云南省昆明市2017届高三复习教学质量检测 数学理(含答案)word版
【云南省昆明市第一中学】2017届新课标高三月考卷数学(理科)试卷(六)-答案
所以 ，所以 ．
18．解析：（Ⅰ）由列联表可得 的观测值为
．
所以没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关．
（Ⅱ）依题意可知，所抽取的 位女性中，“微信控”有 人，“非微信控”有 人．
（Ⅲ） 的所有可能取值为 ， ， ．
，
，
．
所以 的分布列是：
所以 的数学期望是 ．
19．解：
（Ⅰ）证明：因为点 ， 分别是 ， 的中点，
即 ，
所以 ．………5分
（Ⅱ）利用余弦定理，在 中，
……①
在 中， ，
因为 ，且 ，
所以 ……②
1+②得 ，所以 ，所以 ．………12分
18.解析：（Ⅰ）由列联表可得 的观测值为
．
所以没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关．………4分
（Ⅱ）依题意可知，所抽取的 位女性中，“微信控”有 人，“非微信控”有 人．………6分
所以当 时，此时 ，函数 的最大值为 ，因此 的面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ．
21．解：
（Ⅰ）函数 定义域为 ， ，
（1） ，当 时， ；当 时，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增．
（2）若 ，令 得 或 ，
① 时， ，所以函数 在 上单调递增；
②当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，所以函数 在 ， 上单调递增，在 单调递减；
所以 ，选A．
11. 解析：设 ，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则 ，由于球的表面积为 ，可得 ，所以 ，解得 ，选C．
12.解析：由题设知圆 的直径为 ，连结 ， ，则 ，又 ，所以 ，所以 ， ，由双曲线的定义得 - ，即 ，所以 ，选C．
【全国省级联考word】云南省2017届高三高中毕业生第二次复习统一检测理数试题
2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--==031,3,2,1x x xT S ，则=T S （ ）A ．{}2B ．{}2,1C ．{}3,1D ．{}32,1， 2.已知i 为虚数单位，若i z i z -=+=1,2121，则复数221z z 在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63,763==S S ，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A ． nn 2)1(3⨯++- B ．nn 2)1(3⨯++ C ． nn 2)1(1⨯++ D ． nn 2)1(1⨯-+4.已知平面向量、都是单位向量，若)2(-⊥，则与的夹角等于（ ）A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π 5.要得到函数x y 2cos 21=的图象，只需将函数x y 2sin 21=的图象（ ）A ．向右平移2π个单位B ．向右平移4π个单位C. 向左平移2π个单位 D ．向左平移4π个单位6.执行如图所示程序框图，如果输入的2017=k ，那么输出的=i a （ ）A ．3B ． 6 C. 3- D ．6-7.如图是由圆柱与两个半球组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积与表面积分别为（ ）A ．ππ8,310 B ．ππ8,316 C. ππ10,310 D ．ππ10,3168.在n x x )2(1--的二项展开式中，若第四项的系数为7-，则=n （ ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 9.已知2,2>>b a ，直线b x aby +-=与曲线1)1()1(22=-+-y x 只有一个公共点 ，则ab 的取值范围为（ ）A ．)246,4(+B ．]246,4(+ C. ),246[+∞+ D ．),246(+∞+ 10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=21（弦⨯矢+矢⨯矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于6米，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为27平方米，则=∠AOB cos （ ）A ．251 B ．253 C. 51 D ．257 11.若偶函数)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-+++≤<+-+-=,21,53)12ln()3)(2)(1(,210),12ln(3ln 1)(x x x x x x x x x x f 则曲线)(x f y =在点)0,1(-处的切线方程为（ ）A ．066=+-y xB ．013=+-y x C. 066=++y x D ．013=++y x12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的左、右焦点分别为21F F 、，c F F 221=.若双曲线M 的右支上存在点P ，使1221sin 3sin F PF cF PF a ∠=∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为（ ） A ．)372,1(+ B ．]372,1(+ C. )2,1( D ．]2,1( 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,30,2,2y y x y x 则62-+=y x z 的最小值是 ．14.在棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -中，Q P 、是直线1DD 上的两个动点.如果2=PQ ，那么三棱锥BCQ P -的体积等于 ．15.已知椭圆E 的中心为原点O ，焦点在x 轴上，E 上的点与E 的两个焦点构成的三角形面积的最大值为12，直线01254=++y x 交椭圆于E 于N M ,两点.设P 为线段MN 的中点，若直线OP 的斜率等于54，则椭圆E 的方程为 ．16.在数列{}n a 中，21=a ，若平面向量)1,2(+=n b n 与),1(1n n n n a a a c -+-=+平行，则{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知c b a 、、分别是ABC ∆的内角C B A 、、对的边，3=b .（1）若65π=C ，ABC ∆的面积为23，求c ； （2）若3π=B ，求c a -2的取值范围.18. 为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动.对于B A ,两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A ，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分（即获得10-分），绿灯闪亮的概率为21；玩一次游戏B ，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得20-分），出现音乐的概率为52.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品.（1）记X 为玩游戏A 和B 各一次所得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记某人玩5次游戏B ，求该人能兑换奖品的概率.19. 如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别为C C B A 11,的中点.（1）求证：∥EF 平面ABCD ；（2）若四棱柱1111D C B A ABCD -是长方体，且12AA AD AB ==，求平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的正弦值.20. 已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆03422=+-+x y x F ：的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于D A ,两点，交圆F 于C B ,两点，B A ,在第一象限，D C ,在第四象限.（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l ，使BC 2是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知e 是自然对数的底数，x me x f =)(，3)(+=x x g ，)()()(x g x f x +=ϕ，2017)2()()(---=x g x f x h .（1）设1=m ，求)(x h 的极值；（2）设2e m -<，求证：函数)(x ϕ没有零点； （3）若0,0>≠x m ，设1)(44)()(-++=x g x x f m x F ，求证：3)(>x F . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=,4,2t y t x （t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 22=sin.直线l 交曲线C 于B A ,两点.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为)4,2(--，求点P 到B A ,两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1212)(-++=x x x f . （1）求证：)(x f 的最小值等于2； （2）若对任意实数a 和b ，0)(212≥+-++x f b a a b a ，求实数x 的取值范围.2017年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学参考答案一、选择题1-5: BBDCD 6-10: AABCD 11、12：CA二、填空题13. 5- 14.12 15. 1162522=+y x 16.31322++=n n a n 三、解答题17.解：（1）∵65π=C ，ABC ∆的面积为23，3=b ， ∴2321321sin 21=⨯⨯⨯=a C ab ，∴2=a . 由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=13)23(32234=-⨯⨯⨯-+=. ∴13=c .（2）由正弦定理得CcB b A a sin sin sin ==. ∴C BCb c A B A b a sin 2sin sin ,sin 2sin sin ===. ∴C C C A c a sin 2)32sin(4sin 2sin 42--=-=-πC C C C cos 32sin 2)sin 32cos cos 32(sin 4=--=ππ.∵3π=B ，∴320π<<C ，∴1cos 21<<-C ，∴32cos 323<<-C ，∴c a -2的取值范围为)32,3(-.18.解：（1）随机变量X 的所有可能取值为30,30,50,110-，分别对应以下四种情况： ①玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ②玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ③玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐； ④玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐， 所以515221)110(=⨯==X P ，5152)211()50(=⨯-==X P ，103)521(21)30(=-⨯==X P ，103)521()211()30(=-⨯-=-=X P ， 即X 的分布列为32103010305505110=⨯-⨯+⨯+⨯=EX .（2）设某人玩5次游戏B 的过程中，出现音乐n 次，则没出现音乐n -5次，依题意得130)5(2060≥--n n ，解得823≥n ，所以3=n 或4或5. 设“某人玩5次游戏B 能兑换奖品”为事件M ， 则3125992)52(53)52()53()52()(54452335=+⨯⨯+⨯⨯=C C M P . 19.（1）证明：设AB 的中点为M ，连接EM 、MC . ∵E 为B A 1的中点，∴A A EM 1∥，且A A EM 121=. 又∵F 为四棱柱1111D C B A ABCD -的棱C C 1的中点， ∴FC EM ∥，且FC EM =，∴四边形EMCF 是平行四边形.∴MC EF ∥.又∵⊂MC 平面ABCD ，⊄EF 平面ABCD ，∴∥EF 平面ABCD .（2）解：根据四棱柱1111D C B A ABCD -是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，设2=AB ，由已知得)21,2,0(),21,1,2(),1,2,0(),1,0,2(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,0(11F E C A C B D .)21,0,2(,12,01-==-A ），（，设平面BF A 1的一个法向量为),,(z y x n =，则A ⊥⊥,1.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,022,02zx z y 取4=z ，解得⎩⎨⎧==.2,1y x ∴)4,2,1(=是平面BF A 1的一个法向量.由已知容易得到)1,0,0(=是平面ABCD 的一个法向量.设平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，则21214cos ==θ. ∵πθ<<0，∴21105sin =θ. ∴平面BF A 1与平面ABCD 所成二面角的正弦值为21105. 20.解：（1）根据已知设抛物线E 的方程为)0(22>=p px y . ∵圆F 的方程为1)2(22=+-y x ， ∴圆心F 的坐标为)0,2(F ，半径1=r . ∴22=p，解得4=p . ∴抛物线E 的方程为x y 82=.（2）∵BC 2是AB 与CD 的等差中项，∴8244=⨯==+r BC CD AB . ∴10=++=CD BC AB AD .若l 垂直于x 轴，则l 的方程为2=x ，代入x y 82=，得4±=y .此时10821≠=-=y y AD ，即直线2=x 不满足题意.若l 不垂直于x 轴，设l 的斜率为k ，由已知得0≠k ，l 的方程为)2(-=x k y .设),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=-=xy x k y 8)2(2得04)84(2222=++-k x k x k . ∴222184kk x x +=+.∵抛物线E 的准线为2-=x ，∴4)2()2(2121++=+++=+=x x x x DF AF AD ，∴1048422=++kk ，解得2±=k . 当2±=k 时，04)84(2222=++-k x k x k 化为0462=+-x x ，∵0414)6(2>⨯⨯--=∆，∴0462=+-x x 有两个不相等实数根. ∴2±=k 满足题意，即直线)2(2-±=x y 满足题意.∴存在满足要求的直线l ，它的方程为042=--y x 或042=-+y x . 21.（1）解：∵xme x f =)(，3)(+=x x g ，1=m ， ∴xe xf =)(，1)2(+=-x xg ，∴20182017)2()()(--=---=x e x g x f x h x. ∴1)(-='xe x h ，由0)(='x h 得0=x .∵e 是自然对数的底数，∴1)(-='xe x h 是增函数. ∴当0<x 时，0)(<'x h ，即)(x h 是减函数； 当0>x 时，0)(>'x h ，即)(x h 是增函数.∴函数)(x h 没有极大值，只有极小值，且当0=x 时，)(x h 取得极小值. ∴)(x h 的极小值为2017)0(-=h .（2）证明：∵xme x f =)(，3)(+=x x g ，∴3)()()(++⋅=+=x e m x g x f x x ϕ，∴1)(+⋅='xe m x ϕ.∵02<-<e m ，∴1)(+⋅='xe m x ϕ是减函数.由01)(=+⋅='xe m x ϕ解得)1ln(mx -=. 当))1ln(,(mx --∞∈时，01)(>+⋅='x e m x ϕ，此时函数)(x ϕ是增函数， 当)),1(ln(+∞-∈mx 时，01)(<+⋅='x e m x ϕ，此时函数)(x ϕ是减函数，∴当)1ln(m x -=时，函数)(x ϕ取得最大值，最大值为)ln(2)]1[ln(m m--=-ϕ. ∵2e m -<，∴0)ln(2<--m ，∴0)(<x ϕ， ∴当2e m -<时，函数)(x ϕ没有零点.（3）证明：∵x me x f =)(，3)(+=x x g ，1)(44)()(-++=x g x x f m x F ， ∴2441)(+++=x x e x F x. ∵0>x ，∴02)2(3)(>++-⇔>x e x x F x . 设2)2()(++-=x e x x u x ，则1)1()(+-='x e x x u . 设1)1()(+-=x e x x v ，则x xe x v =')(. ∵0>x ，∴0)(>'x v .又∵当0=x 时，0)(='x v ，∴函数)(x v 在),0[+∞上是增函数. ∵0>x ，∴)0()(v x v >，即0)(>x v . 又∵0=x ，0)(=x v ，∴当0>x 时，0)(>'x u ；当0=x 时，0)(='x u ， ∴函数)(x u 在),0[+∞上是增函数.∴当0>x 时，)0()(u x u >，即02)2(>++-x e x x . ∴当0>x 时，3)(>x F .22.解：（1）由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=,4,2t y t x （t 为参数）得l 的普通方程为02=--y x .∴直线l 的极坐标方程为02cos =--θρθρsin . 曲线C 的直角坐标方程为x y 22=.（2）∵直线l ：02=--y x 经过点)4,2(--P ，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=,224,222T y T x （T 为参数）. 将直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=,224,222T y T x 代入x y 22=，化简得 0402102=+-T T ，∴4021==⋅T T PB PA .23.（1）证明：∵221)12(21121212=-++≥-++=-++x x x x x x ，∴2)(≥x f . 当且仅当0)21)(12(≥-+x x 时“=”成立，即当且仅当2121≤≤-x 时，2)(=x f . ∴)(x f 的最小值等于2.（2）解：当0=+b a 即b a -=时，0)(212≥+-++x f b a a b a 可转化为0)(02≥⋅-x f b ， 即02≥b 成立，∴R x ∈. 当0≠+b a 时，∵b a a b a a b a a b a +=-+≥-++=++)2(22，当且仅当0))(2(≥-+a b a 时“=”成立，即当且仅当0)2(≤+a b a 时“=”成立，∴12≥+++b a a b a ，且当0)2(≤+a b a 时，12=+++ba ab a ，∴ba ab a +++2的最小值等于1，∵0)(212≥+-++x f b a a b a )(212x f b a a b a ≥+++⇔， ∴1)(21≤x f ，即2)(≤x f . 由（1）知2)(≥x f ，∴2)(=x f .由（1）知当且仅当2121≤≤-x 时，2)(=x f . 综上所述，x 的取值范围是]21,21[-.。
云南省昆明市2017届高三下学期适应性检测试卷理科数学(精校word版)
昆明市2017届高三复习教学质量检测理科数学一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足=-=+z i zi 则,1)1(2（） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D.1i --2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（）A.20x y ±=B. 20x y ±=C. 340x y ±=D. 430x y ±=3. 执行如图所示的程序框图，正确的是（）A.若输入,,a b c 的值依次为1，2，3，则输出的值为5B.若输入,,a b c 的值依次为1，2，3，则输出的值为7C.若输入,,a b c 的值依次为2，3，4，则输出的值为8D.若输入,,a b c 的值依次为2，3，4，则输出的值为104.如图，网格小正方形边长为1，粗实线是某几何体的三视图，则其体积为（）A. 24πB. 30πC. 42πD. 60π5.已知数列{}=172,S a S S n a n n n n 成等差数列，则，，且项和为的前（ ）A. 0B. 2C. - 2D. 346.的系数是的展开式中x x x 43)2()21(-+A. 96B. 64C. 32D. 167. 在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，点D 满足2BD DC = ，若AH = AH AD ⋅= （）A. 2C. 48. 已知函数0)21()20)(6sin()(=-<<+=f x x f 满足条件：ωπω，为了得到)(x f y =的图像，可将函数x x g ωcos )(=的图像向右平移()0m m >个单位长度得到，则m 的最小值为（）A. 1B. 12C. 6πD. 2π9. 如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC ；分别以点A ，B ，C 为圆心，以AB 的长为半径作 BC， CA， AB ．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，其宽度为和正方形的边长都为三角形边长，则正方形中取点落在曲边三角形中的概率为（）A. 8πB.C.D. 10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到焦点的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（）A. 1 2B. 1或211. 已知定义在R 上的偶函数[]),1(,1,,)(0),(N m m m x R t e x f x x f x ∈>∈∈=≥对任意若存在时，当 的最大值为则都有m ex t x f ,)(≤+A. 2B. 3C. 4D. 512. 已知函数(),y f x x D =∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T . 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈，)12(2)(+=x x f x ，且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（） A. 5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. [)2,+∞ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，310 D. [)10,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次双基检测数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20,}M x x x x R =+-=∈，{|0,}N x x x R =<∈，则M N =（ ）A ．φB ．{1}C ．{2}-D ．{2,1}-2.已知复数z 满足方程2z i i ∙=-，则z 在复平面上对应点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设,αβ是两个不同的平面，直线l 满足l β⊄，以下中错误的是（ ） A ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β4. 41()(1)a x x++展开式中2x 的系数为0，则a =（ ） A ．23 B ．23- C. 32 D ．32- 5.执行如图所示的程序框图，若输入数据5N =，则输出的s 结果为（ ） A ． 10 B ．20 C. -15 D ．-66.已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3510,,a a a 成等比数列，则（ ） A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS >< C. 140,0a d dS <> D ．140,0a d dS <<7.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱PB 的长为（ ） A ．．8.设0.43a =，0.34b =，4log 3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．c b a >>9.已知实数,x y 满足43120220220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若(0)z kx y k =+<的最大值为5，则实数k 的值为（ ）A ．43-B ． -3 C. 2918- D ．192- 10.已知函数21()ln 12f x x x ax =+-+，下列结论中错误的是（ ）A ． 当22a -<<时，函数()f x 无极值B ．当2a >时，()f x 的极小值小于0 C.当2a =时，1x =是()f x 的一个极值点 D ．,()a R f x ∀∈必有零点11.设12,F F 分别是双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x轴的直线与双曲线M 交于,A B 两点，若点2F 满足120F A F B ∙<，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A．11e <<B．1e >C. 1e <<．e >12.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（ ） A ．34 B ．54 C. 74 D ．94第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在直角三角形ABC 中，90B ∠=，若8,6AB BC ==，D 为斜边AC 的中点，则AC BD ∙=．14.某项测试有6道试题，小明同学答对每道题的概率都是13，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为 ． 15.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为6π，则ϕ= ．16.已知数列{}n a 满足11a =-，212212n n n a a ---=，22122n n n a a +-=，则10a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan b a B =. （1）证明：2A B π-=；（2）求sin 2sin B C +的取值范围. 18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，,E F 分别为,PA BD 的中点，2PA PD AD ===. （1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =E DF A --的正弦值.19.（12分）甲、乙、丙三名学生计划利用今年“十一”长假从五个旅游景点（五个景点分别是：大理、丽江、西双版纳、峨眉山、九寨沟）中每人彼此独立地选三个景点游玩，其中甲同学必选峨眉山，不选九寨沟，另从其余景点中随机任选两个；乙、丙两名同学从五个景点中随机任选三个.（1）求甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中丽江景点的人数之和，求X 的分布列和数学期望. 20.（12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(1,P ，，左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过点F 的直线l 与椭圆Γ相交于,C D 两点. （1）求椭圆Γ的方程；（2）记,ABC ABD ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围. 21.（12分）已知函数'ln 2(1)()1x f f x x x=-+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >且1x ≠时，2ln ()(2)1xf x a a x >+---，求a 的取值范围. 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ρθθ=+，P 点极坐标为(3,)2π，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 设函数()||f x x m =+.（1）若不等式(1)(2)5f f -+≥，求实数m 的取值范围； （2）当0x ≠时，若1()()f f x a x+-≥恒成立，求a 的最大值.昆明市第一中学2017届摸底考试 参考答案（理科数学）、审题组教师 杨昆华 顾先成 刘皖明 易孝荣 李文清 张宇甜 莫利琴 蔺书琴 一、选择题1. 解析：集合{2,1}M =-，{}|0N x x =<，所以{}2M N -=I ，选C ．2. 解析：因为2i12i iz -==--，所以12i z =-+，选B ． 3. 解析：由已知l β⊄，所以B ，D 正确；由面面平行的性质知C 正确；对于A ，//,l ααβ⊥，则l 与β相交或平行都有可能，选A ． 4. 解析：()()()44411111x x x a x x a +++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴()411x x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中2x 的系数为0463424=+=+⋅a C C a ∴32-=a ，选B ．5. 解析：因为2222123410s =-+-+=，选A ．6. 解析：因为等差数列{}n a 中，3a ，5a ，10a 成等比数列，所以()()()2111429a d a d a d +=++，所以123a d=-，而()()41411102233d S a a a a d =+=++=，故21203a d d =-<，且241003dS d =>，选C ．7. 解析：取AC 中点D ，连接,BD PD ，由正视图和侧视图得BD ⊥平面PAC ，PC ⊥平面ABC ，则90BDP ︒∠=，且BD PD ==，所以PB =，选C ．8. 解析：因为40.41033a ===，30.310441b ===>，所以1a b >>，而4log 31<，所以a b c >>，选A ．9. 解析：作出可行域得到点316,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，184,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于)0(<+=k y kx z 的最大值为5，则目标函数的图像必经过点)5,0(，当0<k 时，由图可知只有经过点B 的直线符合条件，选D ．10. 解析：xax x a x x x f 11)(2+-=-+=' ，)0(>x当22<<-a 时，12+-ax x 恒大于零，所以0)(>'x f ，故)(x f 单调递增，无极值，A 正确；当2>a 时，令0)(='x f ，解得2421--=a a x ，2422-+=a a x ，可知)(x f 在()1,0x 和()+∞,2x 单调递增，在()21,x x 单调递减，)(x f 在2x x =处取得极小值，而2110x x <<<，所以023)1()(2<-=<a f x f ，B 正确； 当2=a 时，0)1(1221)(22≥-=+-=-+='xx x x x x x x f ，)(x f 单调递增，无极值，C 错误；又当0→x 时，0)(<x f ，当+∞→x 时，0)(>x f ，而且)(x f 的图像连续，所以)(x f 必有零点，D 正确，选C ．11. 解析：由双曲线的对称性可知2ABF ∆是等腰三角形，且2AF B ∠是钝角，所以2121422AF F AF B ππ<∠=∠<，所以21tan 1AF F ∠>, 即1121AF F F >，又21b AF a =，所以212b ac>，即222c a ac ->，化简得2210e e -->，解出1e >+，选B.12. 解析：设直线:AB x y n -=，即x y n =+代入22y x =得2220y y n --=，则122y y +=，12122y y n =-=-，所以14n =.设AB 的中点为00(,)M x y ，则121212x x y y +=++52=，所以120524x x x +== ，12012y y y +==，又点M 在直线x y m +=上，所以0094m x y =+=， 选D ． 二、填空题13. 解析：以点B 为坐标原点，以BC 的方向为x 轴的正方向，以BA 的方向为y 轴的正方向建立平面直角坐标系，得()6,8AC =-，()3,4BD =，所以183214AC BD ⋅=-=-．14. 解析：要求事件的概率为2426128033243C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 15. 解析：依题意，得()sin(22)g x x ϕ=+，因为2|)()(|21=-x g x f ，所以不妨设ππk x 2221+=，22222x m πϕπ+=-+，所以12()2x x k m πϕπ-=++-，又因为12min6x x π-=，且02πϕ<<，所以26ππϕπ+-=-，所以3πϕ=．16. 解析：由已知得212a a -=，2322a a -=-， 3432a a -=，4542a a -=-， …8982a a -=-，91092a a -=；累加得2341012222a a -=-+-+ …()()9892122234212⎡⎤--⎣⎦-+==--，所以10341a =.三、解答题17. （Ⅰ）证明：由tan b a B =及正弦定理得sin sin cos sin B b BB a A==， 因为ABC ∆中，sin 0B ≠， 所以cos sin B A =，即sin sin 2B A π⎛⎫+=⎪⎝⎭；由A 为钝角，所以, 22B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，21334sin 816B ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由0sin B <<2133334sin 81616B ⎛⎫<--+≤⎪⎝⎭，所以sin 2sin B C +的取值范围.是33 16⎤⎥⎦. ………12分18. 解：（Ⅰ）证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，F 为BD 中点，所以F 为AC中点．又因为E 为PA 中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ． ………5分（Ⅱ）取AD 中点O ，连接,OB OP ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥；因为菱形ABCD 中，AB AD =，60BAD ︒∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥，由已知BO PO ==，若PB =，由222BO PO PB +=得PO BO ⊥．如图，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得11(1,0,0),(1,0,0),((22A B D P E F --，3(2DE =1(2DF =，设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,210,2x z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由此可取(3,1,3)n =-， 又因为平面ABD的法向量OP =， 又313cos ,n OP n OP n OP⋅<>==⋅，故2sin ,n OP <>=，即二面角E DF A -- ………12分 19. 解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中丽江景点”、 事件B 为“乙同学选中丽江景点”， 则()122323C P A C ==, ()243535C P B C ==． (3)分因为事件A 与事件B 相互独立，故甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率为()()()2243515P AB P A P B ==⨯=． ………5分 （Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中丽江景点”则()243535C P C C ==．X 的所有可能取值为0,1 ,2,3 ． (7)分()()1224035575P X P ABC ===⨯⨯=． ()()()()22213212320135535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．()()()()23222313333235535535575P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．()()23318335575P X P ABC ===⨯⨯=． (9)分X 的分布列为：X 的数学期望为：()42033182801237575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………12分20. 解：（Ⅰ）由已知得221314a b += ①又 2214c b a a =⇒= ②联立①、②解出24a =，21b =所以椭圆的方程是 2214x y += 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分（Ⅱ）当l的斜率不存在时，11(),()22C D -，此时120S S -=；当l 的斜率存在时，设:l (0)y k x k =+≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立直线方程与椭圆方程消y 得2222(41)(124)0k x x k +++-=，所以12x x +=，212212414k x x k -=+.所以12121222S S y y y y -=-=+122()k x x =++由于0k ≠，所以1S-，当且仅当4k =1k 时，即12k =±时，12S S -=12S S -⎡∈⎣12⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分.21. 解: (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞ ………1分因为221ln 2(1)()(1)x xf x f x x x +-''=++， ………2分 所以1(1)2(1)2f f ''=+，即1(1)2f '=-， 所以ln 1()1x f x x x=++，221ln 1()(1)x xx f x x x +-'=-+， ………4分 令1x =，得(1)1f =， 所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11(1)2y x -=--,即230x y +-=. ………5分(Ⅱ) 因为22ln 11()(2ln )11x x f x x x x x--=+--, ………6分令21()2ln x g x x x -=+，则222221(1)()x x x g x x x-+--'==-， 因为1x ≠，所以()0g x '<，所以()g x 在()0,1，()1,+∞上为减函数,………8分 又因为(1)0g =，所以，当1x >时，()(1)0g x g <=，此时，21()01g x x⋅>-； 当01x <<时，()(1)0g x g >=，此时，21()01g x x ⋅>-， ………10分 假设2ln 2ln 1()()11x x h x f x x x x=-=+--有最小值b (0)b >，则()0h x b -≥， 即22ln 101x b x x +-≥-. 若1b >，当1(,1)x b∈时，()0h x b -<； 若01b <≤，当1(,)x b∈+∞时，()0h x b -<，所以，不存在正数b ，使()h x b ≥.所以，当0x >，且1x ≠时，ln ()01xf x x ->-，所以，220a a --≤，解得：12a -≤≤ . ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
云南省昆明市第一中学2017届高三上学期第二次双基检测数学(理)试题
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20,}M x x x x R =+-=∈，{|0,}N x x x R =<∈，则M N =（ ）A ．φB ．{1}C ．{2}-D ．{2,1}-2.已知复数z 满足方程2z i i ∙=-，则z 在复平面上对应点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设,αβ是两个不同的平面，直线l 满足l β⊄，以下命题中错误的命题是（ ） A ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β4. 41()(1)a x x++展开式中2x 的系数为0，则a =（ ） A ．23 B ．23- C. 32 D ．32- 5.执行如图所示的程序框图，若输入数据5N =，则输出的s 结果为（ ） A ． 10 B ．20 C. -15 D ．-66.已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3510,,a a a 成等比数列，则（ ） A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS >< C. 140,0a d dS <> D ．140,0a d dS <<7.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱PB 的长为（ ） A ．D．8.设0.43a =，0.34b =，4log 3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．c b a >>9.已知实数,x y 满足43120220220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若(0)z kx y k =+<的最大值为5，则实数k 的值为（ ）A ．43-B ． -3 C. 2918- D ．192- 10.已知函数21()ln 12f x x x ax =+-+，下列结论中错误的是（ ）A ． 当22a -<<时，函数()f x 无极值B ．当2a >时，()f x 的极小值小于0 C.当2a =时，1x =是()f x 的一个极值点 D ．,()a R f x ∀∈必有零点11.设12,F F 分别是双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于,A B 两点，若点2F 满足120F A F B ∙<，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A．11e <<+ B．1e >+C. 1e <<．e >12.已知抛物线22y x =上有两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线x y m +=对称，且1212y y =-，则m 的值等于（ ）A ．34 B ．54 C. 74 D ．94第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在直角三角形ABC 中，90B ∠=，若8,6AB BC ==，D 为斜边AC 的中点，则AC BD ∙= ．14.某项测试有6道试题，小明同学答对每道题的概率都是13，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为 ．15.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12|()()|2f xg x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为6π，则ϕ= ． 16.已知数列{}n a 满足11a =-，212212n n n a a ---=，22122n n n a a +-=，则10a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan b a B =. （1）证明：2A B π-=；（2）求sin 2sin B C +的取值范围. 18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，,E F 分别为,PA BD 的中点，2PA PD AD ===. （1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =，求二面角E DF A --的正弦值.19.（12分）甲、乙、丙三名学生计划利用今年“十一”长假从五个旅游景点（五个景点分别是：大理、丽江、西双版纳、峨眉山、九寨沟）中每人彼此独立地选三个景点游玩，其中甲同学必选峨眉山，不选九寨沟，另从其余景点中随机任选两个；乙、丙两名同学从五个景点中随机任选三个.（1）求甲同学选中丽江景点且乙同学未选中丽江景点的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中丽江景点的人数之和，求X 的分布列和数学期望.20.（12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(1,P ，左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过点F 的直线l 与椭圆Γ相交于,C D 两点. （1）求椭圆Γ的方程；（2）记,ABC ABD ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围.21.（12分）已知函数'ln 2(1)()1x f f x x x=-+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >且1x ≠时，2ln ()(2)1xf x a a x >+---，求a 的取值范围.请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ρθθ=+，P 点极坐标为(3,)2π，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 设函数()||f x x m =+.（1）若不等式(1)(2)5f f -+≥，求实数m 的取值范围； （2）当0x ≠时，若1()()f f x a x+-≥恒成立，求a 的最大值.春到四月，如火如荼，若诗似画，美到了极致，美到了令人心醉。
云南省昆明市第一中学2017届高三月考卷(五)理数试题 Word版含答案
昆明第一中学2017届高中新课标高三第五次二轮复习检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3,4,5}A =,集合4{,0}x B x N x-=∈≤，则A C B =（ ） A ．{5} B ．{0,5} C ．{1,5} D.{0,4,5}2.已知复数()()1221-+-=i i z ，则z 等于（ ） A ．5i - B ． 51- C ．5i D.153.设函数()x f 的定义域为R ，且()x f 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. ()x f 是偶函数 B ．()x f 是奇函数C ．|(1)|f x -的图像关于直线1=x 对称D ．()1+x f 的图象关于点(0,1)对称4.已知双曲线221(0)4x y m m-=>的离心率为3，则m 的值为（ ）A ．22B ．25.在区间[0,]π上随机取一个实数x ，使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈210sin ，x 的概率为（ ） A ．1πB ．2πC.31 D ．32 6.如下图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形， 则该几何体的体积为（ ）A ．61 B 31C. 1 D ．21+ 7.函数||sin 2()x xf x e=的大致图像是（ ）A ．B ．C D ．8.执行如下图所示的程序框图，如果输入0.1s =，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9.设(0,)2πα∈(0,)2πβ∈，且ββααsin cos 1sin cos -=，则（ ） A ．2π=+βα B ．22π=+βα C.22-π=βα D ．2-2π=αβ 10.已知抛物线x y C 4:2=的焦点是F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于P Q 、两点，且点Q 在第一象限，若3PF FQ =,则直线PQ 的斜率是（ ）A ．33B ．1 C.2 D ．3 11.若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛221，内存在单调递增区间，则实数α的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1(,)8-+∞ C. （-2，-81） D ．(2,)-+∞ 12.已知点P 为不等式组210,2,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域内的一点，点Q 是()11:22=++y x M 上的一个动点，则当MPQ ∠最大时，PQ =（ ）A ．1B ．2 C.311 D ．352 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.52()x x-的展开式中含3x 的系数为 ．（用数字填写答案）14.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是 ．15.平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，动点G 在线段BE 上，AG xAB y AD =+，则=+y x 2 ．16.已知三角形ABC 中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、，满足6C π=且b B =，则三角形ABC 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前,n S n 项和为，11a >，且2632n n n S a a =++，n *∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若12n nn a b -=，求数列的前n 项和nT .18. （本小题满分12分）小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的A 品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天气温）C x ︒(与该奶茶店的A 品牌饮料销量y （杯），得到如下表数据：（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组书记恰好是相邻2天数据的概率； （Ⅱ）请根据所给五组书记，求出y 关于x 的线性回归方程式 y bx a =+ .（Ⅲ）根据（Ⅱ）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为7（℃），请预测该奶茶店这种饮料的销量.（参考公式：^1122211()()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x ====---==--∑∑∑∑，^^^a yb x=-）19. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -111C B A 的底面是边长为2的等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，点,E F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，且.21FB F B EC == （Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；（II ）若13AA =，求直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值． 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，上顶点B 是抛物线24x y =的焦点.（Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；（Ⅱ）若Q P 、是椭圆M 上的两个动点，且O OQ OP (⊥是坐标原点），由点O 作OR PQ ⊥于R ,试求点R 的轨迹方程. 21. （本小题满分12分） 设函数()21x bax nx x x f ++-=，曲线()y f x =在1x =处的切线为2y =． （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）当14x ≤≤时，证明3()'()4f x f x >+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为2229cos 9sin ρθθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）A B 、为曲线C 上两个点，若OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3212-++=x x x f ，（1）若关于x 的不等式()|13|f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于t 的一元二次方程2()0t f m -+=有实根，求实数m 的取值范围.昆明市第一中学2017届第五期月考参考答案（理科数学）一、选择题1. 详细分析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，集合{}1,2,3,4B =，所以A B =ð{}0,5，选B ．2. 详细分析：因为15i z =-，5i z =，所以5iz =-，选A ． 3. 详细分析:因为()f x 是偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以(1)f x -的图象关于直线1x =对称，选C ．4. =，所以m =，选A ．5. 详细分析：在区间[]0,π上，当50,,66x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 时，1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以所求概率为5016603ππππ-+-=-，故选C ．6. 详细分析：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，高为1，所以它的体积1111133V =⨯⨯⨯=，选B ．7. 详细分析：因为()f x 是奇函数，排除B,D ，当0x >，且无限趋近于0时，()0f x >，排除C ，选A ．8. 详细分析：由框图知，12T =时1n =；14T =时2n =；…；116T =时4n =，此时10.116<满足题意，输出4n =，选C ．9. 详细分析：2sin()2sin 22cos()2sincos222πβαπββα-=-，所以tan()tan22πβα-=， 因为()(0,)22ππα-∈，(0,)2πβ∈，所以22βπα=-，即22βπα+=，选B ．10. 详细分析：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：1x =-的垂线，垂足分别是1P 、1Q ，由抛物线的1Q Q QF =定义可知，1PP FP =，设(0)PF k k =>，则3FQ k =，又过点P 作1PR Q Q ⊥于点R ，则在直角PRQ ∆中，2RQ k =，4PQ k =，所以∠3RPQ π=，所以直线QP 的倾斜角为3π，所以直线PQ ，选D ．11. 详细分析：2121()2ax f x ax x x +'=+=，2210ax +>在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有解区间，所以212a x >-，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2211,4,28,42x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2112,28x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以2a >-，选D ．12. 详细分析：由图可知:在PQM ∆中，1MQ =，当MP 最短，且PQ 与圆相切时，MPQ∠最大，其中min ()MP ==C ．二、填空题13. 详细分析：由5521552()(2)r r rr r r r T C x C x x--+-==-，令523r -=，解得1r =，所以115(2)10C -=-．14. 详细分析：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，再由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．15. 详细分析：设[](),0,1EG EB λλ=∈，因为()112AG AE EG AE EB AB AD λλλ+=+=+=+- ，所以11,2y x λλ+-==，2+2x y =．16. 详细分析：因为6C p =，又sin sin c bC B==，得c =，而(22222b 2cos b 2c a ab C a ab =+-=+-?，所以(122ab ?+，当且仅当a b ==时等号成立，即(11sin 32624ABC S ab C ab D ==?=+，即当a b ==时，三角形ABC 面积最大值为6+．三、解答题17. 解：（Ⅰ）由2632n n n S a a =++，n *∈N ，得， 所以2111632n n n S a a +++=++，两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-所以[]22111133()30n n n n n n n n a a a a a a a a ++++---=+--= 因为0n a > n *∈N ，所以10n n a a ++>，所以13n n a a +-=， 由2111632a a a =++,所以11a =或12a =； 因为11a >,所以12a =， 故13)1(32-=-+=n n a n ． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知322n nn b -= 所以231147353222222n n n n n T ---=+++++…① 234111473532222222n nn n n T +--=+++++…② ①-②得：212311111113333213222312222222212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⋅-- ， 13422n n ++=-所以3442n nn T +=-． ………12分18.详细分析：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天的数据”为事件B ，所有基本事件(),m n （其中m ，n 为1月份的日期数）有2510C =种， 事件B 包括的基本事件有()11,12，()12,13，()13,14，()14,15共4种． 所以42()105P B ==． ………4分 （Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b=，ˆˆ4a y bx =-=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． 10分 （Ⅲ）当7x =时，ˆ 2.17418.7y=⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19 杯． ………12分18. 解：（Ⅰ）证明：取AC 中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥， 因为1AA ⊥底面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 所以BM ⊥平面11ACC A ．取AE 中点N ，连接,MN FN ，则//MN EC ，且12MN EC =， 又因为11//BB CC ，2EC FB =，所以//FB EC 且12FB EC =， 所以//MN FB 且MN FB =，所以四边形BMNF 是平行四边形， 所以//FN BM ，所以FN ⊥平面11ACC A ．又FN ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11ACC A ． ………6分（Ⅱ）以M为原点，,MA MB 分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为13AA =，依题意得(1,0,0)A ，B ，(1,0,2)E -，F ，所以(2,0,2)AE =-，(AF =-，(AB =-设平面AEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,0,x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，得(1,0,1)n = ， 设直线AB 与平面AEF 所成的角为α，则sin cos ,n α=< ， 故直线AB 与平面AEF所成角的正弦值为． ………12分 19. 解：（Ⅰ）由题设知222c a b a =⇒= ① 又1b = ②所以椭圆M 的标准方程为2212x y += ………4分 （Ⅱ）()i 若直线PQ x 轴，设直线:PQ y m =，并联立椭圆方程解出P ，)m，(Q )m ，由OP OQ ⊥得0OP OQ ⋅=2320m ⇒-==定值； ()ii 若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+，(t ∈R ，)n ∈R ，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由韦达定理得12222tny y t +=-+ ③，212222n y y t -=+ ④，由OP OQ ⊥得0OP OQ ⋅= ，即12120x x y y +=，即1212()()0ty n ty n y y +++=，即221212(1)()0t y y tn y y n ++++= ⑤把③、④代入⑤并化简得22312n t =- ，所以223n ≥………9分又原点O 到直线PQ==定值，所以动点R 的轨迹是以点O2223x y +=． ………12分 20. 解: (Ⅰ) 函数()f x 定义域为(0,)+∞，2312()1a b f x x x x '=---， ………2分 由已知得(1)2f =，(1)0f '=，得：2a =，1b =-， ………3分 所以23(2)(1)()x x f x x --'=，由()0f x '>得x >或01x <<， 由()0f x '<得1x <<，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，),+∞，单调递减区间为(1,． ………5分 (Ⅱ) 由2232321122312()()ln (1)ln 1x f x f x x x x x x x x x x x x -'-=-+---+=-++--， 令()ln g x x x =-，23312()1h x x x x =+--，因为1()1g x x'=- （14x ≤≤）， 所以()0g x '≥，所以()g x 在[]1,4上为增函数，所以()(1)1g x g ≥=（1x =时取“=”）， ………8分 而24326()x x h x x --+'=，由2()3260u x x x =--+=，得：x =，所以1x ≤<()0u x >4x <≤时，()0u x <，所以()h x在1,⎛ ⎝为增函数，在,4⎫⎪⎪⎭为减函数，而(1)1h =，7(4)32h =-，所以7()32h x ≥-（4x =时取“=”）， ……10分 所以253()()(1)(4)324f x f x g h '->+=>，即：3()()4f x f x '>+． ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．解：(Ⅰ）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=． ………5分 （Ⅱ）因为2229cos 9sin ρθθ=+， 所以2221cos sin 9θθρ=+，由OA OB ⊥，设1(,)A ρα，则B 点的坐标可设为2(,)2πρα±， 所以2211||||OA OB +221211ρρ=+22cos sin 9αα=+22sin cos 9αα++110199=+=． ………10分23．解：（Ⅰ）因为,4)32()12(3212)(=--+≥-++=x x x x x f 所以134a -<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．………5分 （Ⅱ）324(2123)0m m ∆=-++-≥，即 21238m m ++-≤，所以不等式等价于3,2(21)(23)8,m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或13,22(21)(23)8,m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或1,2(21)(23)8.m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 所以3522m <≤，或2321≤≤-m ，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35|22m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． ………10分。
云南省昆明市高三数学第五次二轮复习检测试题 理(扫描版)
（新课标）云南省昆明市2017届高三数学第五次二轮复习检测试题理（扫描版）2017届第五期月考参考答案（理科数学）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BACACBACBDDC1. 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，集合{}1,2,3,4B =，所以A B =ð{}0,5，选B ．2. 解析：因为15i z=-，5i z =，所以5iz =-，选A ．3. 解析:因为()f x 是偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以(1)f x -的图象关于直线1x =对称，选C ．4. 解析：依题设知2432m +=，所以22m =，选A ． 5. 解析：在区间[]0,π上，当50,,66x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 时，1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以所求概率为5016603ππππ-+-=-，故选C ．6. 解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，高为1，所以它的体积1111133V =⨯⨯⨯=，选B ．7. 解析：因为()f x 是奇函数，排除B,D ，当0x >，且无限趋近于0时，()0f x >，排除C ，选A ． 8. 解析：由框图知，12T =时1n =；14T =时2n =；…；116T =时4n =，此时10.116<满足题意，输出4n =，选C ．9. 解析：2sin()2sin 22cos()2sin cos 222πβαπββα-=-，所以tan()tan 22πβα-=， 因为()(0,)22ππα-∈，(0,)2πβ∈， 所以22βπα=-，即22βπα+=，选B ．10. 解析：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：1x =-的垂线，垂足分别是1P 、1Q ，由抛物线的定义可知1QQ QF =，1PP FP =，设(0)PF k k =>，则3FQ k =，又过点P 作1PR Q Q ⊥于点R ，则在直角PRQ ∆中，2RQ k =，4PQ k =，所以∠3RPQ π=，所以直线QP 的倾斜角为3π，所以直线PQ 3D ．11. 解析：2121()2ax f x ax x x +'=+=，2210ax +>在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有解区间，所以212a x >-，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2211,4,28,42x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2112,28x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以2a >-，选D ．12. 解析：由图可知:在PQM ∆中，1MQ =，当MP 最短，且PQ 与圆相切时，MPQ ∠最大，其中min 25()MP =，此时2111PQ MP =-=，选C ． 二、填空题13. 解析：由5521552()(2)r r r r r r r T C x C x x--+-==-，令523r -=，解得1r =，所以115(2)10C -=-． 14. 解析：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，再由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．15. 解析：设[](),0,1EG EB λλ=∈u u u r ，因为()112AG AE EG AE EB AB AD λλλ+=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以11,2y x λλ+-==，2+2x y =． 16. 解析：因为6C p =，又43sin sin c b C B ==c 23=，而()22222b 2cos b 323c a ab C a ab ab =+-=+-?，所以()()122323ab ?+-，当且仅当()1223a b ==+时等号成立，即()11sin 32363324ABC S ab C ab D ==?=+，即当()1223a b ==+三角形ABC 面积最大值为633+． 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由2632n n n S a a =++，n *∈N ，得，所以2111632n n n S a a +++=++，两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-所以[]22111133()30n n n n n n n n a a a a a a a a ++++---=+--= 因为0n a > n *∈N ，所以10n n a a ++>，所以13n n a a +-=， 由2111632a a a =++,所以11a =或12a =；因为11a >,所以12a =， 故13)1(32-=-+=n n a n ． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知322n nn b -=所以231147353222222n n n n n T ---=+++++L…①234111473532222222n n n n n T +--=+++++L …② ①-②得：212311111113333213222312222222212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⋅--L ，13422n n ++=-所以3442n nn T +=-． ………12分 18. 解析：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天的数据”为事件B ，所有基本事件(),m n （其中m ，n 为1月份的日期数）有2510C =种， 事件B 包括的基本事件有()11,12，()12,13，()13,14，()14,15共4种． 所以42()105P B ==． ………4分 （Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b =，ˆˆ4a y bx =-=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14y x =+． 10分（Ⅲ）当7x =时，ˆ 2.17418.7y=⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19 杯． ………12分19. 解：（Ⅰ）证明：取AC 中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，因为1AA ⊥底面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 所以BM ⊥平面11ACC A ．取AE 中点N ，连接,MN FN ，则//MN EC ，且12MN EC =， zA 1B 1C 1C EFMN又因为11//BB CC ，2EC FB =，所以//FB EC 且12FB EC =，所以//MN FB 且MN FB =，所以四边形BMNF 是平行四边形， 所以//FN BM ，所以FN ⊥平面11ACC A ．又FN ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11ACC A ． ………6分（Ⅱ）以M 为原点，,MA MB 分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为13AA =，依题意得(1,0,0)A ，3,0)B ，(1,0,2)E -，3,1)F ，所以(2,0,2)AE =-u u u r ，(3,1)AF =-u u u r，(3,0)AB =-u u u r设平面AEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220,30,x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，得(1,0,1)n =r ， 设直线AB 与平面AEF 所成的角为α，则12sin cos ,22n AB n AB n ABα⋅-=<>===⋅u u ur r u u u r ru u u r r ， 故直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值为24． ………12分 20. 解：（Ⅰ）由题设知22222c a b a =⇒= ① 又1b = ②所以椭圆M的标准方程为2212x y += ………4分 （Ⅱ）()i 若直线PQ x P 轴，设直线:PQ y m =，并联立椭圆方程解出2(22P m -)m ，2(22Q m --)m ，由OP OQ ⊥得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r 26320m OR m ⇒-=⇒===定值；()ii 若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+，(t ∈R ，)n ∈R ，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由韦达定理得12222tny y t +=-+ ③，212222n y y t -=+ ④，由OP OQ ⊥得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即12120x x y y +=，即1212()()0ty n ty n y y +++=，即221212(1)()0t y y tn y y n ++++= ⑤把③、④代入⑤并化简得22312n t =- ，所以223n ≥………9分 又原点O 到直线PQ 的距离226132n n OR t n ===+=定值，所以动点R 的轨迹是以点O为圆心，6为半径的圆，其方程为2223x y +=． ………12分 21. 解:(Ⅰ)函数()f x 定义域为(0,)+∞，2312()1a bf x x x x '=---， ………2分 由已知得(1)2f =，(1)0f '=，得：2a =，1b =-， ………3分所以23(2)(1)()x x f x x --'=，由()0f x '>得2x 或01x <<，由()0f x '<得12x <，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，()2,+∞，单调递减区间为(1,2． ………5分(Ⅱ) 由2232321122312()()ln (1)ln 1x f x f x x x x x x x x x x x x -'-=-+---+=-++--， 令()ln g x x x =-，23312()1h x x x x =+--，因为1()1g x x'=- （14x ≤≤）， 所以()0g x '≥，所以()g x 在[]1,4上为增函数，所以()(1)1g x g ≥=（1x =时取“=”）， ………8分而24326()x x h x x --+'=，由2()3260u x x x =--+=， 得：191x -=，所以19113x -≤<时，()0u x >，19143x -<≤时，()0u x <，所以()h x 在1911,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在191,43⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，而(1)1h =，7(4)32h =-，所以7()32h x ≥-（4x =时取“=”）， ……10分所以253()()(1)(4)324f x f x g h '->+=>，即：3()()4f x f x '>+． ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．解：(Ⅰ）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=． ………5分 （Ⅱ）因为2229cos 9sin ρθθ=+，所以2221cos sin 9θθρ=+，由OA OB ⊥，设1(,)A ρα，则B 点的坐标可设为2(,)2πρα±，所以2211||||OA OB +221211ρρ=+ 22cos sin 9αα=+22sin cos 9αα++110199=+=． ………10分 23．解：（Ⅰ）因为,4)32()12(3212)(=--+≥-++=x x x x x f所以134a -<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． ………5分（Ⅱ）324(2123)0m m ∆=-++-≥， 即 21238m m ++-≤，所以不等式等价于3,2(21)(23)8,m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或13,22(21)(23)8,m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或1,2(21)(23)8.m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 所以3522m <≤，或2321≤≤-m ，或3122m -≤<-，所以实数m的取值范围是35|22m m⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．………10分11。
云南省昆明市高三复习教学质量检测(数学理)
云南省昆明市 —高三复习教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷满分150分，考试用时150分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
在试题卷上作答无效。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是343V R π=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P P k n -=-=本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题。
1．复数z 满足(1)2z i i =-=，则z 等于（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 2．方程222xx -=-的实数根的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．03．不等式1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84．用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为1234515243,,,,,,2x x x x x x x x x π+=+且则等于 （ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π 5．函数ln ln(1)(01)y x x x =--<<的反函数是（ ）A ．()1x x e y x R e =∈+B ．1()2x e y x R +=∈C ．1()x xe y x R e +=∈ D ．2()1x y x R e =∈+ 6．若34(12)(1)a x x+-的展开式中的常数项是65，则a 的值为（ ）A ．—2B ．—1C ．1D ．2 7．4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有 （ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种8．已知正四棱锥S —ABCD ，E 是SB 的中点，若SA =，则异面直线AE 与SD 所成的角等于（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 9．曲线1sin ()(0,(0))cos xf x f x+=在点处的切线与圆22:()(1)1C x t y t -+--=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与t 的取值有关10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点，M 是x 轴上一动点，那么MA MB ⋅的最小值是 （ ）A ．—15B ．—12C ．—8D ．—311．已知两平行平面α、β间的距离为A 、B α∈，点C 、D β∈，且AB=3，CD=2，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 （ ）A B ．2C D ．312．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交C 于A 、B 两点，若AB ⊥AF 2，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则C 的离心率为 （ ）A ．12B ．2C ．3 D ．23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第II 卷10小题，有黑色碳素笔将答案答在答题卡上。
云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{}{}2|30,|1A x x x B x x =-≥=<,则A B = （ ）A ．(][),03,-∞+∞B ．()[),13,-∞+∞C ．(),1-∞D ．(],0-∞ 2. 已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A ．2i +B ．2i --C ．2i -D ．2i -+3. 已知向量((,,a x b x == ,若()2a b b +⊥ ,则a =（ ）A ． 1B ．2 4. 执行如图所示的程序框图,如果输入的1,1a b ==,那么输出的值等于（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89 5. 已知函数()f x 是奇函数, 当0x >时,()()2log 1f x x =+, 则()3f -=（ ） A ． 2- B ．2 C ． 1- D ．16. 如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为3π, 則该几何体的体积等于（ ）A ．8πB ．163π C ．4π D ．43π7. 如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则ba=（ ）A ．13 B ．12 C D8. 为了得到函数sin 2cos 2y x x =-的图象, 可以将函数y x 的图象（ ）A ．向左平行移动38π个单位 B ．向右平行移动38π个单位 C ．向左平行移动34π个单位 D ．向右平行移动34π个单位9. 点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为 （ ）A ． 6B ．9C ．12D ．1810. 已知数列{}n a 满足:)2112,11n a a +==+, 则12a = （ ）A ．101B ．122C ．145D ．17011. 已知函数()()2,1ln 1,12x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-<<⎪⎩,若存在实数a ,当2x <时,()f x ax b ≤+ 恒成立, 则实数b 的取值范围是（ ）A ． [)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞ 12. 在平面直角坐标系xOy 中, 以()1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于,A B 两点, 点,M N 分别在线段,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切, 则MN 的最小值为（ ） A ． 1 B．2．2 D．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则2x y +的取值范围是 ．14.ABC ∆ 中,BC 边上的中线等于13BC ,且3,2AB AC ==,则BC = ． 15. 如图, 在正方体1111ABCD A BC D -中,2AB =, 过直线11B D 的平面α⊥平面1A BD ,则平面α截该正方体所得截面的面积为 ．16. 设点,P Q 分别是曲线2xy xe -=和直线2y x =+上的动点, 则,P Q 两点间的距离的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求13521...n b b b b +++++.18. （本小题满分12分）如图, 四棱锥P A B C D -中, 平面PAD ⊥平面A B C D ,,,3,1,4,AB CD AB BC AB PA PD CD BC E ⊥===== 为线段AB 上一点,1,2AE BE F =为PD 的中点. （1）证明:PE 平面ACF ; （2）求二面角A CF B --的正弦值.19. （本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下:假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率;（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润;(3) 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元, 求X 的分布列和数学期望()E X .20. （本小题满分12分）已知点F 是拋物线()2:20C y px p =>的焦点, 若点()0,1M x 在C 上, 且054x MF =. （1）求p 的值;（2）若直线l 经过点()3,1Q -且与C 交于,A B (异于M )两点, 证明: 直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数.21. （本小题满分12分）已知函数()3x f x e ax =+-,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y =-.（1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间;（2）用[]m 表示不超过实数m 的最大整数, 如:[][]0,30,1,32=-=-, 若0x >时,()2x m x e m -<+, 求[]m 的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在ABC ∆中,90BAC ∠=, 以AB 为直径的O 交BC 于点,D E 是边AC 上一点,BE 与O 交于点F ,连接DF . （1）证明:,,,C D F E 四点共圆; （2）若3,5EF AE ==,求BD BC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 经过点()3,3P ,倾斜角3πα=.（1）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程; （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点, 求AB 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x m x m=++-,其中0m >. （1）当1m =时, 解不等式()4f x ≤; （2）若a R ∈,且0a ≠,证明:()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭.云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.DADCA 6-10.ABBBC 12.BD 二、填空题（每小题5分，共20分）13.[]3,7 14. 三、解答题17.解：（1）222n n n S a a =+，则2212112S a a a a =+=+，又11a =，得22a =，等差数列{}n a 的公差211d a a =-=，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）22na n nb ==,所以数列{}21n b +是首项为2,公比为4的等比数列,()1135212 (413)n n b b b b ++∴++++=-. 18. 解：（1）证明: 连接,CE DE ,设DE AC O = ,连接1,,3,1,,2FO AE BE AB CD AB CD AE CD ===∴ ,∴四边形AECD 为平行四边形, 且O 是DE 的中点, 又F 为PD 的中点,,OF PE OF ∴⊂ 平面,ACF PE ⊄平面,ACF PE ∴ 平面ACF .（2）取AD 的中点G ,连接PG ,由PA PD =得,PG AD ⊥ 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面,,,ABCD AD PG AD PG =⊥∴⊥平面ABCD ,在Rt CBE ∆中,CE === 在等腰PAD ∆中,2AD PG ====, 以C 为坐标原点, 分别以,CD CB 所在直线为x 轴,y 轴,GP为z 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,由题知,()()()()()()333,4,0,0,4,0,1,0,0,2,2,2,,1,1,,1,1,0,4,0,3,4,022A B D P F CF CB CA ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()111,,n x y z = 是平面CBF 的法向量, 则00CB n CF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()111140,2,0,3302y n x y z =⎧⎪∴=-⎨++=⎪⎩ . 设()222,,m x y z = 是平面CAF 的法向量, 则00CA m CF m ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即22222340302x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩得()4,3,3m =--.cos ,n m n m n m∴<>==∴二面角A PB C --的正弦值为26. 19. 解：（1）100位会员中, 至少消费两次的会员有40人, 所以估计一位会员至少消费两次的概率为400.4100P ==. （2）该会员第一次消费时, 公司获得利润为20015050-=(元), 第2 次消费时, 公司获得利润为2000.9515040⨯-=(元), 所以, 公司这两次服务的平均利润为5040452+=(元). (3) 由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时, 利润为50元,当会员仅消费2次时, 平均利润为45元,当会员仅消费3次时, 平均利润为40元,当会员仅消费4次时, 平均利润为35元,当会员仅消费5次时, 平均利润为30元,故X 的所有可能取值为50,45,40,35,30,X 的分布列为:X 数学期望为()500.6450.2400.1350.05300.0546.25E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).20. 解：（1）由抛物线定义知02p MF x =+,则00524p x x +=,解得02x p =,又点()0,1M x 在C 上, 代入2:2C y px =,得021px =,解得011,2x p ==.（2）由（1）得()21,1,:M C y x=,当直线l 经过点()3,1Q -且垂直于x 轴时, 此时((,3,A B ,则直线AM 的斜率AM k =,直线BM 的斜率BM k =所以12AM BM k k ==- .当直线l 不垂直于x 轴时, 设()()1122,,,A x y B x y , 则直线AM 的斜率111211111111AM y y k x y y --===--+,同理直线BM 的斜率21212121111,1111BM AM BM k k k y y y y y y y =∴==++++++ ,设直线l 的斜率为()0k k ≠,且经过综上, 直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-. 21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞,因为()'x f x e a =+,由已知得()'00,1f a =∴=-,由()'10x f x e =->得0x >,由()'0f x <得0x <,所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞.（2）0x >时, 不等式()2xm x e m -<+等价于21x x xe m e +<-,令()()()()232,'11x x x x x e e x xe g x g x e e --+=∴=--,由（1）得()3xu x e x =--在()0,+∞上单调递增，又因为()()()10,20,'u u g x <>∴在()0,+∞上有唯一零点0x ,且012x <<,当()01,x x ∈时,()'0g x <,当()0x x ∈+∞时,()'0g x >, 所以()g x 的最小值为()0g x , 由()0'0g x =得()()0000000323,12x x x e x g x x x ++=+∴==++,由于012x <<,()023g x ∴<<,因为()0m g x <,所以[]m 最大值为2.22. 解：（1）证明: 连接,AD AB 是O 的直径,90,90ADB DAB DBA ∴∠=∴∠+∠=,90,90,BAC C DBA C DAB ∠=∴∠+∠=∴∠=∠ ,,,180BDBD DAB DFB C DFB DFE DFB =∴∠=∠∴∠=∠∠+∠= , 180,,,,DFE C C D F E ∴∠+∠=∴ 四点共圆.（2）连接.AF AB 是O 的直径,22,90,,53AF BE BAC AE EF EB EB ∴⊥∠=∴=∴= ,即252516,3,,,,333EB BF C D E F =∴=-= 四点共圆,1625400339BD BC BF BE ∴==⨯=.23. 解：（1）曲线C 化为:26cos 2sin 10ρρθρθ-++=, 再化为直角坐标方程为226210x y x y +-++=,化为标准方程是()()22319x y -++=,直线l 的参数方程为 3cos 33sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即132(32x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数). （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得2214922t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得:270t ++=,(247200∆=-⨯=>,则12127t t t t +=-= ,所以12AB t t =-===24. 解：（1）当1m =时, 由()11f x x x =++-,由()4f x ≤得,1114,114x x x x <-⎧++-≤⇔⎨--+≤⎩, 或11114x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩,或121114x x x x >⎧⇔-≤<-⎨++-≤⎩或1x x -≤≤或[]12,2,2x x <≤∴∈-.（2）证明:()11111f a f a m a m a m a a m ⎛⎫-+=-++--+++- ⎪⎝⎭,()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭.。
云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学(理)试题 含解析
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1。
设集合{}{}2=-≥=<，则A B=（）|30,|1A x x xB x xA．(][)-∞+∞,13,,03,-∞+∞B．()[)C．(),1-∞-∞D．(],0【答案】D【解析】试题分析:因为{}{}{}2≥或x，所以=-≥=≤=<A x x x x xB x x|30|0,|13A B=(],0-∞，故选D。
考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集。
2.已知复数z满足()-=+，则z=( ）i z i234A．2i+B．2i--C．2i-D．2i-+【答案】A考点：1、复数的模的求法；2、复数的运算.3.已知向量()()+⊥，则a=（）2a b b,3,,3==-,若()a xb xA．1B2C．3D．2【答案】D【解析】试题分析：因为()+⊥，所以2a b b()()2222x a x1,3132==+=+= +=+=-++=-=,2222233330a b b a b b x x x，故选D.考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.4。
执行如图所示的程序框图,如果输入的1,1==,那么输a b出的值等于（）A．21B．34C．55D．89【答案】C考点：1、程序框图；2、循环结构。
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题。
解决程序框图问题时一定注意以下几点:（1)不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5）要注意各个框的顺序;（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可。
5。
已知函数()f x 是奇函数， 当0x >时，()()2log 1f x x =+， 则()3f -=（ )A ．2- B ．2 C ． 1- D ．1【答案】A【解析】试题分析：因为函数()f x 是奇函数且0x >时，()()2log 1f x x =+， 所以()()()233log 312f f -=-=-+=-，故选A 。
云南省昆明市2017届高三上学期摸底调研统测数学(理)试题 Word版含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】试题分析：因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，故选D.考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.2.已知复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A考点：1、复数的模的求法；2、复数的运算.3.已知向量错误！未找到引用源。
,若错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】试题分析：因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选D.考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.4.执行如图所示的程序框图,如果输入的错误！未找到引用源。
,那么输出的值等于（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知函数错误！未找到引用源。
2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)含解析
2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题1． =（）A． +i B．﹣i C． +i D．﹣i2．已知全集U=R，集合A={|e＞1}，B={|﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{|＜3} B．{|＞0} C．{|1＜＜3} D．{|0＜＜3}3．已知，为单位向量，与的夹角为，则与﹣的夹角为（）A．B．C．D．4．AQI（Air Quality Inde，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A．3 B．4 C．12 D．215．已知实数，y满足，则=+2y的最大值为（）A．0 B．3 C．6 D．76．已知等差数列{an }为各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1=1， =a2，则a8=（）A．12 B．13 C．14 D．157．执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到ɛ的近似值为（）A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.728．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（）A．1 B．C．D．29．下列命题中，错误的是（）A．∀∈（0，），＞sinB．在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinBC．函数f（）=tan图象的一个对称中心是（，0）D．∃0∈R，sincos=10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=2（≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（）A．B．6π C．8π D．16π11．已知函数f（）=，若方程f（）﹣a=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）12．设F为抛物线C：y2=2p（p＞0）的焦点，曲线y=（＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（＞0）相切于点A，FA交C的准线于点B，则等于（）A．B．C．D．二、填空题13．（+）6的展开式中，3项的系数是（用数字作答）14．已知函数f（）=sin（ω+）（ω＞0），A、B是函数y=f（）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．15．已知F点为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，以点F为圆心的圆于C的渐近线相切，且与C交于A，B两点，若AF⊥轴，则C的离心率为．16．已知函数f（）=，若不等式a≤f（）≤b的解集恰好为[a，b]，则b﹣a= ．三、解答题17．数列{an }满足a1=﹣1，an+1+2an=3．（Ⅰ）证明{an ﹣1}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（Ⅱ）已知符号函数sgn（）=，设bn =an•sgn{an}，求数列{bn}的前100项和．18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按图[0.0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）用样本频率代替概率，现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中名学生“阅读时间”在[1，2.5]小时内的概率为P（=），其中=0，1，2，…20．当P （=）取最大时，求的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为AB的中点．，（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）设点M在线段PD上，且PB∥平面MNC，若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M﹣NC﹣P的大小．20．已知点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣，点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．21．已知函数f（）=（2+）ln+23+（1﹣a）2﹣（a+1）+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=3时，若函数f（）存在零点，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若f（）≥0恒成立，求b﹣2a的最小值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系Oy中，曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，直线l的方程为+y﹣12=0，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．2017年云南省昆明市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1． =（）A． +i B．﹣i C． +i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：A．2．已知全集U=R，集合A={|e＞1}，B={|﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{|＜3} B．{|＞0} C．{|1＜＜3} D．{|0＜＜3}【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解e＞1可得集合A，解﹣3＞0可得集合B，进而由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，e＞1⇒e＞e0⇒＞0，即A={|e＞1}={|＞0}，﹣3＞0⇒＞3，即B={|﹣3＞0}={|＞3}，则A∩B={|0＜＜3}；故选：D．3．已知，为单位向量，与的夹角为，则与﹣的夹角为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积公式，以及两个向量的夹角公式，求得与﹣的夹角的余弦值，可得与﹣的夹角．【解答】解：∵已知，为单位向量，与的夹角为，设与﹣的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ=====，∴θ=，故选：B．4．AQI（Air Quality Inde，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（）A．3 B．4 C．12 D．21【考点】BA：茎叶图．【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可．【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，即空气优的概率是p==，故30天中有×30=12天是优，故选：C．5．已知实数，y满足，则=+2y的最大值为（）A．0 B．3 C．6 D．7【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数=+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，有最大值为6．故选：C．6．已知等差数列{an }为各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1=1， =a2，则a8=（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用条件求出等差数列的公差，即可得出结论．【解答】解：由题意， =1+d，∴（d+1）（d﹣2）=0，∵d＞0，∴d=2，∴a8=1+7d=15，故选：D．7．执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到ɛ的近似值为（）A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得ɛ=0.01，e=1，n=1执行循环体，e=2，n=2不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5+，n=4不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5++，n=5由于≈0.008＜ɛ=0.01，满足条件＜ɛ，退出循环，输出e的值为2.5++=2.71．故选：C．8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（）A．1 B．C．D．2【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可．【解答】解：在△ABC 中，已知AB=，AC=，tan ∠BAC=﹣3，可得cos ∠BAC=﹣=﹣，sin ∠BAC=． 由余弦定理可得：BC===3，设BC 边上的高为h ，三角形面积为：=BC•h，h==1．故选：A ．9．下列命题中，错误的是（ ）A ．∀∈（0，），＞sinB ．在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinBC ．函数f （）=tan 图象的一个对称中心是（，0）D ．∃0∈R ，sin 0cos 0=【考点】2：命题的真假判断与应用．【分析】由y=sin ﹣，求出导数，判断在（0，）的单调性，即可判断A ；运用三角形的边角关系和正弦定理，即可判断B ；由函数f （）=tan 图象的对称中心为（，0），∈，即可判断C ；运用二倍角公式和正弦函数的值域，即可判断D ．【解答】解：对于A ，∀∈（0，），由y=sin ﹣的导数y′=cos﹣1＜0，可得y=sin ﹣在（0，）递减，可得sin ﹣＜sin0﹣0=0，即＞sin 成立；对于B ，在△ABC 中，若A ＞B ，即a ＞b ，即有2RsinA ＞2RsinB ，则sinA ＞sinB 成立；对于C ，函数f （）=tan 图象的对称中心为（，0），∈，当=1时，即有（，0），成立；对于D ，sincos=•2sincos=sin2≤，但＞，则不存在∈R ，sin 0cos 0=．故不成立．故选：D ．10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D ，它是由抛物线y=2（≥0），直线y=4及y 轴围成的封闭图形如图1所示绕y 轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（）A ．B ．6πC ．8πD ．16π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，4=π•22，求出=π，再求出长方体的一半的体积即可． 【解答】解：由题意，4=π•22，∴=π，∴旋转体D 的体积是=8π，故选C ．11．已知函数f（）=，若方程f（）﹣a=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意，方程f（）=a恰有两个不同实数根，等价于y=f（）与y=a有2个交点，又a表示直线y=a的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（）﹣a=0恰有两个不同实数根，∴y=f（）与y=a有2个交点，又∵a表示直线y=a的斜率，∴＞1时，y′=，设切点为（，y），=，∴切线方程为y﹣y=（﹣），而切线过原点，∴y=1，=e，=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故选：B．12．设F为抛物线C：y2=2p（p＞0）的焦点，曲线y=（＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（＞0）相切于点A，FA交C的准线于点B，则等于（）A．B．C．D．【考点】8：抛物线的简单性质．【分析】求出切线方程，利用曲线y=（＞0）与C交于点A，用p表示m，n，即可得出结论．【解答】解：设A（m，n），则由y=可得y′=﹣，∴过F的切线方程为y=﹣（﹣），代入A，可得n=﹣（m﹣），∵n2=2pm，=mn，∴m=，n=p，∴﹣=﹣=﹣2，设切线的倾斜角为α，A在准线上的射影为C，则tanα=﹣2，∴cosα=﹣，∴==﹣cosα=，故选：B．二、填空题13．（+）6的展开式中，3项的系数是60 （用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列方程求出r的值，再求展开式中含3项的系数．【解答】解：（+）6的展开式中，通项公式为=•6﹣r•=•2r•；Tr+1令6﹣=3，解得r=2，∴展开式中含3项的系数是•22=60．故答案为：60．14．已知函数f（）=sin（ω+）（ω＞0），A、B是函数y=f（）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，可得函数的解析式，即可求出f（1）．【解答】解：由题意可得=2，∴ω=，∴函数f（）=sin（+），∴f（1）=，故答案为：．15．已知F点为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，以点F为圆心的圆于C的渐近线相切，且与C交于A，B两点，若AF⊥轴，则C的离心率为．【考点】C：双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由AF垂直于轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：F（c，0），渐近线方程为y=，可得F到渐近线的距离为d==b，即圆F的半径为b，令=c，可得y=±b=±，∵A在圆F上，∴=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故答案为．16．已知函数f（）=，若不等式a≤f（）≤b的解集恰好为[a，b]，则b﹣a= 4 ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】通过作出函数y=f（）的图象，利用a≤2且f（a）=f（b）=b，可知b=4，a=0．【解答】解：因为y=22﹣=4×的图象在R上单调递减，且过定点（0，4），y=2﹣3+4的图象是对称轴为=2，开口向上的抛物线，所以容易得到函数y=f（）的图象，如图，且y=f（）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，因为不等式a≤f（）≤b的解集恰好为[a，b]，所以a≤2，且f（a）=f（b）=b，易知b=4，a=0，所以b﹣a=4﹣0=4，故答案为：4．三、解答题17．数列{an }满足a1=﹣1，an+1+2an=3．（Ⅰ）证明{an ﹣1}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（Ⅱ）已知符号函数sgn（）=，设bn =an•sgn{an}，求数列{bn}的前100项和．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（I ）a n+1+2a n =3，可得a n+1﹣1=﹣2（a n ﹣1）．利用等比数列的定义通项公式即可得出．（II ）b n =a n •sgn {a n }=，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】（I ）证明：∵a n+1+2a n =3，∴a n+1﹣1=﹣2（a n ﹣1）．a 1﹣1=﹣2． ∴{a n ﹣1}是等比数列，首项与公比都为﹣2． ∴a n ﹣1=（﹣2）n ，可得a n =（﹣2）n +1．（II ）解：b n =a n •sgn {a n }=，∴数列{b n }的前100项和=（2﹣1）+（22+1）+（23﹣1）+（24+1）+…++ =2+22+…+2100==2101﹣2．18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按图[0.0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分9组，制成样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）用样本频率代替概率，现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中名学生“阅读时间”在[1，2.5]小时内的概率为P （=），其中=0，1，2，…20．当P （=）取最大时，求的值．【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值；（Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；（Ⅲ）从全校高一年级随机抽取20名学生，“阅读时间”在[1，2.5]小时内的学生有人，则～B（20，0.6），恰好有名学生的概率为P（=）=，其中=0，1，2，…20．t==，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；（Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m=2.06；（Ⅲ）从全校高一年级随机抽取20名学生，“阅读时间”在[1，2.5]小时内的学生有人，则～B（20，0.6），恰好有名学生的概率为P（=）=，其中=0，1，2，…20．t==，t＞1，＜12.6，P（=﹣1）＜P（﹣），t＜1，＞12.6，P（=﹣1）＞P（﹣），∴=12，P（=）取最大．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PB=AB=2，点N为AB的中点．，（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）设点M在线段PD上，且PB∥平面MNC，若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角M﹣NC﹣P的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；L：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）连结AC，推导出AB⊥NC，AB⊥PN，从而AB⊥平面PNC，由此能证明AB⊥PC．（Ⅱ）连结BD交NC于F，连结MF，推导出PB∥MF，从而PN⊥AB，进而PN⊥平面ABCD，以N为原点，分别以NB、NC、NP所在的直线为，y，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣NC﹣P的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，又点N为AB的中点，∴AB⊥NC，又∵PA=PB，N为AB的中点，∴AB⊥PN，又NC∩PN=N，∴AB⊥平面PNC，又PC⊂平面PNC，∴AB⊥PC．解：（Ⅱ）连结BD交NC于F，连结MF，∵PB∥平面MNC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面MNC=MF，∴PB∥MF，由（Ⅰ）知PN⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，交线是AB，∴PN⊥平面ABCD，以N为原点，分别以NB、NC、NP所在的直线为，y，轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，，0），N（0，0，0），P（0，0，），=（0，，0），=（1，0，﹣），设平面MNC的一个法向量为=（，y，），∴PB∥MF，∴，取=，得=（），由（Ⅰ）知AB ⊥平面PNC ，则取PNC 的一个法向量为=（1，0，0），cos ＜＞==，∴＜＞=30°，∴二面角M ﹣NC ﹣P 的大小为30°．20．已知点A ，B 的坐标分别为（﹣，0），（，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是﹣，点M 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过点F （1，0）作直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，交y 轴于R 点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设M （，y ），则由已知可得•=﹣，由此能够导出椭圆C 的方程．（Ⅱ）：设设P ，Q ，R 点的坐标，由=λ1， =λ2，得出λ1，λ2是方程2+4+2﹣2y 02=0的两个根，可得λ1+λ2=﹣4．【解答】（Ⅰ）解：设M （，y ），则由已知可得•=﹣，化简可得E 的方程为=1（≠±）；（Ⅱ）证明：设P ，Q ，R 点的坐标分别为P （1，y 1），Q （2，y 2），R （0，y 0），∵=λ1，∴（1，y 1﹣y 0）=λ1（1﹣1，﹣y 1）．∴1=，y 1=．将P 点坐标代入到椭圆方程中得：（）2+（）2=1，去分母整理，得λ12+4λ1+2﹣2y 02=0．同理，由=λ2，可得：λ22+4λ2+2﹣2y 02=0．∴λ1，λ2是方程2+4+2﹣2y 02=0的两个根， ∴λ1+λ2=﹣4．21．已知函数f （）=（2+）ln+23+（1﹣a ）2﹣（a+1）+b （a ，b ∈R ）． （Ⅰ）当a=3时，若函数f （）存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若f （）≥0恒成立，求b ﹣2a 的最小值．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3R ：函数恒成立问题．【分析】（I ）利用导数判断f （）的单调性，求出f （）的最小值f min （），令f min （）≤0解出b 的范围；（II ）f′（）=（2+1）（ln+3﹣a ），设0为h （）=ln+3﹣a 的零点，得出a ，b 关于0的表达式及f （）的单调性，从而得出b ﹣2a 关于0的函数，根据0的范围再计算函数的最小值．【解答】解：（I ）a=3时，f （）=（2+）ln+23﹣22﹣4+b ，∈（0，+∞），∴f′（）=（2+1）ln+（2+）+62﹣4﹣4=（2+1）ln+62﹣3﹣3=（2+1）ln+（2+1）（3﹣3） =（2+1）（ln+3﹣3），设g （）=ln+3﹣3，则g （）在（0，+∞）上单调递增，且g （1）=0， ∴当0＜＜1时，f′（）＜0，当＞1时，f′（）＞0， ∴f （）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴f （）的最小值为f （1）=﹣4+b ，∵函数f （）存在零点，且→+∞时，f （）→+∞， ∴﹣4+b ≤0，解得b ≤4．（II ）f′（）=（2+1）ln+（2+）+62+2（1﹣a ）﹣a ﹣1=（2+1）（ln+3﹣a），令h（）=ln+3﹣a，则h（）在（0，+∞）上单调递增，又→0时，h（）→﹣∞，当→+∞时，h（）→+∞，∴存在唯一一个0∈（0，+∞），使得h（）=0，即a=3+ln．当0＜＜0时，f′（）＜0，当＞时，f′（）＞0，∴f（）在（0，0）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴fmin （）=f（）=（2+）ln+23+（1﹣a）2﹣（a+1）+b=（02+）ln+23+（1﹣3﹣ln）2﹣（3+ln+1）+b=﹣03﹣22﹣+b．∵f（）≥0恒成立，∴﹣03﹣22﹣+b≥0，即b≥3+22+．∴b﹣2a≥03+22+﹣2a=3+22+﹣6﹣2ln=3+22﹣5﹣2ln，设φ（）=3+22﹣5﹣2ln，∈（0，+∞），则φ′（）=32+4﹣5﹣=3（﹣1）+=，∴当0＜＜1时，φ′（）＜0，当＞1时，φ′（）＞0，∴φ（）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴φ（）≥φ（1）=﹣2．∴当0=1时，即a=3+ln=3，b=3+22+=4时，b﹣2a取得最小值﹣2．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系Oy中，曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，直线l的方程为+y﹣12=0，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；H9：余弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，利用三角函数知识，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为（﹣2）2+y2=4，即2+y2=4，极坐标方程为ρ=4cosθ；直线l的方程为+y﹣12=0，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣12=0；（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，∴==+sin（2θ+），∵θ∈（0，），∴2θ+∈（，π），∴sin（2θ+）∈（﹣1]，∴的最大值为，此时．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用柯西不等式，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2，∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，∴1≥（am+bn+cp）2，∴|am+bn+cp|≤1；（Ⅱ）由柯西不等式，可得++=（++）（a2+b2+c2）≥（m2+n2+p2）2=1，∴++≥1．2017年5月22日。
云南省昆明市高三数学第五次二轮复习检测试题 理(扫描
（新课标）云南省昆明市2017届高三数学第五次二轮复习检测试题理（扫描版）2017届第五期月考参考答案（理科数学）一、选择题1. 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，集合{}1,2,3,4B =，所以A B =ð{}0,5，选B ．2. 解析：因为15i z=-，5i z =，所以5iz =-，选A ．3. 解析:因为()f x 是偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以(1)f x -的图象关于直线1x =对称，选C ．4. 解析：依题设知2=，所以m =A ． 5. 解析：在区间[]0,π上，当50,,66x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以所求概率为5016603ππππ-+-=-，故选C ．6. 解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，高为1，所以它的体积1111133V =⨯⨯⨯=，选B ．7. 解析：因为()f x 是奇函数，排除B,D ，当0x >，且无限趋近于0时，()0f x >，排除C ，选A ． 8. 解析：由框图知，12T =时1n =；14T =时2n =；…；116T =时4n =，此时10.116<满足题意，输出4n =，选C ．9. 解析：2sin()2sin 22cos()2sin cos 222πβαπββα-=-，所以tan()tan 22πβα-=， 因为()(0,)22ππα-∈，(0,)2πβ∈， 所以22βπα=-，即22βπα+=，选B ．10. 解析：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：1x =-的垂线，垂足分别是1P 、1Q ，由抛物线的定义可知1QQ QF =，1PP FP =，设(0)P F kk =>，则3F Q k =，又过点P 作1PR Q Q ⊥于点R ，则在直角PRQ ∆中，2RQ k =，4PQ k =，所以∠3RPQ π=，所以直线QP 的倾斜角为3π，所以直线PQ D ．11. 解析：2121()2ax f x ax x x +'=+=，2210ax +>在1,22⎛⎫⎪⎝⎭内有解区间，所以212a x >-，由于1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2211,4,28,42x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，2112,28x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以2a >-，选D ．12. 解析：由图可知:在PQM ∆中，1MQ =，当MP 最短，且PQ 与圆相切时，MPQ ∠最大，其中min ()MP =，此时PQ C ． 二、填空题13. 解析：由5521552()(2)r r r r r r r T C x C x x--+-==-，令523r -=，解得1r =，所以115(2)10C -=-． 14. 解析：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，再由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛． 15. 解析：设[](),0,1EG EB λλ=∈，因为()112AG AE EG AE EB AB AD λλλ+=+=+=+-，所以11,2y x λλ+-==，2+2x y =．16. 解析：因为6C p =，又sin sin c b C B==c =，而(22222b 2cos b 2c a ab C a ab =+-=+-?，所以(122ab ?+，当且仅当a b ==时等号成立，即(11sin 32624ABC S ab C ab D ==?=+a b ==三角形ABC 面积最大值为6+ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由2632n n n S a a =++，n *∈N ，得，所以2111632n n n S a a +++=++，两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-所以[]22111133()30n n n n n n n n a a a a a a a a ++++---=+--= 因为0n a > n *∈N ，所以10n n a a ++>，所以13n n a a +-=， 由2111632a a a =++,所以11a =或12a =；因为11a >,所以12a =， 故13)1(32-=-+=n n a n ． ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知322n nn b -=所以231147353222222n n n n n T ---=+++++…① 234111473532222222n n n n n T +--=+++++…② ①-②得：212311111113333213222312222222212n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⋅--，13422n n ++=-所以3442n nn T +=-． ………12分 18. 解析：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天的数据”为事件B ，所有基本事件(),m n （其中m ，n 为1月份的日期数）有2510C =种， 事件B 包括的基本事件有()11,12，()12,13，()13,14，()14,15共4种． 所以42()105P B ==． ………4分 （Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．由公式，求得ˆ 2.1b =，ˆˆ4a y bx =-=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14y x =+． 10分（Ⅲ）当7x =时，ˆ 2.17418.7y=⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19 杯． ………12分19. 解：（Ⅰ）证明：取AC 中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，因为1AA ⊥底面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面ABC ， 所以BM ⊥平面11ACC A ．取AE 中点N ，连接,MN FN ，则//MN EC ，且12MN EC =，又因为11//BB CC ，2EC FB =，所以//FB EC 且12FB EC =，所以//MN FB 且MN FB =，所以四边形BMNF 是平行四边形， 所以//FN BM ，所以FN ⊥平面11ACC A ．又FN ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面11ACC A ． ………6分（Ⅱ）以M 为原点，,MA MB 分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为13AA =，依题意得(1,0,0)A ，B ，(1,0,2)E -，F ，所以(2,0,2)AE =-，(AF =-，(AB =-设平面AEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,0,x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，得(1,0,1)n =，设直线AB 与平面AEF 所成的角为α，则1sin cos ,22n AB n AB n ABα⋅-=<>===⋅， 故直线AB 与平面AEF 所成角的正弦值为4． ………12分20. 解：（Ⅰ）由题设知2222c a b a =⇒= ① 又1b = ②所以椭圆M的标准方程为2212x y += ………4分 （Ⅱ）()i 若直线PQ x 轴，设直线:PQ y m =，并联立椭圆方程解出P )m ，(Q )m ，由OP OQ ⊥得0OP OQ ⋅=23203m OR m ⇒-=⇒===定值； ()ii 若直线PQ 不平行x 轴，设直线:PQ x ty n =+，(t ∈R ，)n ∈R ，联立椭圆M 的方程消x 得222(2)2(2)0t y tny n +++-=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由韦达定理得12222tny y t +=-+ ③，212222n y y t -=+ ④，由O P O Q ⊥得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，即1212()()0ty n ty n y y +++=，即221212(1)()0t y y tn y y n ++++= ⑤把③、④代入⑤并化简得22312n t =- ，所以223n ≥………9分 又原点O 到直线PQ的距离OR ====定值，所以动点R 的轨迹是以点O为圆心，3为半径的圆，其方程为2223x y +=． ………12分 21. 解:(Ⅰ)函数()f x 定义域为(0,+∞，2312()1a bf x x x x '=---， ………2分 由已知得(1)2f =，(1)0f '=，得：2a =，1b =-， ………3分所以23(2)(1)()x x f x x --'=，由()0f x '>得x 或01x <<，由()0f x '<得1x <，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，),+∞，单调递减区间为(1,． ………5分(Ⅱ) 由2232321122312()()ln (1)ln 1x f x f x x x x x x x x x x x x -'-=-+---+=-++--， 令()ln g x x x =-，23312()1h x x x x =+--，因为1()1g x x'=- （14x ≤≤）， 所以()0g x '≥，所以()g x 在[]1,4上为增函数，所以()(1)1g x g ≥=（1x =时取“=”）， ………8分而24326()x x h x x --+'=，由2()3260u x x x =--+=，得：x =，所以1x ≤<()0u x >4x <≤时，()0u x <，所以()h x在1,⎛ ⎝⎭为增函数，在,4⎫⎪⎪⎝⎭为减函数，而(1)1h =，7(4)32h =-，所以7()32h x ≥-（4x =时取“=”）， ……10分所以253()()(1)(4)324f x f x g h '->+=>，即：3()()4f x f x '>+． ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．解：(Ⅰ）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=． ………5分 （Ⅱ）因为2229cos 9sin ρθθ=+，所以2221cos sin 9θθρ=+，由OA OB ⊥，设1(,)A ρα，则B 点的坐标可设为2(,)2πρα±，所以2211||||OA OB +221211ρρ=+ 22cos sin 9αα=+22sin cos 9αα++ 110199=+=． ………10分 23．解：（Ⅰ）因为,4)32()12(3212)(=--+≥-++=x x x x x f所以134a -<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． ………5分（Ⅱ）324(2123)0m m ∆=-++-≥， 即 21238m m ++-≤，所以不等式等价于3,2(21)(23)8,m m m ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或13,22(21)(23)8,m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或1,2(21)(23)8.m m m ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 所以3522m <≤，或2321≤≤-m ，或3122m -≤<-，所以实数m的取值范围是35|22m m⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．………10分。
云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学理试题Word版含答案
云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设复数z 知足()21i 1i z+=-，那么z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，那么其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 3. 执行如下图的程序框图，正确的选项是（ ）A ．假设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，那么输出的值为5B ．假设输入,,a b c 的值依次为1,2,3，那么输出的值为7C ．假设输入,,a b c 的值依次为2,3,4，那么输出的值为8D ．假设输入,,a b c 的值依次为2,3,4，那么输出的值为104. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n S a 成等差数列，那么17S =（ ） A ．0 B ．2 C.2- D ．34 6. ()()34122x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．96B ．64 C.32 D ．16 7. 在ABC ∆中，AH BC ⊥于H ，点D 知足2BD DC =， 假设2AH =，那么AH AD =（ ）A 2B ．2 C.22．4 8. 已知函数()()sin 026f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭知足条件：102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，为了取得()y f x =的图象，可将函数()cos g x x ω=的图象向右平移m 个单位(0)m >，那么m 的最小值为（ ）A ．1B ．12 C.6π D ．2π9. 圆的任何一对平行切线间的距离老是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”. 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯()Re uleaux 命名的鲁列斯曲边三角形，确实是闻名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）: 画一个等边三角形ABC ，别离以,,A B C 为圆心，边长为半径，作圆弧,,BC CA AB ，这三段圆弧围成的图形确实是鲁列斯曲边三角形. 它的宽度等于原先等边三角形的边长.等宽曲线都能够放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.图1 图2在图2中的正方形内随机取一点，那么这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（ ） A ．8πB 233π- C.22π- D 3π-10. 已知抛物线()220y px p =>上的点到核心的距离的最小值为2，过点()0,1的直线l 与抛物线只有一个公共点，那么核心到直线l 的距离为（ ）A ．12或 2B ．1或2或522 D ． 2511. 已知概念在实数集R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()xf x e =，假设存在R t ∈，对任意[]()1,1,N x m m m ∈>∈，都有()f x t ex +≤ , 则m 的最大值为 （ ） A ． 2 B ．3 C.4 D ．5 12. 概念“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，关于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得概念域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，现在T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞ C.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 知足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，那么2z x y =+的最大值为 ．14. 假设函数()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0x =处的切线方程为31y x =-+，那么ω= ．15. 表面积为16π的球面上有四个点,,,P A B C ，且ABC ∆是边长为假设平面PAB ⊥平面ABC ，那么棱锥P ABC -体积的最大值为 ．16. 某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天最多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，那么在同一天这7家住户有无快递的可能情形共有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.（1）求AD 的长； （2）求CBD ∆的面积.18. 依照“2021年国民经济和社会进展统计公报” 中发布的数据，从2020 年到2021 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）成立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程； （3）依照当前的转变趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重. 附注: 回归直线方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估量公式别离为:1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =-.19. 如下图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面111,1,2BCC B AC BC BB ===，160B BC ∠=.（1）证明:1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45，求1BEBB 的值. 20. 在直角坐标系xOy 中， 动圆M 与圆221:20O x x y ++=外切，同时与圆222:2240O x y x +--=内切.（1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ，设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，假设直线,AP BP 别离交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值. 21. 已知函数()()1ln 11x x f x e -++=.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()()232'g x x x f x =++(其中()'f x 为()f x 的导函数) ，证明:1x >- 时，()21g x e <+.请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=.（1）写出直线l 的一般方程和曲线1C 的参数方程； （2）假设将曲线1C倍，取得曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，假设不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBADB 11-12：CC二、填空题13. 8 14. 3 15.3 16.12三、解答题17. 解：(1)由已知11sin 25sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯⨯∠=，因此25sin 5ABD ∠=，又0,2ABD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，因此5cos 5ABD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠=，因此5AD =.(2)由AB BC ⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，因此5sin cos CBD ABD ∠=∠=，又 42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，因此CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠， 因此55sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆⨯∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如下图：(2)3,47.06x y ==，1122211()()151.510()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---====--∑∑∑∑, 42.56a y bx =-= ，因此回归直线方程为 1.542.56y x =+.(3)代入2017 年的年份代码7x =，得 1.5742.5653.06y =⨯+=，因此依照当前的转变趋势，估量到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06. 19. 解：(1)证明：在1BCB ∆中，111,2,60BC BB B BC ==∠=，那么22112212cos603B C =+-⨯⨯=22211BC B C BB +=，故1B C BC ⊥.因此AC ⊥平面11BCC B ，于是1AC B C ⊥，又BCAC C =，故1B C ⊥平面ABC ，因此1B C AB ⊥.(2)如图，以C 为原点，成立空间直角坐标系C xyz -，那么()()()()10,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,1C B B A ，由11BB CC =，得)13,1,0C -，设()1BE BB λλ=0≤≤1，那么)3,1,0Eλλ-，于是()()13,1,1,3,1,1AE AC λλ=--=--，求得平面1AEC 的一个法向量为(33,3n λλ=--，取平面1EC C 的一个法向量为()0,0,1m =，又二面角1A EC C --为45，那么()()22233cos 45410102313m n m nλλλλ===-+-+-+，解得12λ=或2λ=（舍）， 因此1BE BB 的值为12. 20. 解：(1)由圆221:20O x x y ++=，得()2211x y ++=，因此()11,0O -，半径为1；由圆222:2240O x y x +--=，得()22125x y -+=，因此()21,0O ，半径为5，设动圆圆心(),M x y ，半径为R ，因为M 与1O 外切，因此1R 1MO =+，又因为M 与2O 外切，因此25R MO =-，将两式相加得12126MO MO OO +=>，由椭圆概念知，圆心M 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，那么229,8a b ==，因此动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，那么()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.那么1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+-，又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===--. 21. 解：(1)函数()f x 的概念域为()()()111ln 111,,'x x x f x e---++-+∞=，由于()()1'00,1ln 11f y x x ==--++在()1,-+∞上是减函数，因此当10x -<<时，()'0f x >；当0x >时，()'0f x <.因此()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.(2)由()()()()21'g x x x f x =++，①当0x ≥时，由(1) 知()'0f x ≤，因此()201g x e ≤<+.② 当10x -<<时，()()()()()()()1111ln 121ln 1121x x x x x x x x g x x x e e ----++--++⎡⎤⎣⎦+=++=()()()2121ln 1x x e x x x e ++=--++⎡⎤⎣⎦，构造函数()()12x h x e x +=-+，那么()1'10x h x e +=->，那么当10x -<<时，()()()112210,01x x x h x e x h e+++=-+>-=∴<<，易知当10x -<<时，()()1ln 10x x x --++>，()()()()()()22121ln 11ln 1x x g x e x x x e x x x e++∴=--++<--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 要证()21g x e <+，只需证()()21ln 11x x x e --++≤+，设()()()1ln 1p x x x x =--++，得()()'2ln 1p x x =--+，由()()'2ln 10p x x =--+=，得21x e -=-，当()21,1x e -∈--时，()'0p x >，那么()p x 单调递增；当()21,0x e -∈-时，()'0p x <，那么()p x 单调递减，当10x -<<时，()()()()221ln 111p x x x x p e e --=--++≤-=+，因此当10x -<<时，()21g x e <+成立.综合 ①②可知：当1x >-时，()21g x e <+. 22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C 的参数方程为cos (xy θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P 到直线l的距离为d ==，因此min d =P 到直线l 23. 解：（1）不等式()241f x x <--等价于2214x x ++-<，即()22214x x x ≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或()212214x x x -<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214x x x ≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x -<-或∅，因此不等式的解集为7|13x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）因为()222x a f x x a x x a x a --=--+≤---=+，因此()x a f x --的最大值是2a +，又()10,0m n m n +=>>，于是()112224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，11m n ∴+的最小值为4. 要使()11x a f x m n--≤+的恒成立，那么24a +≤，解此不等式得62a -≤≤.因此实数a 的取值范围是[]6,2-.。
云南省昆明市2017届高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
云南省昆明市2017届高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x≤﹣4或x≥2}，B={x||x﹣1|≤3}，则等于∁R（A∩B）（）A．[2，4] B．[﹣2，2）C．（﹣∞，2）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）2．若复数z满足（1+3i）z=i﹣3，则z等于（）A．i B．C．﹣i D．3．已知命题p：x2+x﹣2＞0，命题q：{x|f（x）=lg（2x﹣3）}，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设双曲线上的点P到点的距离为5，则P到点的距离为（）A．1 B．9 C．1或9 D．35．已知a=9，b=3，c=4，则（）A．b＜a＜c B．a＞b＞c C．a＜b＜c D．c＜a＜b6．如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12 B．16 C．D．7．已知抛物线y2=2px（p＞0），过点K（﹣4，0）作抛物线的两条切线KA，KB，A，B为切点，若AB过抛物线的焦点，△KAB的面积为24，则p的值是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．48．已知tanα=2，则的值是（）A．B．C．D．9．如图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的最大面的面积是（）A．2 B．C．D．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，圆3是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.50=0.1305）A．12 B．24 C．48 D．9611．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．4πB． C．D．12．已知函数f（x）=，若f（x）≤kx，则k的范围为（）A．[1，2] B．[，2] C．[，1] D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 6238．14．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是．15．定义在[1，e2]上的函数，则对任意的x∈[1，e2]，使f（x）单调递减的概率为．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c•cosB=a+b，△ABC的面积S=c，则边c的最小值为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}中公差d≠0，有a1+a4=14，且a1，a2，a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式a n与前n项和公式S n；（2）令b n=，若{b n}是等差数列，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）近年来我国电子商务行业发展迅速，相关管理部门推出了针对电商的商品质量和服务评价的评价体系，现从评价系统中选出某商家的200次成功交易，发现对商品质量的好评率为0.6，对服务评价的好评率为0.75，其中对商品质量和服务评价都做出好评的交易80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品质量与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品质量和服务评价全好评的次数为随机变量X，求X的分布列（可用组合数公式表示）和数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．19．（12分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点，其中x1∈[0，1]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B，C两点，弦CD∥AP，AD，BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：∠EDF=∠P；（Ⅱ）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）点P在曲线C上，Q在直线l上，若，求线段|PQ|的最小值；（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率k的范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明： +≥3．云南省昆明市2017届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x≤﹣4或x≥2}，B={x||x﹣1|≤3}，则等于∁R（A∩B）（）A．[2，4] B．[﹣2，2）C．（﹣∞，2）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，根据交集与补集的定义写出∁R（A∩B）即可．【解答】解：集合A={x|x≤﹣4或x≥2}，B={x||x﹣1|≤3}={x|﹣3≤x﹣1≤3}={x|﹣2≤x≤4}，则A∩B={x|2≤x≤4}，∁R（A∩B）={x|x＜2或x＞4}=（﹣∞，2）∪（4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．若复数z满足（1+3i）z=i﹣3，则z等于（）A．i B．C．﹣i D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+3i）z=i﹣3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+3i）z=i﹣3，得=，故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．已知命题p：x2+x﹣2＞0，命题q：{x|f（x）=lg（2x﹣3）}，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式求出关于p的x的范围，根据对数函数的性质求出关于q的x的范围，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：P：（x+2）（x﹣1）＞0，得x＜﹣2或x＞1，q：定义域2x﹣3＞0解得，q的解是p的解的一部分，故选B．【点评】本题考查了解不等式问题，考查对数函数的性质以及集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道基础题．4．设双曲线上的点P到点的距离为5，则P到点的距离为（）A．1 B．9 C．1或9 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到||PF1|﹣|PF2||=2a，进而可求出|PF1|的值，得到答案．【解答】解：∵双曲线，∴其焦点坐标为：F，F2．由双曲线的定义知|r1﹣r2|=2a，所以|5﹣r2|=4，所以r2=1或9，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义，即双曲线是到两定点距离之差的绝对值等于定值的点的集合．5．已知a=9，b=3，c=4，则（）A．b＜a＜c B．a＞b＞c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=9＞b=3=＞c=4，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．6．如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）cm．A．12 B．16 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．【解答】解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2，，所以AB=6，所以周长为16，故选：B．【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．7．已知抛物线y2=2px（p＞0），过点K（﹣4，0）作抛物线的两条切线KA，KB，A，B为切点，若AB过抛物线的焦点，△KAB的面积为24，则p的值是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故AB=2p，利用△KAB的面积为24，求出p的值．【解答】解：由抛物线的对称性知，AB⊥x轴，且AB是焦点弦，故AB=2p，所以，解得p=4，故选：D．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．已知tanα=2，则的值是（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式化简所求，结合已知即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，∴=，故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．如图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的最大面的面积是（）A．2 B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】解：画出几何体的直观图，分析出各个面的形状，进而可得最大面，求出面积，可得答案．【解答】解：该多面体的立体图如图2所示，它的四个面为3个直角三角形和一个等边三角形，最大的是等边三角形BCD的面积，，故选D．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，圆3是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.50=0.1305）A．12 B．24 C．48 D．96【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S==，不满足退出循环的条件，则n=12，第2次执行循环体后，S==3，不满足退出循环的条件，则n=24，第3次执行循环体后，S=≈3.1056，不满足退出循环的条件，则n=48，第4次执行循环体后，S=≈3.132，满足退出循环的条件，故输出的n值为48，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A．4πB． C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．【解答】解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，则由等面积法得，所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，若r增大，则无法保证球在三棱柱内，故球的最大半径为2，所以．故选：D．【点评】本题考查球的最大体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．已知函数f（x）=，若f（x）≤kx，则k的范围为（）A．[1，2] B．[，2] C．[，1] D．（﹣∞，1）【考点】分段函数的应用．【分析】分类讨论，并分离参数，当x＞0时，k≥，而=1，当x＜0时，k≤﹣x﹣，利用基本不等式即可求出【解答】解：当x=0时，f（0）=sin0=0，k取任何数都成立，当x＞0时，k≥=1，当x＜0时，k≤﹣x﹣∵﹣x﹣≥2=2，当且仅当x=﹣1时取等号，∴k≤2，综上所述1≤k≤2，故选：A【点评】本题考查了分段函数的应用以及基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为16 ．1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 6238．【考点】系统抽样方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：由题意可得，选取的这6个个体分别为18，07，17，16，09，19，故选出的第4个个体编号为16．故答案为：16．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．14．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最小值是 5 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出可行域的交点坐标A，然后求解目标函数的最小值即可．【解答】解：作出平面区域，不等式组表示的是一个开放区域（如图5），当x，y为x﹣y=1和x﹣2y+1=0的交点A（3，2），此时x+y有最小值，所以（x+y）min=5．故答案为：5．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合，转化思想的应用．15．定义在[1，e2]上的函数，则对任意的x∈[1，e2]，使f（x）单调递减的概率为．【考点】几何概型．【分析】求导数，由f'（x）＜0，解得函数在区间（e，e2]上单调递减，即可求出函数f（x）单调递减的概率．【解答】解：，由f'（x）≥0，解得函数在区间[1，e]上单调递增，由f'（x）＜0，解得函数在区间（e，e2]上单调递减，所以函数f（x）单调递减的概率．故答案为．【点评】本题考查几何概型，考查导数知识的运用，属于中档题．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c•cosB=a +b ，△ABC 的面积S=c ，则边c 的最小值为 1 ． 【考点】正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC ，进而可求C ，根据△ABC 的面积公式和已知，求得c=3ab ．再由余弦定理化简可得9a 2b 2=a 2+b 2+ab ≥3ab ，由此求得c 的最小值．【解答】解：在△ABC 中，由条件里用正弦定理可得sinCcosB=sinA+sinB=sin （B+C ）+sinB ， 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB ， ∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c ，∴c=3ab ．再由余弦定理可得c 2=a 2+b 2﹣2ab•cosC，整理可得：9a 2b 2=a 2+b 2+ab ≥3ab ， 当且仅当a=b 时，取等号，∴ab ≥，可得：c=3ab ≥1，即边c 的最小值为1． 故答案为：1．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•临翔区校级一模）已知等差数列{a n }中公差d ≠0，有a 1+a 4=14，且a 1，a 2，a 7成等比数列．（1）求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；（2）令b n =，若{b n }是等差数列，求数列{}的前n 项和T n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，联立方程求出d 、a 1，由等差数列的通项公式求出a n ，由等差数列的前n 项和公式求出S n ；（2）由（1）和条件化简b n，由等差数列的性质列出方程求出k的值，代入求出b n和，利用裂项相消法求出T n．【解答】解：（1）∵a1+a4=14，∴2a1+3d=14，①∵a1，a2，a7成等比数列，∴，即，②由①②得d2=4a1d，∵d≠0，∴d=4a1，代入①解得d=4、a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=4n﹣3，S n==2n2﹣n；（2）由（1）知，∵{b n}是为等差数列，∴2b2=b1+b3，即=，解得，或k=0（8分），①当时，即b n=2n，则∴=（10分）②当k=0时，b n=2n﹣1，则=，∴=，综上可得，T n=或．（12分）【点评】本题主要考查等差数列通项公式和前n项和的公式，等比中项的性质，数列求和的方法：裂项相消法，考查方程思想，化简、计算能力．18．（12分）（2017•临翔区校级一模）近年来我国电子商务行业发展迅速，相关管理部门推出了针对电商的商品质量和服务评价的评价体系，现从评价系统中选出某商家的200次成功交易，发现对商品质量的好评率为0.6，对服务评价的好评率为0.75，其中对商品质量和服务评价都做出好评的交易80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为商品质量与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品质量和服务评价全好评的次数为随机变量X，求X的分布列（可用组合数公式表示）和数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（2）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列；利用二项分布的数学期望，求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意可得关于商品质量和服务评价的2×2列联表．…（4分）所以，所以，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品质量与服务好评有关．…（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5．其中；；；；；．…（10分）所以X的分布列为由于X～B（5，），所以．…（12分）【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．19．（12分）（2016•成都模拟）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．（I）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面ABCD；（Ⅱ），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣FB﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，过点E 作 EH⊥BC于H，连接HD，∴EH=．∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABD∩平面BCE=BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，FD=，∴FD∥EH．FD=EH∴四边形EHDF 为平行四边形．∴EF∥HD∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD（Ⅱ）连接HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又∠CBA=60°，△ABC 为等边三角形，∴AH⊥BC，分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz．则 B（1，0，0），F（﹣2，，），E（0，0，），A（0，，0）=（﹣3，，），=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）．由得令z=1，得=（，2，1）．设平面ABF的法向量为=（x，y，z）．由得令y=1，得=（，1，2）cos＜，＞====，∵二面角A﹣FB﹣E是钝二面角，∴二面角A﹣FB﹣E的余弦值是﹣．【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等．20．（12分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•临翔区校级一模）已知f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点，其中x1∈[0，1]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将a=3代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求g（x）的导数g′（x），令g′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣a，从而有a=﹣x1﹣，令H（x）=[x﹣+（﹣x﹣）lnx]﹣[﹣x+（﹣x﹣）ln]，利用导数得到H（x）在（0，1]上单调递减，故g（x1）﹣g（x2）的最小值为[H（x）]min，从而转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），a=3时：f（x）=2x﹣﹣3lnx，f′（x）=2+﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得；＜x＜1，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由于g（x）=f（x）﹣x+2alnx=x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，g′（x）=1++=，若g′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣a，∴x2=，从而有a=﹣x1﹣，令H（x）=[x﹣+（﹣x﹣）lnx]﹣[﹣x+（﹣x﹣）ln]=2[（﹣x﹣）lnx+x﹣]，则H′（x）=2（﹣1）lnx=，当x∈（0，1]时，H′（x）＜0，∴H（x）在（0，1]上单调递减，又H（x1）=g（x1）﹣g（）=g（x1）﹣g（x2），∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为[H（x）]min=H（1）=0．【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性以及根据函数的单调性求函数极值的问题，是中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2017•临翔区校级一模）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B，C两点，弦CD∥AP，AD，BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：∠EDF=∠P；（Ⅱ）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）运用相似三角形的判定，证得△DEF∽△CED，再由两直线平行的性质定理，即可得证；（Ⅱ）由对应角相等，证得△EDF∽△EPA，再由相交弦定理和相似三角形的性质，可得CE，BE，EP，再由圆的切割线定理，计算即可得到所求PA的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF=∠DEF，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C，又∵CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P．（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠EDF=∠P，又∠DEF=∠PEA，∴△EDF∽△EPA，∴=，∴EF•EP=EA•ED，又EA•ED=EC•EB，∴CE•EB=EF•EP．∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2，∴，∵CE：BE=3：2，∴BE==3，解得EP===．∴．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．【点评】本题考查圆的相交弦定理、切割线定理和相似三角形的判定和性质的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•临翔区校级一模）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）点P在曲线C上，Q在直线l上，若，求线段|PQ|的最小值；（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率k的范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）点P在曲线C上，Q在直线l上，若，利用|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即可求线段|PQ|的最小值；（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，当圆心到直线的距离等于半径时，即，即可求直线l的斜率k的范围．【解答】解：（1）时，易知直线l的方程为x+y﹣4=0，…（2分）曲线C：的普通方程为x2+y2=2．…（3分）由题意知|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径，所以．…（2）因为α=90°时，直线l与C没有交点，所以直线l可化为普通方程为y﹣2=tanα（x﹣2），…（7分）令k=tanα，即kx﹣y+2﹣2k=0，当圆心到直线的距离等于半径时，即，解得，此时它们相切，…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•临翔区校级一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明： +≥3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由绝对值不等式的性质，求得f（x）的最小值，令m不小于最小值，即可得到所求M；（Ⅱ）由题意可得1=（3a+b），运用乘1法和基本不等式，即可得证．【解答】解：（I）函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，可得|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，当（2x+1）（2x﹣3）≤0，即﹣≤x≤时，f（x）取得最小值4．由题意可得m≥4，即实数m的最小值M=4；（Ⅱ）证明：正数a，b满足3a+b=4，即1=（3a+b），+=（+）（3a+b）=（3+3++）≥×（6+2）=×（6+2×3）=3，当且仅当b=3a=2时，取得等号．则+≥3．【点评】本题考查绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查存在性问题的解法，以及基本不等式的运用，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
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昆明市
2017届高三复习教学质量检测
数 学 试 题（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()( （k=0，1，2，…，n ）
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径
球的体积公式 343
V R π= 其中R 表示球的半径
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|20}A y y =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B 等于 （ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞ C ．[)0,2(2,)+∞ D ．φ
2．若复数
12a i i
+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 （ ） A ．2 B ．15 C ．12- D ．25
- 3．若1tan 2,sin 2αα
=则的值等于 （ ） A ．54- B ．54 C ．45- D ．45
4．由直线2,,033x x y ππ===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）
A ．12
B ．1
C ．
2 D 5．下列命题中，真命题的个数有
（ ）
①21,04x R x x ∀∈-+≥； ②10,ln 2ln x x x ∃>+≤； ③""a b >是“22ac bc >”的充要条件； ④22x x y -=-是奇函数。
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是（ ）
A
．4+
B
．4
C
．4+ D
．47．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线AF 1的距离为11||3
OF ，则渐近线的斜率为 （ ） A
B
-C ．11-或 D
．22- 8．如图是“二分法”解方程220x -=的程序框图（在区间[a ，b]
上满足()()0f a f b <），那么在①、②处应填写的内容分别是
（ ）
A ．()()0;f b f m a m <=
B ．()()0;f a f m m a <=
C ．()()0;f a f m a m <=
D ．()()0;f b f m b m <=
9
．已知函数||1,0,
()21,0.x x f x x ->=+≤⎪⎩若关于x 的方程()20f x x k +-=有且只有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围为
（ ）
A ．(]1,2-
B ．(],1(2,)-∞+∞
C ．(]0,1
D ．[)1,+∞
10．若函数()500100sin(2)(0)2
t
f t ϕϕπ=++<<图象的一条对称轴为3t π=，则函数()y f t
=
在下列区间上递减的是 （ ）
A ．[15，20]
B ．[10，15]
C ．[5，10]
D ．[0，5] 11．已知函数()(,)f x -∞+∞是上的偶函数，且(5)(5)f x f x +=-，在[0，5]上只有(1)0f =，则
()[2012,2012]f x -在上的零点个数为
（ ）
A ．804
B ．805
C ．806
D ．808
12．已知球O 的表面积为20π，SC 是球O 的直径，A 、B 两点在球面上，且AB=BC=2，AB =则三棱锥S —AOB 的高为
（ ）
A ．12
B
C
D ．1
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第（22）题~第（24）题为选考题。
考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡上。
13．从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是 。
14．在ABC ∆中，已知AC 2+AB 2=3，BC=1，则ABC ∆面积的最大值为 。
15．已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足
|NF|=||MN λ，则λ的取值范围是 。
16．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB=3，DC=1，
tan 2B =，点M 是梯形ABCD 内（含边界）的一个动点，则 AD AM ⋅的最大值是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为210,3,100.n S a S ==
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
()3n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.n T
18．（本小题满分12分）
如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是线段AC 上任意一点。
（1）判断直线B 1P 与平面A 1C 1D 的位置关系并证明；
（2）若AB=BC ，E 是AB 中点，二面角A 1—DC 1—D 1，求直线B 1E 与平面
A 1C 1D 所成角的正弦值。
19．（本小题满分12分）
某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个
小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（1）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是8.96⨯104吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨； （2）为了解动员前后市民的节水情况。
媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在
[)12,16范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[)14,16内的抽到X 户，求X 的分布列和期望。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点(1,2--，两焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为D ，且120DF DF ⋅=。
（1）求椭圆的方程； （2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（A 、B 不是上下顶点），当以AB 为直径的圆恒过定点P
（0，1）时，试问：直线l 是否过定点，若过定点。
求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由。
21．（本小题满分12分）
已知函数()1x
f x e λ=-（0R λλ∈≠且）。
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1,()1
x x f x x >-≥+时恒成立，求出λ的值。
选考题（本小题满分10分）
请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第I 卷选择 题区域内把所选的题号涂黑。
注意：所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题 计分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知⊙为ABC ∆的外接圆，AF 切⊙O 于点A ，交ABC ∆的高CE 的延长线于点F ，
.BD AC ⊥证明：
（1）;F DBC ∠=∠ （2）.AD FE DC EC
=
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为(2,
)3π，直线l 经过点P ，倾斜角为α。
（1）写出点P 的直角坐标及直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆3ρ=相交于A 、B 两点，求弦AB 长度的最小值。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数()).f x a R =∈
（1）当a=1时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围。