2020高考数学总复习第八章解析几何课时作业55理含解析新人教A版

课时作业55 抛物线

1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2

＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一

点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )

A.7π12 B ．2π3

C.3π4

D ．5π6

解析：由抛物线y 2

＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝

23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π

3

，故选B.

2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D )

A ．y 2

＝4x B ．y 2

＝－4x C ．y 2＝8x

D ．y 2

＝－8x

解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝

12

×2p ×⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2

＝8x ，所以直线AB 的方程

为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2

＝－8x ，故选D.

3．已知抛物线C ：x 2

＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C )

A ．x 2

＝8y B ．x 2

＝4y C ．x 2＝2y

D ．x 2

＝y

解析：由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

＝2py ，

y ＝2x ，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝0，

y ＝0或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝4p ，

y ＝8p ，

即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )， 则

4p

2

＋8p 2＝45，得p ＝1(舍去负值)，

故抛物线C 的方程为x 2

＝2y .

4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2

＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝3

2

(O 为坐标原点)，则OM →·MF →

＝( A )

A ．－74

B ．74

C.94

D ．－94

解析：不妨设M

(m ，2pm )(m ＞0)，

易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

2，0， 因为|MO |＝|MF |＝3

2，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

＋2pm ＝9

4，m ＋p 2＝3

2，

解得m ＝1

2

，p ＝2，

所以OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF →

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， 所以OM →·MF →

＝14－2＝－7

4

.故选A.

5．如图，设抛物线y 2

＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )

A.|BF |－1

|AF |－1 B ．|BF |2

－1|AF |2

－1 C.|BF |＋1|AF |＋1

D ．|BF |2

＋1|AF |2

＋1

解析：过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，

则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.

可知S △BCF S △ACF ＝1

2·|CB |·|CF |·sin∠BCF

12

·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1

，故选A.

6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2

＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( B )

A ．8

B ．2 3

C ．

4 3 D ．8 3

解析：法一：不妨设点P 在x 轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，

设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，所以θ＝π3，

由抛物线焦点弦的性质可知， |PF |＝

p

1－cos θ＝3

1－cos

π

3＝23，

|QF |＝

p

1＋cos θ＝31＋cos

π3

＝23

3

，

所以|MN |＝|PQ |·sin θ＝(|PF |＋|QF |)·sin π3＝833×3

2＝4，

所以S △MFN ＝12×|MN |×p ＝1

2×4×3＝23，故选B.

法二：由题意可得直线PQ ：

y ＝3⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －

32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x

2

－53x ＋9

4

＝0，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53

3，

所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝83

3，

所以|MN |＝|PQ |sin π

3

＝4，

所以S △MNF ＝1

2

×4×3＝23，故选B.

7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了 1 m.