安徽省高一下学期期末数学试卷

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安徽省六安第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

安徽省六安第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（）A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数C ．甲组数据的方差大于乙组数据的方差D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）．A ．若0AC AB ×>u u r uu ruu ，则ABC V 是锐角三角形B ．若::2:3:4a b c =，则ABC V 是钝角三角形C ．若sin sin A B >，则A B>D ．若60C =°，10b =，9c =，则此三角形有一个解11．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（）A ．事件A 与事件C 互斥B ．事件B 与事件C 互斥2019年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2019年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2019年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：【详解】（1）∵::CP PB CF FA =，∴//FP BA ，∴//FP BE ，∵BE Ì平面1A EB ，FP Ë平面1A EB ，∴//BP 平面1A EB ；（2）法一：在图1中过点F 作//FD BC 交AB 于点D ，因为:::1:2AE EB CF FA CP PB ===，所以::1:2BD AD CF AF ==，即D 、E 为AB 的三等分点，所以E 为AD 的中点，又ABC V 为等边三角形，所以ADF △也为等边三角形，所以FE AD ^，则1FE A E ^，又平面1A EF ^平面BEF ，平面1A EF I 平面BEF FE =，1A E Ì平面1A EF ，所以在图2中，1A E ^平面BEP ，又BP Ì平面BEP ，∴1A E BP ^，设1A E 在平面1A BP 内的射影为1AQ ，且1AQ 交BP 于点Q ，则可得BP ^平面1A EQ ，又1A Q Ì平面1A EQ ，∴1BP AQ ^，则1E AQ Ð就是1A E 与平面1A BP 所成的角，设3AB =，在EBP △中，∵2BE BP ==，EBP Ð=°60，纯电动汽车2019年地方财政补贴的平均数为´+´+´=（万元）30.240.5 4.50.3 3.95（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：。

2022-2023学年安徽省六安市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省六安市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 2i z -=，则复数z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】B【分析】根据题意，化简得到1i z =-+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数z 满足()1i 2i z -=，可得()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z +===-+--+，所以复数z 的虚部为1.故选：B.2．已知向量()1,2,0a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】a b ⊥，2200a b y ∴⋅=++= ，解得：1y =-.故选：B.3．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（）A ．58B ．60C ．61D ．62【答案】C【分析】由百分位数定义可得答案.【详解】注意到1275%9⨯=，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，为5864612+=.故选：C4．下列结论中正确是（）A ．若直线a ，b 为异面直线，则过直线a 与直线b 平行的平面有无数多个B ．若直线m 与平面α内无数条直线平行，则直线m 与平面α平行C ．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点M ∈β，则过点M 有且只有一条直线与a 平行D ．若直线l ⊥平面α，则过直线l 与平面α垂直的平面有且只有一个【答案】C【分析】根据直线与平面的有关性质逐项分析.【详解】对于A ，过a 作直线'b ，使得'//b b ，则'b 是唯一的，因为a 与b 是异面直线，所以a 与'b 相交，则由',a b 确定的平面是唯一的，错误；对于B ，可能有m α⊂，错误；对于C ，//αβ ，若过点M 在β平面内有两条直线12,l l ，分别平行于a ，则由于平行线的传递性，必有12l l //，又1l 与2l 有公共点M ，则12,l l 重合，故过M 点只有唯一的一条直线与a 平行，正确；对于D ，显然过l 的平面有无数个，并且每个平面都与α垂直，错误；故选：C.5．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111A B =，13AB AA ==，则该四棱台的体积为（）．A ．137B ．107213+C ．1473D ．1373【答案】D【分析】作出截面，过点1A 作1A E AC ⊥，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.【详解】过11,AC AC 作出截面如图所示，过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为E ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -中，1111,3A B AB AA ===，所以32AC =，112AC =，113AA CC ==，即梯形11ACC A 为等腰梯形，所以2AE =，2211927=-=-=A E AA AE ，所以，该四棱台的体积为()()1111111111373119191733=++⋅=++⨯⨯=ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S A E 故选：D.6．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠= 且2,SA AB BC E ===为SA 的中点，则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为（）A ．255B ．105C ．55D ．155【答案】B【分析】分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC ，则可证明GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG ，FH 和GH 的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC .由60ABC ∠= 且2AB BC ==可得ABC 是等边三角形，则//EF AB 且1=2EF AB ，//DH AB 且12DH AB =，故//EF DH 且EF DH =，所以四边形EFHD 为平行四边形，故//ED FH ，因为//FG SC ，所以GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），因为SA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA AC ⊥，故SAC 和EAD 均为直角三角形，所以22111442222FG SC SA AC ==+=+=，225FH ED EA AD ==+=，1123322GH BD ==⨯=，由余弦定理得52310cos 5252GFH +-∠==⨯.则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为10 5.故选：B7．在6月6日第27个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（）A．314B．514C．37D．47【答案】B【分析】设该校有a名学生，根据已知条件，求出每天玩手机不超过2h的学生人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率能求出结果.【详解】设该校有a名同学，则约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2h，且每天玩手机超过2h的学生中的学生中近视的学生人数为：0.3a×0.5=0.15a，所以有0.7a的学生每天玩手机不超过2h，且其中有0.4a—0.15a=0.25a的学生近视，所以从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.2550.714aPa==，故选:B8．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM BN a==，其中022a<<．则MN的长的最小值为（）A．2B．22C．32D．22【答案】A【分析】根据面面垂直性质可证得BC⊥平面ABEF，则以B为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出MN；将MN整理为()222a-+，由二次函数最值可得结果.【详解】平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABEF ，则以B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,0,2C ，()2,2,0F ，()0,2,0E ，CM BN a == ，,0,222a a M ⎛⎫∴-⎪⎝⎭，,,022a a N ⎛⎫⎪⎝⎭，()22222222402222MN a a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；则()2222422MN a a a =-+=-+，∴当2a =时，MN 最小，最小值为2.故选：A.二、多选题9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（）A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数C ．甲组数据的方差大于乙组数据的方差D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数【答案】BD【分析】根据统计图表提供的数据确定极差、平均数、方差、中位数然后判断各选项．【详解】由题意，甲的极差不大于30，而乙的极差大于30，A 错；只有第2天数据甲比乙小，其他甲都比乙大，而小的很少，第一天数据甲比乙大得就很多，因此甲平均数大于乙平均数，B 正确；由折线图，甲数据与平均数偏差较小，乙数据与平均数偏差较大，甲方差应小于乙的方差，C 错；把各自数据按从小到大排列，知甲的中位数大于90，乙的中位数小于60，D 正确．故选：BD ．10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列结论正确的是（）．A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形B ．若::2:3:4a b c =，则ABC 是钝角三角形C ．若sin sin A B >，则A B>D ．若60C =︒，10b =，9c =，则此三角形有一个解【答案】BC【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断A ；根据余弦定理计算即可判断B ；根据正弦定理即可判断CD ．【详解】对于A ：由cos 0AB AC AB AC A ⋅=>，得cos 0A >，又0πA <<，所以角A 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形，故A 错误；对于B ：设2a k =，3b k =，4c k =()0k >，由余弦定理2222222249161cos 02124a b c k k k C k ab k +-+-===-<，又0πC <<，所以角C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，故B 正确；对于C ：因为sin sin A B >，由正弦定理得(22a b R R R>为ABC 外接圆半径），所以a b >，所以A B >，故C 正确；对于D ：由正弦定理得sin sin b c B C=，即109sin sin 60B =︒，得53sin 9B =，又353129<<，0120B ︒<<︒，即3sin 12B <<，此时B 有两解，此时三角形有两解，故D 错误．故选：BC ．11．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（）A ．事件A 与事件C 互斥B ．事件B 与事件C 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．事件B 与事件C 相互独立【答案】ACD【分析】根据互斥事件的概念可判断AB 的正误，根据独立事件的判断方法可得CD 的正误.【详解】对AB ，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A 与事件C 互斥，故A 正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B 与事件C 不互斥，故B 错误；对C ，21411(),(),()()()84828P A P B P AB P A P B ======⋅，所以C 正确；对D ，211(),()()()848P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选：ACD ．12．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60ABC ACD ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，且二面角P BC A --为60︒，则（）．A ．32PD =B ．3PA =C ．三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为43π3D ．二面角P DC B --的大小为60︒【答案】BCD【分析】利用余弦定理求出AD ，取BC 中点E ，连接PE ，AE ，即可得到PEA ∠为二面角P BC A --的平面角，从而求出PA ，再利用勾股定理求出PD ，即可判断A 、B ，利用勾股定理逆定理得到AD CD ⊥，CD PD ⊥，即可得到PDA ∠即为二面角P DC B --的平面角，从而判断D ，设O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，取ABC 的中心F ，连接OF ，OA ，则OA 为三棱锥-P ABC 外接球的半径，计算OA ，进而可得三棱锥-P ABC 外接球的表面积，即可判断C.【详解】因为60ABC ACD ∠=∠=︒，2AB BC ==，所以ABC 为等边三角形，所以2AC =，1CD =，所以由余弦定理可得222cos 3AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=，取BC 中点E ，连接PE ，AE ，则AE BC ⊥，22213AE =-=，因为PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AE A = ，,PA AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，所以PE BC ⊥，则PEA ∠为二面角P BC A --的平面角，所以60PEA ∠=︒，所以tan 603PA AE =︒=，故B 正确；因为PA ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以PA AD ⊥，所以229323PD PA AD =+=+=，故A 错误；因为222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，因为2AC =，所以2213PC PA AC =+=，又1CD =，所以222CD PD PC +=，所以CD PD ⊥，所以PDA ∠即为二面角P DC B --的平面角，因为3tan 33PA PDA AD ∠===，所以60PDA ∠=︒，即二面角P DC B --的大小为60︒，故D 正确；设O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，取ABC 的中心F ，则22233AF AE ==，连接OF ，OA ，则//FO PA ，1322OF PA ==，OA 为三棱锥-P ABC 外接球的半径，因为2222233433212OA AF OF ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为24343π4π123⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确，故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题关键是由二面角的大小求出线段的长度，确定二面角的平面角通常有定义法和三垂线法.三、填空题13．空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则2BA CB CD AD +-+=．【答案】AD【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】解：2222BA CB CD AD BA DB AD BA BD AD DA AD AD +-+=++=-+=+=．故答案为：AD14．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑a b c 剪纸xyz其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．【答案】6【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为2800=3205⨯.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为3323510y x y z ==++++，所以“剪纸”社团中高二年级人数为33209610⨯=.由题意知，抽样比为50180016=，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为196616⨯=.故答案为:615．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，AB ＝2，1AA ＝23，D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则 DEF 周长的最小值为．【答案】7+2/27+【分析】由正三棱柱111A B C ABC -的性质可得：1AA ⊥AB ，1AA ⊥AC ．在Rt ADF 中，利用勾股定理可得DF ＝2．因此只要求出DE +EF 的最小值即可．把底面ABC 展开与侧面11ACC A 在同一个平面，当三点D ，E ，F 在同一条直线时，DE +EF 取得最小值．再利用余弦定理求解．【详解】解：由正三棱柱111A B C ABC -，可得1AA ⊥底面ABC ，∴1AA ⊥AB ，1AA ⊥AC ．在Rt ADF 中，DF ＝22(3)1+＝2．把底面ABC 展开与侧面11ACC A 在同一个平面，如图所示，只有当三点D ，E ，F 在同一条直线时，DE +EF 取得最小值．在 ADF 中，∠DAF ＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF ＝22(3)123cos150︒+-⨯＝7．∴ DEF 周长的最小值＝7+2．故答案为：7+2．16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，动点P 在直线1CD 上运动，则AP CP ⋅的最小值为．【答案】14-/0.25-【分析】根据题设AB a =，AD b =，1AA c =，可选取AB ，AD ，1AA 为一组基底，将AP 和CP 分解为a ，b ，c表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．【详解】设AB a =，AD b =，1AA c = ，设1CP CD λ= ，则()1()CP DD CD c a λλ=-=- ，01λ≤≤，则()(1)AP AC CP a b c a a b c λλλ=+=++-=-++，由12AB AA ==，1AD =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，可得12112a b b c ⋅=⋅=⨯⨯= ，12222a c ⋅=⨯⨯= ，∴(1)()AP CP a b c c a λλλ⎡⎤⋅=-++⋅-⎣⎦22222()(1)a a b a c a c b c c λλλλλλλλ=--⋅-⋅+-⋅+⋅+242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当14λ=时，AP CP ⋅ 的最小值为14-．故答案为：14-．四、解答题17．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．(1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】(1)13(2)56【分析】（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，列举所有的基本事件，并确定事件A 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件A 发生的概率；（2）记事件:B 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，确定事件B 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出事件B 发生的概率.【详解】（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，记两道选择题分别为1a 、2a ，两道判断题分别为1b 、2b ，所有的基本事件有：()12,a a 、()11,a b 、()12,a b 、()21,a a 、()21,a b 、()22,a b 、()11,b a 、()12,b a 、()12,b b 、()21,b a 、()22,b a 、()21,b b ，共12种，其中事件A 包含的基本事件有：()11,a b 、()12,a b 、()21,a b 、()22,a b ，共4种，由古典概型的概率公式可得()41123P A ==.（2）解：记事件:B 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，则事件B 包含的基本事件有：()11,a b 、()12,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()11,b a 、()12,b a 、()12,a a 、()21,b a 、()22,b a 、()21,a a ，共10种，由古典概型的概率公式可得()105126P B ==.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，22cos b a C c =+.(1)求角A ；(2)若10a =，ABC 的面积为83，求ABC 的周长.【答案】(1)π3A =；(2)24【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解作答.（2）利用三角形面积公式和余弦定理求出三角形周长作答.【详解】（1）在ABC 中，由22cos b a C c =+及正弦定理得：2sin 2sin cos sin B A C C =+，则2sin()2sin cos sin A C A C C +=+，即2(sin cos cos sin )2sin cos sin A C A C A C C +=+，整理得：2cos sin sin A C C =，而0πC <<，sin 0C >，因此1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，因为ABC 的面积为83，则1π3sin 83234ABC S bc bc ===，解得32bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2222π10()22cos()3()963b c bc bc b c bc b c =+--=+-=+-，解得14b c +=，所以ABC 的周长是24.19．如图，在正三棱柱ABC A B C '''-中，E 为AA '上的点，F 为CC '上的点，M ，N 分别为BA ，BE 的中点，//CM 平面BEF ．(1)证明：M ，N ，F ，C 四点共面；(2)证明：平面BEF ⊥平面ABB A ''．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，由条件可得//MN CF ，即可证明四点共面；（2）根据题意，由面面垂直的性质定理可得CM ⊥平面AA B B ''，再由线面平行的性质定理证得//CM NF ，从而利用面面垂直的判定定理即可得到证明.【详解】（1）证明：∵在正三棱柱ABC A B C '''-中，M 、N 分别为AB 、BE 的中点，∴//MN AE ．∵ABC A B C '''-为正三棱柱，∴//CF AE ，∴//MN CF ，∴M 、N 、F 、C 四点共面．（2）∵ABC A B C '''-为正三棱柱，∴ABC 为等边三角形，又M 为AB 的中点，∴CM AB ⊥，在正三棱柱ABC A B C '''-中，有平面AA B B ''⊥平面ABC ，而平面AA B B '' 平面ABC AB =，CM ⊂平面ABC ，∴CM ⊥平面AA B B ''，∵平面MCFN 平面BEF FN =，//CM 平面BEF ，CM ⊂面MCFN ，∴//CM NF ，∴NF ⊥平面ABB A ''，又∵NF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABB A ''．20．1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率．【答案】(1)112(2)19216【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，1()4P B =，∴C ABAB =，∴23211()()()()()()343412P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，∴该局打4个球甲赢的概率为112．（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，∴()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2121211134343216⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2121211113434312⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1119()()()()21612216P F P D E P D P E =⋃=+=+=，∴该局打5个球结束的概率为19216．21．在正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足:::1:2AE EB CF FA CP PB ===（如图1）．将AEF △沿EF 折起到的1A EF 位置，使平面1A EF ⊥平面BEF ，连结1A B ，1A P （如图2）．(1)求证：//FP 平面1A EB ；(2)求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)60︒．【分析】（1）依题意可得//FP BA ，即//FP BE ，从而得证；（2）法一：设E 到面1A BP 距离为h ，根据11A BPE E A BP V V --=，即可求得h 的值，进而求解即可．法二：在图1中过点F 作//FD BC 交AB 于点D ，即可得到ADF △为等边三角形，则1FE A E ⊥，再由面面垂直的性质得到1A E ⊥平面BEP ，设1A E 在平面1A BP 内的射影为1AQ ，且1AQ 交BP 于点Q ，则可得BP ⊥平面1A EQ ，则1E AQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】（1）∵::CP PB CF FA =，∴//FP BA ，∴//FP BE ，∵BE ⊂平面1A EB ，FP ⊄平面1A EB ，∴//BP 平面1A EB ；（2）法一：在图1中过点F 作//FD BC 交AB 于点D ，因为:::1:2AE EB CF FA CP PB ===，所以::1:2BD AD CF AF ==，即D 、E 为AB 的三等分点，所以E 为AD 的中点，又ABC 为等边三角形，所以ADF △也为等边三角形，所以FE AD ⊥，则1FE A E ⊥，又平面1A EF ⊥平面BEF ，平面1A EF 平面BEF FE =，1A E ⊂平面1A EF ，所以在图2中，1A E ⊥平面BEP ，又BP ⊂平面BEP ，∴1A E BP ⊥，设1A E 在平面1A BP 内的射影为1AQ ，且1AQ 交BP 于点Q ，则可得BP ⊥平面1A EQ ，又1AQ ⊂平面1A EQ ，∴1BP A Q ⊥，则1E AQ ∠就是1A E 与平面1A BP 所成的角，设3AB =，在EBP △中，∵2BE BP ==，EBP ∠=︒60，∴EBP △是等边三角形，∴BE EP =，又1A E ⊥平面BEP ，∴11A B A P =，∴Q 为BP 的中点，且3EQ =，又11A E =，在1Rt A EQ ，11tan 3EQEA Q A E∠==，∴EA Q ∠=︒160，所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60︒．法二：同法一可得1A E ⊥平面BEP ，设E 到面1A BP 距离为h ，设3AB =，则115A B A P ==，则11A BPE E A BP V V --=，∴111133BPE A BP S A E S h ⋅=⋅△△，∴11123132122512BPE A BP S A E h S ⨯⨯⨯⋅===⨯⨯-△△，设1A E 与面1A BP 所成角为θ，则13sin 2h A E θ==，因为090θ︒≤≤︒，∴60θ=︒．所以直线1A E 与平面1A BP 所成的角为60︒．22．某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表：出厂续驶里程R （公里）补贴（万元/辆）150250R ≤<3250350R ≤<4350R ≥ 4.52019年底随机调查该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如上图所示用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2019年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2019年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：辆数[)55006500,[)65007500,[)7500,8500[)8500,9500天数20304010（同一组数据用该区间的中点值作代表）2020年3月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备，现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2019年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的最大日利润.（日利润=日收入-日维护费用）.【答案】（1）3.95（万元）（2）方案一下新设备产生的日利润均值为40000（元）；方案二下新设备产生的日利润均值为45500（元）【解析】（1）根据频率分布直方图求出[150,250],[250,350],[350,450]的频率，按照求平均数的公式，即可求解；（2）根据已知求出每天需要充电车辆数的分布列，求出两种方案每天最多可充电的电动车的数量，进而求出两种方案的日最大收入的数学期望，扣除维护费用，即可得出结论.【详解】（1），依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：补贴（万元/辆）34 4.5概率0.20.50.3纯电动汽车2019年地方财政补贴的平均数为⨯+⨯+⨯=（万元）30.240.5 4.50.3 3.95（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：辆数6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为⨯+⨯=（辆）；可得实际充电车辆数的分布列如下表：3010049006600实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值为⨯+⨯-⨯-⨯=（元）25(60000.266000.8)5001008090040000若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为⨯+⨯=（辆）；3020044007600可得实际充电车辆数的分布列如下表：实际充电辆数600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新设备产生的日利润均值为()2560000.270000.376000.55002008040045500⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=（元）【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意直方图性质的应用，属于中档题.。

2023-2024学年安徽省六安一中高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省六安一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数为纯虚数，则复数z的共轭复数为()A. B.2024i C. D.2025i2.已知向量，若，则()A. B. C.1 D.23.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.，，B.，，C.，，D.，，4.某不透明的袋中有3个红球，2个白球，它们除颜色不同，质地和大小都完全相同.甲、乙两同学先后从中各取一个球，先取的球不放回，则他们取到不同颜色球的概率为()A. B. C. D.5.已知样本数据，，，…，的平均数为x，方差为，若样本数据，，，…，的平均数为，方差为，则平均数()A.1B.C.2D.6.已知，，，则M到直线AB的距离为()A. B. C.1 D.7.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的正弦值是()A. B. C. D.8.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》以下简称《宣言》承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的倍，预计该地区()A.2030年煤的消费量相对2020年减少了B.2030年天然气的消费量是2020年的5倍C.2030年石油的消费量相对2020年不变D.2030年水、核、风能的消费量是2020年的倍10.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是11.如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内包括边界的动点，则下列结论正确的是()A.不存在点P，使平面B.三棱锥的体积为定值C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为D.若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2022-2023学年安徽省蚌埠市高一下学期期末学业水平监测数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省蚌埠市高一下学期期末学业水平监测数学试题一、单选题1．tan 300︒=A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】B【详解】试题分析：．【解析】全诱导公式的应用及特殊角的三角函数值．2．已知i 是虚数单位，复数()()3i 2i z =+-+，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的乘法运算化简即可得对应的点.【详解】()()3i 2i 63i 2i 17i z =+-+=-+--=-+，故对应的点为()7,1-，故选：B3．利用斜二测画法作边长为2的正方形的直观图，则所得直观图的面积为（）A ．24B ．22C ．2D ．22【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】根据斜二测画法的原则可知2OC =，1OA =，∴对应直观图的面积为1122sin 452212222OA OC ⨯⨯︒=⨯⨯⨯⨯= ，故选：C ．4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若,m n n α⊥∥，则m α⊥B ．若,m ββα⊥∥，则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥D ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥【答案】D【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.【详解】当m n ⊥，//n α时，可能有m α⊥，但也有可能//m α或m α⊂，故A 选项错误；当//m β，βα⊥时，可能有m α⊥，但也有可能//m α或m α⊂，故选项B 错误；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取m 为11B C ，n 为1CC ，β为平面ABCD ，α为平面11ADD A ，这时满足m n ⊥，n β⊥，βα⊥，但m α⊥不成立，故选项C 错误；当m β⊥，n β⊥，n α⊥时，必有//αβ，从而m α⊥，故选项D 正确；故选：D.5．已知向量()1,2a =，()23b =-,，若()a kab ⊥+ ，则k =（）A ．45B ．45-C ．14D ．14-【答案】B【分析】求出向量ka b +的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数k 的值.【详解】因为向量()1,2a =，()23b =-,，则()()()1,22,3223ka b k k k +=+-=-+ ,，因为()a ka b ⊥+ ，则()()2223540a ka b k k k ⋅+=-++=+= ，解得45k =-．故选：B.6．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（）A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位．D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位【答案】D【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.【详解】将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到13sin 25π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图象，故A 错误；将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到3sin 210π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图象，故B 错误；将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位得到23sin 25π⎛⎫=+⎪⎝⎭y x 图象，故C 错误；D.将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位得到3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 正确.故选：D.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 中点，F 为棱CD 上异于端点的动点，若平面BEF 截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF 的取值范围是（）A ．1(,1)3B ．1(,1)2C ．12[,)23D ．1(0,]2【答案】D【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F 点的位置，推理计算作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面BEF I 平面11CDD C EF =，而B ∈平面11ABB A ，B ∈平面BEF ，平面11//CDD C 平面11ABB A ，则平面BEF 与平面11ABB A 的交线过点B ，且与直线EF 平行，与直线1AA 相交，令交点为G ，如图，而1DD ⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面ABCD ，即,EFD GBA ∠∠分别为,EF GB 与平面ABCD 所成的角，而//EF GB ，则EFD GBA ∠=∠，且有tan tan GA EDGBA EFD AB DF=∠=∠=，当F 与C 重合时，平面BEF 截该正方体所得的截面为四边形，12GA ED ==，即G 为棱1AA 中点M ，当点F 由点C 向点D 移动过程中，GBA ∠逐渐增大，点G 由M 向点1A 方向移动，当点G 为线段1MA 上任意一点时，平面BEF 只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，当点G 在线段1MA 延长线上时，直线BG 必与棱11A B 交于除点1A 外的点，而点F 与D 不重合，此时，平面BEF 与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，因此，F 为棱CD 上异于端点的动点，截面为四边形，点G 只能在线段1MA （除点M 外）上，即112GA <≤,显然，11[,1)22AB ED DF GA GA ⋅==∈，则11(0,]2CF DF =-∈，所以线段的CF 的取值范围是1(0,]2.故选：D【点睛】关键点睛：作过正方体三条中点的截面，找到过三点的平面与正方体表面的交线是解决问题的关键.8．如图，扇形AOB 中，点C 是 AB 上一点，且3π4AOB ∠=.若OC xOA yOB =+ ，则2x y +的最大值为（）A ．10B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为2a ，由3π4AOB ∠=，可得(2,2)A a a -，(2,0)B a ，设(2cos ,2sin )C a a θθ，3π[0,]4θ∈，由OC xOA yOB =+，可得(2cos a θ，2sin )(2,2)(2a x a a y a θ=-+，0)，所以2cos 222sin 2a ay ax a axθθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2sin sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则222sin 2cos 10sin()x y θθθϕ+=+=+，其中1tan 2ϕ=，所以当sin()1θϕ+=时，2x y +有最大值10．故选：A ．二、多选题9．若定义在R 上的函数()f x 分别满足下列条件，其中可以得出()f x 的周期为2的有（）A ．()()2f x f x =-B ．()()22f x f x +=-C ．()()2f x f x -=+D ．()()11f x f x -=+【答案】AD【分析】根据周期性的定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，()()2f x f x =-可知()f x 的周期为2，故A 正确，对于B ，由()()22f x f x +=-得()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，故B 错误，对于C ，由()()2f x f x -=+得()f x 关于1x =对称，故C 错误，对于D ，()()()()112f x f x f x f x -=+⇒=+，()f x 的周期为2，故D 正确，故选：AD10．已知12,C z z ∈，则下列结论正确的有（）A ．1212z z z z +=+B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z +=+D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD【分析】设12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，利用复数的运算和模的运算求解，逐项判断.【详解】解：设12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，则()12i z z a c b d +=+++，所以()()1222a b d z c z +=+++，222212z z a b c d +=+++，则1212z z z z +≠+，故A 错误；()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++()()()()()()222222ac bd ad bc ac bd ad bc =-++=+++，()()()()2222222212z z a b c d ac bd bc bc ⋅=+⋅+=+++，所以1212z z z z ⋅=⋅，故B 正确；因为()()1212a c b d i,a c b d i z z z z =+-+=++++-，所以1212z z z z +=+，故C 正确；因为()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()12i z z ac bd ad bc ⋅=--+，而()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确故选：BCD11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中使得ABC 有两个解的是（）A ．23a =，4b =，π6A =B ．23a =，4b =，3cos 5A =C ．23a =，4b =，π6C =D ．23a =，4b =，π6B =【答案】AB【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.【详解】A 选项，πsin 4sin26b A =⨯=，sin b A a b <<，所以ABC 有两个解，A 选项正确.B 选项，,cos 0,a b A A <>为锐角，24sin 1cos 5A A =-=，416sin 455b A =⨯=，sin b A a b <<，所以ABC 有两个解，B 选项正确.C 选项，由余弦定理得222cos 4c a b ab C =+-=，所以ABC 有唯一解.D 选项，1sin 2332a B =⨯=，sin a B a b <<，所以ABC 有唯一解.故选：AB12．勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分､如图所示，若勒洛四面体内的正四面体ABCD 的棱长为a ，则（）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为312a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．过,,A B C 三点的截面面积为2π32a -D ．勒洛四面体的体积V 满足3326π128a V a <<【答案】ACD【分析】对于A ，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于a ，进行判断；对于B ，求出BE a =，64OB a =，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C ，找到最大截面，求出截面面积；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四杨体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球体积之间，求出正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积，从而求出答案．【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值a ，故A 正确；勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，由题意得该球的球心O 为正四面体ABCD 的中心，半径为OE ，连接BE ，易知B ，O ，E 三点共线，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，由题意得：22263()()33a r a r -+=，解得64r a =，BE a ∴=，64OB a =，由题意得66(1)44OE a a a =-=-，故B 错误；勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD 表面的截面，如图，则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为a ，圆心角为60︒的扇形的面积减去两个边长为a 的正三角形的面积，即2221313π2(π3)642a a a ⨯-⨯=-，故C 正确；对于D ，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD 的体积和正四面体ABCD 的外接球的体积之间，正四面体底面面积为234a ，底面所在圆的半径为233323a a ⨯=，∴正四面体的高为2236()33a a a -=，∴正四面体ABCD 的体积231136234312V a a a =⨯⨯=，设正四面体ABCD 的外接球半径为r ，则由题意得：22263()()33a r a r -+=，解得64r a =，∴正四面体ABCD 的外接球的体积为326π8V a =，∴勒洛四面体的体积V 满足3326π128a V a <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．已知向量()()1,1,1,2a b ==- ，则向量a 在b方向上的投影数量为.【答案】55/155【分析】根据向量a ，b 的坐标及向量投影的计算公式，即可求出a 在b方向上的投影数量的值.【详解】∵()1,1a =，()1,2b =- ，∴向量a 在b 方向上的投影数量为：1555a b b⋅==r r r .故答案为：55.14．计算：5sin cos 1212ππ=.【答案】234+【分析】先利用诱导公式，再利用二倍角的正弦公式和降幂公式求解.【详解】由题得21cos 513236sincos sin()cos cos 121221212122244πππππππ++=-===+=.故答案为：234+15．“一部剧带火一座城”，五一期间，我市的地标建筑——中国南北分界线雕塑成为了网红打卡地，某校数学课外兴趣小组，拟借助所学知识测量该建筑的高度.记该雕塑的最高点为点A ，其在地面的投影点为点H ，在点H 南偏西60°方向的点B 处测得点A 的仰角为60°，在点H 正东方向的点C 处测得点A 的仰角为45°，点B ，C 相距40213米，则该雕塑的高度为米.【答案】40【分析】设HC x =，则AH x =，在ABH 中，可求3x BH =，在BHC △中，由余弦定理解得x 的值，即可求解该雕塑的高度．【详解】由题意可得6090150BHC ∠=︒+︒=︒，60ABH ∠=︒，45ACH ∠=︒，40213BC =米，设HC x =，则AH x =，在ABH 中，由于tan AH ABH BH∠=，可得tan 60xBH ︒=，所以3x BH =，在BHC △中，由余弦定理2222cos BC BH CH BH CH BHC =+-⋅⋅∠，可得2224021()()2cos150333x xx x =+-⨯⨯⨯︒，解得40x =，即该雕塑的高度AH 的值为40米．故答案为：40．16．已知三棱锥B ACD -中，棱AB ，CD ，AC 的中点分别是M ，N ，O ，ABC ，ACD ，BOD 都是正三角形，则异面直线MN 与AD 所成角的余弦值为.【答案】74【分析】根据异面直线的定义可知，MNO ∠（或其补角）是异面直线MN 与AD 所成的角，进而求出,,OM ON MN 的长度，用余弦定理求得答案.【详解】如图，根据题意可知，因为,,ABC ACD BOD 都是正三角形，所以BO AC ⊥，DO AC ⊥，连接,BN AN ，设AC =2，则3AN BO BD OD ====.易知1CN DN ==，在BCN △中，由余弦定理：22212cos 21BN BNC BN+-∠=⨯⨯，在BND 中，由余弦定理：()22213cos 21BN BND BN+-∠=⨯⨯，于是()22222213121021212BN BN BN BN BN+-+-=-⇒=⨯⨯⨯⨯.易知1AM BM ==，在ANM 中，由余弦定理：()22213cos 21MN AMN MN+-∠=⨯⨯，在BMN 中，由余弦定理：2221012cos 21MN BMN MN⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠=⨯⨯，于是()222222101132721212MN MN MN MNMN ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭=-⇒=⨯⨯⨯⨯.连接ON ，则//ON AD ，于是MNO ∠（或其补角）是异面直线MN 与AD 所成的角，连接MO ，易得MO=NO =1，在MNO 中，由余弦定理可得22271127cos 47212MNO ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==⨯⨯.故答案为：74.四、解答题17．已知i 是虚数单位，1212i,23i z z =+=-.(1)求12z z ；(2)若12z z z =+，且21i z az b ++=-，求实数,a b 的值.【答案】(1)47i 1313-+(2)5,8.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）根据复数的除法运算即可求解，（2）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件即可求解.【详解】（1）()()()()1212i 23i 12i 23i 23i 23i z z +++==--+224i 3i 6i 47i131313+++==-+（2）由条件得3i z =-，则()2(3i)3i 1i a b -+-+=-，化简得()()836i 1i a b a +++--=-，所以831,61,a b a ++=⎧⎨--=-⎩解得5,8.a b =-⎧⎨=⎩18．已知sin 2cos 0αα+=．(1)求2sin 2cos αα+；(2)若02-<<<<παβπ，且1cos()4αβ+=-，求cos β．【答案】(1)35-(2)510203+-【分析】(1)根据已知条件求出tan α，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值；(2)根据角的范围和cos()αβ+的正负确定αβ+的范围，求出sin(αβ+)，根据()cos cos βαβα⎡⎤=+-⎣⎦即可求解.【详解】（1）sin sin 2cos 0,sin 2cos ,2,tan 2cos ααααααα+=∴=-∴=-∴=- ，()222222212sin cos cos 2tan 13sin 2cos sin cos tan 1415ααααααααα⨯-+⋅+++====-+++；（2）,0,cos 0,sin 0.2πααα⎛⎫∈-∴>< ⎪⎝⎭()()10,,,,cos 024πβπαβπαβ⎛⎫∈∴+∈-+=-< ⎪⎝⎭ ，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，()()22115sin 1cos 144αβαβ⎛⎫∴+=-+=--=⎪⎝⎭，又22sin 2cos 21sin ,cos sin cos 155αααααα=-⎧⇒=-=⎨+=⎩，()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+⋅++⋅⎣⎦111525104420535+⎛⎫=-⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭.19．设1e 与2e 是两个单位向量，其夹角为60，且12122,32a e e b e e =+=-+ .(1)求a b ⋅；(2)求a 与b的夹角.【答案】(1)72-(2)120 .【分析】（1）根据题意，得到()()221212112223262a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅+ ，即可求解；（2）根据题意，分别求得7a =和7b = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：由1e 与2e 是两个单位向量，其夹角为60 ，可得121211,2e e e e ==⋅= ，因为12122,32a e e b e e =+=-+ 可得()()221212112223262176222a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=++=--+⋅+ .（2）解：由()2222121122244a a e e e e e e ==+=+⋅+144172=+⨯+=，()2222121122329124b b e e e e e e ==-+=-⋅+1912472=-⨯+=，设a 与b 的夹角为θ，其中0180θ≤≤ ，则712cos 2||||77a b a b θ-⋅===-⋅⨯ ，所以a 与b的夹角为120 .20．已知函数()2222sin cos 2cos 2sin f x x x x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.(2)证明：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()223f x x x <-+.【答案】(1)π，()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)证明见解析【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由周期公式和函数的单调性可得答案；（2）利用正弦型函数的性质可得函数()2f x ≤，由二次函数的性质可得2232x x -+≥，原不等式即可得到证明.【详解】（1）()2222sin cos 2cos 2sin f x x x x x=+-2sin 22cos2x x =+2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2T ππω==，令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得388k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .则()f x 的单调递增区间为()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）证明：令24t x π=+，因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.因为sin y x =在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以sin 2sin 142x ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，()2f x ≤，当且仅当8x π=时，等号成立.()2223122-+=-+≥x x x ，当且仅当1x =时，等号成立.因为()2f x ≤与2232x x ++≥中等号成立的条件不同，所以()223f x x x <-+.21．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）532.【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP 的中位线，MD AP P .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以3535,22PB MB MD MB ====.由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝.于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.所以11535333322D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=△＝＝＝.【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.22．如图，在ABC 中，2AC =，4AB =．点D 在边BC 上，且CD tCB =．(1)12t =，23A π=，求AD ；(2)15t =，AD 恰为BC 边上的高，求角A ；(3)3AD =，求t 的取值范围．【答案】(1)3(2)2π(3)1526t <<【分析】（1）由题易知()12AD AB AC =+ ，转化问题为求()12AB AC + 的模，进而求解；（2）由AD 为BC 边上的高，则AD BC ⊥ ，即0AD BC ⋅=，根据4155AD AC AB =+ ，BC AC AB =- ，整理即可求解；（3）易知()1AD t AB t AC =+- ，则()()22222121AD t AB t AC t AB t AC =+-+⋅- ，整理等式，结合1cos 1A -<<且01t <<求解即可.【详解】（1）由题，因为12t =，所以12CD CB = ，即点D 为边BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，因为23A π=，2AC =，4AB =，所以()22221112422423442AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题，因为15t =，所以()1155CD CB AB AC ==- ，因为AD 恰为BC 边上的高，所以AD BC ⊥，因为()141555AD AC CD AC AB AC AC AB =+=+-=+ ，BC AC AB =- ，且2AC =，4AB =，所以()22414411555555AD BC AC AB AC AB AC AC AB AC AB AB⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅+⋅- ⎪⎝⎭22431224cos 40555A =⨯-⨯⨯⨯-⨯=，所以cos 0A =，则2A π=.（3）由题，CD tCB = ，则()()1AD AC CD AC tCB AC t AB AC t AB t AC =+=+=+-=+-，因为3AD =，且2AC =，4AB =，所以()()22222121AD t AB t AC t AB t AC =+-+⋅- ，则()()2229164121616cos t t t t t A =+-++-，所以222085cos 1616t t A t t--=-，因为1cos 1A -<<，则222085111616t t t t---<<-，因为01t <<，则216160t t -<，解得1526t <<.。

安徽省合肥市第一中学2022--2023学年高一第二学期期末数学试题(含答案)

1,6CD DA AP AB AC λ==+，则A ．16 B ．13 C 【答案】D4．木楔子在传统木工中运用广泛，A Bcos cos )2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，2DC =，6DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC ∆是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积最大值为12D ．四边形ABCD 面积最小值为12 【答案】ABC所以四边形ABCD 面积的最大值为12+C 正确，D 错误.故选：ABC ．14．对某中学高一年级学生身高（单位：cm ）的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了男生23人，其身高的平均数和为170.6，抽取了女生27人，其身高的平均数为160.6，则可估计高一年级全体学生身高的平均数为．【答案】165.215．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 上的三等分点（靠近点A ）且1CD =，()()()sin sin sin a b A c b C B -=+-，则b a 2+的最大值为．，内的频数，并且补全这个频率分布直方图；(I)求这600名学生中物理测试成绩在[5060)33，所以()22123333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， 2212()33BD BA BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即222144cos 999BD BA BA BC B BC =++所以2224141499939b c ca a =+⨯+,整理得2221143b c ca a =++2222211343a c ac c ca a +-=++,化解得2340c ac -=，因为0c >，故3c -3a ．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，某国男子乒)求()OA AB AC ⋅+取值范围22sin 1cos 2a A bc A -⋅=即26)()()2AB A OA OA OB OC A C O ⋅=+⋅+-22OA OB OA OC OA =⋅+⋅-cos =cos2cos22C B +-5cos 2cos 222B B π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭33cos 2sin 22B =-ABC ∆是锐角三角形，所以22B B A ππ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，所以32B ππ<<，得5，故()A AB AC O +⋅的取值范围是BC DE //， ⊥AE 平面Ⅱ)若CD EB EA ==FG DG ,. 因为F 是AB 的中点，所以FG 是ABC ∆的中位线，则BC FG BC FG 21,//=，所以DE FG DE FG =,//，则四边形DEFG 是平行四边形，所以DG EF //，故//EF 平面ACD . （Ⅱ）过点B 作BM 垂直DE 的延长线于点M ，因为⊥AE 平面BCDE ，所以BM AE ⊥，则⊥BM 平面ADE ，过M 作AD MH ⊥，垂足为H ，连接BH ，易证⊥AD 平面BMH ，所以BH AD ⊥，则BHM ∠是二面角E AD B --的平面角.设a DE =，则a AB BC 2==，在BEM ∆中，2a EM =，a BE 2=，所以a BM 27=. 又因为M D H ∽∆∆A D E ，所以a HM 26=，则.642tan =∠BHM 1391sin =∠∴BHM CBA。

2023-2024学年安徽省十校联考高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年安徽省十校联考高一下学期期末考试数学试题1.已知复数（为虚数单位），则（）A．1B．2C．D．2.设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（）A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C．2020年销量高于这六年销量的平均值D．这六年增长率最大的为2019年至2020年4.已知向量，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．5.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则（）A．千米B．千米C．千米D．千米6.如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（）A．B．C．D．7.已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（）A．B．C．D．8.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论错误的是（）A．角C为钝角B．C．的最小值为D．9.设为复数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上10.已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（）A．当时，A，B相互独立B．当时，C．当时，D．当时，11.已知正方体的棱长为，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有（）A．可能垂直B．三棱锥的体积为定值C．过点截正方体的截面可能是等腰梯形D．若，过点且垂直于的截面的周长为12.文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图：估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.13.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．14.如图，已知二面角的平面角为，棱l上有不同的两点A，B，，，.若，则直线CD与平面β所成角的正弦值为___________.15.在三棱柱中，平面，且.(1)求证：平面平面；(2)求：点C与平面的距离.16.已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，.(1)求B；(2)若的面积为，求边c的长.17.立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019(1)按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）.18.如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离. 19.如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，分别为Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系.在α仿射坐标系中，若，记.(1)在α仿射坐标系中.①若，求；②若，且的夹角为，求；(2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.。

2024届安徽合肥市数学高一下期末调研试题含解析

2024届安徽合肥市数学高一下期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(2019)f =（） A ．-2B ．2C ．-98D ．982．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（） A ．3y x =B ．y x =C ．sin y x =D ．21y x =3．甲、乙两队准备进行一场篮球赛，根据以往的经验甲队获胜的概率是12，两队打平的概率是16，则这次比赛乙队不输的概率是（） A ．-16 B ．13C ．12D ．564．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )A ．B ．C ．D ．5．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A ．甲、乙两人打靶的平均环数相等B ．甲的环数的中位数比乙的大C ．甲的环数的众数比乙的大D ．甲打靶的成绩比乙的更稳定 7．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．916[]47，B ．167[]73， C ．712[]35，D ．125[]52， 8．在等差数列{}n a 中，若2=5a ，4=3a ，则6=a （） A ．1-B ．0C ．1D ．69．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C+=，则2223a b c ++的最小值是（） A ．5B ．8C ．7D ．610．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．49二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年安徽省黄山市高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省黄山市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.有一组数据为：5，6，7，7，8，9，9，10，10，则该组数据的中位数是()A.6B.8C.9D.2.设m为直线，，两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A.，且，则B.，且，则C.，且，则D.，且，则3.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标是()A. B. C. D.4.设事件A与事件B满足：，，，则下列说法正确的是()A.事件与事件B不是相互独立事件B.事件A与事件不是相互独立事件C.事件A与事件B是相互独立事件D.事件与事件不是相互独立事件5.如果复数z满足，那么复数z可能是()A. B. C. D.6.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续三天中至少有两天下雨的概率为()A. B. C. D.7.中，，为AC中点，M为线段BC上靠近点C的四等分点，将沿BD翻折，使A到P的位置，且平面平面BCD，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为()A.B.C.D.8.定义域在的函数图象的两个端点为A、B，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“k级线性近似函数”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：；；则这两个函数的线性近似系数的和为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()A.用简单随机抽样从含有100个个体的总体中抽取一个容量为50的样本，个体m被抽到的概率是B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C.当总体由有明显差异的几部分构成时，可以采用分层随机抽样D.若样本数据，，…，的标准差为9，则数据，，…，标准差为8110.如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则()A. B.C. D.11.如图，正方体的棱长为3，动点P在内，满足，则下列说法正确的是()A.B.与平面所成的角的正弦值为C.始终为钝角三角形D.点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

安徽省2022学年高一下期末考试数学试题及答案

高一下学期期末考试数学试题第I 卷选择题一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.{}{}等于，则，已知集合N M x x N x x M 1log |11|2<=<<-=( )A.{}10|<<x xB.{}21-|<<x xC.{}01-|<<x xD.{}11-|<<x x 2.的定义域为函数1log 1)(2-=x x f （）A. ()20，B.(]2,0C.()∞+，2D.[)∞+，2 3.设7log 3=a ，3.32=b ，8.0=c ，则（）A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b 4.在ABC ∆中，已知c B a =cos 2， 212sin )cos 2(sin sin 2+=-C C B A ，则ABC ∆为（） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.48B.17832+C.17848+D.806.若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是（）A.4B.5C.6D.77.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)[]17,1616,15,15,1414,1313,12，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）（第7题图）A6 B 8 C12 D 188.已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是( ) A. )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππB. )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππC. )(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D. )(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ9. 已知函数f （x ）=丨x ﹣2丨+1，g （x ）=kx ．若方程f （x ）=g （x ）有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，C.()21，D.()∞+，2 10. 已知∆ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若33=++c b a ，则角A 为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题(含解析)

2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.OA−OB +AC =( )A. OCB. BCC. CBD. CA2.sin (−7π6)=( )A. −32B. −12C. 12D.323.已知点P(m,−3)(m ≠0)在角α终边上，且cos α=24m ，则sin α=( )A. −64B. −104C.64D.1044.如图，△OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O′A′B′，y′轴经过斜边A′B′的中点，则△OAB 中OA 边上的高为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 45.要得到函数f(x)=sin(x 2+π4)的图象，可将函数f(x)=sin x 的图象( )A. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂β，m//n ，则α//β B. 若m ⊥α，m ⊥β，则α⊥βC. 若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若α⊥γ，β//γ，则α⊥β7.已知x ∈(π12,7π12)，sin (x−π12)=55，则sin (2x +π12)=( )A. −210B. 210C. 7 210D.7 3108.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B +cos C =2sin A sin B ，a =3b ，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. π2二、多选题：本题共3小题，共15分。

安徽省合肥市六校联考2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷及答案

2022-2023学年度第二学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学学科试卷注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12i z =−+，则z =（） A ．12i −B ．12i +C ．12i −+D ．12i −−2．若()1,2a =，(),3b x = 且4a b ⋅=，则x ＝（） A ．－2B ．12−C ．12D ．103．下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M ，中位数为N ，则关于M 与N 的大小关系，下面说法正确的是（）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定4．若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为（）AB ．3C ．163D ．135．在ABC △中，若a ＝2，b =A ＝30°，则B 等于（） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°6．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，AB ＝AD ＝1，12AA =，且E 为1DD 的中点，则直线1BD 与AE 所成角的大小为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．56π7．已知平行四边形ABCD 中，若12BM BC = ，13DN DC = ，AC x AM y AN =+，则x ＋y 等于（）A ．75B ．1C ．45D ．35 8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（）A ．12B ．13C ．15D ．110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分．9．已知α，β表示平面，m ，n 表示直线，则（） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥10．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组甲、乙每班各派出一名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛．下图是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩（单位：秒）的折线圈，则下列说法正确的是（）A ．甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差B ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数C ．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数D ．甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差11．三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列条件能判断ABC △是钝角三角形的有（） A ．a ＝7，b ＝5，c ＝4B ．0AB BC ⋅>C ．sin sin sin a b Cc b A B−=++ D ．2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=12．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（） A ．若A ，B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ∪= B ．若A ，B 是对立事件，则()1P A B ∪=C ．若A ，B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则()19P AB = D ．若()13P A =，()12P B =，且()14P AB =，则A ，B 是独立事件第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人．14．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为()2,1−−，则iz=______．15．已知a = ，a 与b 的夹角为4π，e是与b 同向的单位向量，则a 在b 方向上的投影向量为______．16．方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅．南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”．为了测量南塔高度，某同学设计了如下图测量方法：先在塔底平台A 点处测得塔底中心O 在北偏西70°方向，塔顶仰角的正切值为32，再走到距离A 点25米的点B 处，测得点O 在北偏东80°方向，塔顶仰角为6π，则该塔的高度为______米．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量()1,0a =，()2,1b = ．（1）当实数k 为何值时，向量ka b − 与3a b +共线；（2）当实数k 为何值时，向量ka b − 与3a b +垂直．18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 的边长为2，侧棱11AA =，E 是棱BC 的中点，F 是1DC 与1D C 的交点．（1）求证：1BD ∥平面1C DE ；（2）求三棱锥1D D BC −的体积． 19．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin A C A C B +=+．（1）求角B 的大小；（2）若b =，ABC △，求ABC △的周长． 20．（本小题满分12分）某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100五组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求图中a 的值；（2）估计该校学生数学成绩的平均数；（3）估计该校学生数学成绩的第75百分位数． 21．（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．记事件A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”．（1）求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率；（2）求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率． 22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ＝AD ＝4，AB ＝2，PA ⊥平面ABCD ，且M 是PD 的中点．（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．2022-2023学年度第二学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学学科参考答案第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DABBDCAC二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，部分选对得3分，选错得0分）题号 9 10 11 12 答案CDABABCBC第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13. 3000 14.12i −+ 15. e16. 757四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）17. 解：=(1,0)(2,1)=(2,1)ka b k k −−−− ，3=(1,0)+3(2,1)=(7,3)a b +， .......2分（1）向量ka b −与3a b + 共线，所以(2)3(1)7k −⋅=−×，解得13k =−. .............6分（2）向量ka b −与3a b + 垂直，所以7(2)+3(1)=0k −×−，解得177k =. .............10分所以平面所以求三棱锥1D D BC −的体积11111221333D D BC D BDC BDC V V S DD −−==⋅=××= ． .......12分 ∵222a c acb +=+，∴2221cos 22a cb B ac +−==， .......4分又∵()0,πB ∈，∴π3B =. .......6分（2）设事件1A ，2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语，1，2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语，则()13132448P A =××=，()2239416P A == ， ()12142339P B =××=，()222439P B ==．............10分设事件A ＝“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等”，则1122A A B A B =∪，且1A ，2A ，1B ，2B 分别相互独立，所以()()()()()()11221122()P A P A B P A B P A P B P A P B =+=+349458916912=×+×=．所以“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等的概率为512．............12分3, .............12分。

安徽省蚌埠市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A .OCB.BCC.CBD.CA2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.23.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.64-B.4-C.64D.1044.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA 边上的高为（）A. B. C.2 D.45.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πsin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.10-B.10C.10D.108.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M 分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A .//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为3011.已知向量a ，b满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m =，(b =- ，则0m =或-B.若||a b +=，则||b =C.若||a =||2b =r，则向量b 在向量aD.向量b 在向量a 上的投影向量为2a-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．14.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB =，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．蚌埠市2023—2024学年度第二学期期末学业水平监测高一数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.OA OB AC -+= （）A.OCB.BCC.CBD.CA【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得.【详解】OA OB AC OA BO AC BO OA AC BC -+=++++==.故选：B 2.7πsin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C3.已知点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且cos 4m α=，则sin α=（）A.4-B.4-C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出2m ，再由定义计算可得.【详解】因为点(,P m ()0m ≠在角α终边上，且2cos 4m α=，即cos 4m α==，解得25m =，所以sin 4α===-.故选：A4.如图，OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O A B ''' ，y'轴经过斜边A'B'的中点，则OAB 中OA边上的高为（）A. B. C.2 D.4【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，即可得OAB 的原图，根据长度关系即可求解.【详解】根据题意可得OAB 的原图如图所示，其中D 为AB 的中点，由于D ¢为A B''的中点，O D ''=且2OD O D ''==，则OAB中OA 边上的高为2OD =故选：B.5.要得到函数()πsin 24x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数()sin f x x =的图象（）A.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B.先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D.先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍得到1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误；将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位得到πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标伸长为原来的12倍得到πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A6.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m ∥n ，则α∥βB.若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥C.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥D.若αγ⊥，β∥γ，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ，举例判断，对于D ，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可.【详解】对于A ，如图当m α⊂，n β⊂，m ∥n 时，α与β相交，所以A 错误，对于B ，如图，当m α⊥，m β⊥时，α∥β，所以B 错误，对于C ，如图当m α⊂，n β⊂，m n ⊥时，α∥β，所以C 错误，对于D ，设l αγ= ，在平面α内作b l ⊥，因为αγ⊥，所以b γ⊥，因为β∥γ，所以b β⊥，因为b α⊂，所以αβ⊥，所以D 正确.故选：D 7.已知π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 212x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.210-B.210C.210D.310【答案】C 【解析】【分析】由π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出πcos 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角和的正弦公式化简，再利用二倍角公式化简可求得答案.【详解】因为π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以ππ0,122x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为π5sin 125x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππ25cos 1sin 12125x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 212124x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin124124x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππsin 2cos 221212x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22πππ2sin cos 2cos 12121212x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦225552212555⎡⎤⎛⎢⎥=⨯+⨯- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦210=.故选：C8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2sin sin B C A B +=，a =，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得2B A =，由正弦定理得sin A B =，再利用正弦的二倍角公式可得答案.【详解】因为()cos cos cos cos +=-+B C B A B cos cos cos sin sin 2sin sin =-+=B A B A B A B ，所以()cos cos cos sin sin cos =+=-B A B A B A B ，因为0,πA B <<，所以B A B =-，或B A B =-+舍去，可得2B A =，因为a =，由正弦定理得sin A B =，所以sin 22sin cos B B B B ==，因为0πB <<cos B =，可得π6B =，π23A B ==，所以π2C =.故选：D.二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数11i z =-，21i z =+，其中i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A.12z z =B.12||||z z =C.12i z z = D.2212122z z z z +≥【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的概念即可判断A ，由复数的模长公式即可判断B ，由复数的四则运算，即可判断CD【详解】对A 因为复数11i z =-，21i z =+，则121i z z =+=，故A 正确；对B,12z z ====12||||z z =，故B 正确；对C,()()()()121i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ----====-++-，故C 错误；对D,()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，()()12221i 1i 4z z =-+=，所以2212122z z z z <+，故D 错误；故选：AB10.已知正方体1111ABCD A B C D -，,E M分别为AB ，1BD 的中点，下列说法正确的是（）A.//EM BCB.EM MC⊥C.直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45D.直线EM 与平面11BB D 所成角的大小为30【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义可判断A ；连接BD ，取BD 中点O ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在MEC 中由余弦定理求出cos ∠EMC 可判断B ；设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线EM 与直线1CC 所成的角即为EMO ∠，求出EMO ∠可判断C ；连接BD 、AC 相交于点O ，利用线面垂直的判定定理得1AD O ∠即为EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求出1sin ∠AD O 可判断D .【详解】对于A ，因为E ∈平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，E BC ∉，M ∉平面ABCD ，所以EM 与BC 是异面直线，故A 错误；对于B ，连接BD ，取BD 中点O ，连接,,,MO EO OC EC ，可得1//MO DD ，所以OM ⊥平面ABCD ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则11,22====OE OM OC BD ，225=+=CE EB BC ，222=+=ME OM OE ，223=+=MC OM OC 由余弦定理得222235cos 02223+-∠===⋅⨯⨯ME MC CE EMC ME MC ，所以90∠= EMC ，所以EM MC ⊥，故B正确；对于C ，由B ，1//MO DD ，11//DD CC ，所以1//MO CC ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以直线EM 与直线1CC 所成的角即为EM 与直线MO 所成的角，即为EMO ∠，因为1==OE OM ，OM ⊥平面ABCD ，所以45∠= EMO ，即直线EM 与直线1CC 所成角的大小为45 ，故C 正确；对于D ，连接1AD ，因为,E M 分别为AB ，1BD 的中点，所以1//EM AD ，连接BD 、AC 相交于点O ，则AO BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以1DD AO ⊥，且1DD BD D =I ，1、⊂DD BD 平面11BB D ，所以AO ⊥平面11BB D ，所以1AD O ∠等于EM 与平面11BB D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则122AD =，2AO =，所以111sin 2AO AD O AD ∠==，1π02<∠<AD O ，所以130AD O ∠= ，所以EM 与平面11BB D 所成的角大小为30 ，故D正确.故选：BCD.11.已知向量a ，b 满足()2a b a +⊥ ，则以下说法正确的是（）A.若()2,a m = ，(3b =- ，则0m =或23-B.若||5a b += ，则||5b = C.若||5a = ||2b =r ，则向量b 在向量a 5D.向量b 在向量a 上的投影向量为2a - 【答案】ABD【解析】【分析】A选项，计算出(20,a m b =++ ，根据向量垂直得到方程，求出0m =或-，A 正确；B选项，||a b +=||b = C 选项，根据垂直关系得到21522a b a ⋅=-=- ，从而根据投影向量的模长公式求出C 正确；D 选项，在C 选项基础上，根据投影向量的公式进行求解.【详解】A选项，(20,a m b =++ ，因为()2a b a +⊥ ，所以()(()(20,2,0b m a a m m m +⋅=+⋅+== ，解得0m =或-，A 正确；B选项，||a b += 两边平方得，2225a a b b +⋅+= ，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅= ，故25b =，则||b = B 正确；C 选项，因为()2a b a +⊥ ，所以()2220a a a a b b +⋅=+⋅=，||a = 21522a b a ⋅=-=- ，则向量b 在向量a上的投影数量为252b a a-⋅==- ，C 错误；D 选项，由C 选项知，212a b a ⋅=- ，向量b 在向量a 上的投影向量为2b a a a a a⋅⋅=- ，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π13.已知()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，则tan α＝________．【答案】1【解析】【分析】先利用根与系数的关系，再利用两角和的正切公式可求得答案.【详解】因为()tan αβ-，tan β是方程22310x x --=的两根，所以()3tan tan 2αββ-+=，()1tan tan 2αββ-⋅=-，所以()tan tan αββ⎡⎤=-+⎣⎦()()tan tan 1tan tan αββαββ-+=--321112==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：114.在△ABC 中，22AC AB ==，AB BC ⊥，点M 满足2π3AMC BMC ∠=∠=，则AM BM CM ++=________．【解析】【分析】设,,AM x BM y CM z ===，根据ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 可得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理可得2223x y z ++=，再求出2()x y z ++可得答案.【详解】设,,AM x BM y CM z ===，因为22AC AB ==，AB BC ⊥，所以BC =，因为2π3AMC BMC ∠=∠=，所以2π3AMB ∠=,因为ABC AMB BMC AMC S S S S =++ ，所以11()24xy xz yz ⨯⨯=++，得2xy xz yz ++=，在,,ABM BMC ACM 分别由余弦定理得221x y xy ++=，223y z yz ++=，224x z xz ++=，所以2222()8x y z xy xz yz +++++=，所以2222()28x y z +++=，得2223x y z ++=，所以2222()2()347x y z x y z xy xz yz ++=+++++=+=，所以7x y z ++=，即7AM BM CM ++=.故答案为：7【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，解题的关键是在,,ABM BMC ACM 中分别利用余弦定理找出,,AM BM CM 的关系，再结合ABC AMB BMC AMC S S S S =++ 又得到,,AM BM CM 的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字､证明过程或演算步骤.15.已知复数()2322i z a a a =-++-，其中i 为虚数单位，R a ∈．（1）若z 为纯虚数，求|2|z +；（2）若复数z 在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．【答案】（15（2）1a <.【解析】【分析】（1）由已知求出a ，再由模的意义求出结果.（2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围.【小问1详解】由z 为纯虚数，得232020a a a ⎧-+=⎨-≠⎩，解得1a =，则i z =-，所以|2||2i |z +=-=.【小问2详解】由复数z 在复平面内对应的点在第四象限，得232020a a a ⎧-+>⎨-<⎩，解得1a <，所以实数a 的取值范围是1a <.16.如图，在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AF FB = ，G 为DF 与BE 的交点．（1）记向量AB a =，AD b = ，试以向量a ，b 为基底表示BE ，DF ；（2）若AC mBE nDF =+，求m ，n 的值；（3）求证：A ，G ，H 三点共线．【答案】（1）12BE b a =- ，23DF a b =- （2）59,24m n =-=-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；（2）对AC mBE nDF =+ 结合（1）化简用a ，b 表示，而A C a b =+ ，然后列方程组可求得结果；（3）设BG BE λ= ，DG DF μ= ，由AG AB BG =+ ，AG AD DG =+ ，用用a ，b 表示，列方程组求出,λμ，从而可得12AG AH = ，进而证得结论.【小问1详解】因为在ABCD Y 中，E ，H 分别是AD ，BC 的中点，2AFFB = ，所以1122BE AE AB AD AB b a =-=-=-uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r r r ，2233DF AF AD AB AD a b =-=-=- ．【小问2详解】由（1）知12BE b a =- ，23DF a b =- ，所以12212332AC mBE nDF m b a n a b n m a m n b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为A C a b =+ ，所以213112n m m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5294m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【小问3详解】12AH AB BH a b =+=+ ，设BG BE λ= ，DG DF μ= ，则()11122AG AB BG a b a a b λλλ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，又()22133AG AD DG b a b a b μμμ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ，所以213112μλμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124AG a b =+ ，∴111222AG a b AH ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，∴AG AH，即A ，G ，H三点共线．17.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1B C 与1BC 交于点O ，M 为线段AC 的中点，1B C AB ⊥，1222AB BC AA ===．（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（3）求三棱锥1B BOM -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）112．【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明；（2）应用面面垂直判定定理证明；（3）等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】连接1AB ，因为直三棱柱111ABC A B C -，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又11BB AA BC ==∴11BB C C 是正方形且O 为线段1B C 的中点，又M 为线段AC 中点，∴1//MO AB ，又OM ⊄平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，∴//OM 平面11ABB A ；【小问2详解】∵1BB AB ⊥，1B C AB ⊥，1111,BB B C B B C ⋂=⊂平面111,BCC B BB ⊂平面11BCC B ，∴AB ⊥平面11BCC B ，又AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11BCC B ；【小问3详解】∵M 为线段AC 中点，∴111111111111222362212B BOM M BB O A BB O BB O V V V S AB ---===⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥1B BOM -的体积为112．18.已知函数()π2cos cos sin26f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）关于x 的方程()f x a =在区间π[0,]2有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）不等式()204m mf x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭≥对R m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）2（3）ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）先化简，再根据正弦函数的单调性求解；（2）根据函数两个不相等的实数根，结合正弦单调性及值域求参；（3）把恒成立问题转化为解三角不等式即可.【小问1详解】()333π3cos2sin2222262f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈，解得()ππππZ 36k x k k -≤≤+∈，令()ππ3π2π22πZ 262k x k k +≤+≤+∈，解得()π2πππZ 63k x k k +≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ，单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】由（1）知函数()f x 在区间π[0,]6单调递增，在区间ππ[,]62单调递减，又()0f =π3362f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()f x 图象可知a 的取值范围是2．【小问3详解】即不等式2π3sin 20616m x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对R m ∈恒成立，有2π31π1Δ3sin 20,sin 264262x x ⎛⎫⎛⎫=+-≤-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π22π+666k x k -+≤+≤或5ππ7π2π22π666k x k +≤+≤+解得πππ6k x k -+≤≤，或ππππ32k x k +≤≤+故x 的取值范围是ππππ,ππ,π632k k k k ⎡⎤⎡⎤-+⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．19.已知球O 半径为2，A ，B ，C ，D 是球面上的点，平面OAC ⊥平面ABC ，四边形OACD 为平行四边形．（1）证明：AB BC ⊥；（2）若AB BC =，求点O 到平面BCD 的距离；（3）求BD 与平面OAC 所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）7（3）1434⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则OEAC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，故OE BE ⊥，故1BE ==，又因为1AE BE CE ===，得到AB BC ⊥；（2）求出AB BC ==BE OE ⊥，得到线面垂直，线线垂直，求出BD =，由余弦定理和同角三角函数关系得到sin 4BCD ∠=，得到△BCD 外接圆的半径，进而得到点到平面的距离；（3）作出辅助线，得到0BDE ∠为BD 与平面OAC 所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，表达出02cos sin BE θθ=，202cos CE θ=，由余弦定理求出0DE =，得到0tan BDE ∠=由基本不等式，求出线面角的正切值的最大值，从而得到余弦值的最小值为1434⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】证明：取AC 中点E ，连接BE ，OE ，OC ，因为2OA OB OC OD ====，所以平行四边形OACD 为菱形，AOC 为等边三角形，则2AC CD ==，60OAC ∠=︒，故OE AC ⊥，且OE =又平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，OE ⊂平面OAC ，所以OE ⊥平面ABC ，因为BE ⊂平面ABC ，所以OE BE ⊥，故221BE OB OE =-=，又因为1AE BE CE ===，所以,ABE BAE CBE BCE ∠=∠∠=∠，因为180ABE BAE CBE BCE ∠+∠+∠+∠=︒，所以90ABE CBE +=︒∠∠，AB BC ⊥．【小问2详解】因为AB BC =，2AC =，又AB BC ⊥，所以2AB BC ==BE AC ⊥，又3OE =1BE =，2OB =，故222BE OE OB +=，故BE OE ⊥，又AC OE E = ，,AC OE ⊂平面OAC ，所以BE ⊥平面OAC ，因为DE ⊂平面OAC ，所以BE DE ⊥，在ODE 中，OE ⊥AC ，故OE ⊥OD ，由勾股定理得222237DE OE OD =+=+=在△BDE 中，由勾股定理得2222BD BE DE +=，所以在△BCD 中，易知2222cos 24222BC CD BD BCD BC CD +-∠==-⋅⨯，则214sin 1cos 4BCD BCD ∠=-∠，记△BCD 外接圆的半径为r ，故872sin 8BD r BCD ==∠，即477r =，所以点O 到平面BCD距离7d ==．【小问3详解】作0BE AC ⊥于0E ，因为平面OAC ⊥平面ABC ，平面OAC 平面ABC AC =，0BE ⊂平面ABC ，所以0BE ⊥平面OAC ，因为0DE ⊂平面OAC ，所以00BE DE ⊥，故0BDE ∠为BD 与平面OAC所成的角，设π0,2ACB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，其中cos 2cos BC AC θθ==，0sin 2cos sin BE BC θθθ==，20cos 2cos CE BC θθ==，在0CDE 中，0120E CD ∠=︒，由余弦定理得222420002cos12044cos 4cos E D CD E C CD E C θθ=+-⋅︒=++，故0DE =，故000tan BE BDE DE ∠===≤当且仅当2tan θ=时，等号成立，143cos4BDE⎛⎫∠=≥ ⎪⎝⎭，故BD与平面OAC所成角的余弦值的最小值为1434⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.。

安徽省阜阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷含答案

阜阳市2022～2023学年度高一年级教学质量统测数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,1,3,5,7,2x A B x =-=>，则A B = （）A.{}5,7 B.{}3,5,7 C.{}1,1- D.{}1,1,3,5,7-2.已知()12i 2i z -=，则z 的共轭复数z =（）A.42i 55+ B.42i 55-+ C.42i 55- D.42i 55--3.若3π1sin 83x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，且π02x <<，则πsin 8x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.3B.13-C.13D.3-4.中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（）A.321石B.166石C.434石D.623石5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知:sin sin sin a b cp C A B==，q ：ABC 是等腰三角形.则p 是q 的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()()π3sin ,0,2f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()1π3sin 312f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.3π42f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.不等式()32f x ≥的解集为π9π6π,6π44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后所得函数的图象在[]6π,8π上单调递增7.设1329πtan ,2,log 38a b c ===，则（）A.a c b<< B.a b c<< C.<<c a bD.b a c<<8.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()1y f x =+是偶函数，且()f x 对任意[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，若()()ln 1f a f ≥-，则实数a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.)3e ,⎡+∞⎣二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下面命题正确的是（）A.任意两个单位向量都相等B.方向相反的两个非零向量一定共线C.若()()1,2,,1a b m == ，且a 与b的夹角为锐角，则2m >-D.若非零向量,a b 满足a b a b +=- ，则,a b 的夹角为π210.已知函数()sin cos f x x x =，则以下结论正确的是（）A.()f x 的最小值为12-B.()f x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 在[]0,π上有且仅有1个零点D.()f x 的图象关于直线π8x =对称11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1AA 上的动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点M ，使得1//C M 平面1AB CB.对于任意点M ，都有平面1C MB ⊥平面11A B CDC.异面直线1C M 与BC 所成角的余弦值的取值范围是12[,22D.若1C M ⊥平面α，则平面α截该正方体的截面图形的周长最大值为12.已知函数()2e 1,,(2),x x m f x x x m⎧-≥=⎨-+<⎩（R m ∈），则（）A.对任意的R m ∈，函数()f x 都只有1个零点B.当3m ≤-时，对12x x ∀≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立C.当0m =时，方程()()0ff x =有4个不同的实数根D.当0m =时，方程()()0f x f x +-=有3个不同的实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13.已知b 与单位向量a的夹角为60︒，且a b -= b = _________．14.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______.15.已知,,,A B C D 四点共圆，且2,1,3AB CD AD BC ====，则ABC 外接圆的面积为______.16.四棱锥P ABCD -的四个顶点都在球O 的球面上，现已知其平面展开图如图所示，四边形ABCD 是矩形，1,2,3AD AB AE BE ====，且AD AH ⊥，则球O 的表面积为_________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知_________．①sin 2cos sin 1c B A b C +=+；②()cos 23cos 10A B C -+-=；③向量),m a=，向量()sin ,cos n B A = ，且//m n．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并解答．（注：若选择多个不同条件分别作答，则按照第一个解答计分）（1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为2，求a 的最小值．18.如图，在四棱锥S ABCD -中，,,SD AD DC 两两相互垂直，//,,AB DC AB DC P =为BC 的中点，且BS AP ⊥．（1）证明：平面SAP ⊥平面SBD ；（2）若2SD DC ==，求四棱锥S ABCD -的体积．19.为分析某次数学考试成绩，现从参与本次考试的学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本，得到以[)[)[)[)[)[)[]80,90,90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分组的样本频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中x 的值；（2）试估计本次数学考试成绩的平均数和第50百分位数；（3）从样本分数在[)130140,，[]140,150的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的2名学生中恰有1人成绩在[)130140,中的概率．20.已知)()2,2cos ,2cos ,1a x x b x ==，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 图象的对称中心坐标及其在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内的单调递增区间；（2）若函数()π4x g x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，计算()()()()1232023g g g g +++⋅⋅⋅+的值．21.为打造美好生态校园，缓解学生的学习压力，培养学生的责任和担当意识，某校北校区拟开设饲养动物的课程.校园内有一块空地OPQ △（如图所示），其中30m,OP OQ ==，π2POQ ∠=.学校拟在空地中间规划动物休息区域OAB ，活动区域OPA ，且π6AOB ∠=，现需要在OPB △的周围安装防护网.（1）当15m PA =时，求防护网的总长度；（2）为了节约成本投入，要求动物休息区域OAB 尽可能小，问如何规划，能让OAB 的面积最小？最小面积是多少？22.若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，对任意x A ∈，都有()e e x xf x ⎡⎤-⎣⎦是一个常数，则称()f x 在A 上具有M 性质.（1）设()y f x =是R 上具有M 性质的奇函数，求()f x 的解析式；（2）设()y g x =是在区间[]1,1-上具有M 性质的偶函数，若关于x 的不等式()()22e 0g x g x n -+>在[]1,1-上恒成立，求实数n 的取值范围.阜阳市2022～2023学年度高一年级教学质量统测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】AB【12题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置【13题答案】【答案】3【14题答案】【答案】7 4【15题答案】【答案】7π3【16题答案】【答案】61π12四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）π3 A=；（2.【18题答案】【答案】（1）证明见解析；（2【19题答案】【答案】（1）0.01x=；（2）107.4，105.7；（3）2 5.【20题答案】【答案】（1）ππ,1212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,k ∈Z ，π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦;（2）2022【21题答案】【答案】（1）90m（2）2675(2-【22题答案】【答案】（1）()e exxf x -=-（2）2e 2n >+。

安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可；收入对家庭每年生活费的开支影响很大，故②采用分层随机抽样较合适．〖答案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件．〖答案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =．〖答案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=，整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线，故2234λμ=，解得34λμ=．〖答案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解析〗对于A ：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，即()()()P MN P M P N =故事件M 和N 相互独立，A 正确；对于B ：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C C C +=，B 错误；对于C ：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C 正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确．综上可知正确的有ACD ．〖答案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底〖解析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立；所以是充分不必要条件，选项A 正确．对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量，因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确；对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+，因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+， 12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误．〖答案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误；对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意，作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确．〖答案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ．〖解析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ．〖解析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+．〖答案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为．〖解析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=，变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=，则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±．〖答案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为．〖解析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ，再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ，则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=．〖答案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数．（1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-．（1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α．解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=，当5x =，|2|13a b +=，综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积．（1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥，又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==．20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n ，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n ==，504206416q =----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.3250=，在区间[175，185)的频率为60.1250=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ，则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ，又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角，因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =，证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥，又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =，所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QF QE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ，所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥，又PBBC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意，所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围．解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯（2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB ACAD +=，因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =，设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+，所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++，又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y xAG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++，又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++，又4y ，所以114x ，所以310AG EF⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅，当14x =时等号成立，综上3691020AG EF⋅，即3[10，69]20．安徽省黄山市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．若2ai b i +=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则复数z a bi =+的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．2iD ．2〖解析〗2ai b i +=-，则12a b =-⎧⎨=⎩，故12z a bi i =+=-+的虚部为2．〖答案〗D2．以下说法正确的是( ) A ．零向量与任意非零向量平行 B ．若//,//a b b c ，则//a cC ．若0(a λλ=为实数），λ则必为零D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =〖解析〗A ，规定：零向量与任意向量平行，A ∴正确，B ，若0b =时，满足//a b ，//b c ，但a 与c 不一定共线，B ∴错误，C ，当0a =时，满足0a λ=，C ∴错误，D ，当a 与b 方向不相同时，a b ≠，D ∴错误．〖答案〗A3．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的序号是 ①若//m α，//m n ，则//n α ②若m α⊥，n β⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，//m β则αβ⊥④若αβ⊥，m α⊂，则(m β⊥ ) A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④〖解析〗①若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故①错误；②若m α⊥，n β⊥，由α与β的位置关系不确定，则n 与m 的位置关系不确定，故②错误； ③若//m β，则β内存在直线l 与m 平行，m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故③正确； ④若αβ⊥，m α⊂，则m β⊂或//m β或m 与β相交，相交也不一定垂直，故④错误．∴命题错误的序号是①②④．〖答案〗C4．如图，△O A B '''是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为( )A ．12B ．10+C ．7+D ．11〖解析〗根据题意，OAB ∆的图形如图：其中90AOB ∠=︒，4OB =，6OA =，则AB =则OAB ∆的周长为10+〖答案〗B5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( ) A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样〖解析〗①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查采用简单随机抽样即可；收入对家庭每年生活费的开支影响很大，故②采用分层随机抽样较合适．〖答案〗C6．袋子里装有大小质地都相同的2个白球，1个黑球，从中不放回地摸球两次，用A 表示事件“第1次摸得白球”， B 表示事件“第2次摸得白球”，则A 与B 是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件〖解析〗互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断A 和B 不互斥，则也不对立．由题意可知：P （A ）35=，P （B ）12=．故事件A 发生对事件B 的概率有影响，故A 和B 不是相互独立事件．〖答案〗D7．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是( ) A ．310B ．25C ．112D ．120〖解析〗所有选科种数为：122412C C ⋅=．故概率112P =．〖答案〗C8．已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若0aOA bOB cOC ++=，过O 作直线l 分别交AB 、AC （不与端点重合）于P 、Q ，若AP AB λ=，AQ AC μ=，若PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，则(λμ= )A ．56B ．13C ．43 D ．34〖解析〗因为PAO ∆与QAO ∆的面积之比为32，可得32OP OQ =-，故2()3)0OA AB OA AC λμ+++=，即22()33()0OA OB OA OA OC OA λμ+-++-=，整理得(523)230OA OB OC λμλμ--++=，因为0aOA bOB cOC ++=，且OA ，OB ，OC 均不共线，故2234λμ=，解得34λμ=．〖答案〗D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．复数21izi+=-，i是虚数单位，则下列结论正确的是()A．52 z z⋅=B．z的共轭复数为13 22i +C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限〖解析〗2(2)(1)131(1)(1)22i i iz ii i i+++===+-+-，对于A，13135()()22222z z i i⋅=+-=，故A正确，对于B，1322z i=-，故B错误，对于C，z的实部与虚部之和为13222+=，故C正确，对于D，z在复平面内的对应点13(,)22位于第一象限，故D正确．〖答案〗ACD10．下列说法正确的有()A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现奇数点”，事件N=“出现3点或4点”，则M和N相互独立B．袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是3 10C．甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出的鞋不成双”的概率是45〖解析〗对于A：掷一枚质地均匀的的骰子一次，1()2P M=，1()3P N=，1()6P MN=，即()()()P MN P M P N=故事件M和N相互独立，A正确；对于B：若“两球同色”则都是白球或者都是红球，则“两球同色”的概率是22322525C CC+=，B错误；对于C：“至少一人中靶”的概率为1(10.9)(10.8)0.98---=，C正确；对于D ：柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，共有15312-=种，取出的鞋成双的只有3种，那么“取出的鞋不成双”有15312-=种，所以“取出的鞋不成双”的概率是124155=，D 正确．综上可知正确的有ACD ．〖答案〗ACD11．下列命题正确的是( )A ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件B ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若2||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BA 在BC 的投影向量是BD C ．点D 是ABC ∆边BC 的中点，若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18D ．已知平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不能作为一组基底〖解析〗对于A ，存在负数λ，使得m n λ=，所以20m n n λ⋅=<，充分性成立；当0m n ⋅<时，不一定有“存在负数λ，使得m n λ=”，必要性不成立；所以是充分不必要条件，选项A 正确．对于B ，||AB AB ，||AC AC ，||ADAD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC +为BAC ∠ 的平分线表示的向量，因为2||||||AB AC ADAB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图1所示：BA 在BC 的投影为||||cos ||||||BD BC B BA BD BA =⨯=，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，选项B 正确；对于C ，如图2所示：因为P 在AD 上，即A ，P ，D 三点共线，设(1)BP tBA t BD =+-，01t ，又因为12BD BC =，所以12t BP tBA BC -=+，因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ，令21111()2228t y t t λμ-==⋅=--+，12t =时，λμ取得最大值为18，选项C 正确．对于D ，平面内的一组基底1e ，2e ，则向量12e e +，12e e -不共线，可以作为一组基底，选项D 错误．〖答案〗ABC12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 在面对角线AC 上运动，点E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB 的中点，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，则下列选项正确的是( ) A ．1//D P 平面11A BC B ．平面1PDB ⊥平面11A BCC ．过E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B CD -D ．动点M 的轨迹所形成区域的面积是〖解析〗对于A ，11//AC AC ，11//AD BC ，1AC AD A =，1111A C BC C =，∴平面1//AD C 平面11A BC ，1D P ⊂平面1AD C ，1//D P ∴平面11A BC ，故A 正确；1111AC B D ⊥，111DD AC⊥，1111DD B D D =，11AC ∴⊥平面11DD B ，111B D AC ⊥，同理，11B D BC ⊥，1111BC A C C =，1B D ∴⊥平面11A BC ，1B D ∴⊂平面1PDB ，∴平面1PDB ⊥平面11A BC ，故B 正确；对于C ，如图，作出过E ，F ，G 三点的平面截面图形，，∴截面面积为26S ==C 错误；对于D ，如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是该正方体表面及其内部的一动点，且//BM 平面1AD C ，由面面平行的性质得当BM 始终在一个与平面1AD C 平行的平面内，即满足题意，作出过点B 的平面与平面1AD C 平行，连接1A B ，1BC ，11A C ，则平在11//A BC 平面1AD C ，∴动点M 的轨迹所形成区域的面积是1112A BC S=⨯=D 正确．〖答案〗ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．已知向量a ，b ，c 满足，0,||2,||3,||5a b c a b c ++====，则a b ⋅= ．〖解析〗0a b c ++=，∴()c a b =-+，∴22()c a b =+，∴2222c a b a b =++⋅，又||2a =，||3b =，||5c =， ∴25492a b =++⋅，∴6a b ⋅=．〖答案〗614．已知复数z 满足2022(1)1z i i -=-，则复数z = ．〖解析〗202245052()1i i i =⋅=-，2022(1)12z i i -=-=-，∴222(1)111(1)(1)i z i i i i i -+====+---+．〖答案〗1i +15．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，8，10，12．已知这组数据的平均数为10x y -的值为．〖解析〗根据题意，数据x ，y ，8，10，12的平均数为10，，即其方差为2；则1(81012)105x y ++++=，221(64100144)10025x y ++++-=，变形可得2220202x y x y +=⎧⎨+=⎩，则有2222()()198xy x y x y =+-+=，则222()24x y x y xy -=+-=，则有2x y -=±．〖答案〗2±16．如图，已知平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置，若二面角1B AC D --的大小为120︒，则过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的表面积为．〖解析〗如图，平行四边形ABCD 中，AC AB m ==，120BAD ∠=︒，∴平行四边形ABCD 是边长为m 的菱形，且其中60ADC ∠=︒，BCA ∴∆与ACD ∆都是边长为m 的等边三角形，将ABC ∆沿对角线AC 翻折至△1AB C 所在的位置后，取AC 的中点H ，连接1B H ，DH ，则1B H AC ⊥且DH AC ⊥，∴二面角1B AC D --的平面角即为1120B HD ∠=︒，分别取BCA ∆与ACD ∆的中心E ，F ，即1B H 与DH 上靠近H 的三等分点E ，F ，再分别过E ，F 作平面BCA ，平面ACD 的垂线，且两垂线交于点O ，则易证点O 即为过A ，1B ，C ，D 四点的外接球的球心，∴球的半径R OC =，1133HF HD ==，2CF DF HF ==，连接OH ，则易知OH 平分1B HD ∠，60OHF ∴∠=︒，12OF m ∴=，∴在Rt CFO ∆中，由勾股定理可得22222221173412R OC CF OF m m m ==+=+=， ∴所求的外接球的表面积为2227744123R m m πππ=⨯=．〖答案〗273m π四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17．（10分）已知复数12z x i =-，21z yi =-，其中i 是虚数单位，x ，y 为实数．（1）若1x =-，1y =，求12||z z -的值；（2）若212z z =，求x ，y 的值．解：（1）1x =-，1y =，112z i ∴=--，21z i =-，122z z i ∴-=--，12||z z ∴-（2）212z z =，22(1)x i yi ∴-=-，即2212x i y yi -=--，即2122x y y ⎧=-⎨--⎩，解得0x =，1y =．18．（12分）已知向量(3,2)a =，(,1)b x =-．（1）当(2)a b b -⊥时，求|2|a b +；（2）当(8,1)c =--，//()a b c +，求向量a 与b 的夹角α．解：（1）向量(3,2)a =，(,1)b x =-，∴2(32,0)a b x +=+，2(6,5)a b x -=-，(2)a b b -⊥，∴(2)0a b b -⋅=，即(6x -，5)(x ⋅，1)0-=，2650x x -+=，解得1x =或5x =，当1x =，则，则2(5,0)a b +=，∴|2|5a b +=，当5x =，|2|13a b +=，综上所述，2513a b +=或．（2）(8,1)c =--，(3,2)a =，(,1)b x =-，则(8,2)b c x +=--，//()a b c +，3(2)2(8)0x ∴⨯--⨯-=，解得5x =，∴||13a =，||26b =，352(1)13a b ⋅=⨯+⨯-=，∴13cos ||||13a b a b α⋅==⨯，[0α∈，]π，∴4πα=．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，O 为AB 的中点，CA CB =，1AB AA =，160CAB BA A ∠=∠=︒．（1）证明：AB ⊥平面1A OC ；（2）若ABC ∆1OA OC ⊥，求三棱锥11A A BC -的体积．（1）证明：由题意得：ABC ∆，1ABA ∆均为等边三角形，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥，1AB OA ⊥，又1OCOA O =，所以AB ⊥平面1A OC ；（2）解：因为ABC ∆由正弦定理得2sin AB ACB =∠12,AA BAB S ==因为1OA OC ⊥，OC AB ⊥，1OA AB O =，所以OC ⊥平面1AA B ，因为1//CC 平面11AA B B ，所以1C 到平面11A B B 的距离等于C 到平面11A B B 的距离，即OC1111111133A BC A C AAB AA BV V S OC --==⋅==． 20．（12分）某校有高中生3600人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为172，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20．（1）根据图表信息，求n，q的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）解：（1）因为身高在区间[155，165)的频率为0.040100.4⨯=，频数20，所以20500.4n==，504206416q=----=，所以身高在区间[165，175)的频率为160.32 50=，在区间[175，185)的频率为60.12 50=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008101600.04101700.032101800.012101900.00810⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 126454.421.615.2167.2=++++=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm ；（2）男生样本记为1x ，2x ，...，25x ，其均值记为x ，方差记为2x s ；女生样本记为1y ，2y ，...，25y ，其均值记为y ，方差记为2y s ，则总样本均值252525172251601662525252550z x y ⨯+⨯=+==++，又因为252511()250i i i i x x x x ==-=-=∑∑，所以2525112()()2()()0i i i i x x x z x z x x ==--=--=∑∑，同理可得2512()()0j j y y y z =--=∑，所以总样本方差2525222111[()()]50i j i j s x z y z ===-+-∑∑252522111[()()]50i j i j x x x z y y y z ===-+-+-+-∑∑ 22221{25[()]25[()]}50x y s x z s y z =+-++- 221{25[16(172166)]25[20(160166)]}50=+-++-54=；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况．21．（12分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，已知侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为60︒，E 是PB 的中点．（1）请在棱AB 与BC 上各找一点M 和N ，使平面//MNE 平面PAC ，作出图形并说明理由；（2）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．解：（1）分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ，NE ，则平面//MNE 平面PAC ，证明：在ABF ∆中，M ，E 分别为AB ，PB 的中点，所以//ME AP ，同理，//NE PC ，又ME ⊂平面MNE ，ME ⊂/平面PAC ，所以//ME 平面PAC ，同理//NE 平面PAC 又MENE E =，所以平面//MNE 平面PAC ，（2）连接AE ，OE ，因为//OE PD ，所以OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角或其补角，因为AO BD ⊥，AO PO ⊥，POBD O =，PO ，BD ⊂平面PBD ，所以AO ⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，所以AO OE ⊥，所以12OE PD ==，所以tan AO AEO EO ∠=则异面直线PD 与AE （3）存在点F 符合题意，且14AF AD =，证明：取OB 得中点Q ，连接QF ，QE ，EF ，在POB ∆中，Q ，E 分别为BP ，BO 的中点，所以//QE PO ，所以QE ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以QE BC ⊥，又在ABD ∆中，14QB DB =，14AF AD =，所以//QF AB ，所以QF BC ⊥，又QFQE Q =，所以BC ⊥平面QEF ，所以BC EF ⊥，在PFB ∆中，PF =，BF ，所以PFB ∆是等腰三角形，所以FE PB ⊥，又PB BC B =，所以FE ⊥平面PBC ，所以存在点F 符合题意，所以存在这样的F 点，且14AF AD =． 22．（12分）如图，设ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，1cos 2A =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，求AG EF ⋅的取值范围．解：（1）因为12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，所以221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得4c b =，又1c =，所以4b =．所以11sin 4122ABC S bc A ∆==⨯⨯ （2）设||,||AE x AF y ==，因为D 为中点，所以2AB AC AD +=，因为AEF ∆的面积为ABC ∆面积的14，所以1sin 2AEF S xy A ∆=，即1xy =，设AG AD λ=，则22AG AD AB AC λλλ==+，又E ，G ，F 共线，设(1)AG AE AF μμ=+-，则(1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+，所以2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4y x y μ=+，所以1144AG AB AC x y x y =+++，又4y EF AC xAB =-，所以1196()()4442(4)y y x AG EF AB AC AC xAB x y x y x y -⋅=+⋅-=+++，又1xy =，化简得22296963212(4)2(41)44(41)y x x AG EF x y x x --⋅===-++++，又4y ，所以114x ，所以310AG EF ⋅，当1x =时等号成立．6920AG EF ⋅，当14x =时等号成立，综上3691020AG EF ⋅，即3[10，69]20．。

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安徽省合肥市六校联考2024届数学高一下期末经典模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知n S .为等比数列{}n a 的前n 项和，若22a =，516a =，则6S =( ) A ．31B ．32C ．63D ．642．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．04a ≤≤B ．04a <≤C ．04a <<D ．04a ≤<3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+4．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（） A ．62B ．63C ．64D ．655．如图,已知平行四边形ABCD ,BE EC =,则( )A ．12AE AB AD =+ B ．12AE AB AD =- C ．12AE AB AD =+ D ．12AE AB AD =-+ 6．若直线:30l x y n -+=与圆22240x y x y ++-=交于,A B 两点，,A B 关于直线30x y m ++=对称，则实数m 的值为（）A ．1B ．1-C ．3-D ．37．若，且满足，则下列不等式成立的是（）A ．B ．C ．D ．8．若函数()()12,1,1,1,x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．12B ．22 C 2D ．22-9．在ABC ∆中，若4,5,AB AC ==BCD ∆为等边三角形（,A D 两点在BC 两侧），则当四边形ABDC 的面积最大时，BAC ∠=（） A ．56πB ．23π C ．3π D ．2π 10．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是 ( ) A ．若a>b ，则ac 2>bc 2 B ．若a bc c>，则a>b C ．若a 3>b 3且ab<0，则11a b > D ．若a 2>b 2且ab>0，则11a b<二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

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