概率论基础(复旦版)李贤平第一章ppt
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事件，如图1.2所示。
AB A B
图1.2
从定义不难看出事件的和运算具有下列性质
（1）A A B ；
（2）若 A （3） A
B ，则 A B B ；
A A。
事件和运算概念的推广： 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列，
则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中至少有一个事件发生”
A B AB , AB A B
D A B C， 例1.7 设 A, B, C为某试验的三个已知事件， 试求事件D 的对立事件。 解: 由对偶律知
D AB C AB C A B C AC B C
几个重要概念的等价表达 事件 A, B对立
AB A B
时发生，则称事件A 与B 互斥。若 A与 B互斥，且在一次试 验中必有一个发生，则称 A与 B互为对立事件。记A 的对立 事件为 A 例如：
在例1.1中，令A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得
的点数小于3，则A 与B 互斥。 在例1.2中，令A 表示抽出的两球中至少有一球为白色球，
B 表示抽出的两球全为黑球，则 A 与 B 互为对立事件。
率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。
例1.5 为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽
取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料
种子粒数 发芽粒数 发芽率 1 2 2 5 4 0.8 0.9 10 9 0.857 70 1500 60 1339 130 2000 116 1806 310 282 0.913 700 639 0.893
事件的差运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A发生，而 事件 B 不发生”这样的试验结果为事件 A与事件 B的差事 件；这样的运算称为事件差运算。记 A 与 B的差事件 为 A \ B。 从运算角度来看，事件 A 与B 的差事件就是由事件 A 所包含的全体基本事件中去掉其与事件 B所共有的基本事 件形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看 出事件的积运算具有下列性质 （1） \ A A ； （2）若 A B，则 A \ B 。 事件的运算律 A B B A 交换律 AB BA 结合律 ( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC)
Ai Aj A1 A2
i j i , j 1,2, , k
事件组 A1 , A2 , , Ak为 互斥事件完备群
Ak
1.3 古典概率
在对一般随机试验进行讨论之前，先讨论最简单的 随机试验，这就是所谓的古典概率。 古典概型 Def 若随机试验 E 的样本空间 只有有限个基本事件，且 每个基本事件在试验中发生机会相等，则称该随机试验 E 为古典概型。 古典概型描述的是特殊的，相对较简单的随机现象。 判断一个随机试验是否为古典概型就是要看其基本结果数 是否有限和各基本结果是否具有等可能性。 例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。
0.892 0.910 0.ห้องสมุดไป่ตู้03
确定该批小麦种子的发芽率。
解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种
子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大
附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在0.9这 个数值上。 注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。 请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即 概率的统计定义能否理解为下式成立：lim
样本空间
Def 随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随 机试验的样本空间，一般用字母表示。 样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随 机试验确定的，它是研讨问题的论域。
例如： 1, 2 ,, 6 ，其中1表示朝上面 例1.1的样本空间
2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。 的点数为1， 例1.2的样本空间 (WW ), (WB ), ( BW ), ( BB) ，其中 W 表示白球，B 表示黑球。 如果将问题变为“观察白球出现的 个数”，那么，样本空间 0,1,2 ，其中“ 0”表示所抽球中 没有白球， “1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。 例1.3的样本空间 0,1,2,,53，其中“0”表示所抽产品
显然，事件 A与 B互为对立事件，则它们一定互斥。
互斥事件完备群
Def 设 A1 , A2 , , Ak 为一组事件，如果它们之中任意
两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称 这组事件A1 , A2 , , Ak 形成互斥事件完备群 。 例如： 在例1.4中，令
A1 X : 1.50 X 1.60 A2 X : 1.60 X 1.70 A3 X : 1.70 X 1.90
随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出
现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试 验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的 英文字母来表示随机事件，如A,B,C…。
随 机 事 件 的 分 类
基本事件 复合事件 特殊事件
随机试验不可再分的结果 用随机试验若干个基本事 件共同方可表达的结果 必然事件和不可能事件
12012
0.5016
0.5005
维
尼
30000
14994
0.4998
随机事件概率 从前面的讨论我们不难看出，同一随机试验的不同事件
由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发
生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个 指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事 件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。
A1
A3
A2
图1.1
则A 1 , A2 , A 3 形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。
显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。
因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互斥事件
完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的概率计
算中，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化简复杂事 件概率计算。
分配律
A( B C ) AB AC A BC ( A B)( A C )
对偶律（De Morgan律）
这些运算律读可以推广到有限个事件的情况，对偶律还 可以推广到无穷多个事件的情况。 讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事 件表示复杂事件。熟练的应用事件的关系和运算将复杂事 件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事 件概率基本手段。 例1.6 设 A, B, C为某试验的三个已知事件，试用它们表 达下列事件“A, B, C 中恰有两个事件发生 ”， “A, B, C 中都不发生”。 解: “ A, B, C中恰有两个事件发生 ”为 ABC AB C A BC “ A, B, C 中都不发生”为 A B C 或 A B C
概率的统计确定法 频率 f n A 稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n越大摆动 幅度越小, 则称 p为事件A 的概率, 记作 P ( A) p。 概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随 机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概
Def 在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A 发生的
第一章
随机事件与概率
1.1 随机现象与统计规律性
1.2 随机事件关系与运算 1.3 古典概率 1.4 几何概率 1.5 概率空间
1.6 小结与综合练习
1.1 随机现象与统计规律性
随机现象 Def 在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结 果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随 机现象。 随机试验 Def 为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。 随机试验必具备以下特点： （1）至少有两个以上可能结果； （2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次 具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果； （3）试验可在相同条件下多次重复。
如果有 A B成立，也称A 为 B的子事件。
Def 设 A, B 为任意两个事件，若A B 且B A，则称事
件 A与 B等价或相等。记为 A B 。
例如：
在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除；B 表示掷得 的点数为3或6，则 A B 。
事件的互斥与对立
Def 设 A, B为任意两个事件，若A与B在一次试验中不能同
下面是一些随机试验的例子
例1.1 某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。 例1.2 从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球， 观察其颜色。 例1.3 从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品，
考察其中次品的件数
例1.4 从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。
随机事件
Def 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。
显然，频率具有下列性质：
(1)0 f n ( A) 1
(2) f n 0, f n () 1
(3)设随机事件A与B不能同时发生， 则f n A B f n ( A) f n ( B).
Def 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当 试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种 规律称为随机事件的统计规律性。
n
f n ( A) p
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事
中没有次品，其余记号类似。 例1.4的样本空间 X : X x,1.50 x 1.90 ，其中 X 表示所抽到学生的身高。
频率稳定性 Def 设将试验 E 进行了 n次，其中m A次发生了事件A ， 则称m A / n为事件A 发生的频率，记为f n A ，即
mA f n ( A) n
件的集合中的一个元素在试验中出现了。
1.2 随机事件关系与运算
事件的包含与等价（相等） Def 设 A,B 为任意两个事件，若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件 A，记为 A B。 例如： 在例1.1中，令 A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得
的点数大于2。则 A B。
这样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的和 事件。记为 A1
A2 Ak 。
事件的积运算 B两 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A 与事件 个同时发生”这样的试验结果为事件 A 与事件 B的积事件； 这样的运算称为事件积运算。记 A与 B的积事件为 AB 。 从运算角度来看，事件 A 与 B 的积事件就是由两个事件 所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如 图1.3所示。 从定义不难看出事件的积运算具有下列性质 （1） AB A , AB B； （2）若 A B ，则 AB A； AB B （3）AA A 。 A 事件积运算概念的推广： 图1.3 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列， 则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中每个事件同时发生” 这 样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的积事 件，记为 A1 A2 A3 Ak 1 Ak Ak 1 。
事件的和运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件A 与事件B 至 少一个发生”这样的试验结果为事件 A与事件B 的和事件； 这样的运算称为事件和运算。记A 与B 的和事件为 A B 。 从运算角度来看，事件A 与 B的和事件就是将两事件中
所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的
在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行 了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。 掷硬币试验的历史资料表
试 验 者 德.摩根 蒲 丰 抛 掷 次 数 2048 4040 出现正面的次数 1061 2048 出现正面的频率 0.5180 0.5069
皮尔逊
皮尔逊
12000
24000
6019
AB A B
图1.2
从定义不难看出事件的和运算具有下列性质
（1）A A B ；
（2）若 A （3） A
B ，则 A B B ；
A A。
事件和运算概念的推广： 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列，
则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中至少有一个事件发生”
A B AB , AB A B
D A B C， 例1.7 设 A, B, C为某试验的三个已知事件， 试求事件D 的对立事件。 解: 由对偶律知
D AB C AB C A B C AC B C
几个重要概念的等价表达 事件 A, B对立
AB A B
时发生，则称事件A 与B 互斥。若 A与 B互斥，且在一次试 验中必有一个发生，则称 A与 B互为对立事件。记A 的对立 事件为 A 例如：
在例1.1中，令A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得
的点数小于3，则A 与B 互斥。 在例1.2中，令A 表示抽出的两球中至少有一球为白色球，
B 表示抽出的两球全为黑球，则 A 与 B 互为对立事件。
率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。
例1.5 为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽
取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料
种子粒数 发芽粒数 发芽率 1 2 2 5 4 0.8 0.9 10 9 0.857 70 1500 60 1339 130 2000 116 1806 310 282 0.913 700 639 0.893
事件的差运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A发生，而 事件 B 不发生”这样的试验结果为事件 A与事件 B的差事 件；这样的运算称为事件差运算。记 A 与 B的差事件 为 A \ B。 从运算角度来看，事件 A 与B 的差事件就是由事件 A 所包含的全体基本事件中去掉其与事件 B所共有的基本事 件形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看 出事件的积运算具有下列性质 （1） \ A A ； （2）若 A B，则 A \ B 。 事件的运算律 A B B A 交换律 AB BA 结合律 ( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC)
Ai Aj A1 A2
i j i , j 1,2, , k
事件组 A1 , A2 , , Ak为 互斥事件完备群
Ak
1.3 古典概率
在对一般随机试验进行讨论之前，先讨论最简单的 随机试验，这就是所谓的古典概率。 古典概型 Def 若随机试验 E 的样本空间 只有有限个基本事件，且 每个基本事件在试验中发生机会相等，则称该随机试验 E 为古典概型。 古典概型描述的是特殊的，相对较简单的随机现象。 判断一个随机试验是否为古典概型就是要看其基本结果数 是否有限和各基本结果是否具有等可能性。 例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。
0.892 0.910 0.ห้องสมุดไป่ตู้03
确定该批小麦种子的发芽率。
解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种
子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大
附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在0.9这 个数值上。 注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。 请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即 概率的统计定义能否理解为下式成立：lim
样本空间
Def 随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随 机试验的样本空间，一般用字母表示。 样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随 机试验确定的，它是研讨问题的论域。
例如： 1, 2 ,, 6 ，其中1表示朝上面 例1.1的样本空间
2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。 的点数为1， 例1.2的样本空间 (WW ), (WB ), ( BW ), ( BB) ，其中 W 表示白球，B 表示黑球。 如果将问题变为“观察白球出现的 个数”，那么，样本空间 0,1,2 ，其中“ 0”表示所抽球中 没有白球， “1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。 例1.3的样本空间 0,1,2,,53，其中“0”表示所抽产品
显然，事件 A与 B互为对立事件，则它们一定互斥。
互斥事件完备群
Def 设 A1 , A2 , , Ak 为一组事件，如果它们之中任意
两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称 这组事件A1 , A2 , , Ak 形成互斥事件完备群 。 例如： 在例1.4中，令
A1 X : 1.50 X 1.60 A2 X : 1.60 X 1.70 A3 X : 1.70 X 1.90
随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出
现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试 验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的 英文字母来表示随机事件，如A,B,C…。
随 机 事 件 的 分 类
基本事件 复合事件 特殊事件
随机试验不可再分的结果 用随机试验若干个基本事 件共同方可表达的结果 必然事件和不可能事件
12012
0.5016
0.5005
维
尼
30000
14994
0.4998
随机事件概率 从前面的讨论我们不难看出，同一随机试验的不同事件
由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发
生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个 指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事 件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。
A1
A3
A2
图1.1
则A 1 , A2 , A 3 形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。
显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。
因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互斥事件
完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的概率计
算中，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化简复杂事 件概率计算。
分配律
A( B C ) AB AC A BC ( A B)( A C )
对偶律（De Morgan律）
这些运算律读可以推广到有限个事件的情况，对偶律还 可以推广到无穷多个事件的情况。 讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事 件表示复杂事件。熟练的应用事件的关系和运算将复杂事 件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事 件概率基本手段。 例1.6 设 A, B, C为某试验的三个已知事件，试用它们表 达下列事件“A, B, C 中恰有两个事件发生 ”， “A, B, C 中都不发生”。 解: “ A, B, C中恰有两个事件发生 ”为 ABC AB C A BC “ A, B, C 中都不发生”为 A B C 或 A B C
概率的统计确定法 频率 f n A 稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n越大摆动 幅度越小, 则称 p为事件A 的概率, 记作 P ( A) p。 概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随 机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概
Def 在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A 发生的
第一章
随机事件与概率
1.1 随机现象与统计规律性
1.2 随机事件关系与运算 1.3 古典概率 1.4 几何概率 1.5 概率空间
1.6 小结与综合练习
1.1 随机现象与统计规律性
随机现象 Def 在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结 果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随 机现象。 随机试验 Def 为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。 随机试验必具备以下特点： （1）至少有两个以上可能结果； （2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次 具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果； （3）试验可在相同条件下多次重复。
如果有 A B成立，也称A 为 B的子事件。
Def 设 A, B 为任意两个事件，若A B 且B A，则称事
件 A与 B等价或相等。记为 A B 。
例如：
在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除；B 表示掷得 的点数为3或6，则 A B 。
事件的互斥与对立
Def 设 A, B为任意两个事件，若A与B在一次试验中不能同
下面是一些随机试验的例子
例1.1 某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。 例1.2 从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球， 观察其颜色。 例1.3 从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品，
考察其中次品的件数
例1.4 从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。
随机事件
Def 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。
显然，频率具有下列性质：
(1)0 f n ( A) 1
(2) f n 0, f n () 1
(3)设随机事件A与B不能同时发生， 则f n A B f n ( A) f n ( B).
Def 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当 试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种 规律称为随机事件的统计规律性。
n
f n ( A) p
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事
中没有次品，其余记号类似。 例1.4的样本空间 X : X x,1.50 x 1.90 ，其中 X 表示所抽到学生的身高。
频率稳定性 Def 设将试验 E 进行了 n次，其中m A次发生了事件A ， 则称m A / n为事件A 发生的频率，记为f n A ，即
mA f n ( A) n
件的集合中的一个元素在试验中出现了。
1.2 随机事件关系与运算
事件的包含与等价（相等） Def 设 A,B 为任意两个事件，若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件 A，记为 A B。 例如： 在例1.1中，令 A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得
的点数大于2。则 A B。
这样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的和 事件。记为 A1
A2 Ak 。
事件的积运算 B两 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A 与事件 个同时发生”这样的试验结果为事件 A 与事件 B的积事件； 这样的运算称为事件积运算。记 A与 B的积事件为 AB 。 从运算角度来看，事件 A 与 B 的积事件就是由两个事件 所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如 图1.3所示。 从定义不难看出事件的积运算具有下列性质 （1） AB A , AB B； （2）若 A B ，则 AB A； AB B （3）AA A 。 A 事件积运算概念的推广： 图1.3 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列， 则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中每个事件同时发生” 这 样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的积事 件，记为 A1 A2 A3 Ak 1 Ak Ak 1 。
事件的和运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件A 与事件B 至 少一个发生”这样的试验结果为事件 A与事件B 的和事件； 这样的运算称为事件和运算。记A 与B 的和事件为 A B 。 从运算角度来看，事件A 与 B的和事件就是将两事件中
所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的
在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行 了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。 掷硬币试验的历史资料表
试 验 者 德.摩根 蒲 丰 抛 掷 次 数 2048 4040 出现正面的次数 1061 2048 出现正面的频率 0.5180 0.5069
皮尔逊
皮尔逊
12000
24000
6019