分频数频率50≤x＜60 10 0.0560≤x＜70 30 0.1570≤x＜80 40 n80≤x＜90 m 0.3590≤x≤10050 0.25请根据所给信息，解答下列问题：m＝，n＝；请补全频数分布直方图；若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；（3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，直接写出此时点E的坐标．20．（8分）某景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a= ，b= ；（2）确定y2与x之间的函数关系式：（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？21．（8分）列方程解应用题：某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．22．（10分）综合与实践﹣猜想、证明与拓广问题情境：数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG．猜想证明（1）当图1中的点E与点B重合时得到图2，此时点G也与点B重合，点H与点A重合．同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：；（2）希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开了讨论：小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．请你参考同学们的思路，完成证明；（3）创新小组的同学在图1中，发现线段CG∥DF，请你说明理由；联系拓广：（4）如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，∠ABC=α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，并直接写出结果（用含α的式子表示）．23．（12分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（I）AC的长等于_____．（II）若AC边与网格线的交点为P，请找出两条过点P的直线来三等分△ABC的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）．24．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒，那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、A 【解析】分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可．【详解】255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20 解②得x ＞3-2a ，∵不等式组只有5个整数解， ∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20， ∴14≤3-2a ＜15，1162a ∴-<-故选：A 【点睛】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键． 2、D 【解析】根据实数大小比较法则判断即可．【详解】π-＜0＜1，故选D．【点睛】本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解题的关键．3、B【解析】试题分析：作点P关于OA对称的点P3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P3P3的长，∵OP=3，∴OP3=OP3=OP=3．又∵P3P3=3，,∴OP3=OP3=P3P3,∴△OP3P3是等边三角形, ∴∠P3OP3=60°，即3（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．4、B【解析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，A、不等式组53xx≥-⎧⎨>-⎩的解集为x＞-3，故A错误；B、不等式组53xx>-⎧⎨≥-⎩的解集为x≥-3，故B正确；C、不等式组53xx<⎧⎨<-⎩的解集为x＜-3，故C错误；D、不等式组53xx<⎧⎨>-⎩的解集为-3＜x＜5，故D错误．故选B．【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．5、B【解析】根据图示知,反比例函数ky x=的图象位于第一、三象限， ∴k >0，∴一次函数y =kx −k 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，且该一次函数在定义域内是增函数， ∴一次函数y =kx −k 的图象经过第一、三、四象限；故选：B. 6、C 【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：A 、错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形； B 、错误，等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形； C 、正确，符合切线的性质；D 、错误，垂直于同一直线的两条直线平行．故选C ． 7、D 【解析】根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D ．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．在直角三角形ACD 中求出∠D ．则sinD=∠D=60° ∠B=∠D=60°．故选D ．“点睛”此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义，解答时要找准直角三角形的对应边． 8、A 【解析】原式=()()111x x +-•（x –1）2+21x +=11x x -++21x +=11x x ++=1，故选A ． 9、B 【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．10、B【解析】连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移2．∵3=336×6+1，∴点B1向右平移1322（即336×2）到点B3．∵B1的坐标为（1.5，32），∴B3的坐标为（1.5+1322，32），故选B．点睛：本题是规律题，能正确地寻找规律 “每翻转6次，图形向右平移2”是解题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、x≥1且x≠3【解析】根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．【详解】根据二次根式和分式有意义的条件可得：1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩ 解得：1x ≥且 3.x ≠故答案为：1x ≥且 3.x ≠【点睛】考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.12、②③④【解析】①可用特殊值法证明，当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠.②可连接PC ，交EF 于点O ，先根据SAS 证明ADP CDP ≅，得到DAP DCP ∠=∠，根据矩形的性质可得DCP CFE ∠=∠，故DAP CFE ∠=∠，又因为90DAP AMD ∠+∠=︒，故90CFE AMD ∠+∠=︒，故AH EF ⊥. ③先证明CPM HPC ，得到PC PM HP PC=，再根据ADP CDP ≅，得到AP PC =，代换可得. ④根据EF PC AP ==，可知当AP 取最小值时，EF 也取最小值，根据点到直线的距离也就是垂线段最短可得，当AP BD ⊥时，EF 取最小值，再通过计算可得.【详解】解：①错误.当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠；②正确.如图，连接PC ，交EF 于点O ，45AD CDADP CDPDP DP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADP CDP SAS≅∴DAP DCP∠=∠，PF CD⊥，PE BC⊥，90BCD∠=︒，∴四边形PECF为矩形，∴OF OC=，∴DCP CFE∠=∠，∴DAP CFE∠=∠，90DAP AMD∠+∠=︒，∴90CFE AMD∠+∠=︒，∴90FGM∠=︒，∴AH EF⊥.③正确.//AD BH，∴H DAP∠=∠，ADP CDP≅，∴DAP DCP∠=∠，∴H DCP∠=∠，又CPH MPC∠=∠，∴CPM HPC，∴PC PMHP PC=，AP PC=，∴AP PMHP AP=，∴2AP PM PH =.④正确.()ADP CDP SAS ≅且四边形PECF 为矩形，∴EF PC AP ==，∴当AP BD ⊥时，EF 取最小值，此时sin 4522AP AB =︒=⨯=故EF .故答案为：②③④.【点睛】本题是动点问题，综合考查了矩形、正方形的性质，全等三角形与相似三角形的性质与判定，线段的最值问题等，合理作出辅助线，熟练掌握各个相关知识点是解答关键.13、x≤1且x≠﹣1【解析】试题分析：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x ≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．14、30°【解析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD 减去∠AOB 即可.【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠AOD=∠BOD －∠AOB=45°－15°=30°. 故答案为30°.15、【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=8，∴dm．∴这圈金属丝的周长最小为dm．故答案为：dm【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．16、y a≥1【解析】设点A的坐标为（m，n），由题意可知n=m1，从而可知抛物线C为y=（x-m）1+n，化简为y=x1-1mx+1m1，将x=1代入y=x1-1mx+1m1，利用二次函数的性质即可求出答案．【详解】设点A的坐标为（m，n），m为全体实数，由于点A在抛物线y=x1上，∴n=m1，由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c，∴抛物线C为y=（x-m）1+n化简为：y=x1-1mx+m1+n=x1-1mx+1m1，∴令x=1，∴y a=4-4m+1m1=1（m-1）1+1≥1，∴y a≥1，故答案为y a≥1【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出y a=4-4m+1m1=1（m-1）1+1．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）CE=1．【解析】（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.（2）根据垂径定理可求BH=12BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长. 【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵ BE平分∠ABC．∴∠OBE=∠EBC，∴∠OEB=∠EBC，∴OE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB=90°，∴ AC是⊙O的切线.（2）解：过O作OH⊥BF，∴BH=12BF=3，四边形OHCE是矩形，∴CE=OH，在Rt△OBH中，BH=3，OB=5，∴OH=22OB OH=1，∴CE=1.【点睛】本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．18、（1）70，0.2（2）70（3）750【解析】（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人．【详解】解：（1）由题意可得，m＝200×0.35＝70，n＝40÷200＝0.2，故答案为70，0.2；（2）由（1）知，m＝70，补全的频数分布直方图，如下图所示；（3）由题意可得，该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人），答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．【详解】（1）证明：如图1．∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），∴∠AOB=90°．∵DP⊥AB于点P，∴∠DPB=90°，∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，∴∠PBO+∠PDO=180°，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，∴∠CBO+∠ODF=12（∠PBO+∠PDO）=90°，∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，∴∠CBO=∠DFO，∴DF∥CB．（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，证明：延长DF交CB于点Q，如图2，∵在△ABO中，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∵在△APD中，∠APD=90°，∴∠PAD+∠PDA=90°，∴∠ABO=∠PDA，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠CDQ+∠DCQ=90°，∴在△QCD中，∠CQD=90°，∴DF⊥CB．（3）解：过M作MN⊥y轴于N，∵M（4，-1），∴MN=4，ON=1，当E在y轴的正半轴上时，如图3，∵△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，∴12×2×OE+12×（2+4）×1-12×4×（1+OE）=58×12×2×4，解得：OE=72，当E在y轴的负半轴上时，如图4，1 2×（2+4）×1+12×（OE-1）×4-12×2×OE=58×12×2×4，解得：OE=32，即E的坐标是（0，72）或（0，-32）．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．20、（1）a=6，b=8；（2）()28001064160(10)x xyx x⎧≤≤=⎨+>⎩;（3）A团有20人，B团有30人.【解析】（1）根据函数图像，用购票款数除以定价的款数，计算即可求得a的值；用11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可解得b的值；（2）分0≤x≤10与x＞10，利用待定系数法确定函数关系式求得y2的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n），然后分0≤x≤10与x＞10两种情况，根据（2）中的函数关系式列出方程求解即可.【详解】（1）由y1图像上点（10,480），得到10人的费用为480元，∴a=480106 800⨯=；由y2图像上点（10,480）和（20，1440），得到20人中后10人的费用为640元，∴b=640108 800⨯=；（2）0≤x≤10时，设y 2=k 2x,把（10, 800）代入得10k 2=800,解得k 2=80，∴y 2=80x ，x ＞10，设y 2=kx+b,把（10, 800）和（20,1440）代入得10800201440k b k b +=⎧⎨+=⎩解得64160k b =⎧⎨=⎩∴y 2=64x+160∴()28001064160(10)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩（3）设B 团有n 人，则A 团的人数为（50-n ）当0≤n≤10时80n+48（50-n ）=3040，解得n=20(不符合题意舍去)当n ＞10时801064n 104850n 3040⨯+-+-=（）（），解得n=30.则50-n=20人，则A 团有20人，B 团有30人.【点睛】此题主要考查一次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式.21、2.4元/米3【解析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，进而得出等式即可．【详解】解：设去年用水的价格每立方米x 元，则今年用水价格为每立方米1.2x 元由题意列方程得：301551.2x x-= 解得x 2=经检验，x 2=是原方程的解 1.2x 2.4=(元/立方米)答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．22、 (1) GF=GD ，GF ⊥GD;(2)见解析;(3)见解析;(4) 90°﹣2. 【解析】（1）根据四边形ABCD 是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，点D 关于直线AE 的对称点为点F ，即可证明出∠DBF=90°，故GF ⊥GD ，再根据∠F=∠ADB ，即可证明GF=GD ；（2）连接AF ，证明∠AFG=∠ADG ，再根据四边形ABCD 是正方形，得出AB=AD ，∠BAD=90°，设∠BAF=n ，∠FAD=90°+n ，可得出∠FGD=360°﹣∠FAD ﹣∠AFG ﹣∠ADG=360°﹣（90°+n ）﹣（180°﹣n ）=90°，故GF ⊥GD ；（3）连接BD ，由（2）知，FG=DG ，FG ⊥DG ，再分别求出∠GFD 与∠DBC 的角度，再根据三角函数的性质可证明出△BDF ∽△CDG ，故∠DGC=∠FDG ，则CG ∥DF ；（4）连接AF ，BD ，根据题意可证得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，再根据菱形的性质可得∠ADB=∠ABD=12α，故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+12α）+12α+（180°﹣2∠1）=360°，2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，即可求出∠DFG ．【详解】解：（1）GF=GD ，GF ⊥GD ，理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，∵点D 关于直线AE 的对称点为点F ，∠BAD=∠BAF=90°，∴∠F=∠ADB=45°，∠ABF=∠ABD=45°，∴∠DBF=90°，∴GF ⊥GD ，∵∠BAD=∠BAF=90°，∴点F ，A ，D 在同一条线上，∵∠F=∠ADB ，∴GF=GD ，故答案为GF=GD ，GF ⊥GD ；（2）连接AF ，∵点D 关于直线AE 的对称点为点F ，∴直线AE 是线段DF 的垂直平分线，∴AF=AD ，GF=GD ，∴∠1=∠2，∠3=∠FDG ，∴∠1+∠3=∠2+∠FDG ，∴∠AFG=∠ADG ，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，设∠BAF=n，∴∠FAD=90°+n，∵AF=AD=AB，∴∠FAD=∠ABF，∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n，∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n，∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，∴GF⊥DG，(3)如图2，连接BD，由（2）知，FG=DG，FG⊥DG，∴∠GFD=∠GD F=12（180°﹣∠FGD）=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∴∠BDC=∠DBC=12（180°﹣∠BCD）=45°，∴∠FDG=∠BDC，∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG，∴∠FDB=∠GDC，在Rt△BDC中，sin∠DFG=DGDF=sin45°=22，在Rt△BDC中，sin∠DBC=DCDB=sin45°=22，∴DG DC DF DB=，∴DG DF DC DB=，∴△BDF∽△CDG，∵∠FDB=∠GDC，∴∠DGC=∠DFG=45°，∴∠DGC=∠FDG，∴CG∥DF；（4）90°﹣2α，理由：如图3，连接AF ，BD ， ∵点D 与点F 关于AE 对称，∴AE 是线段DF 的垂直平分线，∴AD=AF ，∠1=∠2，∠AMD=90°，∠DAM=∠FAM ，∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1，∵BD 是菱形的对角线，∴∠ADB=∠ABD=12α，在四边形ADBF 中，∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+12α）+α+（180°﹣2∠1）=360° ∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，∴∠DFG=90°﹣2α．【点睛】本题考查了正方形、菱形、相似三角形的性质，解题的根据是熟练的掌握正方形、菱形、相似三角形的性质. 2337 作a ∥b ∥c ∥d ，可得交点P 与P′【解析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）利用平行线等分线段定理即可解决问题.【详解】（I ）2261+37，37；（II）如图直线l1，直线l2即为所求；理由：∵a∥b∥c∥d，且a与b，b与c，c与d之间的距离相等，∴CP=PP′=P′A，∴S△BCP=S△ABP′=13S△ABC．故答案为作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24、（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）最多可以购进1筒甲种羽毛球．【解析】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过2550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【详解】（1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，依题意，得：x-y=152x+3y=255⎧⎨⎩，解得：x=60 y=45⎧⎨⎩．答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．（2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球（50﹣m）筒，依题意，得：60m+45（50﹣m）≤2550，解得：m≤1．答：最多可以购进1筒甲种羽毛球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．。

四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学(理)试题

四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin115cos5sin 25cos95+°°°°等于（）A ．12B ．12-C D ． 2．已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-且()a b b +⊥，则m = A ．9-B ．9C ．6D ．6-3．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-(3n ≥，n ∈+N )，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（） A ．672B ．673C ．1347D ．20204．在ABC 中，1a =，6A π=，4B π=，则c 等于（）A B C D 5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸6．若1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79B ．79-C ．89D ．89-7．设数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =（）A ．1021 B ．2021C ．919D ．18198．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，6A π=，且22b a ac =+，则B =（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π9．设n S 等差数列{}n a 的前n 项和，且满足20180S >，20190S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥,则k 的值为（）A ．1008B ．1009C ．1010D ．101110．P 为ABC 所在平面内一点，0AB PB PC ++=，2PB PC AB ===，则PBC 的面积等于（） A ．B ．CD ．11．为献礼建党一百周年，南高嘉陵校区在学校后山修建“初心园”，现有半径为，圆心角为π3的扇形空地OPQ （如图所示），需要在空地内修建一平行四边形景观场地ABCD ，则该景观场地的面积最大值为（）A ．2B ．)24501mC ．(213502mD ．)213501m12．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+（n *∈N ），且11a =，若记n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数，设()()111nn n n n n b T b b -=----，数列{}n T 的最大项的值为M 与最小项的值为N ，则M N -=（） A ．712-B ．13C ．56D ．1712二、填空题13．数列7，77，777，7777…的一个通项公式是______． 14．4sin103tan10+=______．15．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,=a a a ，()76,=b a a，18a b ⋅=，则1210a ++⋅⋅⋅+=______．16．已知为△ABC 的重心，过点G 的直线与边,AB AC 分别相交于点,P Q .若AP AB λ=,则当ABC ∆与APQ ∆的面积之比为209时，实数λ的值为________.三、解答题17．已知向量a 、b ，满足2a =，3b =，且21a b ．（1）求a 和b 的夹角；（2）在ABC 中，若AB a =，AC b =，求BC ．18．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且()2132522a a a =+．（1）求公差d 和通项公式n a ；（2）若0d <，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+．19．已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin A a B =．（1）求角A ；（2）若a =ABC b c +．20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知0n a >，2243nn n a a S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n a b -=，设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数()2cos 12cos 222x x xf x =-+．（1）求()y f x =的单调递减区间；（2）将()y f x =图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位得到()y g x =，若6235πg θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ的值．22．已知数列{}n a 满足11a =，1231111323n n a a a a a n++++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令14x =，2n an x =（2n ≥），如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()11,1P x ，()22,2P x ，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PPP +⋅⋅⋅，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．参考答案1．C【分析】利用诱导公式及两角和余弦公式可得结果.【详解】()()°°°°=+︒+︒︒+︒︒+︒sin115cos5sin25cos95sin9025cos5sin25cos905=cos25cos5sin25sin5︒︒-︒︒=︒=cos30故选：C.2．B【详解】()()()()+=-+⊥∴+=--==,a b m a b b a b b m m7,2,,?14220,9选B.3．C【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得{}n a是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得{}n a为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以{}n a是周期为3的周期数列，++=，一个周期中三项和为1102=⨯+，因为202067331⨯+=，所以数列{}n a的前2020项的和为673211347故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 4．D 【分析】在ABC 中，根据6A π=，4B π=求得sin C ，再由正弦定理求解.【详解】在ABC 中，因为6A π=，4B π=，所以1sin ,cos 2A A B B ====， ()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦， sin cos cos sin A B A B =+，12==由正弦定理得sin sin a cA C=，所以1sin 41sin 2a Cc A===故选：D 5．D 【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第()N n n *∈个节气的日影长为n a ，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，前n项和为n S ，则567817114223276772173.52a a a a a d S a d a d +++=+=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得12721a d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 1012799922a a d ∴=+=-=，因此，立夏日影长为四尺五寸.故选：D. 【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前n 项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题. 6．B 【分析】注意观察已知角与所求角，不难发现2233ππααπ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos 2cos 233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式及二倍角余弦公式化简即可求解.【详解】解：因为1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22cos 2cos 2cos 2cos 23333ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2221712sin 2sin 1213339ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B. 7．A 【分析】由题意可得出211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭，然后利用裂项求和法可求得10S 的值. 【详解】()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭，因此，101111111012335192121S ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 8．B 【分析】利用正余弦定理得到关于B 的三角方程，解之即可. 【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，又6A π=，∴222a b c =+， ∵22b a ac =+，2ac c =+a c =+，sin sin B A C =+，sinsin 66B B π5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-， ∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴66B ππ-=或56π，∴3B π=或π（舍）故选：B. 9．C 【分析】根据20180S >，20190S <，结合等差数列的性质和前n 项和公式得到100910100,0a a ><，且10091010a a >求解.【详解】因为20180S >，20190S <，所以12018100910101201910100,20a a a a a a a +=+>+=<，所以100910100,0a a ><，且10091010a a >，因为对任意正整数n ，都有n k a a ≥，所以1010k =，故选：C 10．C 【分析】以,PB PC 为相邻边作平行四边形PBFC ，连接PF ，交BC 于点E ，得到E 为BC 的中点，E也是PF 的中点，推得PE BC ⊥，且112PE PF ==，求得2BC BE ==角形的面积. 【详解】如图所示，以,PB PC 为相邻边作平行四边形PBFC ，连接PF ，交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，E 也是PF 的中点，因为0AB PB PC ++=，所以PB PC BA +=，又因为2PB PC PE +=，所以2PE BA =，因为PF BA =，所以//PF BA 且PF BA =，又因为2PB PC AB ===，所以PE BC ⊥，且112PE PF ==, 所以2222BC BE PB PE ==-=所以PBC 的面积11122S BC PE =⋅=⨯=故选：C.11．A 【分析】作DE OP ⊥于点E ，作CF OP ⊥于点F ，则矩形EFCD 的面积即等于平行四边形ABCD 的面积，设COP θ∠=，π03θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭可得CF θ=，30sin πtan 3DEOE θ==，利用三角恒等变换和三角函数的性质计算EF FC ⋅的最大值即可. 【详解】如图：作DE OP ⊥于点E ，作CF OP ⊥于点F ，则矩形EFCD 的面积即等于平行四边形ABCD 的面积，设COP θ∠=，π3DOE ∠=，则sin CF OC θθ==，cos OF OC θθ==，在Rt ODE △中，30sin ππtan tan33DE CF OE θ====，所以30sin EF OF OE θθ=-=-，所以矩形EFCD 的面积()30sin EF FC θθθ⋅=-)2cos sin θθθ=-1cos 222θθ⎫-=-⎪⎪⎭112cos 222θθ⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262θ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦，因为π03θ<<，所以ππ5π2666θ<+<，当ππ262θ+=即π6θ=时，矩形EFCD的面积最大为2π1sin 22⎫-=⎪⎭，所以该景观场地平行四边形ABCD的面积最大值为2.故选：A. 12．D【分析】利用取倒数法得到数列{}n a 的通项公式，由n b 为满足不等式11122k n n a -<≤（n *∈N ）的正整数k 的个数可得2nn b =，研究数列{}n T 的单调性，即可得到最值及答案.【详解】由于11a =，122nn n a a a +=+，则0n a ≠． ∴1212n n na a a ++=，则121111111222n n n n n n n a a a a a a a ++-=-=+-=，即11112n n a a +-=为常数．又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列．从而1111(1)22n n n a +=+-⨯=，即21n a n =+．由111()()22n n k a -<，即1121()()212n n k -<+，得12121n n k +-<-，又*k N ∈，从而1(21)(21)2n n n n b +=---=，故12111()1()122(1)21()2n n n n n n n T =---=-------，当n 为奇数时，111()121()2n n n T =+-+，n T 单调递减，1506n T T <=．当n 为偶数时，111()121()2n n n T =---，n T 单调递增，27012n T T -=<．综上{}n T 的最大项为56M =，最小项为712N =-． ∴1712M N -=. 故选：D.13．71019nn a =-（）【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出9，99，999，9999的通项是101nn b =-，再乘以九分之七即可得解．【详解】解：先写出9，99，999，9999的通项是101nn b =-，∴数列7，77，777，7777…的一个通项公式()7710199n n n a b ==-．故答案为()71019n n a =-．【点睛】本题主要考查了数列的概念及数列表示方法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去寻找通项公式，属于基础题． 14．1 【分析】本题可根据同角三角函数关系、二倍角公式、两角差的正弦公式得出结果. 【详解】3sin104sin103tan104sin10cos10++=4sin10cos103sin102sin 203sin10cos10cos10++=132cos10sin103sin1022203sin10cos10cos10⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭= cos103sin103sin101cos10-+=，故答案为：1. 15．20 【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】解：向量()45,=a a a ，()76,=b a a ，18a b ⋅=，475618a a aa ∴+=，由等比数列的性质可得：11047569a a a a a a =⋯⋯===，则5512101210110))20a a a a a ++⋅⋅⋅+=====．故答案为：20． 16．34或35【分析】利用重心定理，把向量AG 用,AB AC 表示，再利用A ，P ，Q 共线，最后利用面积列方程求得变量间的关系，先求μ最后可得λ ．【详解】解：设AQ xAC =，P ，G ，Q 三点共线∴可设(1)AG AP AQ μμ=+-， ∴(1)AG AB xAC λμμ=+-，G 为ABC ∆的重心，∴1()3AG AB AC =+，∴11(1)33AB AC AB xAC λμμ+=+-∴131(1)3xλμμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相乘得()1=19x λμμ- ①1sin 21sin 2ABC APQAB AC A S S AP AQ A ∆∆= 920x λ=②，②代入①即()20=181μμ-解得49μ=或59即3=5λ或34故答案为35或34．【点睛】此题考查了三点共线与向量的关系，重心定理，三角形面积等，难度适中． 17．（1）56π；（2【分析】（1）首先可根据21a b得出3a b ⋅=-，然后根据cos ,a b a b a b⋅=⋅即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出BC b a =-，然后通过求出2BC 即可得出结果. 【详解】（1）因为21a b ，所以2221aba b ，3a b ⋅=-，则33cos ,223a b a ba b ，因为a 和b 的夹角在[]0,π上，所以a 和b 的夹角为56π.（2）因为AB a =，AC b =，所以BC AC AB b a =-=-，则2222234613BCb abab a ，故13BC =18．（1）1d =-或4d =；11n a n =-+或46n a n =+；（2）21232121,11,22121110,12.22n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎨⎪-+≥⎪⎩．【分析】（1）根据110a =，()2132522a a a =+，利用“1,a d ” 法求解；（2）由（1）得1d =-，11n a n =-+，然后分11n ≤和 12n ≥求解. 【详解】（1）因为()2132522a a a =+，所以2340d d --=，解得1d =-或4d =．故11n a n =-+或46n a n =+．（2）因为0d <，所以由（1）得1d =-，11n a n =-+，设数列{}na 的前n 项和为nS ，则212122nS n n =-+．当11n ≤时，212312122n n a a a a S n n +++⋅⋅⋅++==-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n +++⋅⋅⋅+=-+=-+．综上所述，21232121,11,22121110,12.22n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎨⎪-+≥⎪⎩ 19．（1）3A π=；（2）b c += 【分析】（1cos sin A a B =cos sin sin B A A B =求解；（2）利用余弦定理得到()2123b c bc =+-，再由ABCbc 即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==，cos sin A a B =cos sin sin B A A B =，其中()0,B π∈，故sin 0B ≠．sin A A =，即tan A 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，代入a =3A π=得： 2212b c bc =+-，即()2123b c bc =+-，又∵1sin 2ABC S bc A ==△∴4bc =．解得：b c +=20．（1）21n a n =+；（2）10,2⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）本题首先可令1n =，求出13a =，然后令2n ≥，根据2243n n n a a S +=+得出2111243n n n a a S ---+=+，再然后两式相减，得出12nn a a --=，最后通过等差数列的定义即可得出结果；（2）本题首先可根据21n a n =+得出2111122n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后通过裂项相消法得出31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，根据10n n T T +->得出数列{}n T 单调递增，再然后根据题意得出()11log 133a a >-，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）当1n =时，2111243a a a +=+，解得13a =或11a =-，因为0n a >，所以13a =，当2n ≥时，2243n n n a a S +=+，2111243n n n a a S ---+=+，两式相减，得21211243243n n n n n n a a S a a S ---+--=+--，整理得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，120n n a a ---=，12n n a a --=，故{}n a 是以3为首项、2为公差的等差数列，21n a n =+，（2）因为21n a n =+，所以12n n a b n -==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则13243521111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+ 11111111111111121322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为()()11013n n T T n n +-=>++，所以数列{}n T 单调递增，()1min13n T T ==，要使不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11log 133a a >-即可，即()log 11a a >-，因为10a ->，所以01a <<，()log 11a a >-，即1a a ->，解得102a <<，实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．（1）()42,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2．【分析】（1）首先可通过转化得出()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即可得出结果；（2）本题首先可通过图像变换得出()2cos 2x g x =，然后根据6235πg θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得出3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭、4sin 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】（1）()2cos 12cos cos 2sin 2226x x xπx x x f x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，令322262k x k πππππ+≤+≤+，则()42233k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故()y f x =的单调递减区间为()42,233k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后向左平移23π个单位，得到()2sin 232cos 62x y g x x ⎛⎫==++= ⎪⎝⎭ππ，因为6235πg θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4sin 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=⨯=. 22．（1）1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩；（2）112463n n T n +⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由递推公式化简可得11n n a n a n++=，利用累乘法计算可得出结果；（2）由（1）可得4nn x =，令梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ，则()13343422n nn n n b n ++⎛⎫=⨯⨯=+⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求得结果.【详解】（1）由1231111323n n a a a a a n++++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）①可得当1n =时，123a a =-，可得24a =．当2n ≥时，1231111323n n a a a a a n-+++⋅⋅⋅+=-（n *∈N ）②①-②化简得：11n n n a a a n +=-，所以11n na n a n ++=．由累乘法可得：35423413452341n n a a a a na a a a n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-．化简得：22nana =，所以2n a n =．因为11a =不满足上述，故1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩．（2）由（1）可知4nn x =，n *∈N ，过1P ，2P ，3P ，…，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为1Q ，2Q ，3Q ，…，1n Q +．则134n n n x x +-=⨯，n *∈N ，记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意()13343422n nn n n b n ++⎛⎫=⨯⨯=+⨯⎪⎝⎭，所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1233333314324334342222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③234133334314324334342222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③-④化简得：1132342n n T n +⎛⎫-=-+⨯ ⎪⎝⎭，所以112463n n T n +⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭．。

2021年高一4月阶段(期中)质量检测数学试题含答案

2021年高一4月阶段（期中）质量检测数学试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案代号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3.考试结束后，监考人员将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为第三象限角，则在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第二、三象限2．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（）A．1 B．C．D．3．设，是互相垂直的单位向量，向量，，，则实数为（）．A．B．2 C．D．不存在4．如果角的终边过点（2，－2），则=( )A．B．－C．－D．－5．若平面向量与向量平行，且，则( )A．（4，2）B．（－4，－2）C．（6，－3）D．（4，2）或（－4，－2）6．已知，且，那么角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角7．向量a＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a、b共线，则b可能是（）A．（4，8）B．（－4，8）C．（－4，－8）D．（8，4）8．若，则的值是（）A．－B．C．－D．9．下列说法正确的个数为（）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．410．函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值应该是（）A．10 B．11 C．12 D．1311．若点P分所成的比为，则A分所得的比是（）A．B．C．D．12．若非零向量，满足，则（）A．B．C．D．高一年级阶段质量检测试题数学xx．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷共6页，用钢笔或中性笔直接答在试题卷中，答卷前将密封线内的项目13．+= ．14．已知，，则在上的投影等于___________．15．向量a＝（1，1），且a与（a＋2b）的方向相同，则a·b的取值范围是________．16．关于三角函数的图象，有下列命题：①与的图象关于y轴对称；②与的图象相同；③与的图象关于x轴对称；④与的图象关于y轴对称．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）17．（满分12分，每小题6分）已知．求：（1）；（2）．18．（本小题满分12分）设和是两个单位向量，夹角是60°．求向量和的夹角．19．（本小题满分12分）已知，，，．（1）若（为坐标原点），求与的夹角；（2）若，求的值．20．（本小题满分12分）已知．求下列各式的值．（1）；（2）．21．（本小题满分12分）弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定．（1）以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；（2）小球在开始震动时的位置在哪里？（3）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（4）经过多少时间小球往复运动一次？（5）每秒钟小球能往复振动多少次？22．（本小题满分14分）已知函数的图象过点（0,1），当时，的最大值为．（1）求解析式；（2）写出函数的单调递增区间；（3）由的图象能否得到一个偶函数的图象，如果能，写出对应的函数解析式，不能说明理由．高一数学阶段性测试题答案19．（本小题满分12分）解：（1）∵，，∴，∴．…………………………………………2分又，∴，即，……………………………………4分又，∴与的夹角为．…………………………………………6分20．（本小题满分12分）解：（1）…………………………………………3分原式==-1…………………………………………6分（2）原式= =- …………………………………………12分（不唯一）…………………………………………14分X33872 8450 葐36273 8DB1 趱a~*Ev25388 632C 挬37975 9457 鑗32701 7FBD羽c-。

四川省南充市高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题

四川省南充市高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A． B． C． D．
2．已知是实数集，，，则（）
A． B． C． D．
解不等式，解得或，函数的定义域为 .
内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
外层函数在上为减函数，
由复合函数同增异减法可知，函数的单调递增区间为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
10．A
【分析】
①根据映与函数的定义即可判断出其关系；②先得出的反函数是，再计算函数值即可；③利用基本不等式得结果；④根据函数的奇偶性定义判断即可.
【详解】
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上 .
故选：D
5．D
【详解】
A中两函数定义域不同；
B中两函数定义域不同；
C中两函数对应关系不同；
D中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，
故选D.
6．C
【分析】
根据初等函数的性质通过对四个选项分别求出值域，即可判断正确选项．
其中所有正确命题的序号是（）．
A．①③B．②③C．①③④D．②③④
11．设是定义在实数集上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（）
A． B． C． D．
二、填空题
12．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.

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10．C
【解析】
∵ ＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，
∴| |＝ .
当时，有最大值 .
故选C.
11．C
【分析】
结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到，进而求出角是直角，即可选出答案．
【详解】
由题意知，，，
所以题中等式可转化为：，
即，
则，
故，
所以角为直角，
（Ⅱ）若，，求的值．
22．如图所示，扇形，圆心角等于求，半径为2，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值．
参考答案
1．D
【分析】
可采取特殊化的思路求解，也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四，则标有三的即为所求区域.
A．- B． C．- D．
二、填空题
13．已知，则 _________.
14．在中, , , , 是的中点,则 __________．
15．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．
四川省南充高级中学【最新】高一4月检测考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角是第三象限的角,则角是( )
A．第一或第二象限的角B．第二或第三象限的角
C．第一或第三象限的角D．第二或第四象限的角
16．如图，正六边形，有下列四个命题：
① ；② ；③ ；④ ．
其中真命题的序号是__________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．已知，求下列代数式的值．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．设函数，其中向量，，．
（Ⅰ）若函数，且，求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间，并在给出的坐标系中画出在上的图象．
又，
∴ ．
由题意及正弦定理得
．
故选B．
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是进行合理的角的变换和对式子的变形，考查变换能力和计算能力．
13．
【解析】
由题意可得：
点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
7．为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
8．函数的最小正周期为（）
A． B． C． D．
9．若满足条件，的三角形有两个，则边长的取值范围是（）
4．B
【解析】
.
故选：B
5．D
【解析】
因为∠C＝90°， · ＝AC2＝16.
6．C
【解析】
将函数的图像向左平移个单位得到 .
故选C.
7．B
【解析】试题分析：记函数，则函数 ∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.
2．D
【解析】
本试题主要是考查了向量的数量积的运算．
因为根据向量的数量积为零，可知向量垂直那么则利用坐标运算可知 ,即6-m=0,m=6,因此可知实数m的值为6，选D.
解决该试题的关键是掌握向量的数量积的公式得到参数m．
3．A
【解析】
试题分析：因为 ,所以 ,而 ,故选A.
考点：1.向量模的计算；2.倍角公式 .
19．已知向量 .
（1）求的值；
（2）若，且，求 .
20．已知函数（）的最小正周期为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.
21．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
2．若向量，，, ，则实数的值为（）
A． B． C．2D．6
3．设向量若的模长为，则等于（）
A． B． C． D．
4．平面向量与的夹角为，，，则
A． B． C．4D．12
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于()
A．－16B．－8C．8D．16
6．要得到函数y=sinx的图像，只需将函数的图像（）
即的形状一定是直角三角形．
故答案为C.
【点睛】
本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．
12．B
【分析】
利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的大小，然后表示出B的大小，将原式利用正弦定理和两角差的正弦公式即可求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ．
在△ABC中，由余弦定理的推论得，
【详解】
(方法一)取 ,则 ,此时角为第二象限的角;取 ,则 ,此时角为第四象限的角.
(方法二)如图,
先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四,
则标有三的区域即为角的终边所在的区域,
故角为第二或第四象限的角.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据所在象限求所在象限的方法，属于中档题.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
视频
8．A
【分析】
将函数化简为＝Asin（ωx+ ）的形式，再由周期公式计算即可．
【详解】
由，得最小正周期为T＝，
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简和最小正周期的求法．属于基础题．
9．C
【解析】
当时，即时，三角形有两个，选
【点睛】已知两边及其一边所对的角，解三角形问题，分该角为锐角和钝角两种情况，本题是锐角情况.当时，无解；当时，一解；当时，两解；当时，一解.
A． B． C． D．
10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是( )
A． B． C．3 D．2
11．在中，若，则的形状一定是（）
A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
12．△ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b +c +bc-a =0.则